2022-2023学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共32分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 今年上半年，尽管受到新冠肺炎疫情、地缘政治等多重因素影响，中国货物贸易进口总值仍有元人民币，同比增长，展现出中国消费市场的强劲性．其中，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是小南暑假某天复习各学科投入时间扇形统计图，若科学复习时间为，则他数学复习时间为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，四边形为平行四边形，过点的直线分别交，的延长线于点，，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点入射，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后即，从点垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

8. 如图所示，正方形，，内接于五边形，该五边形是轴对称图形，与为对称边，，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

9. 分解因式：______．
10. 若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取______写出一种即可．
11. 有一张长方形桌子的桌面长，宽有一块长方形台布的面积是桌面面积的倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设垂下的长度为，根据题意可列方程为______．

12. 如图，四边形中，，，，过点作，交的延长线交于点，若，，则______．

13. 将直线：向右平移个单位后得到直线，则的解析式是______．
14. 气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图所示是桌子的侧平面示意图，，，，，是固定钢架，垂直桌面，是位置可变的定长钢架．是两端固定的伸缩杆，其中，，，，是一个固定角为，当旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆的长度为______点的离地高度为，，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现，则桌面高度为______．

三、解答题（本大题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：；
    化简：．
16. 本小题分
    如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连结，交于点．
    求证：≌；
    若，求的度数．

17. 本小题分
    在的正方形网格中，点，，均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图保留作图痕迹．
    在图中，作的中线；
    在图中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形．
     

18. 本小题分
    某校为了了解九年级学生的视力健康水平，在开学初进行了视力调查．对随机抽测的部分学生视力情况进行统计及以上为正常视力：
    部分学生视力情况频数分布表

______，______，并补全频数分布直方图；
针对抽测结果，小张认为全市初中生的视力情况比较糟糕，视力正常的大约为，你同意他的观点吗？说明你的理由．

19. 本小题分
    瓯柑是温州的传统特产，其栽培历史约有二千四百年，被列为历代朝廷贡品，民间素有“端午瓯柑似羚羊”之称．瓯海区某经销店购进一批重量相等的“大果”，“中果”两种大小的瓯柑，其中购进大果元，购进中果元，每千克大果比中果贵元．
    求大果，中果的进价；
    售罄后该经销店准备再次购进两种瓯柑共千克，拟投入的资金不超过元．重阳节将至，该店将千克大果和千克中果以进价回馈给老人，剩余大果以的利润率进行销售，中果以元进行销售．若这批瓯柑能全部售出，获得的最大利润是元，求的值．
20. 本小题分
    菱形的边长为，，点是对角线中点，是线段上任一点，连接，作，边与直线相交于点．
    小南和小浦观察以上问题时，猜想，老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试研究．
    【特例发现】
    小南发现：当点与点______重合时，与的长度相等，为______；
    
