初中数学冀教版九年级上册26.1 锐角三角函数教案设计

26.1锐角三角函数（1）

教学目标

【知识与能力】

1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值,引出正切的概念.

2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算.

3.会计算特殊角的正切值.

【过程与方法】

1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系.

2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力.

【情感态度价值观】

1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.

2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐.

教学重难点

【教学重点】

　理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值.

【教学难点】  

理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件展示】　如图所示,小明在距旗杆4.5m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50°;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18°.旗杆的高约为多少米?

【师生活动】　教师展示章前页问题情境并简单说明,学生观察图示,教师引出本章课题.

[导入语]　通过测量仰角、俯角及小明与旗杆的距离,应用以前学过的数学知识,我们还不能求出旗杆的高度.通过本章的学习,你将能够解决这个问题.

导入二:

复习提问:

1.直角三角形有哪些特殊性质?

2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?

3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?

【师生活动】　学生思考回答,教师点评.

导入三:

【课件展示】　如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)

教师提问:

该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?

(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtΔABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC长度的问题)

【师生活动】　教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评.

　　[过渡语]　解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角函数,今天我们学习第一种锐角三角函数——锐角的正切.

[设计意图]　通过章前页问题情境提出如何求得旗杆高度,让学生认识到本章将要学习的主要内容,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入三中把实际问题转化为数学问题,让学生初步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系.

二、新知构建：

共同探究　直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值

【课件展示】

如图所示,在RtΔABC中和RtΔA'B'C'中,∠C=∠C'=90°.当∠A=∠A'时,与具有怎样的关系?

思路一

教师引导思考:

(1)如何证明线段成比例?

(三角形相似)

(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?

(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴RtΔABC∽RtΔA'B'C')

(3)由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗?

∵RtΔABC∽RtΔA'B'C',∴,即

(4)你能用语言叙述这个结论吗?

(当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关)

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评.

思路二

教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进行分析指导,对学生的展示进行点评.

解:.

理由:∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,

∴RtΔABC∽RtΔA'B'C'.

∴,即.

追问:你能用语言叙述这个结论吗?

【师生活动】　学生尝试叙述结论,教师归纳完整.

结论:当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关.

　　[过渡语]　在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等的,在下图中,上述结论是否还正确呢?

【课件展示】

如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'.与具有怎样的关系?

【师生活动】　学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现问题,及时帮助解决问题.

追问:根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论?

【师生活动】　学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论.

【课件展示】　在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的RtΔABC的两条直角边的比是确定的.

[设计意图]　通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时,它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交流的能力.

形成概念

　　[过渡语]　在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与邻边的比是固定值,那么这个固定值被定义为什么呢?

【课件展示】　如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=.

大家谈谈:

(1)∠A的正切tanA表示的是tan 与A的乘积还是一个整体?

(tanA表示的是一个整体)

(2)当∠A的大小变化时,tanA是否变化?

(tanA随着∠A的大小变化而变化)

(3)tanA有单位吗?

(tanA是一个比值,没有单位)

(4)∠B的正切怎么表示?tanA与tanB之间有怎样的关系?

(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?

(需要知道这个锐角的对边和邻边)

(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?

(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)

【师生活动】　学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评.

[设计意图]　在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切的概念、写法和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握.

例题讲解

　(教材105页例1)在RtΔABC中,∠C=90°.

(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB的值.

(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tanA的值.

【师生活动】　学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤.

解:(1)在RtΔABC中,

∵∠A=30°,

∴∠B=60°,且a=c.

∴b==c.

∴tanA=tan30°=c÷c=,

tanB=tan60°=c÷c=.

(2)在RtΔABC中,

∵∠A=45°,

∴a=b.

∴tanA=tan45°==1.

这样,就得到tan30°=,tan45°=1,tan60°=.

[设计意图]　学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用,为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.

[知识拓展]　

1.正切是一个比值,没有单位.

2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.

3.tanA是一个整体符号,不能写成tan ·A.

4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC.

5.tan2A表示(tanA)2,而不能写成tanA2.

三、课堂小结：

1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比值是一个固定值.

2.正切的定义:在RtΔABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=.