2021-2022学年江苏省苏州市昆山市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省苏州市昆山市九年级上学期数学期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. y＝2x﹣1B. x2＝6C. 5xy﹣1＝1D. 2（x+1）＝2
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B．x2＝6是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的正弦值进行求解即可．
【详解】解：由题意知
故选D．
【点睛】本题考查了正弦．解题的关键在于明确直角三角形中角的正弦值等于对边与斜边的比值．
3. 已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A. 4cmB. 5cmC. 8cmD. 10cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．
【详解】解：∵点P在⊙O上，
∴OP＝r＝5cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
4. 九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
A. 7，7B. 19，8C. 10，7D. 7，8
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数．
【详解】解：数据7出现的次数最多，所以众数是7；
45个数据从小到大排列后，排在第23位的是7，故中位数是7．
故选：A．
【点睛】此题考查了众数的概念和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
5. 如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A. （0，0）B. （2，3）C. （5，2）D. （1，4）
【答案】C
【解析】
【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．
【详解】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
6. 已知二次函数y＝ax－2ax＋1（a＜0）图象上三点A(－1，y1)、B(2，y2)、C(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y2＜y1＜y3C. y1＜y3＜y2D. y3＜y1＜y2
【答案】D
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【详解】，
对称轴是直线，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线，
即在对称轴的右侧随的增大而减小，
A点关于直线的对称点是D（，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
7. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A 289（1﹣x）2＝256B. 256（1﹣x）2＝289
C. 289（1﹣2x）＝256D. 256（1﹣2x）＝289
【答案】A
【解析】
【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，由题意可列方程289（1﹣x）2＝256．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x）2
由题意得：289（1﹣x）2＝256
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
8. 如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头，的俯角分别为和，且，，在同一水平线上，已知桥米，则无人机的飞行高度（ ）
A. 15米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】由、可得出、，进而可得出、，再结合即可求出的长度．
【详解】解：，，
，，
，，
，
（米．
答：无人机的飞行高度为米．
故选：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E．连接OD，OE，若∠DOE＝130°，则∠A的度数为（ ）
A. 45°B. 40°C. 35°D. 25°
【答案】D
【解析】
【分析】连接DC，根据圆周角定理求出∠ACD＝∠EOD＝65°，根据圆周角定理求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
【详解】解：连接DC，
∵∠DOE＝130°，
∴∠ACD＝∠EOD＝65°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；直角三角形两锐角互余；熟记定理并应用是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB⊥x轴，A（﹣2，0），C（﹣4，1），二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B．将△ABC沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，使点A平移到点A′，然后绕点A'顺时针旋转90°，若此时点C的对应点C′恰好落在抛物线上，则m的值为（ ）
A. +1B. +3C. +2D. 2+1
【答案】C
【解析】
【分析】作CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，先根据已知条件求出点B坐标，由A、B、C三点坐标可得CD＝2，AD＝1．设点A（﹣2，0）向右平移m个单位后得点A'（m＞0），则点A'坐标为（m﹣2，0）．进而表示出点C'的坐标为（m﹣1，2），最后将C'坐标代入二次函数解析式中计算即可得到点C坐标．
【详解】解：作CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，
∵AB⊥x轴，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B，
∴点B（﹣2，5）
∵A（﹣2，0），C（﹣4，1），
∴CD＝2，AD＝1．
设点A（﹣2，0）向右平移m个单位后得点A'（m＞0），
则点A'坐标为（m﹣2，0）．
∵A'D'＝AD＝1，C'D'＝CD＝2，
∴点C'坐标为（m﹣1，2），又点C'在抛物线上，
∴把C'（m﹣1，2）代入y＝x2﹣2x﹣3中，
得：（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3＝2，
整理得：m2﹣4m﹣2＝0．
解得：m1＝2+，m2＝2﹣（舍去）．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特点，平移的性质，解一元二次方程，正确理解平移的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷相应的位置上.）
11. 抛物线的顶点坐标是_____________．
【答案】（0，1）
【解析】
【详解】试题解析：∵a=1，b=0，c=1.

将x=0代入得到y=1.
∴抛物线的顶点坐标为：(0,1).
故答案为(0,1).
