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初中数学冀教版（2024）九年级上册27.3 反比例函数的应用教案设计
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这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册27.3 反比例函数的应用教案设计，共5页。教案主要包含了确定反比例函数表达式，借助性质解决问题等内容，欢迎下载使用。
1.经历“问题情境—建立反比例函数模型—运用反比例函数模型解决实际问题”的过程,体会数学的价值,增强学好数学的信心.
2.能运用反比例函数模型解决某些实际问题,增强应用意识.
学习重点
用反比例函数模型解决简单的实际问题.
学习难点
将实际问题中变量间的反比例关系抽象为反比例函数,并能利用反比例函数的性质解决实际问题.
课时活动设计
回顾引入
一次函数学习流程:概念→图像→性质→应用
反比例函数学习流程:概念→图像→性质→应用
设计意图:学生思考,教师与学生共同回顾正比例函数、一次函数,指出这些函数在生活中都有广泛的应用,以引起学生对本节课的研究内容及研究方法的关注.进一步熟悉函数学习的基本过程和方法,点明研究的内容.
一起探究
完成下列问题,思考解决反比例函数实际问题的关键及需要注意的问题
气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的重量(kg),现有某种气体7 kg.
(1)某储气罐的容积为V(m3),将这7 kg的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ(kg/m3),写出用V表示ρ的函数表达式.
(2)当把这些气体装入容积为4 m3的储气罐中时,它的密度为多大?
(3)要使气体的密度ρ=2 kg/m3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中?
(4)把这些气体装入容积不超过2 m3的容器中,气体的密度ρ在什么范围内?
(5)若气体的密度ρ不高于7 kg/m3,把这些气体装入容积在什么范围内的容器中?
(气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的质量(kg))
解:(1)用V表示ρ的函数表达式为ρ=7V.
(2)当V=4 m3时,ρ=7V=74=1.75(kg/m3).
(3)当ρ=2 kg/m3时,2=7V,解得V=3.5(m3).
(4)当V≤2 m3时,7V≥3.5,解得ρ≥3.5(kg/m3).
(5)当ρ≤7 kg/m3时,7V≤7,解得V≥1(m3).
设计意图:教师提出问题,学生分小组讨论、交流,领会实际问题的意义,体会变量之间的依存关系,引导启发学生建立反比例函数模型.从生活中提炼数学,展示反比例函数在实际生活中的应用情况,激发学生的求知欲和浓厚的数学兴趣.
自主探究
变式1 气体的密度和容器体积有如下关系:
求出用V表示ρ的函数表达式.
解:设用V表示ρ的函数表达式为:ρ=mV.当V=1,ρ=7时,解得m=7,则用V表示ρ的函数表达式为:ρ=7V.
设计意图:列表法是一种直观且易于理解的求解反比例函数的表达式的方法.通过列出x和y的对应值,学生能够更加直观地看到x和y之间的关系,从而更深刻地理解反比例函数的概念和性质,使用列表法求解反比例函数表达式的过程中,学生需要独立思考、分析问题,并找出解决问题的策略.这样的过程可以锻炼学生解决问题的能力,并培养他们的逻辑思维能力.
巩固练习
变式2 容器体积和气体密度的函数图像如图所示,过A(2,3.5),B(m,1)两点.
(1)求出用V表示ρ的函数表达式;
(2)求m的值,并解释m的实际意义.
解:(1)用V表示ρ的函数表达式为ρ=7V.
(2)m=7,实际意义:当容器体积为7 m3时,气体密度为1 kg/m3
设计意图:让学生独立思考,自主探索,从实际问题中抽象出数学问题,通过寻找变量之间的关系,建立反比例函数模型.体验反比例函数是有效描述现实世界的重要手段.例题、变式1和变式2分别以文字描述、表格、图像三种不同的角度来确定反比例函数表达式.
拓展提升
例 制作一种产品,需先将材料加热到60℃后,再进行操作.设该材料温度为y(℃),从加热开始计算时间x(分钟).据了解,该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图),已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5分钟后温度达到60℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数表达式;
(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多长时间?
(3)该种材料温度维持在40℃以上(包括40℃)的时间有多长?
解:(1)当0≤x≤5时,设函数的表达式是y=kx+b,则b=15,5k+b=60,解得b=15,k=9.
则材料加热时,函数的表达式是y=9x+15(0≤x≤5).
当x>5时,设函数的表达式是y=mx,则m=5×60=300.∴则停止加热时函数的表达式是y=300x(x>5).
(2)把y=15代入y=300x,得15=300x,解得x=20;经检验,x=20是原分式方程的解.
若当材料的温度低于15℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了20分钟.
(3)把y=40代入y=9x+15得x=259;把y=40代入300x得x=152.
所以该材料温度维持在40℃以上(包括40℃)的时间为152-259=8518(分钟).
设计意图:本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的表达式.利用反比例函数解决实际问题中有关温度的问题,使学生体验运用新知、独自解决问题的快乐.
课堂小结
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和解决问题的过程与方法,巩固对反比例函数的性质的认识,进一步提高应用反比例函数解决实际问题的能力.
课堂8分钟.
