2023-2024学年江西省抚州市黎川一中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省抚州市黎川一中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，是无理数的是( )
A. −2023B. 2023C. 0D. 12023
2.若 a−4有意义，则a的值可以是( )
A. −1B. 0C. 2D. 6
3.关于一次函数y=x+1，下列说法正确的是( )
A. 图象经过第一、二、三象限B. 图象与x轴交于点(0,1)
C. 函数值y随自变量x的增大而减小D. 当x>−1时，y<0
4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为( )
A. 6
B. 36
C. 16
D. 49
5.秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 5−12，下列估算正确的是( )
A. 0< 5−12<25B. 25< 5−12<12C. 12< 5−12<1D. 5−12>1
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,1)、B(−1,1)、C(−1,−2)、D(1,−2)，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是( )
A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (−2,2)D. (1,1)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.化简 32的结果是______ ．
8.在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，则a+b= ______ ．
9.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，则顶点A的坐标为______．
10.如图所示，一次函数y=ax+b(a,b为常数，且a≠0)的图象与x轴相交于点(2,0)，与y轴相交于点(0,4).结合图象可知，关于x的方程ax+b=4的解是______ ．
11.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是 ．
12.已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1)2 6÷ 2+3 12；
(2)( 5+3)( 5−3)−( 3−1)2．
14.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m+1,3m+2)．
(1)若点P在过点A(−3,1)且与y轴平行的直线上时，求m的值；
(2)若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，求m的值．
15.(本小题6分)
如图，A(−4,3)，B(4,3)，C(1,−1)都是格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．

(1)在图1中，在y轴上找点M，使得AM+GM最小；
(2)在图2中的AB上找一点N，使∠BCN=∠GCN．
16.(本小题6分)
已知直线y=kx+4(k≠0)经过点A(−1,6)．
(1)求该直线的函数关系式；
(2)求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．
17.(本小题6分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，求下列问题：
(1)试说明△ABC是直角三角形；
(2)求点C到AB的距离．
18.(本小题8分)
如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,b)．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
19.(本小题8分)
教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c)，也可以表示为4×12ab+(a−b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
(2)如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
20.(本小题8分)
甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．
x(单位：kg)表示购买苹果的重量，y(单位：元)表示付款金额．
(1)文文购买3kg苹果需付款______ 元；购买5kg苹果需付款______ 元；
(2)求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式；
(3)当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
21.(本小题9分)
根据下表回答下列问题：
(1)295.84的算术平方根是______ ，316.84的平方根是______ ；
(2) 29241= ______ ， 3.1329= ______ ；
(3)若 325的整数部分为m，求 3m−5−(m−16)3的值．
22.(本小题9分)
阅读下面材料：我们知道一次函数y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0,A、B、C是常数)的形式，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=|Ax0+By0+C| A2+B2计算．
例如：求点P(3,4)到直线y=−2x+5的距离．
解：∵y=−2x+5，
∴2x+y−5=0，其中A=2，B=1，C=−5．
∴点P(3,4)到直线y=−2x+5的距离为：d=|Ax0+By0+C| A2+B2=|2×3+1×4−5| 22+12=5 5= 5．
根据以上材料解答下列问题：
(1)求点Q(−2,2)到直线3x−y+7=0的距离；
(2)如图，直线y=−x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离；
(3)若点M(1,0)到直线x+y+C=0的距离为 2，求实数C的值．
23.(本小题12分)
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若△ABC三边长分别是2， 5和4，则此三角形 常态三角形(填“是”或“不是”)；
(2)若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 (请按从小到大排列)；
(3)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.−2023是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B. 2023是无理数，故本选项符合题意；
C.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.12023是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解： a−4有意义，
则a−4≥0，
解得：a≥4，
故a的值可以是6．
故选：D．
直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出a的取值范围是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得k=1>0，b=1>0，
∴图象经过第一、二、三象限，故A正确；
函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误；
当y=0，可得0=x+1，解得x=−1，
∴图象与x轴交于点(−1,0)，故B错误；
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当x>−1时，y>0，故D错误，
故选：A．
根据解析式y=x+1逐一判断选项，即可解答．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数性质是关键．
