2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法正确的是（ ）
A. 所有等边三角形都相似B. 有一个角相等的两个等腰三角形相似
C. 所有直角三角形都相似D. 所有矩形都相似
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．
【详解】解：A、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
B、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
C、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
D、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键．
2.袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是．
故选B．
【点睛】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3.抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【答案】D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
4.“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是 （ ）
A. 有三个实数根B. 有两个实数根C. 有一个实数根D. 无实数根
【答案】C
【解析】
试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
5.如图，AB，AM，BN 分别是⊙O 切线，切点分别为 P，M，N．若 MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，则⊙O 的半径是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可判断四边形ABNM为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函数可解出半径的值.
【详解】解：连接OP，OM，OA，OB，ON
∵AB，AM，BN 分别和⊙O 相切，
∴∠AMO=90°，∠APO=90°，
∵MN∥AB，∠A＝60°，
∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，
∴∠OMN=∠ONM=30°，
∵∠BNO=90°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABO=30°，
在△APO和△BPO中，
，
△APO≌△BPO（AAS），
∴AP=AB=3，
∴tan∠OAP=tan30°==，
∴OP=，即半径为.
故选D.
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.
6.如图，在正方形 ABCD 中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：
①∠BAE＝30°；
②射线FE是∠AFC的角平分线；
③CF＝CD；
④AF＝AB＋CF．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点E为BC中点和正方形的性质，得出∠BAE的正切值，从而判断①，再证明△ABE∽△ECF，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，可判断②③，过点E作AF的垂线于点G，再证明△ABE≌△AGE，△ECF≌△EGF，即可证明④.
【详解】解：∵E是BC的中点，
∴tan∠BAE=，
∴∠BAE30°，故①错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
△BAE和△CEF中，
，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∴BE=CE=2CF，
∵BE=CF=BC=CD，
即2CF=CD，
∴CF=CD，
故③错误；
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，
∴AE=a，EF=a，AF=5a，
∴，，
∴，
又∵∠B=∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，
∴∠AEB=∠AFE，∠BAE=∠EAG，
又∵∠AEB=∠EFC，
∴∠AFE=∠EFC，
∴射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
过点E作AF的垂线于点G，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AG=AB，GE=BE=CE，
在Rt△EFG和Rt△EFC中，
，
Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），
∴GF=CF，
∴AB+CF=AG+GF=AF，故④正确.
故选B.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7.方程x2＝2020x的解是_____．
【答案】x1＝0，x2＝2020．
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解可得．
【详解】移项得：x2﹣2020x＝0，
∴x（x﹣2020）＝0，
则x＝0或x﹣2020＝0，
解得x1＝0，x2＝2020，
故答案为：x1＝0，x2＝2020．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8.已知，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由可设a=k，b=3k，代入中即可.
【详解】解：∵，
∴设a=k，b=3k，代入中，
==.
故答案为：.
【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9.如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____．
【答案】1：16
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．
【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的面积比为1：16．
故答案是：1：16．
【点睛】考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
10.若长方形的长和宽分别是关于 x 的方程的两个根，则长方形的周长是_______．
【答案】6
【解析】
【分析】
设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得a+b=3，即可得到结论．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
根据题意得，a+b=3，
所以长方形的周长是2×（a+b）=6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=.
11.有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是_______.
【答案】小林
【解析】
【详解】观察图形可知，小林的成绩波动比较大，故小林是新手．
故答案是：小林．
12.已知两个二次函数的图像如图所示，那么 a1________a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】
【解析】
分析】
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
的开口小于的开口，
则a1＞a2，
故答案为：＞.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
13.如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱 洛三角形．若正三角形边长为 3 cm，则该莱洛三角形的周长为_______cm．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用弧长公式计算即可．
【详解】解：该莱洛三角形的周长=3×.
故答案为：.
【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．
14.如图，，，△A2B2B3 是全等的等边三角形，点 B，B1，B2，B3 在同一条 直线上，连接 A2B 交 AB1 于点 P，交 A1B1 于点 Q，则 PB1∶QB1 的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据A2B3=A2B2，得到PB1和QB1的比值.
