初中冀教版（2024）26.1 锐角三角函数教学设计

这是一份初中冀教版（2024）26.1 锐角三角函数教学设计，共9页。教案主要包含了复习.，正弦，特殊三角函数值.，三角函数的概念.等内容，欢迎下载使用。

课时目标
1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系,会求直角三角形中某个锐角的正切值,知道30°,45°,60°角的正切值.
2.让学生经历操作、观察、思考、求解等过程,感受数形结合的数学思想方法,培养学生理性思维习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
3.引导学生体验数学活动中的探索与发现,并使之能积极参与数学学习活动,学会用数学的思维方式思考、发现、总结、验证.
学习重点
正确认识、理解正切的概念,会根据边长求出正切值.
学习难点
引导学生比较、分析并得出:在直角三角形中,对任意锐角,它的对边与邻边的比值是确定的事实.
课时活动设计
回顾旧知
1.函数的概念及函数的表示方法.
2.列举我们已经学习过的函数.(如一次函数、反比例函数)
设计意图:“正切”是一种三角函数,自然应遵循函数的研究方式,在设计中首先带领学生一起回顾函数的概念与函数的表示方法,并说出已经学过的函数类型,这样做的意图是再现旧知,激起尘封的记忆,利用已知的经验探究新知.
情境引入
汽车免不了爬坡,爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢?
设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,提问能激发学生学习兴趣,同时也点明了本节课的主旨,方便学生抓住重点.
新知探究
见教材第104页“观察与思考”,学生独立完成然后交流.
解:1.∵在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A',
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.∴BCB'C'=ACA'C'.∴BCAC=B'C'A'C'.
2.∵BC⊥AF,B'C'⊥AF,∴BC∥B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.∴ACA'C'=BCB'C'.∴BCAC=B'C'A'C'.
归纳:在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与∠A的邻边的比值总是唯一确定的.
总结正切的概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c.∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tan A.
tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab.
设计意图:让学生经历合作探究过程,通过操作、观察、发现、归纳,得出结论,培养学生的动手能力和抽象概括的能力.再通过提问环节,让学生主动参与到本节课的学习中来,让学生将定义形成符号语言和文字语言,归纳总结,内化为自己的知识,达成学习目标.
上面的结论告诉我们,锐角和锐角的对边与邻边的比的关系:锐角固定,锐角的对边与邻边的比也固定.如果锐角变化了呢?这个比值会怎样呢?(几何画板演示)
请同学们带着问题:“在Rt△ABC中,只要锐角A的大小不变,无论这个直角三角形的大小如何,锐角A的对边与邻边的比值总是一个固定值,当锐角A取其他值时,锐角A的对边与邻边的比值还是一个固定值吗?”
观察几何画板的演示:当∠A变化时,BCAC随之改变.
∠A的对边与∠A的邻边的比(即BCAC)随∠A的变化而变化,并且对于∠A的每一个值,BCAC都有唯一确定的值与之对应.你认为BCAC与∠A这两个变量之间是一种什么关系?
设计意图:借助几何画板,从运动的角度来实施动态化、形象化、直观化教学,进行图形的动画演示、验证,揭示了∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A这两个变量之间的函数关系.从而确信正切概念建立的科学性.几何画板为学生分散、突破难点提供了较好的素材.给验证结果下准确结论,并结合图形进行准确地符号表达.
大家谈谈
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)∠B的对边和邻边分别是哪两条边,tan B等于多少?
(2)tan A与tan B之间有怎样的关系?
解:(1)∠B的对边为AC,邻边为BC,tan B=ACBC;
(2)tan A·tan B=1.
tan A与tan B互为倒数,即tan A·tan B=1.
设计意图:通过计算,让学生发现直角三角形中两锐角的正切值互为倒数.
典例精讲
例 在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)如图1,∠A=30°,求tan A,tan B的值.
(2)如图2,∠A=45°,求tan A的值.
分析:根据三角形内角和得到角的度数,再根据直角三角形的性质求出边长,即可求出锐角的三角函数值.
解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴∠B=60°,且a=12c.
∴b=c2-a2=c2-(c2)2=32c.
∴tan A=tan 30°=ab=12c÷32c=33,tan B=tan 60°=ba=32c÷12c=3.
(2)在Rt△ABC中,∵∠A=45°,∴a=b.
∴tan A=tan 45°=ab=1.
教师总结,得到特殊角的正切值:tan 30°=33,tan 45°=1,tan 60°=3.
设计意图:熟悉巩固正切的概念及应用,同时进行特殊三角函数值的求解.
课堂8分钟.
1.教材第106页练习第1,2题,习题A组第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 正切
正切
tan A=∠A的对边∠A的邻边=BCAC=ab.
tan B=∠B的对边∠B的邻边=ACBC=ba.
tan A·tan B=1
教学反思