    【探究证明】
    小浦认为当在线段上时，均有“”，请帮助完成证明．
    【拓展运用】
    连结交于点，求证：为定值．
    当时，______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据有理数乘法法则：负负得正，
．
故选：．
根据有理数乘法法则进行计算即可．
此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，他数学复习时间为：，
故选：．
根据科学复习时间为及其所占百分比，可得小南暑假某天复习各学科投入时间，再乘他数学复习时间所占百分比即可．
本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，，
在中，
，，
，
，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
由，，得，又，可得，，而，即得，，证明是等边三角形，有，从而．
本题考查含角的直角三角形三边的关系，涉及等边三角形判定与性质，解题的关键是掌握含角的直角三角形三边的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象在二、四象限，
在每一象限内随的增大而增大，
若，，则，故A不符合题意；
若，则，故B不符合题意；
若，，则，故C不符合题意；
若，则，故D符合题意．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据，结合选项条件，则，，的大小关系即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在第二、四象限是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连结并延长分别交、、于点、、，
，，
，
与为对称边，
，
，
四边形、四边形、四边形都是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
直线是五边形的对称轴，
，，，
，
，
，
≌，
，
；
连结，作于点，延长交于点，连结，
，
，
，，
，
≌，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
设正方形的边长为，则，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的值是，
故选：．
连结并延长分别交、、于点、、，先证明直线是五边形的对称轴，则，，；再证明≌，得，则；连结，作于点，延长交于点，连结，证明≌，得，即可证明四边形是正方形，则，再证明≌，得，所以，则；设正方形的边长为，推导出，，即可求出的值．
此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
提公因式进行因式分解，即可解答．
此题主要考查了因式分解提公因式法，确定公因式是解题关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：“如果，那么”是假命题，可以举一个反例为，因为时，．
故答案为：答案不唯一．
找出满足，但不满足即可．
本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：垂下的长度为，
台布的长为，宽为，
又台布的面积是桌面面积的倍，
．
故答案为：．
根据各边之间的关系，可得出台布的长为，宽为，利用台布的面积是桌面面积的倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形，
设，
，
，
，，
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
．
先证明≌，得出，进而证明四边形是菱形，设，由勾股定理得出，求出，，再证明四边形是矩形，得出，进而求出，，利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知：将直线：向右平移个单位后得到直线，则的解析式是，即．
故答案为：．
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：如图，延长交于点，
由题意可知与水平面垂直，当旋转至水平位置时，则，
，
，
，
，，，
，，，
，
；
如图，作于点，交的延长线于点，
，
，
，
，，
，
，，，
作交的延长线于点，交的延长线于点，
，，
，，
，，
，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，交的延长线于点，
，，，
四边形、四边形都是矩形，
，
，
，
，
连结，延长交于点，延长交于点，则，
，，，
，
，
故答案为：，．
延长交于点，则当旋转至水平位置时，则，先由得，而，所以，，则，根据勾股定理可求得，即可求得；作于点，交的延长线于点，由得，可求得，即可根据勾股定理求得，则，，作交的延长线于点，交的延长线于点，则，，由勾股定理求得，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，交的延长线于点，则，，，连结，延长交于点，延长交于点，则，，由求出的长即可．
此题重点考查两条平行线间的距离处处相等、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】解：

；


 

【解析】先去绝对值、化简二次根式、计算零指数幂；然后计算加减法；
利用完全平方公式和平方差公式去括号；然后合并同类项．
本题主要考查了平方差公式，实数的运算，完全平方公式以及零指数幂．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

16.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
是的外角，
，
≌，
，
是的外角，
． 

【解析】由，得出，再利用“”即可证明≌；
由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
 

【解析】取格点，，连接，与交于点，连接，则即为所求．
取格点，连接，，则即为所求．
本题考查作图应用与设计作图、勾股定理、三角形的面积，能够学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：样本容量为：，
，，
补全频数分布直方图如下：

故答案为：；；
不认同，因为该校九年级学生的视力健康水平不具有代表性．
利用“频率”求出总数，进而得出、的值，再补全频数分布直方图即可；
根据抽样调查的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：设大果进价为每千克元，则中果进价为每千克元，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的根，
此时，
答：大果进价为每千克元，则中果进价为每千克元；
设该经销店再次购进大果千克，中果千克，
投入的资金不超过元，
，
解得，
该店将千克大果和千克中果以进价回馈给老人后大果剩余千克，中果剩余千克，
设这批瓯柑能全部售出，获得的利润为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，最大值，最大值为，
，
解得． 

【解析】设大果进价为每千克元，则中果进价为每千克元，根据经销店购进的“大果”，“中果”的重量相等列出方程，解方程即可；
设该经销店再次购进大果千克，中果千克，这批瓯柑能全部售出，获得的利润为元，根据投入的资金不超过元，求出的取值范围；该店将千克大果和千克中果以进价回馈给老人后大果剩余千克，中果剩余千克，再根据总利润两种瓯柑利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求的最值，并根据最大利润为元列出方程，解方程求出的值．
本题考查一次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
 

20.【答案】     

【解析】【特例发现】解：如图中，当点与重合时，是等边三角形，此时．
故答案为：，；

【探究证明】证明：如图中，过点作于点，于点．

四边形是菱形，
平分，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
【拓展运用】证明：如图中，
，，
，
，
定值．
解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，连接交于点．

，，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
≌，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
故答案为：．
【特例发现】如图中，当点与重合时，是等边三角形，此时．
【探究证明】如图中，过点作于点，于点利用全等三角形的性质证明即可；
【拓展运用】根据角的和差定义证明即可；
如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，连接交于点想办法证明，设，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．