【详解】解：∵△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，
∴∠BB1P=∠B3，∠A1B1 B2=∠A2B2B3，
∴PB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，
∴△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，
∴,,
∴，，
∵，
∴PB1∶QB1=A2B3∶A2 B2=2：3.
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
15.如图，圆形纸片⊙O半径为 5，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】解：如图，点A为上面小正方形边的中点，点B为小正方形与圆的交点，D为小正方形和大正方形重合边的中点，
由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD为等腰直角三角形，
∵⊙O半径为 5，根据垂径定理得：
∴OD=CD==5，
设小正方形的边长为x，则AB=，
则在直角△OAB中，
OA2+AB2=OB2，
即，
解得x=2，
∴四个小正方形的面积和=.
故答案为：16.
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
16.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．C是⊙O上一个动点．且不与A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，则α与β的关系是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】
分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】解：当点C在优弧AB上时，如图，
连接OA、OB、OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC=α-90°=∠OCA，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（α-90°）+2β=180°，
∴；
当点C在劣弧AB上时，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（90°-α）+2β=180°，
∴.
综上：α与β的关系是或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，即可求解；
【详解】解：
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的形式选择合适的方法求解.
18.如图，A，B，C是⊙O 上的点，AC＝BC，OD＝OE．求证：CD＝CE．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据AC＝BC，得出∠AOC=∠BOC，再根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【详解】解：证明：连接
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SAS）
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
19.小尧用“描点法”画二次函数的 图像，列表如下：
（1）由于粗心，小尧算错了其中的一个 y值，请你指出这个算错的y值所对应的 x ＝ ；
（2）在图中画出这个二次函数的图像；
（3）当 y≥5 时，x 的取值范围是 ．
【答案】（1）2；（2）详见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线x=-1，则x=-4与x=2时应取值相同．
（2）将表格中的x，y值看作点的坐标，分别在坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接即可作出这个二次函数的图象；
（3）根据抛物线的对称轴，开口方向，利用二次函数的对称性判断出x=-4或2时，y=5，然后写出y≥5时，x的取值范围即可．
【详解】解：（1）从表格可以看出，当x=-2或x=0时，y=-3，
可以判断（-2，-3），（0，-3）是抛物线上的两个对称点，
（-1，-4）就是顶点，设抛物线顶点式y=a（x+1）2-4，
把（0，-3）代入解析式，-3=a-4，解得a=1，
所以，抛物线解析式为y=（x+1）2-4，
当x=-4时，y=（-4+1）2-4=5，
当x=2时，y=（2+1）2-4=5≠-5，
所以这个错算的y值所对应的x=2；
（2）描点、连线，如图：
（3）∵函数开口向上，
当y=5时，x=-4或2，
∴当 y≥5 时，由图像可得：
x≤-4或x≥2.
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、画函数图像、二次函数与不等式，解题的关键是正确分析表中的数据．
20.甲、乙、丙三位同学在知识竞赛问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．求甲比乙先出场的概率．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意用列举法列出所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：甲、乙、丙三位同学采用抽签的方式决定出场顺序，所有可能出现的结果有：
（甲，乙，丙）、（甲、丙、乙）（乙，甲，丙）、（乙，丙，甲）（丙，甲，乙）、（丙，乙，甲）
共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲比乙先出场”（记为事件）的结果有3中，所以
【点睛】本题考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下：
（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是 次，众数是 次．
（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是 ．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）
（3）若该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
【答案】（1）10,10；（2）中位数和众数；（3）22000
【解析】
【分析】
（1）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解可得；
（2）由中位数和众数不受极端值影响可得答案；
（3）用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．
【详解】解：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是：（次），
根据使用次数可得：众数为10次；
（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数和众数；
（3）平均数为（次），
（次）
估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为22000次．
【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，牢记定义是关键．
22.小淇准备利用38m长的篱笆，在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园．围成的花园的形状是如图所示的矩形CDEF，矩形AEHG和矩形BFHG．若整个花园ABCD(AB＞BC)的面积是30m2，求HG的长．
【答案】长是
【解析】
【分析】
设的长为，将BC，AB表示出来，再利用整个花园面积为30 m2列出方程，解之即可.
