2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市桃李高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市桃李高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别为13，25，12，现3人各投篮1次，是否投进互不影响，则3人都投进的概率为( )
A. 115B. 215C. 15D. 110
2.已知集合A={x|1−x≥0}，集合B={x|y=lg(3x−1)}，则A∩B=( )
A. (0,1]B. (0,13)C. (13,1]D. (13,+∞)
3.青岛二中戏剧节中，6个MT除人文MT有两个节目参加决赛外，其他MT各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为( )
A. 121B. 2021C. 17D. 57
4.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是( )
A. 0
B. 14
C. 64
D. 22
5.已知复数z满足z+iz−2i=2−i，则z−=( )
A. −72−32iB. −72+32iC. −32−72iD. −32+72i
6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2
D. 若A=60°，a=2，则△ABC面积的最大值为 3
7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sinC−sinBsinB=acsBbcsA，则A=( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
8.已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是( )
A. 若 m⊥n，n⊂α，则 m⊥αB. 若 m⊥α，n⊥α，则 m//n
C. 若 m//n，n//α，则 m//αD. 若 m//α，m⊥n，则 n⊥α
9.在等腰直角△ABC中，C=π2，AB=3 2，D是AC的中点，若点P为线段AB的三等分点，则DP⋅CP的值可能为( )
A. 1B. 2C. 52D. 72
10.高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为100分，最低分为20分，现将每个学生的原始分数x按y=ax+b(a,b为常数，a>0)进行转换，y是转换后的分数，转换后，全班最高分为100分，最低分为60分，则下列结论正确的是( )
A. 转换后分数的众数的个数不变
B. 转换后分数的标准差是原始分数标准差的0.5倍
C. 转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数
D. 转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数
11.已知A，B是两个随机事件，且0A. 若A,B相互独立，PBA=PBB. 若事件A⊆B，则PBA=1
C. 若A,B是对立事件，则PBA=1D. 若A,B是互斥事件，则PBA=0
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2(1+i)2=______．
13.棱长都是3的三棱锥的高等于______．
14.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|等于 ．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）用4π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y．
(1)建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米．
16.（15分）已知向量a,b满足a=(1,−2),|b|= 10．
(1)若(2a+b)⊥b，求a与b的夹角；
(2)若a与b共线，求b的坐标．
17.（15分）在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6.设内角A=x，△ABC的周长为y．
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
18.（17分）某高校为了解即将毕业的男大学生的身体状况，检测了960名男大学生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3．
(1)求这960名男大学生中，体重小于60kg的男大学生的人数；
(2)从体重在60～70kg范围的男大学生中用分层抽样的方法选取6名，再从这6名男大学生中随机选取2名，记“至少有一名男大学生体重大于65kg”为事件A，求事件A发生的概率．
19.（17分）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°．
(1)求AC1的长；
(2)证明：AC1⊥BD．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.A
6.ABD
7.C
8.B
9.BD
10.ABC
11.ABD
12.−i
13. 6
14.2 3
15.解：(1)根据题意，因为圆锥的表面积πx2+πxy=4π，∴y=4−x2x，
∵x∴x<4−x2x，解得0即y=4−x2x，x∈(0, 2)．
(2)圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为ℎ，
则y=2x，tanπ3=ℎx= 3，
∴ℎ= 3x，
由(1)知y=4−x2x，即2x=4−x2x，
解得x=2 3,ℎ= 3x=2，
∴V=13πx2ℎ=13π×43×2=8π9m3．
16.解：(1)a=(1,−2)，
则|a|= 1+4= 5，
设a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
(2a+b)⊥b，|b|= 10，
则(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2× 5× 10×csθ+10=0，解得csθ=− 22，
故θ=3π4；
(2)a与b共线，a=(1,−2)，
则b=(λ,−2λ)，
|b|= 10，
故λ2+(−2λ)2=10，解得λ=± 2，
故b=( 2,−2 2)或(− 2,2 2)．
17.解(1)∵角A、B、C成等差数列∴2B=A+C
又A+B+C=π∴B=π3由A>0，C>0，得0由正弦定理得：BCsinA=ABsinC=ACsinB=6sinπ3=4 3
∴BC=4 3sinx,AB=4 3sin(23π−x)
∴y=4 3sin(23π−x)+4 3sinx+6(0(2)y=4 3( 32csx+12sinx)+4 3sinx+6
=6 3sinx+6csx+6=12( 32sinx+12csx)+6
=12sin(x+π6)+6∵0∴π6∴当x+π6=π2，即x=π3时，ymax=18
18.解：(1)根据直方图中各个矩形的面积之和为1，第4和第5组的频率和为(0.0375+0.0125)×5=0.25，
可知前3个小组的频率之和为1−0.25=0.75，
∵从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，
∴则前2组的频率为0.75×36=0.375，
故体重小于60kg的高三男生人数为960×0.375=360，
(2)60～65的学生数是0.375×960=360人，
65～70的学生数是0.0375×5×960=180人，
从体重在60～70kg范围的男大学生中用分层抽样的方法选取6名，
故60～65中抽出4名，65～70中抽出2名，
再从这6名男大学生中随机选取2名，共C62=15种方法，
至少有一名男大学生体重大于65kg有C41C21+C22=9种，
∴P(A)=915=35．
19.解：(1)∵|AC1|2=(AC+CC1)2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB⋅AD+2AB⋅AA1+2AD⋅AA1=
a2+a2+b2+2a2cs 90°+2abcs 120°+2abcs 120°=2a2+b2−2ab，
∴AC1=|AC1|= 2a2+b2−2ab．
(2)∵AC1⋅BD=(AB+AD+AA1)⋅(AD−AB)=AB⋅AD+|AD|2+AA1⋅AD−|AB|2−AD⋅AB−AA1⋅AB=AA1⋅AD−AA1⋅AB=bacs120°−bacs120°=0，
∴AC1⊥BD，即AC1⊥BD．