2024年吉林省长春市第108中学九上数学开学监测试题【含答案】

这是一份2024年吉林省长春市第108中学九上数学开学监测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．或
2、（4分）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥-1且x≠1B．x≥-1C．x≠1D．-1≤x＜1
3、（4分）有一把钥匙藏在如图所示的16块正方形瓷砖的某一块下面,则钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是( )
A．B．C．D．
4、（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x(a－b)＝ax－bxB．x2－1＝(x－1)(x＋1)
C．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2D．ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c
5、（4分）实数的绝对值是（ ）
A．B．C．D．1
6、（4分）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．如果，那么四边形是矩形．
C．如果平分，那么四边形是正方形．
D．如果且，那么四边形是菱形．
7、（4分）如图，正方形的边长为4，点是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接，，.在此运动过程中，下列结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④当时，，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
8、（4分）如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D，若CB=1，AB=2，则点D表示的实数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若关于的方程的解是负数，则的取值范围是_______．
10、（4分）若a=，b=，则=_______.
11、（4分）如图，在中，平分，，垂足为点，交于点，为的中点，连结，，，则的长为_____.
12、（4分）已知一组数据为1，10，6，4，7，4，则这组数据的中位数为________________．
13、（4分）如图所示,在矩形纸片ABCD中,点M为AD边的中点,将纸片沿BM,CM折叠,使点A落在A1处,点D落在D1处.若∠1=30°,则∠BMC的度数为____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．
15、（8分）化简求值：，其中；
16、（8分）已知：正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接EC，AG．
（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①根据题意，在图1中补全图形；
②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路．
（2）当点B，D，G在一条直线时，若AD＝4，DG＝，求CE的长．（可在备用图中画图）
17、（10分）张老师打算在小明和小白两位同学之间选一位同学参加数学竞赛，他收集了小明、小白近期10次数学考试成绩，并绘制了折线统计图(如图所示)
(1)根据折线统计图，张老师绘制了不完整的统计表，请你补充完整统计表；
(2)你认为张老师会选择哪位同学参加比赛？并说明你的理由
18、（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD⊥BC，垂足为点D，求BC的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）根据中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报，我国年农村贫困人口统计如图所示根据统计图中提供的信息，预估2018年年末全国农村贫困人口约为______万人，你的预估理由是______．
20、（4分）已知关于的方程的一个根是x=－1，则_______．
21、（4分）已知一组数据3、x、4、8、6，若该组数据的平均数是5，则x的值是______．
22、（4分）使分式 有意义的x的范围是 ________ 。
23、（4分）在平面直角坐标系中，点P(1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是________；
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（1）EF1=BE1+DF1．
25、（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣1，﹣3），C（3，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC．求△AOC的面积．
26、（12分）党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．
(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ；
(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率(卡片名称可用字母表示)．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
要使函数有意义，
则
所以，
故选A．
考点：函数自变量的取值范围．
2、A
【解析】
分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
详解：根据题意得到：，
解得x≥-1且x≠1，
故选A．
点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
3、C
【解析】
数出黑色瓷砖的数目和瓷砖总数，求出二者比值即可．
【详解】
解：根据题意分析可得：钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是黑色瓷砖面积与总面积的比值，进而转化为黑色瓷砖个
数与总数的比值即.
故选C．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
4、B
【解析】
根据因式分解的的定义即可完成本题。
【详解】
解：A选项没有写成因式积的形式，故A错；
B选项写成因式积的形式，故B正确；
C选项没有写成因式积的形式，故C错；
D选项没有写成因式积的形式，故D错；
故答案为B.