第2课时 正弦、余弦
课时目标
1.初步了解锐角三角函数的定义,理解锐角的正弦(sin A)以及余弦(cs A)的意义,能熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算,能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.让学生经历操作、观察、思考、求解等过程,感受数形结合的数学思想方法,培养学生理性思维习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
3.通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性,引导学生自主探索,合作交流,培养学生的创新意识.
学习重点
能正确地用直角三角形中两边的比表示sin A,cs A.
学习难点
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.
课时活动设计
复习回顾
1.在直角三角形中,如果一个锐角确定时,它的对边与邻边的比值有什么规律?
2.什么是正切?如何求一个角的正切?
3.含30°,45°的直角三角形有哪些性质?
4.你还记得30°,45°,60°角的正切值吗?
设计意图:通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究正弦,余弦的内容,为本节课作铺垫.
试着做做
如图,∠BAC为任意给定的一个锐角,B1,B2为射线AB上的任意两点,过点B1,B2分别作AC的垂线B1C1,B2C2,垂足分别为C1,C2.
试说明B1C1AB1与B2C2AB2,AC1AB1与AC2AB2分别相等.
设计意图:类比上节课探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”的方法,探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的”.学生通过合作探究,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为理解三角函数定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.
概念生成
在Rt△ABC中,∠C=90°.
锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值.
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=∠A的对边斜边=ac.
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(csine),记作cs A,即cs A=∠A的邻边斜边=bc.
设计意图:形成符号语言和文字语言的表现方式.归纳总结,让学生内化为自已的知识,为学生做题提供帮助,通过归纳还可以使学生明确本节课的内容,进而达到教学目标.
大家谈谈
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)∠B的正弦和余弦分别是哪两边的比值?
(2)由a解:(1)∠B的正弦是ACAB=bc,∠B的余弦是BCAB=ac.
(2)sin A<1,cs A<1,sin2 A+cs2 A=1.
设计意图:根据所学内容,引导学生全面思考问题以及提高分析推理能力.
做一做
让学生画含有30°,45°,60°角的直角三角形,分别求它们的正弦、余弦和正切.
设计意图:学生通过画图,根据特殊直角三角形三边之间的关系及三角函数的定义,计算完成特殊角的三角函数值的推导,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,提高学生分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
例 求下列各式的值:
(1)2sin 30°+3tan 30°-tan 45°;(2)(sin 45°)2+tan 60°sin 60°.
解:(1)2sin 30°+3tan 30°-tan 45°=2×12+3×33-1=3.
(2)(sin 45°)2+tan 60°sin 60°=(22)2+3×32=12+32=2.
设计意图:三角函数值是数值,可以和数一样进行运算,加深学生对三角函数的理解.
课堂小结
思考:(1)当锐角α的大小变化时,sin α,cs α,tan α是否变化?
(2)对于锐角α的每一个确定的值,sin α,cs α和tan α是否有唯一的值和它对应?
(3)sin α,cs α和tan α是不是α的函数?
归纳:我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数.
为方便起见,今后将(sin α)2,(cs α)2,(tan α)2分别记作sin2 α,cs2 α,tan2 α.
设计意图:培养学生用函数的观点理解正弦、余弦、正切,给学生足够的空间来思考问题,分析问题.
课堂8分钟.
1.教材第108,109页习题A组第1,3题,B组第3题.
2.七彩作业.
第2课时 正弦、余弦
一、复习.
二、正弦、余弦定义.
三、特殊三角函数值.
四、三角函数的概念.
教学反思
α
30°
45°
60°
sin α
12
22
32
cs α
32
22
12
tan α
33
1
3