【详解】解：设的长为，则，
由题意得，
解得，
∵
∴不合题意，舍去．
答：的长是.
【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．
23.如图，在△ABC 中，AB＝AC，M 为BC的中点，MH⊥AC，垂足为 H．
（1）求证：；
（2）若 AB＝AC＝10，BC＝12．求CH的长．
【答案】（1）详见解析；（2）3.2
【解析】
【分析】
（1）证明，利用线段比例关系可得；
（2）利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出AM的长，再由（1）中关系式可得AH长度，可得CH的长.
【详解】解：（1）证明：∵，为的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵，，M为的中点，
∴，
在中，，
由（1）得
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是利用相似三角形得到线段比例关系.
24.如图，已知矩形 ABCD．在线段 AD 上作一点 P，使∠DPC ＝∠BPC ．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
以为圆心，为半径画弧，以为直径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，利用全等三角形和角平分线的判定和性质可得．
【详解】解：如图，即为所作图形：∠DPC ＝∠BPC.
【点睛】本题是作图—复杂作图，作线段垂直平分线，涉及到角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度中等.
25.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 为 CO 的延长线上一点，且 AP ＝ AC．
（1）求证：AP 是⊙O 的切线；
（2）若 PB 为⊙O 的切线，求证：△ABC 是等边三角形．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OA，由等边三角形性质和圆周角定理可得∠AOC的度数，从而得到∠OCA，再由AP=AC得到∠PAC，从而算出∠PAO的度数；
（2由切线长定理得PA，PB，从而说明PO垂直平分AB，得到CB=CA，再根据∠ABC=60°，从而判定等边三角形.
【详解】解：（1）证明：连接．
又是半径，
是的切线．
（2）证明：连接
是的切线，
是的垂直平分线．
是等边三角形．
【点睛】本题考查了外接圆的性质，垂直平分线的判定和性质，切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，从而进行证明.
26.已知二次函数（m 为常数）．
（1）证明：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点；
（2）当 m 的值改变时，该函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离是否改变？若不变， 请求出距离；若改变，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）图像与轴两个公共点之间的距离为
【解析】
【分析】
（1）证明判别式△＞0即可证得；
（2）将二次函数表达式化简成交点式，得到函数与x轴交点，通过交点可以证明函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离为定值即可.
【详解】解：（1）证明：令, 得
∴ 此方程有两个不相等的实数根．
∴ 不论为何值，该函数的图像与轴总有两个公共点．
（2）
当时，
∴ 图像与轴两个公共点坐标为
∴ 图像与轴两个公共点之间的距离为.
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以利用判别式△的符号进行判断，还涉及到因式分解.
27.（如图 1，若抛物线 l1 的顶点 A 在抛物线 l2 上，抛物线 l2 的顶点 B 也在抛物线 l1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l1，l2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l3： 与y 轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l3 的“友好”抛物线 l4 的表达式，并指出 l3 与 l4 中y 同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y＝a1(x－m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y＝a2(x－h)2＋k， 写出 a1 与a2的关系式，并说明理由．
【答案】（1）；（2）的函数表达式为，；（3），理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，根据抛物线L3：得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）由（1）可知点D的坐标为（4，1），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得．
【详解】解：（1）∵抛物线l3：，
∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=0，则y=1，
∴C（0，1），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，1）；
（2）解：设的函数表达式为
由“友好”抛物线的定义，过点
的函数表达式为
与中同时随增大而增大的自变量的取值范围是
（3）
理由如下：
∵ 抛物线与抛物线互“友好”抛物线，
①+②得：
【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
－5
…
使用次数
0
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人数
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