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江西省抚州市金溪县第一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份江西省抚州市金溪县第一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A．0.7B．C．πD．﹣8
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）若点A的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB∥x轴（ ）
A．（2，﹣5）B．（6，﹣1）或（﹣2，﹣1）
C．（2，3）D．（2，3）或（2，﹣5）
4．（3分）一次函数图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
5．（3分）如图，下列各数中，数轴上点A可能表示的是（ ）
A．8的立方根B．
C．5的算术平方根D．
6．（3分）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）的算术平方根是 ．
8．（3分）已知，△ABC中，AB＝13，BC＝5，则△ABC的面积为 ．
9．（3分）在y＝（k﹣2）x+k2﹣4中，若y是x的正比例函数，则k值为 ．
10．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则b的取值范围是 ．
11．（3分）对于一次函数y＝kx﹣4（k＜0），若当y＞0时，x＜﹣2，函数值y的取值范围是 ．
12．（3分）点A（﹣4，0），B（0，3），若点M在y轴上，若△ABM是等腰三角形 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）；
（2）．
14．（6分）已知点A（7，2b+6）和点B（2a﹣3，﹣10）两点关于x轴对称
15．（6分）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣3，4），C（b﹣4，b）三点．
（1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当点C到y轴的距离为2时，求点C的坐标．
16．（6分）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点
（1）在图①中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中画出△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB≠90°．
17．（6分）如图所示，在矩形ABCD中，AD＝6，若将矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：，．
（1）请用以上方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求a2﹣2a﹣1的值．
19．（8分）如图，△ABC中，点A（﹣2、1），B（﹣3，4），C（﹣5，2）
（1）在图中商出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得△PAB1的周长最小，诸直接写出点P的坐标．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）（a，2），与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D（0，1）
（1）求点C的坐标及直线CD的解析式；
（2）求四边形OBCD的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）甲、乙两人分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程y（千米）（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）A，B两地的路程为 千米；
（2）乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是 ．
（3）求当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程？
22．（9分）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
（2）如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值；
（3）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm．若点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动（t＞0）．
（1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值，请说明理由．
（2）若点P在运动的过程中，与三角形另一顶点的连线恰好平分△ABC的面积，求出t的值．
（3）若点P恰好在△ABC的角平分线上（顶点除外），请直接写出t的值.
2023-2024学年江西省抚州市金溪一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A．0.7B．C．πD．﹣8
【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．
【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，
且0.7为有限小数，是分数，都是有理数，
π为无限不循环小数，
∴π为无理数．
故选：C．
【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（2，﹣3）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）若点A的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB∥x轴（ ）
A．（2，﹣5）B．（6，﹣1）或（﹣2，﹣1）
C．（2，3）D．（2，3）或（2，﹣5）
【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标都相等和AB＝4，可以求出点B的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标是（2，﹣1），且AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为﹣7，横坐标是2﹣4＝﹣6或2+4＝8，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于x轴的直线上点的纵坐标都相等．
4．（3分）一次函数图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
【分析】由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜3，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣＜4，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣2，y1），B（2，y2）是一次函数y＝﹣x+n的图象上的点，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5．（3分）如图，下列各数中，数轴上点A可能表示的是（ ）
A．8的立方根B．
C．5的算术平方根D．
【分析】根据立方根、绝对值、算术平方根的定义和实数大小的比较方法即可判断．
