2019-2020学年江苏省苏州市工业园区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省苏州市工业园区九年级上学期数学期末试题及答案，共22页。试卷主要包含了的值等于，方程x2=4的解是，618列式进行计算即可得解．等内容，欢迎下载使用。
1.的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解题即可．
【详解】解：cs60°=.
故选A.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值.
2.下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. 2x﹣3＝xB. 2x+3y＝5C. 2x﹣x2＝1D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
3.方程x2=4的解是（ ）
A. x=2B. x=﹣2C. x1=1，x2=4D. x1=2，x2=﹣2
【答案】D
【解析】
x2=4，
x=±2.
故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
4.如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
分析】
连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.
【详解】解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
【点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.
5.小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A. 12.36cmB. 13.6cmC. 32.386cmD. 7.64cm
【答案】A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金比例的应用，掌握黄金比例的比值是解题的关键．
6.已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A. -2B. 2C. -3D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】设另一根为m，则
1•m=2，解得m=2．
故选B．
【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2= ．要求熟练运用此公式解题．
7.下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是y轴
C. 有最低点D. 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x)2+，
∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝，故选项B错误；
当x＝时取得最大值，该函数有最高点，故选项C错误；
在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
8.如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
设OB＝a，则OA＝2a，
则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
9.若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A. c＝0B. c＝1C. c＝0或c＝1D. c＝0或c＝﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．
10.如图所示的网格是正方形网格，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，
连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，
∵，BC＝2，AD＝，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∴CE＝，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题(共8小题)
11.若，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据比例的性质得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴a＝b，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的运算，掌握比例的基本性质是解题的关键．
12.如图，为正五边形的一条对角线，则∠=_____________．
【答案】36°
【解析】
360°÷5=72°，180°-72°=108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°，
即可知∠A=108°，又知△ABE是等腰三角形，则∠ABE=（180°-108°）=36°．
13.一个圆锥的母线长为5cm，底面圆半径为3 cm，则这个圆锥的侧面积是____ cm²．（结果保留）．
【答案】15π
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm2
故答案为：15π．
【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
14.如图，扇形OAB的圆心角为110°，C是上一点，则∠C＝_____°．
【答案】125
【解析】
【分析】
作所对的圆周角∠ADB，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠AOB＝55°，然后利用圆内接四边形的性质计算∠C的度数．
【详解】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∴∠ADB＝∠AOB＝×110°＝55°，
∵∠ADB+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣55°＝125°．
故答案为125．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．
15.超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
将创新能力，综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是__________分．
【答案】
【解析】
【详解】解：5+3+2=10.
,
故答案为:77.
16.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，则y1_____y2．(填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】>
【解析】
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1 和y2的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵该函数经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝_____cm．
【答案】2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
【详解】解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝(5﹣x)cm
以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当AD：PB＝PA：BC时，
，
解得x＝2或3．
②当AD：BC＝PA+PB时，，解得x＝3，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．
故答案为2或3．
【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
18.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB+AD＝8cm．当BD取得最小值时，AC的最大值为_____cm．
【答案】
【解析】
【分析】
设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．则AC为直径时最长，则最大值为4．
【详解】解：设AB＝x，则AD＝8﹣x，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD2＝x2+(8﹣x)2＝2(x﹣4)2+32．
∴当x＝4时，BD取得最小值为4．
∵A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．如图，
∴AC为直径时取得最大值．
AC的最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
三．解答题(共10小题)
19.计算：．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：原式＝1﹣4××()2
＝1﹣
＝﹣．
【点睛】本题考查了三角函数值的运算，掌握特殊角三角函数值和实数混合运算法则是解题的关键．
20.解方程：2(x-3)=3x(x-3)．
【答案】.
【解析】
【分析】
先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案.
【详解】，
移项得：，
整理得：，
或，
解得：或．
【点睛】本题考查了解一元一次方程-因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键.
21.受全国生猪产能下降的影响，猪肉价格持续上涨，某超市猪肉8月份平均价格为25元/斤，10月份平均价格为36元/斤，求该超市猪肉价格平均每月增长的百分率．
【答案】20%．
【解析】
【分析】
等量关系为：8月初猪肉价格×(1+增长率)2＝10月的猪肉价格．
【详解】解：设8、9两个月猪肉价格的月平均增长率为x．
根据题意，得25(1+x)2＝36，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(舍去)．
答：该超市猪肉价格平均每月增长的百分率是20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
22.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析：（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案.
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，
∴抽取1名，恰好是甲的概率为：.
