黑龙江省齐齐哈尔市衡齐高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

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分值：150 时间：120分钟
一、单选题（每题5分，40分）
1．直线经过两点，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（ ）
A．2400B．1520C．1530D．2410
3．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ）
A．10，12B．10，14C．4，3D．6，3
4．现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）
A．B．C．6D．12
5．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，记为点间的距离，当变化时，的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．4
7．已知焦点在x轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（ ）
A．3B．1C．D．4
二、多选题（每题6分。18分）
9．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角C为钝角B．
C．D．的最小值为
10．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
11．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ）
A．若，则点在棱上B．若，则点在线段上
C．若，为棱的中点D．若，则点在线段上
三、填空题（每题5分，15分）
12．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件．
13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为 ．
14．在空间直角坐标系中,已知,，点分别在轴,轴上.且,那么的最小值是 .
四、解答题
15．（13分）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
16．（15分）已知函数．
(1)若在上的最小值为，求的值；
(2)若函数恰有3个零点，求的取值范围．
17．（15分）已知椭圆过定点，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.
18．（17分）解决下列问题：
(1)一直线被两直线：，：截得线段的中点是，求此直线方程；
(2)过点的直线交轴、轴的正半轴于A、B两点，求使：面积最小时的方程．
19．（17分）某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个．
(1)求n和乙样本直方图中a的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率．