【解答】解：8的立方根为2，故A选项不符合题意；
，＝，所以；
因为7的算术平方根为，且，故C选项不符合题意；
，，故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴、平方根、算术平方根、实数的大小比较等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（3分）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．
【解答】解：A、对于y＝ax+b，图象经过第一，则b＞0、三象限；
B、对于y＝ax+b，图象经过第一，则b＜0、四象限，所以B选项正确；
C、对于y＝ax+b，图象经过第一，则b＞4、三象限；
D、对于y＝ax+b，图象经过第二，若b＞0、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根定义，即可解答．
【解答】解：＝4．
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
8．（3分）已知，△ABC中，AB＝13，BC＝5，则△ABC的面积为 30 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形及直角三角形的面积公式是解题关键．
【解答】解：∵52+126＝132，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，
所以面积＝×5×12＝30，
故填30．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和三角形的面积公式．
9．（3分）在y＝（k﹣2）x+k2﹣4中，若y是x的正比例函数，则k值为 k＝﹣2 ．
【分析】根据正比例函数的定义：y＝kx（k≠0），得到k﹣2≠0且k2﹣4＝0即可求出k的值．
【解答】解：依题意得，k﹣2≠0且k3﹣4＝0，
解k﹣6≠0得k≠2，
解k8﹣4＝0得k＝±5，
∴k＝﹣2．
故答案为：k＝﹣2．
【点评】此题考查正比例函数的定义；熟记定义是解题的关键，主要是定义的理解，比较容易．
10．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则b的取值范围是 b≥0 ．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0．
故答案为：b≥4．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．（3分）对于一次函数y＝kx﹣4（k＜0），若当y＞0时，x＜﹣2，函数值y的取值范围是 y＜﹣6 ．
【分析】根据题意得出k的值，进而根据一次函数的增减性，即可求解．
【解答】解：依题意，y＝kx﹣4（k＜0），
∴y随x的增大而减小，
当y＞2时，x＜﹣2；
∴当x＝﹣2时，y＝7，
∴﹣2k﹣4＝4，解得k＝﹣2，
∴y＝﹣2x﹣7，
当x＝1时，y＝﹣6，
∴当x＞7时，y＜﹣6，
故答案为：y＜﹣6．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．
12．（3分）点A（﹣4，0），B（0，3），若点M在y轴上，若△ABM是等腰三角形 （0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣3）或 ．
【分析】由题意得出OA＝4，OB＝3，则AB＝5，分AB＝BM＝5时；当AB＝AM时；当AM＝BM时；分别画出图形，求解即可．
【解答】解：∵点A（﹣4，0），8），
∴OA＝4，OB＝3，
∴，
如图，当AB＝BM＝5时，
，
则OM1＝2﹣3＝2，OM5＝5+3＝7，
∴M1（0，﹣2），M2（0，2）；
如图，当AB＝AM时，
，
则OM3＝OB＝3，
∴M8（0，﹣3）；
如图，当AM＝BM时，
，
设OM7＝x，则，BM4＝5+x，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点M坐标为（0，6）或（0，
故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣3）或．
【点评】本题考查了坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的定义，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；
（2）根据绝对值、化简二次根式、立方根可直接进行求解．
【解答】解：（1）原式＝2+2+2
＝5+2；
（2）原式＝﹣1+
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
14．（6分）已知点A（7，2b+6）和点B（2a﹣3，﹣10）两点关于x轴对称
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（7，2b+6）和点B（2a﹣3，
∴8a﹣3＝7，4b+6＝10，
解得a＝5，b＝5，
∴a+2b＝5+6×2＝9．
∴a+4b的平方根为±3．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的特征及平方根，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
15．（6分）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣3，4），C（b﹣4，b）三点．
（1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当点C到y轴的距离为2时，求点C的坐标．
【分析】（1）根据AB∥x轴可知点A、B的纵坐标一样解得a的值，再求解B的横坐标，最后即可求得两点间的距离；
（2）根据点C到y轴的距离为2，可得|b﹣4|＝2，求出b的值即可得出点C的坐标；
【解答】解：（1）由AB∥x轴可得，a+2＝4，
∴a＝3，
∴a﹣3＝﹣1，
∴A、B两点间的距离为﹣2﹣（﹣2）＝1；
（2）由题意得|b﹣6|＝2，
即b﹣4＝8或b﹣4＝﹣2，
∴b＝5或b＝2，
∴点C的坐标为（2，7）或（﹣2．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，两点之间的距离，熟练掌握性质是解题的关键．
16．（6分）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点
（1）在图①中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中画出△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB≠90°．
【分析】（1）根据题目要求画出图形即可；
（2）根据题目要求画出图形即可；
（2）利用数形结合的思想画出三角形使得CA＝CB＝5．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABC即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
17．（6分）如图所示，在矩形ABCD中，AD＝6，若将矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处
【分析】根据折叠的性质得到DF＝CD＝10，根据勾股定理求出AF，得到BF，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：由折叠是性质可知，DF＝DC＝AB＝10，
在Rt△ADF中，AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝3，
设CE＝x，则BE＝6﹣x，
由折叠是性质可知，EF＝CE＝x，
在Rt△BEF中，EF2＝BF4+BE2，即x2＝22+（6﹣x）8，
