2021-2022学年湖南省长沙市长沙县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市长沙县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式中一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，四边形的两条对角线相交于点且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，于点，于点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 小张和小李去练习射击，第一轮枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图的信息，估计小张和小李两人中的新手是(    )

A. 小张 B. 小李 C. 均为新手 D. 无法判断

8. 如果，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若中，，，点为斜边上的中点，则斜边上中线长是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程公里与计费元之间的函数关系图象，下列说法：
    “快车”行驶里程不超过公里计费元；
    “顺风车”行驶里程超过公里的部分，每公里计费元；
    点的坐标为；
    从哈尔滨西站到会展中心的里程是公里，则“顺风车”要比“快车”少用元，其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 已知是整数，那么正整数的最小值是______．
12. 在菱形中，已知，，那么菱形的面积为______．
13. 顺次连接平行四边形各边中点所形成的四边形是______ ．
14. 如果直线与直线平行，那么______．
15. 小曹参加校园歌手比赛，唱功展现得分，音乐常识得分，综合知识得分．评委组如果按照如图所示的权重计算最终成绩，那么小曹的最终成绩是______分．

16. 如图，中，，，交于点，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. ；
    ．
18. 已知，求代数式的值．
19. 某初中八年级举行了一次数学趣味竞赛，曹老师从八班随机抽取的名学生得分单位：分如下：，，，，，，，，，．
    请求这名学生得分的众数、中位数及平均数．
20. 如图，▱中，点在上，点在的延长线上，且求证：．

21. 杆秤是我国传统的计重工具，如图，称钩上所挂不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同，称重时，秤钩所挂物重为斤时，杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米，如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且是的一次函数．

注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离厘米为正，在右侧时为负．
根据题意，完成表格中的空：______，______；
请求出与的关系式；
当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离左侧为厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？

22. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

23. 如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点，并且两直线分别与轴交于点、．
    试求，的值，并求出的面积．
    根据图象，写出不等式的解集．
    结合图象，当时，求一次函数的函数值的取值范围．

24. 阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公式的推导过程：
    在直角坐标系中，已知两点的坐标是，，那么、两点之间的距离可以用公式计算．试根据公式解决下列问题：
    若点，，则，两点间的距离为______；
    若点与的距离为，求的值；
    若点，，点是坐标原点，试判断是什么三角形，并说明理由．

25. 如图，已知点是正方形的边上的动点，点不与点，重合，连接，于点．
    如图，若于点，求证：≌；
    如图，在上取点，使得，作的角平分线交的延长线于点，求的度数；
    如图，在的条件下，连接当点运动时，试探究的值是否为定值？若是定值，请通过计算及证明求出该定值；若不是定值，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，被开方数是负数，不是二次根式；
B、，被开方数是正数，是二次根式；
C、，被开方数是负数，不是二次根式；
D、被开方数不一定是非负数，不一定是二次根式；
故选：．
根据二次根式被开方数是非负数判断．
本题考查的是二次根式的定义，掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，．
故选：．
根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．记住，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
矩形，菱形，正方形都是轴对称图形．
故是轴对称图形的有个．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：．
根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
 

5.【答案】 

【解析】解：正比例函数经过点，
，
解得：，
这个正比例函数的解析式为：．
故选B．
利用待定系数法把代入正比例函数中计算出即可得到解析式．
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，题目比较简单，关键是能正确代入即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，
，
于，于，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质得，，再利用互余关系可求，用角的和差关系求．
主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义．四边形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可以看出，小李的成绩波动大，
波动性越大，方差越大，成绩越不稳定，
新手是小李．
故选：．
根据图形可知，小李的射击不稳定，可判断新手是小李．
本题考查了方差的意义：波动性越大，方差越大，成绩越不稳定．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
故选B．
根据二次根式的性质：知，解之可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质：．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

