初中数学沪科版（2024）九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数课后复习题

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数课后复习题，共78页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10564" 【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】 PAGEREF _Tc10564 \h 1
\l "_Tc25384" 【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】 PAGEREF _Tc25384 \h 2
\l "_Tc5623" 【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】 PAGEREF _Tc5623 \h 4
\l "_Tc20806" 【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】 PAGEREF _Tc20806 \h 5
\l "_Tc1171" 【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】 PAGEREF _Tc1171 \h 7
\l "_Tc22963" 【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】 PAGEREF _Tc22963 \h 9
\l "_Tc28970" 【题型7 反比例函数中的定值问题】 PAGEREF _Tc28970 \h 10
\l "_Tc31345" 【题型8 反比例函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc31345 \h 12
\l "_Tc29453" 【题型9 反比例函数中的最值问题】 PAGEREF _Tc29453 \h 14
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】
【例1】（23-24九年级·上海松江·阶段练习）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−3,5，B−3,0，C2,0，将ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C落在点C'处，则过点C'的反比例函数y=kx中，k的值为（ ）

A．12B．−12C．−4D．−3
【变式1-1】（2024·山东日照·模拟预测）如图，点A、B是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE0的图像经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为82，则点B坐标是（ ）
A．22,4B．4,22C．42,2D．2,42
【变式3-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函数y=kxx0）的图象经过AE上的两点A、F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．10B．11C．12D．14
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】
【例4】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxx>0的图象经过对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为9，则k的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=43xx>0的图象上，则菱形OABC的面积为 ．

【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图像与正比例函数y=2x的图像相交于A(1,a)、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
(1)求k的值；
(2)以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．
【变式4-3】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数y=k1x+1的图象与反比例函数y=k2x点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1,−2)，连接OB、OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
(4)设点P是直线AB上一动点，是否存在点P，使S△OAP=12S菱形OACD，若存在，请直接写出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】
【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，在正方形ABCD中，边AB在x轴上，OA=14，AC=2，点D在反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象上，BC交反比例函数的图象于点E，则CE的长为（ ）
A．1B．34C．35D．45
【变式5-1】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图像与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON=45°，MN=2，则k的值为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点B2,4在反比例函数y=kx的图象上，AB⊥x轴于点A．点D为边AB中点，过点D作DE⊥AB交该函数图象于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，过点E的正比例函数y=ax的图象与该函数的另一个交点为点G．
(1)k= ．
(2)求点E的坐标及四边形ADEF的面积．
(3)当正比例函数y=ax的值大于反比例函数y=kx的值时，直接写出x的取值范围．
【变式5-3】（2024·辽宁盘锦·二模）如图，正方形ABCD在第一象限，点A2，4，B4，4，反比例函数y=kxx>0的图象与正方形ABCD的边有交点．
(1)接写出k的取值范围；
(2)当反比例函数y=kxx>0图象与AB交于点E，且E是AB中点，连接OE，点F在第一象限反比例函数y=kxx>0图象上，点X为x轴上一点，且OF平分∠EOX，求点F的坐标．
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】
【例6】（2024·广东佛山·二模）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝k2x图象交于点B（﹣1，6）、点A，且点A的纵坐标为3．
(1)填空：k1＝ ，b＝ ；k2＝ ；
(2)结合图形，直接写出k1x+b＞k2x时x的取值范围；
(3)在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
【变式6-1】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数y=kx k>0，x>0经过点A、点B，已知OA=2BC，若△OAB的面积为9，则k的值为 ．
【变式6-2】（23-24九年级·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图像与x轴交于点A2,0，与y轴交于点B，与反比例函数y=kxx>0的图像交于点Cm,2．
(1)求b和k的值：
(2)如果直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点D，求直线BD的表达式；
(3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形ADEC是梯形时，求点E的坐标．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·阶段练习）如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A(1,6)，B(a,3)两点．
（1）求k1、k2的值？
（2）直接写出k1x+b−k2x>0时x的取值范围？
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
【题型7 反比例函数中的定值问题】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．
（1）当点M是边BC的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求△OMN的面积；
（2）在点M的运动过程中，试证明：MBNB是一个定值．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）已知双曲线y=kx的图象过点（1，2）．
（1）求k的值，并求当x>3时y的取值范围；
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线y=kx的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线y=kx上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式7-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别为m,0、0,n，顶点C在反比例函数y=k1x(x>0)上，顶点D在反比例函数y=k2x(x>0)上．
(1)如图1，当D点坐标为4,1时．
①求k2的值；
②求m，n的值；
(2)如图2，当m，n满足什么关系时，k1>k2，并说明理由；
(3)如图3，当k1=k2时，在AD的延长线上取一点E，过点E作EF⊥EA交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为EF的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示）
【变式7-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=4x的图象上．