解得，x＝，
∴线段CE的长为．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：，．
（1）请用以上方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求a2﹣2a﹣1的值．
【分析】（1）分子、分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（2）利用分母有理化分别求出各个加数，合并同类二次根式即可；
（3）利用分母有理化把a化简，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）＝＝﹣2；
（2）＝＝，＝＝，…＝＝，
则原式＝（﹣7+﹣﹣）＝；
（3）a＝＝＝+2，
则a2﹣2a﹣7＝a2﹣2a+6﹣2＝（a﹣1）6﹣2＝（）8﹣2＝0．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、平方差公式、分母有理化，掌握相关的运算法则是解题的关键．
19．（8分）如图，△ABC中，点A（﹣2、1），B（﹣3，4），C（﹣5，2）
（1）在图中商出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得△PAB1的周长最小，诸直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作B1点关于x轴的对称点B1′，连接B1′A交x轴于P点，根据两点之间线段最短判断P点满足条件，然后写出P点坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2、1），6），2），
∴A1（7，1），B1（2，4），C1（7，2）；
在坐标系中描出A1（7，1），B1（4，4），C1（4，2）各点1B2、B1C1、A4C1，如图所示，△A1B5C1即为所求；
（2）作点B1（5，4）关于x轴的对称点B1′（6，﹣4）1′，交x轴于P，
则PB7＝PB1′，
此时，PA+PB1＝PA+PB7′＝AB1′最小，即△PAB1的周长最小，
设直线AB2′的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AB1′的解析式为y＝﹣x﹣1，
令y＝4，得﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣3，
∴P（﹣1，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）（a，2），与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D（0，1）
（1）求点C的坐标及直线CD的解析式；
（2）求四边形OBCD的面积．
【分析】（1）将点B（﹣6，0）代入一次函数y＝kx+4中求得k的值，再求得点C的坐标，利用待定系数法求得直线CD的解析式即可；
（2）利用S四边形OBCD＝S△ABO﹣S△ACD，根据三角形面积公式代入数据即可求解．
【解答】解：（1）∵将点B（﹣6，0）代入一次函数y＝kx+4中得：﹣6k+4＝3，
∴，
∴，
∵将点C（a，3）代入函数，
∴a＝﹣3，
∴点C的坐标为（﹣3，2）
设直线CD的解析式为：y＝mx+n（m≠0），
将点C（﹣3，2）和D（0
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣；
（2）∵当x＝6时，，
∴A（2，4），
∵D（0，4），
∴AD＝4﹣1＝4，
∴S四边形OBCD＝S△ABO﹣S△ACD
＝
＝．
【点评】此题考查了求一次函数的解析式，求图象与坐标轴交点坐标，一次函数与几何图形的面积，熟练掌握一次函数的知识是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）甲、乙两人分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程y（千米）（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）A，B两地的路程为 30 千米；
（2）乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是 y＝30x+30 ．
（3）求当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程？
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先求出甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式，再联立方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）A，B两地的路程为30千米，
故答案为：30；
（2）设乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝ax+b，
则，
解得，
∴乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝30x+30，
故答案为：y＝30x+30；
（3）设甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝kx，
把（3，150）代入得：6k＝150，
解得k＝50，
∴甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝50x，
联立方程组得，
解得，
答：当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程为75千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式．
22．（9分）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
（2）如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值；
（3）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3
【分析】（1）由图可得：小正方形的边长为：b﹣a，大正方形的面积为c2，大正方形的面积还可表示为小正方形的面积加上4个三角形的面积，由此即可得到答案；
（2）由题意得：c2＝a2+b2＝13，（b﹣a）2＝1，利用完全平方公式变形得出ab＝6，最后由（a+b）2＝a2+b2+2ab进行计算即可；
（3）由勾股定理计算出AB＝5，再由进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）由图可得：小正方形的边长为：b﹣a，
大正方形的面积为c2，还可表示为：，
∴c5＝a2+b2；
（2）由题意得：c5＝a2+b2＝13，（b﹣a）7＝1，
∴，
∴（a+b）5＝a2+b2+4ab＝13+2×6＝25；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7，
∴，
∵CD是AB边上的高，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用、勾股定理，熟练掌握完全平方公式以及勾股定理是解此题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm．若点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动（t＞0）．
（1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值，请说明理由．
（2）若点P在运动的过程中，与三角形另一顶点的连线恰好平分△ABC的面积，求出t的值．
（3）若点P恰好在△ABC的角平分线上（顶点除外），请直接写出t的值.