4.【答案】B
【解析】解：设AB=a，AC=b，
由勾股定理得：BC2=a2+b2=62=36，
所以这两个正方形的面积和为36．
故选：B．
设AB=a，AC=b，根据勾股定理可得BC2=a2+b2=62，即可求解．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了无理数的估算，熟练运用算术平方根进行比较是解题的关键．
先根据4<5<9，2< 5<3，推出1< 5−1<2，所以12< 5−12<1，即可得出答案．
【解答】
解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
∴12< 5−12<1．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：∵点A(1,1)、B(−1,1)、C(−1,−2)、D(1,−2)，
∴AB=CD=1−(−1)=2，AD=BC=1−(−2)=3，
∴矩形的周长为2×(2+3)=10，
由题意，经过1秒时，P、Q在点B(−1,1)处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为10÷(2+3)=2秒，
∴第二次相遇点是CD的中点(0,−2)，
第三次相遇点是点A(1,1)，
第四次相遇点是点(−1,−1)，
第五次相遇点是点(1,−1)，
第六次相遇点是点B(−1,1)，……，
由此发现，每五次相遇点重合一次，
∵2023÷5=404⋯⋯3，
∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即A(1,1)，
故选：D．
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标，找出规律即可解答．
此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用、点的坐标规律探究，通过计算发现规律就可以解决问题．
7.【答案】 62
【解析】解： 32= 3×22×2= 62，
故答案为： 62．
根据二次根式的性质即可得．
本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8.【答案】1
【解析】解：∵点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，
∴点P(a,1)与点Q(2,b)的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a=2，1+b=0，
解得b=−1，
∴a+b=1，
故答案为：1．
根据题意可知点P(a,1)与点Q(2,b)的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
本题主要考查关于x轴对称的两点，属于基础题，明白关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
9.【答案】(15,3)
【解析】解：如图，
∵顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，
∴MN/​/x轴，MN=9，
∴正方形的边长为3，
∴BN=6，
∵BN//y轴，
∴点B(12,3)，
∵AB//MN，
∴AB/​/x轴，
∴点A(15,3)
故答案为(15,3)．
由图形可得MN/​/x轴，MN=9，可求正方形的边长，根据边长推出A点坐标即可求解．
本题考查了坐标与图形性质，读懂图形的意思，是本题的关键．
10.【答案】x=0
【解析】解：∵一次函数y=ax+b经过(0,4)，
∴当x=0时，y=4，
∴方程ax+b=4的解是x=0，
故答案为：x=0．
根据一次函数与一次方程的关系进行解答即可．
本题考查了一次函数与一元一次方程的解，解题的关键是根据题意得出当x=0时，y=4．
11.【答案】136
【解析】解：根据折叠，可知AB=AD，ED=EC，
∴∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∴∠ADE=90°，
设AE=x，
∵AB=2，AC=3，
∴AD=2，CE=3−x，
∴ED=3−x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得22+(3−x)2=x2，
解得x=136，
∴AE=136，
故答案为：136．
根据折叠，可知AB=AD，ED=EC，进一步可知∠ADE=90°，设AE=x，在Rt△ADE中，根据勾股定理列方程，求解即可．
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12.【答案】(3,4)或(2,4)或(8,4)
【解析】解：(1)OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；
(2)OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP= OP2−OC2= 52−42=3，则P的坐标是(3,4)．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM= PD2−DM2=3，
当P在M的左边时，CP=5−3=2，则P的坐标是(2,4)；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是(8,4)．
故P的坐标为：(3,4)或(2,4)或(8,4)．
故答案为：(3,4)或(2,4)或(8,4)．
题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
13.【答案】解：(1)2 6÷ 2+3 12
=2 3+6 3
=8 3；
(2)( 5+3)( 5−3)−( 3−1)2
=( 5)2−32−(4−2 3)
=5−9−4+2 3
=−8+2 3．
【解析】(1)先将各个二次根式化简，再根据二次根式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；
(2)根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式，平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2和完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2．
14.【答案】解：(1)∵点P在过点A(−3,1)且与y轴平行的直线上，
∴2m+1=−3，
解得：m=−2，
因此m的值为−2；
(2)∵点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，
∴3m+2=−7，
解得：m=−3，
因此m的值为−3．
【解析】(1)根据点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，确定方程求解即可；
(2)根据点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，得出相应方程求解即可．
本题主要考查坐标与图形，熟练掌握坐标与图形基本知识点是解题关键．
15.【答案】解：(1)如图1，点M即为所求：
；
(2)如图2：点N即为所作，
．
【解析】(1)连接BG交y轴于M，M即为所求；
(2)在线段AB上取格点N，使BN=5，连接NC即可．
本题考查作图−轴对称作图，解题的关键是掌握轴对称的性质．
16.【答案】解：(1)∵直线y=kx+4经过点A(−1,6)，
∴6=−k+4，解得k=−2，
∴直线的函数关系式为y=−2x+4；
(2)在y=−2x+4中，令x=0，得y=4；
∴与y轴的交点为(0,4)，
令y=0，得−2x+4=0，解得x=2；
∴与x轴的交点为(2,0)，
∴该直线与两坐标轴围成的三角形面积为12×2×4=4．
【解析】(1)把A(−1,6)代入求解即可；
(2)先求出一次函数y=−2x+4与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识．
17.【答案】解：(1)由图可知：