12. 一只不透明的袋子中有若干个黑球和若干个白球，共15个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则白球的个数为 _____个．
【答案】
【解析】
【分析】设袋子内有n个白球，则有，计算求解即可．
【详解】解：设袋子内有n个白球，则有
解得n＝6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了概率．解题的关键在于正确的列方程．
13. 若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（用含π的结果表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥的高为4，底圆半径为3，
∴圆锥的母线长为5，
∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆锥侧面积计算公式，熟记勾股定理及圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
14. 已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣1）＞0，
解得：k＜2．
故答案为：k＜2
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15. 将抛物线y＝﹣（x+1）2+2先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝﹣（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y＝﹣（x+1﹣3）2+2﹣1，即y＝﹣（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+1．
【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
16. 如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠ACD，再利用三角形的外角可知∠CDB＝2α，然后在Rt△CDB中利用勾股定理先求出BD即可解答．
【详解】解：∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，
在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，
∵BC2+BD2＝CD2，
∴32+x2＝（5﹣x）2，
∴x＝1.6，
∴BD＝1.6，
∴tan∠CDB＝，
∴tan2α＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，掌握等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义解题关键．
17. 如图，抛物线y1=a（x-2）2+c分别与x轴、y轴交于A、C两点，点B在抛物线上，且BC平行于x轴，直线y2=x-1经过A、B两点，则关于x的不等式a（x-2）2+c+1＞x的解集是 _____．
【答案】或## x＞4或x＜1
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性求得B的横坐标，由直线的解析式求得A的坐标，然后根据图象写出抛物线在直线上方时的x的取值即可．
【详解】解：∵抛物线y1=a（x-2）2+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴B点的横坐标为4，
∵直线y2=x-1与x轴交于A点，
∴A（1，0），
由图象可知，关于x的不等式a（x-2）2+c+1＞x的解集是x＜1或x＞4，
故答案为：x＜1或x＞4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，求得A、B的横坐标是解题的关键．
18. 如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝_____．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，连接OE,设OD＝m,证明∠OCE＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，连接OE．设OD＝m．
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝90°，
∵∠COD＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
∴OC＝2OD＝2m，CD＝m，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝m，∠DCE＝60°，
∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2，
∴4m2+3m2＝42，
∴m＝（负根舍去），
∴CD＝m＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，请写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明，并把解答过程写在答题卷相应的位置上.）
19. 计算：sin60°﹣3tan30°+cs245°．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算特殊角的三角函数值代入、然后计算二次根式乘方，乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查含特殊三角函数值的混合运算，含二次根式乘方的混合运算，握熟记特殊角三角函数值，二次根式的运算法则是解题关键．
20. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】原式运用公式法求解即可得到答案．
【详解】解：
这里


∴，
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键．
21. 已知二次函数y＝x2+3mx+1﹣m的图象与x轴的一个交点为（2，0）．
（1）求m的值；
（2）求这个函数图象与x轴另一个交点的横坐标．
【答案】（1）；
（2）函数图象与x轴另一个交点横坐标为1
【解析】
【分析】（1）把（2，0）代入二次函数解析式即可求出m的值；
（2）根据（1）中m的值可以求出函数解析式，再令y=0，解方程即可，
【小问1详解】
∵二次函数y＝x2+3mx+1﹣m的图象与x轴的一个交点为（2，0），
∴4+6m+1﹣m＝0，
解得：m＝﹣1；
【小问2详解】
由（1）得：二次函数解析式为y＝x2﹣3x+2，
令y＝0，则x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴函数图象与x轴另一个交点的横坐标为1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键．
22. 为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，我市加大了预防诈骗的宣传工作，为了了解学生预防诈骗的意识情况，我市某中学在七年级随机抽取部分学生进行相关知识测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两辐不完整的统计图表．请根据图表中信息回答下列问题：
测试成绩统计表
测试成绩扇形统计图
（1）本次抽取调查的学生共有_____人，统计表中m的值为_____，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角度数为_____；
（2）已知该校七年级共有学生1200人，请你估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有多少人？
【答案】（1）50，19，28.8；
（2）该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有720人．
【解析】
【分析】（1）根据B组人数，求出总人数，再求出m的值即可，圆心角等于360°乘以百分比；
（2）根据总人数乘以“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生百分比求解．
【小问1详解】
本次抽查的学生有人
人
A等级的扇形圆心角为
故答案为：50，19，28.8；
【小问2详解】
人
答：该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有720人．
【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．
23. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．
（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是 ．
（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．
【答案】（1）；
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如图：
由图可知，共有16种等可能结果，小张和小李选择相同主题的结果有共4种，可知小张和小李选择相同主题的概率为
∴小张和小李选择相同主题的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率．解题的关键在于正确的列出所有情况．
24. 如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为，，．
（1）点D到的距离为_____；
（2）求点D到的距离．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）过点D作于F，则点D到的距离为DF的长度，根据题意得到，设，在中，，利用勾股定理即可求得答案；
（2）过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G，则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度，先证DF是BC的垂直平分线，又得，可证四边形GHBF是正方形，即可得到，设，则，在中，利用勾股定理得出，在中，再利用锐角三角函数得出长度，即点D到的距离．
【小问1详解】
解：过点D作于F
则点D到的距离为DF的长度
设
在中，
即点D到的距离为6cm
故答案为：6；
【小问2详解】
过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G
则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度
由（1）得
DF是BC的垂直平分线
四边形GHBF是正方形
设，则
在中，
在中，
所以，点D到的距离为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25. 某公司电商平台．在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数．已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140．
（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价为30（元/件）．
①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值．
【答案】（1）；
（2）①售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；②
【解析】
【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝50时，y＝200；x＝80时，y＝140，代入可得解析式．
（2）①根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣2x+300）（x﹣30），化成顶点式W＝﹣2（x﹣90）2+7200，顶点的纵坐标是有最大值．
②根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），其对称轴x＝90+＞60，0＜x≤75时，函数单调递增，只有x＝75时周销售利润最大，即可得m＝5．
【小问1详解】
解：设y＝kx+b，由题意有：，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+300；
【小问2详解】
解：①由（1）W＝（﹣2x+300）（x﹣30）＝﹣2x2+360x﹣9000＝﹣2（x﹣90）2+7200，
所以售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；
②由题意W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），
其对称轴x＝90+＞90，
∴0＜x≤75时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝75时周销售利润最大，
∴6000＝﹣2（75﹣150）（75﹣30﹣a），
∴a＝5．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式.