【分析】（1）根据角平分线的性质得到PA＝PB，从而分别表示出PC、BC、BP的长，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据中点的性质，分两种情况讨论：当P点在AC的中点处和P点在BC的中点处时，分别求出t的值即可．
（3）当点P在顶点处时就是在角平分线上，然后再分点P在AC和∠ABC的角平分线的交点处和点P在BC和∠BAC的角平分线的交点处利用相似三角形列式求得t值即可．
【解答】解：（1）∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝4cm，
如图1，存在点P，理由如下：
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，
PC7+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+72＝（2t）6，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当P点在线段AC上时，P点运动到AC的中点处，
∵AC＝4cm，
∴AP＝2cm，
∴t＝8s；
当P点在线段BC上时，P点运动到BC的中点处，
∵AC+CP＝4+＝cm，
∴t＝s；
综上所述：t的值为8s或s；
（3）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，
此时t＝2或t＝5.5秒；
当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，
此时AP＝2t，PC＝PM＝2﹣2t，
∵△APM∽△ABC，
∴AP：AB＝PM：BC，
即：2t：8＝（4﹣2t）：3，
解得：t＝；
当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，
此时BP＝6﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），
∵△BPN∽△BAC，
∴BP：BA＝PN：AC，
即：（7﹣2t）：2＝（2t﹣4）：7，
解得：t＝．
综上，当t＝4、、秒时．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，特别是题目的第二问，采用了分类讨论的数学思想，特别是点P与点C和点B重合时的情况很容易遗漏，应该注意．
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1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A．0.7B．C．πD．﹣8
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）若点A的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB∥x轴（ ）
A．（2，﹣5）B．（6，﹣1）或（﹣2，﹣1）
C．（2，3）D．（2，3）或（2，﹣5）
4．（3分）一次函数图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
5．（3分）如图，下列各数中，数轴上点A可能表示的是（ ）
A．8的立方根B．
C．5的算术平方根D．
6．（3分）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）的算术平方根是 ．
8．（3分）已知，△ABC中，AB＝13，BC＝5，则△ABC的面积为 ．
9．（3分）在y＝（k﹣2）x+k2﹣4中，若y是x的正比例函数，则k值为 ．
10．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则b的取值范围是 ．
11．（3分）对于一次函数y＝kx﹣4（k＜0），若当y＞0时，x＜﹣2，函数值y的取值范围是 ．
12．（3分）点A（﹣4，0），B（0，3），若点M在y轴上，若△ABM是等腰三角形 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）；
（2）．
14．（6分）已知点A（7，2b+6）和点B（2a﹣3，﹣10）两点关于x轴对称
15．（6分）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣3，4），C（b﹣4，b）三点．
（1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当点C到y轴的距离为2时，求点C的坐标．
16．（6分）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点
（1）在图①中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中画出△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB≠90°．
17．（6分）如图所示，在矩形ABCD中，AD＝6，若将矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：，．
（1）请用以上方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求a2﹣2a﹣1的值．
19．（8分）如图，△ABC中，点A（﹣2、1），B（﹣3，4），C（﹣5，2）
（1）在图中商出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得△PAB1的周长最小，诸直接写出点P的坐标．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）（a，2），与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D（0，1）
（1）求点C的坐标及直线CD的解析式；
（2）求四边形OBCD的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）甲、乙两人分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程y（千米）（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）A，B两地的路程为 千米；
（2）乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是 ．
（3）求当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程？
22．（9分）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
（2）如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值；
（3）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm．若点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动（t＞0）．
（1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值，请说明理由．
（2）若点P在运动的过程中，与三角形另一顶点的连线恰好平分△ABC的面积，求出t的值．
（3）若点P恰好在△ABC的角平分线上（顶点除外），请直接写出t的值.