1.教材第140页习题A组第1,2题,第141页习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
27.3 反比例函数的应用
一、确定反比例函数表达式
二、借助性质解决问题
教学反思
体积V
1
2
4
5
7
密度ρ
7
3.5
1.75
1.4
1
1.经历“问题情境—建立反比例函数模型—运用反比例函数模型解决实际问题”的过程,体会数学的价值,增强学好数学的信心.
2.能运用反比例函数模型解决某些实际问题,增强应用意识.
学习重点
用反比例函数模型解决简单的实际问题.
学习难点
将实际问题中变量间的反比例关系抽象为反比例函数,并能利用反比例函数的性质解决实际问题.
课时活动设计
回顾引入
一次函数学习流程:概念→图像→性质→应用
反比例函数学习流程:概念→图像→性质→应用
设计意图:学生思考,教师与学生共同回顾正比例函数、一次函数,指出这些函数在生活中都有广泛的应用,以引起学生对本节课的研究内容及研究方法的关注.进一步熟悉函数学习的基本过程和方法,点明研究的内容.
一起探究
完成下列问题,思考解决反比例函数实际问题的关键及需要注意的问题
气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的重量(kg),现有某种气体7 kg.
(1)某储气罐的容积为V(m3),将这7 kg的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ(kg/m3),写出用V表示ρ的函数表达式.
(2)当把这些气体装入容积为4 m3的储气罐中时,它的密度为多大?
(3)要使气体的密度ρ=2 kg/m3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中?
(4)把这些气体装入容积不超过2 m3的容器中,气体的密度ρ在什么范围内?
(5)若气体的密度ρ不高于7 kg/m3,把这些气体装入容积在什么范围内的容器中?
(气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的质量(kg))
解:(1)用V表示ρ的函数表达式为ρ=7V.
(2)当V=4 m3时,ρ=7V=74=1.75(kg/m3).
(3)当ρ=2 kg/m3时,2=7V,解得V=3.5(m3).
(4)当V≤2 m3时,7V≥3.5,解得ρ≥3.5(kg/m3).
(5)当ρ≤7 kg/m3时,7V≤7,解得V≥1(m3).
设计意图:教师提出问题,学生分小组讨论、交流,领会实际问题的意义,体会变量之间的依存关系,引导启发学生建立反比例函数模型.从生活中提炼数学,展示反比例函数在实际生活中的应用情况,激发学生的求知欲和浓厚的数学兴趣.
自主探究
变式1 气体的密度和容器体积有如下关系:
求出用V表示ρ的函数表达式.
解:设用V表示ρ的函数表达式为:ρ=mV.当V=1,ρ=7时,解得m=7,则用V表示ρ的函数表达式为:ρ=7V.
设计意图:列表法是一种直观且易于理解的求解反比例函数的表达式的方法.通过列出x和y的对应值,学生能够更加直观地看到x和y之间的关系,从而更深刻地理解反比例函数的概念和性质,使用列表法求解反比例函数表达式的过程中,学生需要独立思考、分析问题,并找出解决问题的策略.这样的过程可以锻炼学生解决问题的能力,并培养他们的逻辑思维能力.
巩固练习
变式2 容器体积和气体密度的函数图像如图所示,过A(2,3.5),B(m,1)两点.
(1)求出用V表示ρ的函数表达式;
(2)求m的值,并解释m的实际意义.
解:(1)用V表示ρ的函数表达式为ρ=7V.
(2)m=7,实际意义:当容器体积为7 m3时,气体密度为1 kg/m3
设计意图:让学生独立思考,自主探索,从实际问题中抽象出数学问题,通过寻找变量之间的关系,建立反比例函数模型.体验反比例函数是有效描述现实世界的重要手段.例题、变式1和变式2分别以文字描述、表格、图像三种不同的角度来确定反比例函数表达式.
拓展提升
例 制作一种产品,需先将材料加热到60℃后,再进行操作.设该材料温度为y(℃),从加热开始计算时间x(分钟).据了解,该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图),已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5分钟后温度达到60℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数表达式;
(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多长时间?
(3)该种材料温度维持在40℃以上(包括40℃)的时间有多长?
解:(1)当0≤x≤5时,设函数的表达式是y=kx+b,则b=15,5k+b=60,解得b=15,k=9.
则材料加热时,函数的表达式是y=9x+15(0≤x≤5).
当x>5时,设函数的表达式是y=mx,则m=5×60=300.∴则停止加热时函数的表达式是y=300x(x>5).
(2)把y=15代入y=300x,得15=300x,解得x=20;经检验,x=20是原分式方程的解.
若当材料的温度低于15℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了20分钟.
(3)把y=40代入y=9x+15得x=259;把y=40代入300x得x=152.
所以该材料温度维持在40℃以上(包括40℃)的时间为152-259=8518(分钟).
设计意图:本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的表达式.利用反比例函数解决实际问题中有关温度的问题,使学生体验运用新知、独自解决问题的快乐.
课堂小结
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和解决问题的过程与方法,巩固对反比例函数的性质的认识,进一步提高应用反比例函数解决实际问题的能力.
课堂8分钟.
1.教材第140页习题A组第1,2题,第141页习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
27.3 反比例函数的应用
一、确定反比例函数表达式
二、借助性质解决问题
教学反思
体积V
1
2
4
5
7
密度ρ
7
3.5
1.75
1.4
1
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