本题考查了因式分解，准确的理解因式分解的定义是解答本题的关键。
5、B
【解析】
解：|
故选B
6、C
【解析】
根据特殊的平行四边形的判定定理来作答．
【详解】
解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；
如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．
故选：C．
本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
7、D
【解析】
过O作于G，于，由正方形的性质得到，求得，，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；，推出，故②正确；得到四边形的面积正方形的面积，四边形的面积保持不变；故③正确；根据平行线的性质得到
，，求得，得到，于是得到，故④正确．
【详解】
解：过O作于G，于H，
∵四边形是正方形，
，
，，
∵点O是对角线BD的中点，
，，
，，
，
，，
∴四边形是正方形，
，
，
，
在与中，
，
，
，故①正确；，
，
，故②正确；
，
∴四边形的面积正方形的面积，
∴四边形的面积保持不变；故③正确；
，
，，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
8、B
【解析】
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示0，可得D点表示的数．
【详解】
解：
则AD=
∵A点表示0，
∴D点表示的数为：-
故选：B．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了实数与数轴．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、且
【解析】
把方程进行通分求出方程的解，再根据其解为负数，从而解出a的范围．
【详解】
把方程移项通分得，
解得x＝a−6，
∵方程的解是负数，
∴x＝a−6＜0，
∴a＜6，
当x＝−2时，2×（−2）＋a＝0，
∴a＝1，
∴a的取值范围是：a＜6且a≠1．
故答案为：a＜6且a≠1．
此题主要考查解方程和不等式，把方程和不等式联系起来，是一种常见的题型，比较简单．
10、
【解析】
先运用平方差公式把化为（a+b）（a-b），然后将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵=（a+b）（a-b），
∴=2×（-2）=.
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11、6.5
【解析】
由条件“BF平分∠ABC，AG⊥BF”可判定三角形ABG是等腰三角形(AB=GB)，再由条件“E为AC的中点”，可判定DE是三角形AGB的中位线，由此可得GC=2DE，进而可求出BC的长．
【详解】
∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，
∴△ABG是等腰三角形，
∴AB=GB=4cm，
∵BF平分∠ABC，
∴AD=DG，
∵E为AC的中点，
∴DE是△AGB的中位线，
∴DE=CG，
∴CG=2DE=5cm，
∴BC=BG+CG=4+2.5=6.5cm，
故答案为6.5
本题考查三角形的性质，解题关键在于判定三角形ABG是等腰三角形
12、5.
【解析】
将一组数据按照从小到大的顺序进行排列，排在中间位置上的数叫作这组数据的中位数，若这组数据的个数为偶数个，那么中间两位数的平均数就是这组数据的中位数，据此解答即可得到答案．
【详解】
解：将这组数据按从小到大的顺序排列是：1，4，4，6，7，10，位于最中是的两个数是4和6，因此中位数为（4+6）÷2=5.
故答案为5.
本题考查了中位数的含义及计算方法.
13、105°
【解析】
根据∠1=30°，得∠A1MA+∠DMD1=180°-30°=150°，根据折叠的性质，得∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC，从而求解．
【详解】
由折叠,可知∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC.
因为∠1=30°,
所以∠A1MA+∠DMD1=180°-30°=150°
所以∠AMB+∠DMC= ∠A1MA+∠DMD1= ×150°=75°,
所以∠BMC的度数为180°-75°=105°.
故答案为：105°
本题考查的是矩形的折叠问题，理解折叠后的角相等是关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；
（2）首先证明四边形ACDF是矩形，再证明CA=CD即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠BDE，
在△AEF与△BED中，
，
∴△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形；
（2）解：∵CD＝DB，AE＝BE，
∴DE∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠AFD＝∠FDB＝90°，
∴∠C＝∠CDF＝∠AFD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∵BC＝2AC，CD＝BD，
∴CA＝CD，
∴四边形ACDF是正方形．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
15、,-4
【解析】
首先通过约分和通分来达到简化分式的目的，然后将代入即可.
【详解】
原式
当时
原式
.
此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握，即可解题.
16、 (1) ①见解析；②AG＝CE，AG⊥CE，理由见解析；（2）CE的长为或
【解析】
（1）①根据题意补全图形即可；
②先判断出∠GDA=∠EDC，进而得出△AGD≌△CED，即可得出AG=CE，延长CE分别交AG、AD于点F、H，判断出∠AFH=∠HDC=90°即可得出结论；
（2）分两种情况，①当点G在线段BD的延长线上时，②当点G在线段BD上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①依题意，补全图形如图1：
②AG=CE，AG⊥CE．
理由：
在正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，
∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE，
∴∠GDA=∠EDC
在△AGD和△CED中，
，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．
如图2,延长CE分别交AG、AD于点F、H，
∵△AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90°，
∴AG⊥CE．
（2）①当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45°．
∵GM⊥AD，DG=
∴MD=MG=2，
∴AM=AD+DM=6
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，
同（1）可证△AGD≌△CED，
∴CE=AG=
②当点G在线段BD上时，如图4所示，
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD，DG=
∴MD=MG=2，
∴AM=AD-MD=2
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，
同（1）可证△AGD≌△CED，
∴CE=AG=．
故CE的长为或．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出△AGD≌△CED，解（2）的关键是构造直角三角形，是一道中考常考题．
17、 (1)90,90,100;85,145;(2) 选择小明同学,理由见解析.
