2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列{an}中，a1=−14，an=1−1an−1(n≥2)，则a2023的值为( )
A. −14B. 45C. 5D. 54
2.已知等差数列{an}满足a3+a7=32，a6−a4=6，则a1=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
3.已知直线过点(1,2)，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线l的方程为( )
A. 2x−y=0B. 2x+y−4=0
C. 2x−y=0或x+2y−2=0D. 2x−y=0或2x+y−4=0
4.已知圆C1：x2+y2+4x−2y−4=0，圆C2：x2+y2+3x−3y−1=0，则这两圆的公共弦长为( )
A. 2 3B. 2 2C. 2D. 1
5.已知方程y2m−3+x22−m=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,2)B. (2,52)C. (3,+∞)D. (52,3)
6.若直线y=x+b与曲线x= 1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是( )
A. [− 2, 2]B. [−1, 2]C. (−1.1]∪{ 2}D. (−1,1]∪{− 2}
7.设m∈R，圆M：x2+y2−2x−6y=0.若动直线l1：x+my−2−m=0与圆M交于点A，C，动直线l2：mx−y−2m+1=0与圆M交于点B，D，则|AC|+|BD|的最大值是( )
A. 30 3B. 2 30C. 20 3D. 3 30
8.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理，小明在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆(图1)，光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO的轴截面APB是等边三角形，椭圆O1所在平面为α，PB⊥α，则椭圆O1的离心率为( )
A. 32
B. 63
C. 22
D. 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S9=S100C. S80)位于第一象限上的一点，F1，F2是C的两个焦点，∠F1PF2=2π3，点Q在∠F1PF2的平分线上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b，则下列结论正确的是( )
A. △PF1F2的面积为 3b2B. C的离心率为 55
C. 点P到x轴的距离为 3b2D. |OM|=2 5b5
12.已知F1，F2是椭圆x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和双曲线x2a22−y2b22=1(a2>b2>0)的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则以下结论正确的是( )
A. b12=3b22B. a12−b12=a22−b22
C. e12+e22的最小值为1+ 32D. 14e12+14e22=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=10，S20=30，则S40= ______．
14.已知直线l1：mx+3y−1=0，l2：2x+(m−1)y+1=0，若l1//l2，则实数m= ______．
15.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且倾斜角为60°的直线与椭圆C交于A，B两点，若|AB|=3|F1B|，则椭圆C的离心率为______．
16.已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，若C上存在三点P1，P2，P3，且F为△P1P2P3的重心，则△P1P2P3三边中线长之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，Sn最大，并求出Sn的最大值．
18.(本小题12分)
已知圆C的圆心在直线x+y−2=0上，且经过点A(4,0)，B(2,2)．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点P(4,3)且与圆C相切，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为(−4,2)，∠ACB的角平分线所在的直线方程为x−y+1=0，AC边上中线BM所在的直线方程为2x+y−2=0．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线BC的方程．
20.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支(且不在坐标轴上)，
(1)若双曲线C与椭圆x24+y2=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q(2,1)，求该双曲线的标准方程；
(2)若b=1，∠F1PF2=π3，求△F1PF2的面积．
21.(本小题12分)
已知动点M(x,y)到直线x=−3的距离比它到定点(2,0)的距离多1，记M的轨迹为Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)若过点D(4,4)的直线l与Γ相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．
22.(本小题12分)
已知A(−2,0)，B(2,0)，直线AM，BM交于点M，且直线AM，BM的斜率之积为−14，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)不过点N(0,1)的直线l与C交于P，Q两点，且直线PN与QN的斜率之和为2，试问直线l是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.A