2023-2024学年江西省抚州市金溪一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A．0.7B．C．πD．﹣8
【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．
【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，
且0.7为有限小数，是分数，都是有理数，
π为无限不循环小数，
∴π为无理数．
故选：C．
【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（2，﹣3）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）若点A的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB∥x轴（ ）
A．（2，﹣5）B．（6，﹣1）或（﹣2，﹣1）
C．（2，3）D．（2，3）或（2，﹣5）
【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标都相等和AB＝4，可以求出点B的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标是（2，﹣1），且AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为﹣7，横坐标是2﹣4＝﹣6或2+4＝8，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于x轴的直线上点的纵坐标都相等．
4．（3分）一次函数图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
【分析】由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜3，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣＜4，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣2，y1），B（2，y2）是一次函数y＝﹣x+n的图象上的点，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5．（3分）如图，下列各数中，数轴上点A可能表示的是（ ）
A．8的立方根B．
C．5的算术平方根D．
【分析】根据立方根、绝对值、算术平方根的定义和实数大小的比较方法即可判断．
【解答】解：8的立方根为2，故A选项不符合题意；
，＝，所以；
因为7的算术平方根为，且，故C选项不符合题意；
，，故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴、平方根、算术平方根、实数的大小比较等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（3分）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．
【解答】解：A、对于y＝ax+b，图象经过第一，则b＞0、三象限；
B、对于y＝ax+b，图象经过第一，则b＜0、四象限，所以B选项正确；
C、对于y＝ax+b，图象经过第一，则b＞4、三象限；
D、对于y＝ax+b，图象经过第二，若b＞0、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根定义，即可解答．
【解答】解：＝4．
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
8．（3分）已知，△ABC中，AB＝13，BC＝5，则△ABC的面积为 30 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形及直角三角形的面积公式是解题关键．
【解答】解：∵52+126＝132，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，
所以面积＝×5×12＝30，
故填30．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和三角形的面积公式．
9．（3分）在y＝（k﹣2）x+k2﹣4中，若y是x的正比例函数，则k值为 k＝﹣2 ．
【分析】根据正比例函数的定义：y＝kx（k≠0），得到k﹣2≠0且k2﹣4＝0即可求出k的值．
【解答】解：依题意得，k﹣2≠0且k3﹣4＝0，
解k﹣6≠0得k≠2，
解k8﹣4＝0得k＝±5，
∴k＝﹣2．
故答案为：k＝﹣2．
【点评】此题考查正比例函数的定义；熟记定义是解题的关键，主要是定义的理解，比较容易．
10．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则b的取值范围是 b≥0 ．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0．
故答案为：b≥4．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．（3分）对于一次函数y＝kx﹣4（k＜0），若当y＞0时，x＜﹣2，函数值y的取值范围是 y＜﹣6 ．
【分析】根据题意得出k的值，进而根据一次函数的增减性，即可求解．
【解答】解：依题意，y＝kx﹣4（k＜0），
∴y随x的增大而减小，
当y＞2时，x＜﹣2；
∴当x＝﹣2时，y＝7，
∴﹣2k﹣4＝4，解得k＝﹣2，
∴y＝﹣2x﹣7，
当x＝1时，y＝﹣6，
∴当x＞7时，y＜﹣6，
故答案为：y＜﹣6．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．
12．（3分）点A（﹣4，0），B（0，3），若点M在y轴上，若△ABM是等腰三角形 （0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣3）或 ．
【分析】由题意得出OA＝4，OB＝3，则AB＝5，分AB＝BM＝5时；当AB＝AM时；当AM＝BM时；分别画出图形，求解即可．
【解答】解：∵点A（﹣4，0），8），
∴OA＝4，OB＝3，
∴，
如图，当AB＝BM＝5时，
，
则OM1＝2﹣3＝2，OM5＝5+3＝7，
∴M1（0，﹣2），M2（0，2）；
如图，当AB＝AM时，
，
则OM3＝OB＝3，
∴M8（0，﹣3）；
如图，当AM＝BM时，
，
设OM7＝x，则，BM4＝5+x，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点M坐标为（0，6）或（0，
故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣3）或．
【点评】本题考查了坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的定义，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；