中，，，
，
点为斜边上的中点，，
．
故选：．
由勾股定理可求得的长度，再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可得解．
本题主要考查等腰直角三角形，解答的关键是明确直角三角形的底边上的中线等于斜边的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据“滴滴快车”的行驶里程公里与计费元之间的函数关系图象可知：
行驶里程不超过公里计费元，即正确；
“滴滴顺风车”行驶里程超过公里的部分，每公里计费为元，
故正确；
设时，“滴滴快车”的行驶里程公里与计费元之间的函数关系式为，
将点、代入函数解析式得：
，解得：．
“滴滴快车”的行驶里程公里与计费元之间的函数关系式为；
当时，设“滴滴顺风车”的行驶里程公里与计费元之间的函数关系式为，
将点、代入函数解析式得：
，解得：．
“滴滴顺风车”的行驶里程公里与计费元之间的函数关系式为．
联立、得：，解得：．
点的坐标为，正确；
令，；
令，．
元．
即从哈尔滨西站到会展中心的里程是公里，则“顺风车”要比“快车”少用元，正确．
综上可知正确的结论个数为个．
故选：．
根据“滴滴快车”的行驶里程公里与计费元之间的函数关系图象的拐点为，即可得知结论成立；根据“单价超出费用超出距离”即可算出“顺风车”行驶里程超过公里的部分，每公里计费价格，从而得知成立；设出“滴滴顺风车”与“滴滴快车”超出部分的函数解析式，利用待定系数法求出两个函数解析式，再联立成方程组，解方程组即可得出点的坐标，从而得知成立；将分别带入、中，求出费用即可判定成立．综上即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解二元一次方程组，解题的关键是：结合图象逐条分析条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合图形找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
是整数的正整数的最小值是．
故答案为：．
把分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．
本题考查了二次根式的定义，把分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知得，菱形的面积故答案为．
根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半求得．
此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
 

13.【答案】平行四边形 

【解析】解：如图；四边形是平行四边形，、、、分别是▱四边的中点．
连接、；
、是、的中点，
是的中位线；
；
同理可证：，；
四边形是平行四边形．
故顺次连接平行四边形各边中点的图形为平行四边形．
故答案为：平行四边形．
可连接平行四边形的对角线，然后利用三角形中位线定理进行求解．
此题考查了中点四边形，平行四边形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线与直线平行，
，
故答案为：．
根据两直线平行的必要条件即可得出结论．
本题考查了两条直线平行问题，如果两条直线平行，则自变量的系数相同是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：小曹的最终成绩是：分．
故答案为：．
利用加权平均数按照比例即可求得小曹的最终成绩．
本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．
【解答】
解：因为，，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．  

17.【答案】解：原式
．
原式
． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
注意计算顺序．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
 

18.【答案】解：，





． 

【解析】直接将代入所求式子求解即可．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则．
 

19.【答案】解：数据由小到大排列为：、、、、、、、、、，
所以这个得分的众数为，
中位数为，
平均数． 

【解析】先把数据由小到大排列，然后根据众数、中位数和平均数的定义求解．
本题考查了众数和中位数的定义以及平均数的运用，解题的关键是牢记定义，并能熟练运用．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得，，根据平行线性质得，再证明≌，便可得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，关键在于证明三角形全等．
 

21.【答案】       

【解析】解：由表格中的数据可得，
每增加厘米，重物增加斤，
故当时，，
当时，，
故答案为：，；
设与的关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与的关系式为；
当时，，
解得，
即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是斤．
根据表格中的数据，可以发现每增加厘米，重物增加斤，从而可以计算出当对应的的值和当时对应的的值；
根据题意和表格中的数据，可以求出与的关系式；
将代入中的关系式，即可得到当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少斤．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
即的长是． 

【解析】根据，，可以得到四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，可以得到，然后即可得到四边形是菱形；
根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到的长，然后即可得到的长．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：将点代入，
得，
点，
将点坐标代入，
得，
解得，
令，
解得，
，
令，
解得，
，
，
的面积；
根据图象可知，不等式的解集为；
当时，，
时，一次函数的函数值的取值范围是． 

【解析】先求出点坐标，再待定系数法求一次函数解析式，分别求出和点坐标，即可求出的面积；
根据函数图象即可确定不等式的解集；
先求出时，的函数值，再根据图象即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，三角形的面积等，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：点，，
，两点间的距离为：，
故答案为：；
点与的距离为，
，
解得，
即的值是；
是直角三角形，
点，，点是坐标原点，
，
，
，
，
是直角三角形．
根据题目中两点间的距离公式，可以求出，两点间的距离；
根据题目中的距离公式和点与的距离为，可以列出相应的方程，然后求解即可；
先判断三角形的性质，然后根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理说明理由即可．
本题考查勾股定理、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，求出相应的距离，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形是正方形，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
的值是定值．
理由如下：如图，连接，过点作交的延长线于点，

四边形是正方形，
，，，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故是定值． 

【解析】由正方形的性质可得，，利用同角的余角相等可得，利用即可证得≌；
由正方形性质可得，再根据线段垂直平分线性质及等腰三角形性质可得，由角平分线定义可得，即可求得，再运用直角三角形性质即可求得答案；
如图，连接，过点作交的延长线于点，由，可得、、、四点共圆，进而可得，再证明≌，可得，运用等腰直角三角形的性质即可得出答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等，综合性较强，熟练掌握全等三角形判定和性质，学会添加辅助线构造全等三角形是解题关键．