26. 如图，以AE为直径的⊙O交直线AB于A、B两点，点C在⊙O上，过点C作CD⊥AB于点D，连接AC，BC，CE，其中BC与AE交于点F，且AC平分∠DAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝1，AB＝8．
①求CD的长；
②求tan∠AFC的值．
【答案】（1）见解析；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠OCA＝∠OAC，根据角平分线得出∠OCA＝∠OAC＝∠DCA，推出，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）①由（1）知，∠OCD＝90°，推出∠OCE＝∠E＝∠B＝∠ACD，可得△ADC∽△CDB，得到AD：CD＝CD：BD，列得CD²＝AD•BD，即可求出 CD．
②过点C作CG⊥AE于点G，过点O作OH⊥BC于H，证△ADC∽△ACE，求出 AE，得到OAOC，证明△ACD≌△ACG（AAS），求出OH，再证△CFG∽△OFH，得到CG：OH＝CF：OF＝GF：FH，求出CG和GF的值，即可求出 tan∠AFC．
【小问1详解】
证明：连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴．
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
即 CD⊥OC，
∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：①由（1）知，∠OCD＝90°，
∴∠OCA+∠ACD＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA+∠OCE＝90°，
∴∠ACD＝∠OCE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠E，
∵∠E＝∠B，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴AD：CD＝CD：BD，
∴CD2＝AD•BD，
∵AD＝1，AB＝8，
∴BD＝AD+AB＝9，
∴CD2＝1×9＝9，
∴CD＝3．
②过点C作CG⊥AE于点G，过点O作OH⊥BC于H，
∵CD⊥AB，CD＝3，BD＝9，
∴BC＝3，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BC＝，
∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠ACD＝∠AEC，
∴△ADC∽△ACE，
∴AD：AC＝AC：AE，
∴AE＝，
∵CD⊥AB，AD＝1，CD＝3，
∴AC2＝10，
∴AE＝＝10，
∴OA＝AE＝5＝OC，
在△ACD和△ACG中，
∵∠ADC＝∠AGC＝90°，∠CAD＝∠CAG，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACG（AAS），
∴AG＝AD＝1，CG＝CD＝3，
∴OG＝OA﹣AG＝5﹣1＝4，
∵OH⊥BC，OC＝5，CH＝，
∴OH＝，
∵∠CFG＝∠OFH，∠CGF＝∠OHF＝90°，
∴△CFG∽△OFH，
∴CG：OH＝CF：OF＝GF：FH，
∴3：＝CF：（4﹣GF）＝GF：（﹣CF），
整理得，CF＝12﹣3GF，GF＝﹣3CF
解得GF＝，
∵CG⊥AE，CG＝3，GF＝，
∴tan∠AFC＝，
∴tan∠AFC的值为．
【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，求角的正切值，熟记各知识点并熟练运用是解题的关键．
27. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D是BC上方抛物线上的一点，过D作AC的平行线，交BC于点E．
（1）求△ABC的面积；
（2）连接CD，当CD∥x轴时，求△CDE的面积；
（3）求DE的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）先令x＝0求得点C的坐标，再令y＝0求得点A和点B的坐标，然后求得△ABC的面积；
（2）先由CD∥x轴求得点D的坐标得到线段CD的长度，然后结合DE∥AC得证△CDE∽△BAC，再利用相似三角形的性质得到△CDE的面积；
（3）过点D作DF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥DF于点H，然后由DE∥AC可知∠DEF的度数不变，由DF∥y轴可知∠EFD的度数不变，从而知道在点D的移动过程中△DEF的形状保持不变，即有当DF最大时，DE的长度也最大，然后设点D的坐标，进而得到点F的坐标，再表示出DF的长度，得到DF取最大值时的点D的坐标，即可得到直线DE的解析式，最后联立直线DE的解析式和直线BC的解析式求得点E的坐标，进而得到DE长的最大值．
【小问1详解】
解：当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），OC＝3，
当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，
解得：x＝﹣3或x＝6，
∴A（﹣3，0），B（6，0），
∴AB＝9，
∴S△ABC＝．
【小问2详解】
解：∵C（0，3），CD∥x轴，
∴D（3，3），∠DCE＝∠ABC，
∴CD＝3，
∵DE∥AC，
∴∠DEC＝∠ACB，
∴△DEC∽△ACB，
∴，
∵S△ABC＝，
∴S△DEC＝．
【小问3详解】
解：如图，过点D作DF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥DF于点H，
∵DE∥AC，DF∥y轴，
∴∠DEF的度数不变，∠EFD的度数不变，
∴在点D的移动过程中△DEF的形状保持不变，
∴当DF最大时，DE的长度也最大，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点D的坐标（x，﹣x2+x+3），则点F的坐标（x，﹣x+3），
∴DF＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，DF有最大值，
此时，点D的坐标为（3，3），
∴直线DE是由直线AC向右平移3个单位所得，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴直线DE的解析式为y＝x+3﹣3＝x，
联立直线DE的解析式和直线BC的解析式，得
，解得：，
∴点E的坐标为（2，2），
∴DE最大值＝．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质，解题的关键是会通过平行线的性质得到角度相等进而证明三角形相似．
28. 如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝ °．
（2）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，，若，请判断△ABD是否为准直角三角形，并说明理由．
（3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上的一点，AB＝10，，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长．
【答案】（1）；
（2）△ABD是准直角三角形，见解析；
（3）CE的长为或
【解析】
【分析】（1）根据“准直角三角形”的概念和三角形内角和是180°，分情况列方程组求解即可；
（2）根据三角函数设AC=3x，BC=4x，利用勾股定理列方程求出AC和BC的值，再根据tan∠CAD＝tanB，得出∠CAD＝∠B，再根据“准直角三角形”的概念得出结论即可；
（3）根据“准直角三角形”的概念分两种情况当∠CAE＝90°+∠CEA或∠CAE＝90°+∠ECA时，分别求出CE的值即可．
【小问1详解】
解：∵△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，
∴①∠C﹣∠A＝90°，
此时∠C＝160°，∠A+∠C＞180°，
∴此情况不存在，舍去，
②∠C﹣∠B＝90°，
∵∠C+∠B=180°-∠A=180°-70°=110
解得∠C＝100°，∠B＝10°，
故答案为：10°；
【小问2详解】
△ABD是准直角三角形，理由为：
∵AB＝10，tanB＝
设AC=3x，BC=4x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，
解得x=2或-2（舍去）
∴AC＝6，BC＝8，
∵，
∴tan∠CAD＝，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠ADB﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠B＝90°，
∴△ABD是准直角三角形；
【小问3详解】
连接AE，
由（2）知，AC＝6，BC＝8，
∵△ACE为准直角三角形，E为直径AB下方圆上的一点，
∴∠CAE＞90°，∠CEA＜90°，∠ECA＜90°，且∠CEA＝∠CBA，
①当∠CAE＝90°+∠CEA时，
即∠CAE＝90°+∠CBA＝180°﹣90°+∠CBA＝∠ACB+∠CBA＝180°﹣∠CAB，
∵四边形ACBE的内角和是360°，∠ACB＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝180°﹣∠CAE＝∠CAB，
又∵∠CAB＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝8；
②当∠CAE＝90°+∠ECA时，
即∠CAE＝90°+∠ABE＝∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
即∠CBE＝∠ECB，
∴CE＝BE，
∵，
∴tan∠CAB＝，
∴tan∠CEB＝，
作CH⊥BE于H，作EM⊥BC于M，
设EH＝3m，则CH＝4m，
∴EC＝BE＝，
∵，
∴EM＝，
∵EC2＝CM2+EM2，且CM＝BC＝4，
∴（5m）2＝42+（）2，
令（5m）2＝t，即CE2＝t，
则上式可表示为t＝16+（）2，
解得t＝80或t＝20（不合题意舍去），
∴CE＝，
综上，若△ACE为”准直角三角形”，CE的长为8或．
【点睛】本题考查新定义“准直角三角形”，圆周角定理，等腰三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解一元二次方程，圆内接四边形性质，利用新定义三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°是解题关键．人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10
等级
测试成绩x
人数
A．防范意识非常强
4
B．防范意识比较强
26
C．有基本防范意识
m
D．防范意识较薄弱
1