09 思维拓展(三)　数学运算之解析几何设点、设线问题 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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1.解:(1)由题意知,p=2,∴y2=4x.
(2)由(1)知,抛物线C:y2=4x,F(1,0),设点Q的坐标为(m,n),直线OQ的斜率为k,则QF=(1-m,-n),∴PQ=9QF=(9-9m,-9n),∴点P的坐标为(10m-9,10n),
将点P的坐标代入抛物线的方程得100n2=40m-36,
整理得m=100n2+3640=25n2+910,当n≤0时,k=nm=10n25n2+9≤0;当n>0时,k=nm=10n25n2+9=1025n+9n≤13,当且仅当25n=9n,即n=35时,等号成立.
故直线OQ的斜率的最大值为13.
2.解:(1)由题设得4a2+1b2=1,a2-b2a2=12,解得a2=6,b2=3.所以椭圆C的方程为x26+y23=1.
(2)证明:
方法一:设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,
于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2.①
由AM⊥AN知AM·AN=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0,将①代入上式可得(k2+1)2m2-61+2k2-(km-k-2)4km1+2k2+(m-1)2+4=0,整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1,于是MN的方程为y=kx-23-13(k≠1),所以直线MN过点P23,-13.
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).
由AM·AN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0,又x126+y123=1,所以3x12-8x1+4=0,解得x1=2(舍去)或x1=23.此时直线MN过点P23,-13.
令Q为AP的中点,即Q43,13.
若D与P不重合,连接DP,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=12|AP|=223.
若D与P重合,则|DQ|=12|AP|=223.
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(进群送往届全部资料)综上,存在点Q43,13,使得|DQ|为定值.
方法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线AM的斜率存在且不为0时,依题意知kAM·kAN=y1-1x1-2·y2-1x2-2=-1,
因为y2-1x2-2·y2+1x2+2=-b2a2=-12,所以y1-1x1-2·x2+2y2+1=2,整理得x2y1-2x1y2=x2+2x1-4y2-2y1-2,
同理得x1y2-2x2y1=x1+2x2-4y1-2y2-2,两式相减可得x2y1-x1y2=23(y1-y2)-13(x2-x1),即-13-y1(x1-x2)=23-x1(y1-y2),即直线MN恒过定点H23,-13,连接AH,又AD⊥MN,所以点D在以AH为直径的圆上,线段AH的中点43,13即为圆心Q.
经检验,当直线AM的斜率不存在或为0时上述结论也成立.
故存在Q43,13,使得|DQ|=12|AH|=223,为定值.
方法三:由题意,设直线AM的方程为y=k(x-2)+1(k≠0,1),代入椭圆方程,可得(2k2+1)x2+(4k-8k2)x+8k2-8k-4=0.因为xA=2,所以xM=4k2-4k-22k2+1,
所以yM=-2k2-4k+12k2+1.因为AM⊥AN,所以将-1k代替上面的k,可得xN=-2k2+4k+4k2+2,yN=k2+4k-2k2+2,
所以kMN=yM-yNxM-xN=-k2-3k+1(k-2)(2k+1)(k≠2),所以直线MN的方程为y-k2+4k-2k2+2=-k2-3k+1(k-2)(2k+1)x--2k2+4k+4k2+2,即y=-k2-3k+1(k-2)(2k+1)x-23-13,所以直线MN恒过定点H23,-13,连接AH,
又AD⊥MN,所以点D在以AH为直径的圆上,线段AH的中点43,13即为圆心Q.
经检验,当k=0或k=2或直线AM的斜率不存在时上述结论也成立.
故存在Q43,13,使得|DQ|=12|AH|=223,为定值.