04 第50讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份04 第50讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共9页。试卷主要包含了直线被圆截得的弦长，若直线l等内容，欢迎下载使用。

1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
2.圆与圆的位置关系
设圆O1,圆O2的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2r2-d2.
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+k2·(xM+xN)2-4xMxN.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.特别地,过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点P(x0,y0)向圆作切线,经过两个切点的直线方程为x0x+y0y+D·x+x02+E·y+y02+F=0.
特别地,过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,则公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),其中不含圆C2的方程,所以注意检验圆C2的方程是否满足题意,以防丢解.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知点A(3,6)是圆x2+y2=r2上的一点,则过点A的圆的切线方程是 .
2.[教材改编] 已知直线l:3x+y-6=0与圆C:x2+y2-2y-4=0,则直线l被圆C截得的弦长为 .
3.[教材改编] 圆x2+y2-6y+8=0与圆x2+y2-4=0的位置关系是 ,这两个圆有
条公切线.
4.[教材改编] 圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视直线斜率不存在的情形;忽视变量范围.
5.若圆x2+y2=1与圆(x-2)2+(y-a)2=25相切,则a= .
6.若直线过点P(3,1)且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为 .
7.若直线l:y=kx+3-k与曲线C:y=1-x2恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .
直线与圆的位置关系
例1 (1)已知直线l:(m2+m+1)x+(3-2m)y-2m2-5=0,圆C:x2+y2-2x=0,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交D.不确定
(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为 .
总结反思
判断直线与圆的位置关系的常用方法:
(1)若易求出圆心到直线的距离d,则用几何法,利用d与半径r的大小关系判断.
(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.
变式题 (1)已知直线l:y=kx-k+2和圆M:x2+y2-2x=0满足对直线l上任意一点P,在圆M上存在点Q,使得PQ·MQ=0,则实数k的取值范围是( )
A.{k|k≥3}B.{k|-3≤k≤3}
C.{k|k≥23}D.{k|-23≤k≤23}
(2)(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(3)已知直线l过点A(a,0)且斜率为1,若圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则实数a的值为 .
圆的弦长与切线问题
角度1 圆的弦长
例2 (1)已知直线l:mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.45B.2
C.4D.25
(2)[2022·天津卷] 若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m= .
总结反思
直线被圆截得的弦长的求法:
(1)几何法:利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+l22,整理出弦长公式为l=2r2-d2.
(2)代数法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长.
(3)弦长公式法:设直线l:y=kx+b与圆的交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得到弦长l=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2].
变式题 (1)已知圆M的方程为x2+y2-6x-8y=0,过点P(0,4)的直线l与圆M相交的所有弦中,弦长最短的弦为AC,弦长最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.30 B.40C.60 D.80
(2)已知直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,则k= .
角度2 圆的切线方程
例3 (1)[2023·武汉模拟] 已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4,则过原点且与圆C相切的直线方程为 .
(2)过点P(2,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 .
总结反思
求圆的切线方程时常用的两种方法:
(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.
(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数,解决问题.
变式题 (1)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0,0),若圆C上存在两点A,B使得∠APB=π3,则实数x0的取值范围是( )
A.[-3,1]B.[-1,3]
C.[-2,3]D.[-2,4]
(2)已知圆C:x2+(y-2)2=16关于直线ax+by-12=0对称,动点P在直线y+b=0上,过点P引圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,直线MN恒过定点Q,则点Q的坐标为( )
A.(1,1)B.(-1,1)
C.(0,0)D.(0,12)
角度3 与圆的切线有关的最值问题
例4 (1)已知圆O:x2+y2=4,过直线l:2x+y=10上的一点P作圆O的一条切线,切点为M,则|PM|的最小值为( )
A.4B.5
C.7D.22
(2)[2023·葫芦岛一模] 设P为直线3x+4y+3=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为 .
总结反思
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,再利用求函数取值范围(或最值)的方法求得结果.
变式题 (1)(多选题)已知圆M:(x+cs θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,下列四个说法正确的是( )
A.对任意实数k和θ,直线和圆相切
B.对任意实数k和θ,直线和圆有公共点
C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线与圆相离
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线与圆相切
(2)已知直线kx-y+2k=0与直线x+ky-2=0相交于点P,点A(4,0),O为坐标原点,则tan∠OAP的最大值为( )
A.2-3B.33
C.1D.3
圆与圆的位置关系
例5 (1)(多选题)[2023·忻州一模] 已知圆O1:(x-1)2+y2=4,圆O2:(x-5)2+y2=4m,则下列说法正确的是( )
A.若m=4,则圆O1与圆O2相交
B.若m=4,则圆O1与圆O2外离
C.若直线x-y=0与圆O2相交,则m>258
D.若直线x-y=0与圆O1相交于M,N两点,则|MN|=142
(2)已知点P在圆O:x2+y2=4上,点A(-3,0),B(0,4),则满足AP⊥BP的点P的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
总结反思
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
(3)求两圆公共弦长时,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长l2,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ 0
Δ 0
Δ 0
几何观点
d r
d r
d r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
数量的
关系





公切线
条数
4
3
2
1
0
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变式题 (1)(多选题)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是( )
A.C1与C2的公切线恰有4条
B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0
C.C1与C2相交弦的弦长为125
D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12
(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .