高考数学一轮复习课时质量作业(三十七)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(三十七)含答案，共14页。
1．在空间直角坐标系中，AB＝(1，－1，0)，BC＝(－2，0，1)，平面α的一个法向量为m＝(－1，0，1)，则平面α与平面ABC夹角的正弦值为 ( )
A．336B．36
C．34D．134
A 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB=x－y=0，n·BC=－2x+z=0.取x＝1，则y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ABC的一个法向量．设平面α与平面ABC的夹角为θ，则cs θ＝|cs 〈m，n〉|＝m·nmn＝12×6＝36，sin θ＝1－cs2θ＝336，所以平面α与平面ABC夹角的正弦值为336.
2．(数学与文化)在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90˚，AB＝2，BC＝22，若直线CA1与直线AB所成角为60˚，则AA1＝( )
A．3B．2
C．22D．23
B 解析：如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，22，0)．设A1(2，0，z)(z>0)，则BA＝(2，0，0)，CA1＝(2，－22，z)，所以|cs〈BA，CA1〉|＝42×12+z2＝12，解得z＝2，故AA1＝2.
3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为( )
A．33B．63
C．13D．23
B 解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(0，2，1)，C(2，2，0)，
所以CE＝(0，－2，1)，CF＝(－2，0，1)．
设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)，
则CE·n=0，CF·n=0，所以－2y+z=0，－2x+z=0.
取x＝1，则y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ECF的一个法向量．
易知m＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．
设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ，
所以cs θ＝|cs 〈m，n〉|＝m·nmn＝21×6＝63，
所以平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为63.
4．(多选题)如图，三棱锥D­ABC的各棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是( )
A．OA，OB，OC的长度相等
B．直线OD与BC所成的角是45˚
C．直线AD与OB所成的角是45˚
D．直线OB与平面ACD所成的角的余弦值为33
AC 解析：因为三棱锥D­ABC的各棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，
所以OA＝OB＝OC＝2，故A正确．
如图，建立空间直角坐标系，
可得O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(2，2，2)，所以OB＝(0，2，0)，AC＝(－2，0，2)，AD＝(0，2，2)，OD＝(2，2，2)，BC＝(0，－2，2)．
因为OD·BC＝0，所以OD⊥BC，即直线OD与BC所成的角是90˚，故B不正确．
cs 〈AD，OB〉＝AD·OBADOB＝22，可得直线AD与OB所成的角是45˚，故C正确．
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AC=0，n·AD=0，所以－2x+2z=0，2y+2z=0.
取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)为平面ACD的一个法向量．
设直线OB与平面ACD所成的角为θ，
则sin θ＝|cs 〈OB，n〉|＝OB·nOBn＝22×3＝33，cs θ＝63，故D不正确．
5．如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E 三点共线．已知三棱锥P­ADE 四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面 ABCE，AB∥CD，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值为( )
A．34B．105
C．155D．255
C 解析：以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，C(2，2，0)，A(0，0，0)，E(2，－1，0)，
则有PC＝(2，2，－2)，AE＝(2，－1，0)，AP＝(0，0，2)．
设平面PAE的法向量n＝(x，y，z)，
则n·AE=0，n·AP=0，即2x－y=0，2z=0，
令x＝1，则y＝2，z＝0，即n＝(1，2，0)，
所以cs 〈PC，n〉＝PC·nPCn＝155.
所以直线PC与平面PAE所成角的正弦值为155.故选C．
6．在空间直角坐标系中，若A(1，－2，0)，B(2，1，6)，则向量AB与平面Oxz的法向量的夹角的正弦值为________．
74 解析：设平面Oxz的法向量为n＝(0，t，0)(t≠0)．由题意知AB＝(1，3，6)，所以cs 〈n，AB〉＝n·ABnAB＝3t4t.因为〈n，AB〉∈[0，π]，所以sin 〈n，AB〉＝1－3t4t2＝74.
7．若在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60˚，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________．
24 解析：设M为AC的中点，连接MB，MA1，如图，由题意知△ABC是等边三角形，
所以BM⊥AC，同理A1M⊥AC.
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.
因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，
所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，MA，MB，MA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，3)，C1(－2，0，3)，
所以AC1＝(－3，0，3)，A1B＝(0，3，－3)．
设异面直线AC1与A1B所成的角为θ，
则cs θ＝|cs 〈AC1，A1B〉|＝AC1·A1BAC1·A1B＝－323×6＝24，
故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为24.
8．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为________．
4 解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设DD1＝a(a＞0)，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，所以AC＝(－2，2，0)，AD1＝(－2，0，a)，CC1＝(0，0，a)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AC=0，n·AD1=0，所以－2x+2y=0，－2x+az=0.
取x＝1，则y＝1，z＝2a，所以n＝1，1，2a为平面ACD1的一个法向量，
故cs 〈n，CC1〉＝n·CC1nCC1＝22+4a2×a＝22a2+4.
因为直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，所以22a2+4＝13，解得a＝4(负值舍去)．
9．在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，AC＝22，PB⊥平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，MN＝6，Q为线段AB上的点(不包括端点A，B)．若异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434，则BQBA＝( )
A．14B．13
C．12D．34
A 解析：因为AB＝BC＝2，AC＝22，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC.因为PB⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PB⊥AB，PB⊥BC.以B为原点，BA，BC，BP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，A(2，0，0)，所以BM＝2.因为MN＝6，所以BN＝MN2－BM2＝2，所以PB＝4，则P(0，0，4)．
设BQBA＝λ，则BQ＝λBA(0