BC2=12+22=5，AC2=42+22=20，AB2=42+32=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)由(1)可知：BC= 5，AC= 20=2 5，AB= 25=5，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12× 5×2 5=5，
∴点C到AB的距离是2S△ABCAB=2×55=2．
【解析】(1)由图利用勾股定理可以求出BC2=5，AC2=20，AB2=25，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知△ABC是直角三角形，利用直角三角形的等面积法，直接求出点C到AB的距离．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵点P(1,b)在直线l1：y=2x+1上，
∴b=2×1+1=3；
∵点P(1,3)在直线l2：y=mx+4上，
∴3=m+4，
∴m=−1
∴b的值是3，m的值是−1；
(2)直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，
当x=a时，yC=2a+1
∴C(a,2a+1)
∵m=−1
∴l2解析式为y=−x+4
当x=a时，yD=−a+4
∴D(a,−a+4)
∵CD=2，
∴|2a+1−(−a+4)|=2，即3a−3=2
∴3a−3=2或3a−3=−2
∴a=53或a=13．
【解析】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程的知识。
(1)由点P(1,b)在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；
(2)由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论。
19.【答案】解：(1)梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12ab+12c2，
即a2+b2=c2．
(2)设BD=x，
在Rt△ABD中，AD2=AB2−BD2=42−x2=16−x2；
在Rt△ACD中，AD2=AC2−DC2=52−(6−x)2=−11+12x−x2；
所以16−x2=−11+12x−x2，
解得x=94．
【解析】(1)分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明；
(2)运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，然后再列出方程求解即可．
本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握数形结合思想以及列出方程是解答本题的关键．
20.【答案】(1)30；46
(2)由题意得：
当0当x>4时，y=4×10+(x−4)×10×0.6=6x+16，
∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y=10x(04)；
(3)文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+16=76(元)，
文文在乙超市购买10kg苹果需付费：10×10×0.8=80(元)，
∴文文应该在甲超市购买更划算．
【解析】解：(1)由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠，
∴文文购买3kg苹果需付款：3×10=30(元)，
购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠，
∴购买5kg苹果需付款：4×10+1×10×0.6=46(元)，
故答案为：30，46；
(2)见答案
(3)见答案
(1)根据题意直接写出购买3kg和5kg苹果所需付款；
(2)分04两种情况写出函数解析式即可；
(3)通过两种付款比较那个超市便宜即可．
本题主要考查一次函数的应用，关键是写出分段函数的解析式．
21.【答案】17.2 ±17.8 171 1.77
【解析】解：(1)∵17.22=295.84，(±17.8)2=316.84，
∴295.84的算术平方根是17.2，316.84的平方根是±17.8；
故答案为：17.2，±17.8；
(2)∵17.12=292.41，17.72=313.29，
∴ 292.41=17.1， 313.29=17.7，
∴ 29241= 292.41×102=10× 292.41=10×17.1=171，
3.1329= 313.29102=110×17.7=1.77；
故答案为：171，1.77；
(3)∵182=324<325，
∴18< 325<19，
∴ 325的整数部分为m=18，
∴ 3m−5−(m−16)3
= 3×18−5−(18−16)3
= 49−23
=7−8
=−1．
(1)根据表格中的对应数值，结合平方根的定义得出答案；
(2)根据表格中的对应数值，以及一个正数的小数点向右(或左)移动2位，其算术平方根的小数点向右(或左)移动1位进行解答即可：
(3)由表格中的数据，可估算出18< 325<19，进而确定m的值，再代入计算即可．
本题考查了算术平方根，平方根，无理数的大小估算，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵3x−y+7=0，
∴A=3，B=−1，C=7．
∵点Q(−2,2)，
∴d=|−2×3−1×2+7| 32+(−1)2=1 10= 1010．
∴点Q(−2,2)到到直线3x−y+7=0的距离为 1010；
(2)平移后的直线解析式为：y=−x+2，
在直线y=−x上任意取一点P，
当x=0时，y=0．
∴P(0,0)．
∵直线y=−x+2，
∴x+y−2=0，A=1，B=1，C=−2，
∴d=|0+0−2| 12+12= 2，
∴两平行线之间的距离为 2．
(3)由点到直线的距离公式得：
|1×1+1×0+C| 12+12=|1+C| 2= 2，
∴|1+C|=2，
解得：C=1或−3．
【解析】(1)直接将Q点的坐标代入公式d=|Ax0+By0+C| A2+B2就可以求出结论；
(2)在直线y=−x任意取一点P，求出P点的坐标，然后代入点到直线y=−x+2的距离公式d=|Ax0+By0+C| A2+B2就可以求出结论；
(3)由点到直线的距离公式计算解答即可．
本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键．
23.【答案】解：(1)是
(2) 2： 3： 5
(3)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，
∴当AD=BD=DC，CD2+BD2=4×62时，
解得：BD=DC=6 2，
则AB=12 2，
故AC= (12 2)2−62=6 7，
则△ABC的面积为：12×6×6 7=18 7．
当AD=BD=DC，CD2+BC2=4×BD2时，
解得：BD=DC=2 3，
则AB=4 3，
故AC=2 3，
则△ABC的面积为：12×6×2 3=6 3．
故△ABC的面积为18 7或6 3．
【解析】【解答】
解：(1)∵22+42=4×( 5)2=20，
∴△ABC三边长分别是2， 5和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
(2)∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
则a2+b2=c2，a2+c2=4b2，
则2a2=3b2，
故a：b= 3： 2，
∴设a= 3x，b= 2x，
则c= 5x，
∴此三角形的三边长之比为： 2： 3： 5．
故答案为： 2： 3： 5；
(3)见答案
【分析】
(1)直接利用常态三角形的定义判断即可；
(2)利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
(3)直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，进而求出答案．
此题主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．x
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
18
x2
289
292.41
295.84
299.29
302.76
306.25
309.76
313.29
316.84
320.41
324