(1)求点P的坐标；
(2)若OA=OB，求∠P的度数；
(3)如果直线AB的关系式为y=kx+12n，且00)和双曲线y=kx(k>0,x>0)的图像有且只有一个交点B．
(1)求点B的坐标（用含a的式子表示）；
(2)如图1，一次函数y=−x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图像上，且满足∠BPO=∠QPA．
①若a=1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；
②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求OM−BPPM的值．
【变式9-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图1，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于A1,0和B0,2，以AB为对角线作矩形OACB，点C恰好在反比例函数y=mxx>0的图象上．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图2，作线段BC的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；
(3)如图3，若点D是x轴上一点，则△BCD周长的最小值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=kx的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．若点C的坐标2,2．则阴影部分面积S最小值为 ．
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1,6 和B3,2都在反比例函数y=6x的图像上．
(1)在y轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
专题21.13 反比例函数与几何图形【九大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10564" 【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】 PAGEREF _Tc10564 \h 1
\l "_Tc25384" 【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】 PAGEREF _Tc25384 \h 7
\l "_Tc5623" 【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】 PAGEREF _Tc5623 \h 13
\l "_Tc20806" 【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】 PAGEREF _Tc20806 \h 17
\l "_Tc1171" 【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】 PAGEREF _Tc1171 \h 23
\l "_Tc22963" 【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】 PAGEREF _Tc22963 \h 29
\l "_Tc28970" 【题型7 反比例函数中的定值问题】 PAGEREF _Tc28970 \h 37
\l "_Tc31345" 【题型8 反比例函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc31345 \h 43
\l "_Tc29453" 【题型9 反比例函数中的最值问题】 PAGEREF _Tc29453 \h 52
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】
【例1】（23-24九年级·上海松江·阶段练习）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−3,5，B−3,0，C2,0，将ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C落在点C'处，则过点C'的反比例函数y=kx中，k的值为（ ）

A．12B．−12C．−4D．−3
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转角∠A'BE=∠C'BF，求出点C'的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵ A−3,5，B−3,0，C2,0，
∴AB=5,BC=−2−(−3)=5，AB⊥x轴，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
过点A'作A'E⊥AB于点E，过点C'作C'F⊥x轴于点F，
∴A'E=3，
BE=52−32=4，
∵△A'BC'是△ABC旋转得到，
∴ ∠A'BE=∠C'BF，
在△A'BE和△C'BF中，
∠A'BE=∠C'BF∠A'EB=∠C'FBAB=C'B，
∴△A'BE≌△C'BF(AAS)，
∴BF=BE=4,C'F=A'E=3，
∴OF=BF−OB=4−3=1，
∴C'(1,−3)，
故过点C'的反比例函数y=kx中，k的值为k=1×−3=−3．

故选D．
【变式1-1】（2024·山东日照·模拟预测）如图，点A、B是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE0，
∴当m−1m=1时，BP+PQ的值最小，最小值为3；
②如图所示，
过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K，由题意，B(a,a)，A(2a,0)，
∴OH=BH=AH=2a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BKJ=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP(ASA)，
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM，
∴△BJM≌△APM(ASA)，
∴JM=PM，
∴OM−PB=OJ+JM−PB=JM=PM，
∴OM−BPPM=1．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【变式9-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图1，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于A1,0和B0,2，以AB为对角线作矩形OACB，点C恰好在反比例函数y=mxx>0的图象上．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图2，作线段BC的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；
(3)如图3，若点D是x轴上一点，则△BCD周长的最小值为 ．
【答案】(1)一次函数y=−2x+2，反比例函数表达式y=2x
(2)32
(3)17+1
【分析】（1）将A1,0和B0,2代入y=kx+b可得k和b的值，从而得出点C的坐标，即可解决问题；
（2）利用割补法求出△ABE的面积即可；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接CB'交x轴于D'，此时△BCD的周长最小，根据勾股定理求出B'C的长，从而得出答案．
【详解】（1）解：将A1,0和B0,2代入y=kx+b得，
k+b=0b=2，
解得k=−2b=2，
∴y=−2x+2，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB=2，
∴C1,2，
∴m=2，
∴y=2x，
∴一次函数y=−2x+2，反比例函数表达式y=2x；
（2）解：由题意知E12,4，
∴S△ABE=12×3×1=32；
（3）：由题意知E12,4，
∴S△ABE=12×3×1=32；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接CB'交x轴于D'，此时△BCD的周长最小，
∵B0,2，
∴B'0,−2，
∴B'C=12+42=17，
∴BD+CD的最小值为17，
∴△BCD周长的最小值为17+1+，
故答案为：17+1．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称−最短路线问题是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=kx的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．若点C的坐标2,2．则阴影部分面积S最小值为 ．
【答案】32/112/1.5
【分析】本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识点，由题意可得：则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y=kx可得到A点的坐标为（k2，2），点E的坐标为2，k2
，再根据S阴影部分=S△ACE+S△OBE列出解析式，然后根据二次函数的性质即可解答；将阴影部分的面积函数解析式表示出来是解题关键．
【详解】解：∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，
∴AC∥OB，BC⊥OB，
∵C的坐标为2，2，
∴A点的坐标为（k2，2），点E的坐标为2，k2，点E的坐标为2,0，
∴S阴影部分=S△ACE+S△OBE=12×2−k2×2−k2+12×2×k2=18k2−12k+2=18k−22+32．
当k=2时，S阴影部分最小，最小值为32．
故答案为：32．
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1,6 和B3,2都在反比例函数y=6x的图像上．
(1)在y轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
【答案】(1)存在，点P的坐标为0,5；
(2)在x轴上是否存在一点Q，使△QAB的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（答案不唯一）
【分析】（1）由AB是定值，则PA+PA'最小即为△PAB的周长最小，利用轴对称可解决问题；
（2）根据题意，提出问题即可；
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，利用轴对称的性质求最小值问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：存在；
如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于点P，此时△PAB的周长最小，
∵点A的坐标为1,6，
∴点A'的坐标为−1,6，
设直线A'B的解析式为y=kx+b，
∴−k+b=63k+b=2，解得k=−1b=5，
∴直线A'B的解析式为y=−x+5，
∴点P的坐标为0,5；
（2）解：在x轴上是否存在一点Q，使△QAB的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由，
如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，交x轴于点Q，此时△QAB的周长最小，
∵点B的坐标为3,2，
∴点B'的坐标为3,−2，
设直线AB'的解析式为y=mx+n，
∴m+n=63m+n=−2，解得m=−4n=10，
∴直线AB'的解析式为y=−4x+10，
∴点Q的坐标为2.5,0．