06 第44讲　空间向量及其运算和空间位置关系 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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1.空间向量及其有关概念
2.两个向量的数量积
(1)a·b= (θ为a,b的夹角).
(2)a⊥b⇔ (a,b为非零向量).
(3)|a|2= ;设a=(x,y,z),则|a|=x2+y2+z2.
3.空间向量投影
(1)向量在向量上的投影向量
如图①所示,在空间,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c= ,向量c称为向量a在向量b上的 .
(2)向量在直线上的投影向量
如图②所示,类似于向量向向量投影,可以将向量a向直线l投影.
(3)向量在平面上的投影向量
如图③所示,向量a向平面β投影,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量A'B',向量 称为向量a在平面β上的投影向量.
4.向量的坐标运算
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
常用结论
1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为x1+x22,y1+y22.
2.在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.
题组一 常识题
1.[教材改编] 若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则下列各组向量中,能构成空间向量的一个基底的共有 个 .
①a,a+b,a-b;②b,a+b,a-b;
③c,a+b,a-b;④a+b,a-b,a+2b.
2.[教材改编] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则BM= (用向量a,b,c表示).
3.[教材改编] 已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m= .
题组二 常错题
◆索引:忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错;忽视向量夹角与其余弦值的对应关系.
4.给出下列命题:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;
④若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0.
其中为真命题的是 .(填序号)
5.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为 .
空间向量的线性运算
例1 (多选题)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设AB=a,AD=b,AA1=c,则下列选项正确的为( )

A.AP=12(a+b+c)
B.AM=12(a+2b+c)
C.AN=12a+b+c
D.AQ=15a+25b+35c
总结反思
在向量的线性运算中,有以下几个关键点:
(1)结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱(线段)的几何关系;
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;
(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立.
变式题 [2023·上海复旦附中模拟] 在三棱锥O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且OM=23OA,BN=NC,则MN=( )
A.12a-23b+12c
B.12a+12b-12c
C.-23a+23b+12c
D.-23a+12b+12c
共线、共面向量定理的应用
例2 (1)在四面体OABC中,空间中的一点M满足OM=14OA+16OB+λOC,若MA,MB,MC共面,则λ=( )
A.12B.13
C.512D.712
(2)设e1,e2是两个不共线的空间向量,若AB=2e1-e2,BC=3e1+3e2,CD=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为 .
总结反思
(1)证明空间三点P,A,B共线的方法:
①PA=λPB(λ∈R);
②对空间任意一点O,OP=OA+tAB(t∈R);
③对空间任意一点O,OP=xOA+yOB(x+y=1).
(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法:
①MP=xMA+yMB;
②对空间任意一点O,OP=OM+xMA+yMB;
③对空间任意一点O(O,M,A,B不共面),OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);
④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).
变式题 如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).判断向量MN是否与向量AB,AA1共面.



空间向量数量积及应用
例3 (1)[2023·江苏淮安模拟] 在四面体ABCD中,AB=3,BC=4,CD=5,DA=6,则AC·BD的值为( )
A.7B.9C.11D.13
(2)在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,则直线AM和直线CN的夹角的余弦值为( )
A.23B.34C.12D.23
总结反思
空间向量数量积的3个应用
变式题 如图所示, 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.
(1)求证:BD⊥CA1;
(2)求线段CA1的长.


利用空间向量证明平行与垂直
例4 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:
(1)BE⊥DC;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面PCD⊥平面PAD.

总结反思
(1)利用向量证明平行问题
①线线平行:方向向量平行.
②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直.
③面面平行:两平面的法向量平行.
(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
变式题 [2023·重庆八中月考] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,
∠ABC=60°,三角形PAB为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD,E,M分别为AB,PD的中点.
(1)求证:PB∥平面ACM.名称
语言描述
共线向量
(平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线
直线l的
方向向量
在直线l上任取 ,与向量a 的非零向量
共面向量
平行于 的向量
共线向量
定理
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在实数λ,使
共面向量
定理
若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
空间向量
基本定理
(1)定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= .
(2)推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OP=xOA+yOB+zOC,若x+y+z= ,则P,A,B,C四点共面
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和
a+b=
向量差
a-b=
数量积
a·b=
共线
a∥b⇒ (λ∈R,b≠0)
垂直
a⊥b⇔
距离公式
已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=
夹角公式
cs=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m=0
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0
求夹角
设向量a,b的夹角为θ,则cs θ=a·b|a||b|,进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
线线垂直问题
证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零
线面垂直问题
直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问题
两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直
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(进群送往届全部资料)(2)在棱CD上是否存在点G,使得平面GAM⊥平面ABCD?若存在,请求出CGCD的值;若不存在,请说明理由.