（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，
∴抽取2名，甲在其中的概率为：.
考点：概率.
23.某班级组织了“我和我的祖国”演讲比赛，甲、乙两队各有10人参加本次比赛，成绩如下(10分制)
（1）甲队成绩的众数是 分，乙队成绩的中位数是 分．
（2）计算乙队成绩的平均数和方差．
（3）已知甲队成绩的方差是1分2，则成绩较为整齐的是 队．
【答案】（1）10，9.5；（2）平均数=9，方差=1.4；（3）甲．
【解析】
【分析】
（1）根据众数、中位数的意义求出结果即可；
（2）根据平均数、方差计算方法进行计算即可；
（3）根据甲队、乙队的方差比较得出结论．
【详解】（1）甲队成绩中出现次数最多的是10分，因此众数是10，乙队成绩从小到大排列后处在第5、6两个数的平均数为＝9.5，因此中位数为9.5，
故答案为：10，9.5；
（2）乙队的平均数为：，
＝[(7﹣9)2×2+(8﹣9)2+(10﹣9)2×5]＝1.4，
∵1＜1.4，
∴甲队比较整齐，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了统计的问题，掌握众数、中位数的意义、平均数、方差的计算方法是解题的关键．
24.已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0；
（1）若该方程没有实数根，求m的取值范围．
（2）怎样平移函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象，可以得到函数y＝mx2的图象？
【答案】（1）m＜0；（2）向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；
（2）先将函数y＝mx2+2mx+m﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y＝mx2．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，
∴ ，
解得，m＜0，
即m的取值范围是m＜0；
（2）∵函数y＝mx2+2mx+m﹣4＝m(x+1)2﹣4，
∴函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx2的图象．
【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握根的判别式、一元二次方程的性质以及图象是解题的关键．
25.如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
【答案】450米．
【解析】
【分析】
过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．
【详解】解：过A作AE⊥CD垂足E，设AE＝x米，
在Rt△ABE中，tan∠B＝，
∴BE＝＝x，
在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，
∴CE＝＝x，
∵BC＝BE﹣CE，
∴x﹣x＝150，
解得：x＝450．
答：小岛A到公路BD的距离为450米．
【点睛】本题考查了三角函数和一元一次方程的问题，掌握特殊三角函数值和解一元一次方程的方法是解题的关键．
26.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD与BC相交于点E．连接BD，作∠BDF＝∠BAD，DF与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF∥BC，求证：AD平分∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）如图，连结OD，只需推知OD⊥DF即可证得结论；
（2）根据平行线的性质得到∠FDB＝∠CBD，由圆周角的性质可得∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，即AD平分∠BAC；
（3）由勾股定理可求AD的长，通过△BDE∽△ADB，可得，可求DE＝，AE＝，由锐角三角函数可求CE的长．
【详解】（1）连接OD，CD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠BDF＝∠BAD，
∴∠BDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠CBD，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，
∴AD平分∠BAC；
（3）∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝，
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAD
∴
∴
∴CE＝
【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握平行线的性质、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
27.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交于点C(0，)．
（1）求该函数的表达式；
（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；
①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为 ；
②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．
【答案】（1）；（2）①(2，)；②点E(2，)．
【解析】
【分析】
（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，故﹣5a＝，解得：a＝﹣，即可求解；
（2）①点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，即可求解；
②t＝AE+DE，t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，即可求解．
【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，
故﹣5a＝，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，
由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，
故答案为：(2，)；
②t＝AE+DE，
过点D作直线DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于点H，则HE＝DE，
t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，
则直线A(E)H的倾斜角为：30°，
直线AH的表达式为：y＝ (x+1)
当x＝2时，y＝，
故点E(2，)．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．
28.如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ cm，点Q的运动速度为 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
【答案】（1）30，6；（2）①；②≤t≤．
【解析】
【分析】
（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值；
②设AB，CD中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．
【详解】（1）设点Q的运动速度为a，
则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，
∵AP＝6t，
∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450，
∴a＝6，
∴AB＝5a＝30，
故答案为：30，6；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，
QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，
∵OF∥QC且点F是DC的中点，
∴OF＝QC，
即4t＝ (90﹣6t)，
解得，t＝；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，
如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，
∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，
∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，
∵QP＝QH，
∴150﹣20t＝30，
∴t＝；
如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，
∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，
PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，
∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，
∵QP＝QH，
∴20t﹣150＝30，
∴t＝，
综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤．
【点睛】本题考查了圆和一元一次方程的综合问题，掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
甲
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
乙
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10