【解析】
（1）先根据折线统计图得出两人的成绩，再根据众数、中位数、平均数和方差的定义计算可得；
（2）根据众数、中位数、平均数和方差的意义解答，合理即可得．
【详解】
.解：（1）小明同学的成绩为：70、70、80、80、90、90、90、90、90、100，
所以小明成绩的众数为90、中位数为90、最高分为100；
小白同学的成绩为：70、70、70、80、80、90、90、100、100、100，
所以小白同学成绩的平均数为 ＝85，
则方差为×[3×（70﹣85）2+2×（80﹣85）2+2×（90﹣85）2+3×（100﹣85）2]＝145，
补全表格如下：
（2）选择小明同学，
∵小明、小白的平均成绩相同，而小明成绩的方差较小，发挥比较稳定，
∴选择小明同学参加比赛．
此题主要考查了方差的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
18、1
【解析】
依据勾股定理，即可得到BD和CD的长，进而得出BC=BD+CD=1．
【详解】
∵AB=13，AC=20，AD=12，AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，BD===5，
Rt△ACD中，CD===16，
∴BC=BD+CD=5+16=1．
本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2=c2及其变形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1700 由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万．
【解析】
根据统计图可以得到得到各年相对去年减少的人数，从而可以预估2018年年末全国农村贫困人口约为多少万人，并说明理由．
【详解】
解：2018年年末全国农村贫困人口约为1700万人，
预估理由：由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万，
故答案为1700、由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万．
本题考查用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确条形统计图的特点，从中得到必要的解题信息．
20、
【解析】
试题分析：因为方程的一个根是x=－1，所以把x=－1代入方程得，所以，所以.
考点：一元二次方程的根.
21、1
【解析】
根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【详解】
解：由题意得：
解得：．
故答案为1．
此题考查算术平均数的意义和求法，掌握计算方法是解决问题的关键．
22、x≠1
【解析】
根据分式有意义的条件可求解.
【详解】
分母不为零，即x-1≠0，x≠1.
故答案是：x≠1.
考查了分式有意义的条件，（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
23、（-1，2）
【解析】
关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
【详解】
关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
故Q坐标为（-1，2）.
故答案为：（-1，2）.
此题考查的是关于y轴对称的两点坐标的特点，掌握两点关于坐标轴或原点对称坐标特点是解决此题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析.
【解析】
(1)、直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；
(1)、利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【详解】
(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，
∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ=∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线；
(1)、由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE=EF， 在Rt△QBE中，
QB1+BE1=QE1， 则EF1=BE1+DF1．
考点：(1)、旋转的性质；(1)、正方形的性质．
25、（1）y＝，y＝x﹣2；（2）1.
【解析】
（1）先把A点坐标代入y＝中求出m得到反比例函数的解析式是y＝，再确定C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先确定D（2，0），然后根据三角形面积公式，利用S△AOC＝S△OCD+S△AOD进行计算．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，﹣3）代入y＝得m＝﹣1×（﹣3）＝3，
则反比例函数的解析式是y＝，
当x＝3代入y＝＝1，则C的坐标是（3，1）；
把A（﹣1，﹣3），C（3，1）代入y＝kx+b得，解得，
所以一次函数的解析式是：y＝x﹣2；
（2）x＝0，x﹣2＝0，解得x＝2，则D（2，0），
所以S△AOC＝S△OCD+S△AOD＝×2×（1+3）＝1．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
26、（1）（2）
【解析】
（1）根据概率公式计算即可；（2）先画树状图得出所有可能的结果，然后根据概率公式计算即可．
【详解】
（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；
（2）画树状图：
共有12种情况，其中符合题意的有8种，
∴
简单事件的概率．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
项目
众数
中位数
平均数
方差
最高分
小明
85
85
小白
70，100
85
100
项目
众数
中位数
平均数
方差
最高分
小明
90
90
85
85
100
小白
70，100
85
85
145
100