（2）根据绝对值、化简二次根式、立方根可直接进行求解．
【解答】解：（1）原式＝2+2+2
＝5+2；
（2）原式＝﹣1+
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
14．（6分）已知点A（7，2b+6）和点B（2a﹣3，﹣10）两点关于x轴对称
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（7，2b+6）和点B（2a﹣3，
∴8a﹣3＝7，4b+6＝10，
解得a＝5，b＝5，
∴a+2b＝5+6×2＝9．
∴a+4b的平方根为±3．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的特征及平方根，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
15．（6分）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣3，4），C（b﹣4，b）三点．
（1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当点C到y轴的距离为2时，求点C的坐标．
【分析】（1）根据AB∥x轴可知点A、B的纵坐标一样解得a的值，再求解B的横坐标，最后即可求得两点间的距离；
（2）根据点C到y轴的距离为2，可得|b﹣4|＝2，求出b的值即可得出点C的坐标；
【解答】解：（1）由AB∥x轴可得，a+2＝4，
∴a＝3，
∴a﹣3＝﹣1，
∴A、B两点间的距离为﹣2﹣（﹣2）＝1；
（2）由题意得|b﹣6|＝2，
即b﹣4＝8或b﹣4＝﹣2，
∴b＝5或b＝2，
∴点C的坐标为（2，7）或（﹣2．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，两点之间的距离，熟练掌握性质是解题的关键．
16．（6分）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点
（1）在图①中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中画出△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB≠90°．
【分析】（1）根据题目要求画出图形即可；
（2）根据题目要求画出图形即可；
（2）利用数形结合的思想画出三角形使得CA＝CB＝5．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABC即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
17．（6分）如图所示，在矩形ABCD中，AD＝6，若将矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处
【分析】根据折叠的性质得到DF＝CD＝10，根据勾股定理求出AF，得到BF，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：由折叠是性质可知，DF＝DC＝AB＝10，
在Rt△ADF中，AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝3，
设CE＝x，则BE＝6﹣x，
由折叠是性质可知，EF＝CE＝x，
在Rt△BEF中，EF2＝BF4+BE2，即x2＝22+（6﹣x）8，
解得，x＝，
∴线段CE的长为．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：，．
（1）请用以上方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求a2﹣2a﹣1的值．
【分析】（1）分子、分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（2）利用分母有理化分别求出各个加数，合并同类二次根式即可；
（3）利用分母有理化把a化简，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）＝＝﹣2；
（2）＝＝，＝＝，…＝＝，
则原式＝（﹣7+﹣﹣）＝；
（3）a＝＝＝+2，
则a2﹣2a﹣7＝a2﹣2a+6﹣2＝（a﹣1）6﹣2＝（）8﹣2＝0．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、平方差公式、分母有理化，掌握相关的运算法则是解题的关键．
19．（8分）如图，△ABC中，点A（﹣2、1），B（﹣3，4），C（﹣5，2）
（1）在图中商出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得△PAB1的周长最小，诸直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作B1点关于x轴的对称点B1′，连接B1′A交x轴于P点，根据两点之间线段最短判断P点满足条件，然后写出P点坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2、1），6），2），
∴A1（7，1），B1（2，4），C1（7，2）；
在坐标系中描出A1（7，1），B1（4，4），C1（4，2）各点1B2、B1C1、A4C1，如图所示，△A1B5C1即为所求；
（2）作点B1（5，4）关于x轴的对称点B1′（6，﹣4）1′，交x轴于P，
则PB7＝PB1′，
此时，PA+PB1＝PA+PB7′＝AB1′最小，即△PAB1的周长最小，
设直线AB2′的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AB1′的解析式为y＝﹣x﹣1，
令y＝4，得﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣3，
∴P（﹣1，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点B（﹣6，0）（a，2），与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D（0，1）
（1）求点C的坐标及直线CD的解析式；
（2）求四边形OBCD的面积．
【分析】（1）将点B（﹣6，0）代入一次函数y＝kx+4中求得k的值，再求得点C的坐标，利用待定系数法求得直线CD的解析式即可；
（2）利用S四边形OBCD＝S△ABO﹣S△ACD，根据三角形面积公式代入数据即可求解．
【解答】解：（1）∵将点B（﹣6，0）代入一次函数y＝kx+4中得：﹣6k+4＝3，
∴，
∴，
∵将点C（a，3）代入函数，
∴a＝﹣3，
∴点C的坐标为（﹣3，2）
设直线CD的解析式为：y＝mx+n（m≠0），
将点C（﹣3，2）和D（0
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣；