6.D
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.ACD
12.AC
13.100
14.3
15.23
16.92
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a2=a1+d=11S10=10a1+45d=40，
解得a1=13，d=−2，
∴数列{an}的通项公式为an=13−2(n−1)，
即an=−2n+15．
(2)由(1)得Sn=(13−2n+15)n2=−n2+14n，
由二次函数的性质得：
当n=7时，Sn最大，且最大值为49．
18.解：(1)因为圆心C在直线x+y−2=0上，所以设圆C的圆心C(a,2−a)，半径为r(r>0)，
所以圆的方程为(x−a)2+(y+a−2)2=r2．
因为圆C经过点A(4,0)，B(2,2)，
所以(4−a)2+(0+a−2)2=r2，(2−a)2+(2+a−2)2=r2．
解得a=2，r=2，所以圆C的方程为(x−2)2+y2=4；
(2)直线斜率存在时，设直线l的方程为y−3=k(x−4)，即kx−y+3−4k=0，
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离d=|2k+3−4k| 1+k2=2，解得k=512，此时直线l的方程为5x−12y+16=0；
直线斜率不存在时，则直线l的方程为x=4，此时圆心到直线的距离d=2，符合题意，
综上：直线l的方程为x=4或5x−12y+16=0．
19.(1)解：由题意可知点C在直线x−y+1=0上，设C(m,m+1)，
则AC中点M(m−42,m+32)，
又点M(m−42,m+32)在直线2x+y−2=0上，
可得m−4+m+32−2=0，解得m=3，
可得C(3,4)；
(2)解：由(1)可知C(3,4)，又A(−4,2)，
设直线BC的方程为：x+ny−3−4n=0，
则直线AC的方程为：2x−7y+22=0，
又∠ACB的角平分线所在的直线方程为x−y+1=0，
在直线x−y+1=0取点P(0,1)，

则点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，
即有15 53=|3+3n| 1+n2，整理得14n2+53n+14=0，
解得：n=−72或n=−27，
当n=−72时，所求方程即为直线AC的方程，
可得n=−27，
所求直线BC的方程为：7x−2y−13=0．
20.解：(1)双曲线C与椭圆x24+y2=1有共同的焦点，可得c= 3，双曲线C过点Q(2,1)，
可得4a2−1b2=1，a2+b2=3，解得a= 2，b=1，
双曲线的标准方程为：x22−y2=1．
(2)设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得m−n=2a，
在△F1PF2中，由余弦定理，得4c2=m2+n2−2mncs60°=(m−n)2+mn=4a2+mn，
可得mn=4b2，
则△F1PF2的面积S=12mnsinπ3= 3b2= 3．
21.解：(1)因为动点M(x,y)到直线x=−3的距离比它到定点(2,0)的距离多1，
所以动点M(x,y)到直线x=−2的距离等于它到定点(2,0)的距离，
则动点M(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点，x=−2为准线的抛物线，
故Γ的方程为y2=8x；
(2)设直线l的方程为x=t(y−4)+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=t(y−4)+4y2=8x，消去x并整理得y2−8ty+32t−32=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=32t−32，
因为OA⊥OB，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2
=y128⋅y228+y1y2=y1y2(y1y264+1)=0，
解得y1y2=0或y1y2=−64，
则t=±1．
当t=1时，直线l的方程为x−y=0，不符合题意；
当t=−1时，直线l的方程x+y−8=0，符合题意．
故直线l的方程为x+y−8=0．
22.解：(1)由A(−2,0)，B(2,0)，设M(x,y)，
可得kAM=yx+2(x≠−2)，kBM=yx−2(x≠2)，
由题意，得kAM⋅kBM=yx+2⋅yx−2=−14，
整理得x24+y2=1(x≠±2)，
所以曲线C的方程为x24+y2=1(x≠±2)；
(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
当直线l斜率不存在时，x1=x2，y1=−y2，
由直线PN与QN的斜率之和为2，
可得y1−1x1+y2−1x2=y1−1x1+−y1−1x1=−2x1=2，所以x1=−1，
此时直线l：x=−1，恒过定点(−1,−1)；
当l斜率存在时，设l：y=kx+m(m≠1)，
由y=kx+mx24+y2=1，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0，
则Δ=(8km)2−4(4k2+1)(4m2−4)>0，即4k2−m2+1>0，
x1+x2=−8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1，
因为直线PN与QN的斜率之和为2，
所以y1−1x1+y2−1x2=2，
即(kx1+m−1)x2+(kx2+m−1)x1x1x2=2k+(m−1)(x1+x2)x1x2=2k−(m−1)⋅2kmm2−1=2，
即m2−km+k−1=0，整理得(m−1)(m+1−k)=0，
因为m≠1，所以m=k−1，
故直线l方程为y=kx+k−1=k(x+1)−1，恒过定点(−1,−1)；
综上，直线l过定点(−1,−1)．