（2）∵当x＝6时，，
∴A（2，4），
∵D（0，4），
∴AD＝4﹣1＝4，
∴S四边形OBCD＝S△ABO﹣S△ACD
＝
＝．
【点评】此题考查了求一次函数的解析式，求图象与坐标轴交点坐标，一次函数与几何图形的面积，熟练掌握一次函数的知识是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）甲、乙两人分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程y（千米）（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）A，B两地的路程为 30 千米；
（2）乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是 y＝30x+30 ．
（3）求当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程？
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先求出甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式，再联立方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）A，B两地的路程为30千米，
故答案为：30；
（2）设乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝ax+b，
则，
解得，
∴乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝30x+30，
故答案为：y＝30x+30；
（3）设甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝kx，
把（3，150）代入得：6k＝150，
解得k＝50，
∴甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝50x，
联立方程组得，
解得，
答：当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程为75千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式．
22．（9分）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
（2）如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值；
（3）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3
【分析】（1）由图可得：小正方形的边长为：b﹣a，大正方形的面积为c2，大正方形的面积还可表示为小正方形的面积加上4个三角形的面积，由此即可得到答案；
（2）由题意得：c2＝a2+b2＝13，（b﹣a）2＝1，利用完全平方公式变形得出ab＝6，最后由（a+b）2＝a2+b2+2ab进行计算即可；
（3）由勾股定理计算出AB＝5，再由进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）由图可得：小正方形的边长为：b﹣a，
大正方形的面积为c2，还可表示为：，
∴c5＝a2+b2；
（2）由题意得：c5＝a2+b2＝13，（b﹣a）7＝1，
∴，
∴（a+b）5＝a2+b2+4ab＝13+2×6＝25；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7，
∴，
∵CD是AB边上的高，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用、勾股定理，熟练掌握完全平方公式以及勾股定理是解此题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm．若点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动（t＞0）．
（1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值，请说明理由．
（2）若点P在运动的过程中，与三角形另一顶点的连线恰好平分△ABC的面积，求出t的值．
（3）若点P恰好在△ABC的角平分线上（顶点除外），请直接写出t的值.
【分析】（1）根据角平分线的性质得到PA＝PB，从而分别表示出PC、BC、BP的长，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据中点的性质，分两种情况讨论：当P点在AC的中点处和P点在BC的中点处时，分别求出t的值即可．
（3）当点P在顶点处时就是在角平分线上，然后再分点P在AC和∠ABC的角平分线的交点处和点P在BC和∠BAC的角平分线的交点处利用相似三角形列式求得t值即可．
【解答】解：（1）∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝4cm，
如图1，存在点P，理由如下：
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，
PC7+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+72＝（2t）6，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当P点在线段AC上时，P点运动到AC的中点处，
∵AC＝4cm，
∴AP＝2cm，
∴t＝8s；
当P点在线段BC上时，P点运动到BC的中点处，
∵AC+CP＝4+＝cm，
∴t＝s；
综上所述：t的值为8s或s；
（3）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，
此时t＝2或t＝5.5秒；
当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，
此时AP＝2t，PC＝PM＝2﹣2t，
∵△APM∽△ABC，
∴AP：AB＝PM：BC，
即：2t：8＝（4﹣2t）：3，
解得：t＝；
当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，
此时BP＝6﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），
∵△BPN∽△BAC，
∴BP：BA＝PN：AC，
即：（7﹣2t）：2＝（2t﹣4）：7，
解得：t＝．
综上，当t＝4、、秒时．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，特别是题目的第二问，采用了分类讨论的数学思想，特别是点P与点C和点B重合时的情况很容易遗漏，应该注意．
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