初中数学第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数课后作业题

这是一份初中数学第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数课后作业题，共43页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24688" 【题型1 反比例函数概念辨析】 PAGEREF _Tc24688 \h 1
\l "_Tc15546" 【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc15546 \h 2
\l "_Tc24296" 【题型3 由反比例函数解析式判断其性质】 PAGEREF _Tc24296 \h 2
\l "_Tc15530" 【题型4 由反比例函数经过的象限求k】 PAGEREF _Tc15530 \h 3
\l "_Tc23085" 【题型5 由反比例函数的增减性求k】 PAGEREF _Tc23085 \h 3
\l "_Tc4666" 【题型6 由反比例函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc4666 \h 4
\l "_Tc22912" 【题型7 由反比例函数的图象求k】 PAGEREF _Tc22912 \h 4
\l "_Tc4570" 【题型8 由反比例函数k的几何意义求面积】 PAGEREF _Tc4570 \h 6
\l "_Tc26877" 【题型9 由图形的面积求k】 PAGEREF _Tc26877 \h 7
\l "_Tc8950" 【题型10 反比例函数与几何的综合】 PAGEREF _Tc8950 \h 8
【知识点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
【题型1 反比例函数概念辨析】
【例1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是P=FS．则下列说法不正确的是（ ）
A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
【变式1-1】（2023春·广西贺州·九年级统考期末）当k 时，关于x的函数y=k−1x是反比例函数．
【变式1-2】（2023春·广西贵港·九年级统考期中）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=x−1B．xy=5C．y=x3D．y=12x
【变式1-3】（2023春·湖南永州·九年级统考期中）已知关于x的反比例函数y=m−2xm−3，则m的值为 ．
【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例2】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期末）已知点−2,y1，3,y2，2,y3都在反比例函数y=6x的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3【变式2-1】（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）双曲线y=−12x不会经过的点是（ ）
A．2,−6B．8,−32C．−3,4D．2,−5
【变式2-2】（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）已知反比例函数y=8x的图象经过点Am，−4，则A关于y轴的对称点A'坐标为 ．
【变式2-3】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做“格点”，已知点A在反比例函数y=6x第一象限的图象上，若点A是格点，则A的坐标为 ．
【知识点2 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【题型3 由反比例函数解析式判断其性质】
【例3】（2023春·辽宁阜新·九年级校考期末）已知反比例函数y=−6x，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点2,3在该函数图象上
C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称
【变式3-1】（2023春·山东临沂·九年级校考期末）关于反比例函数y=13x，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小D．若点a,b在它的图象上，则点b,a也在它的图象上
【变式3-3】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）关于反比例函数y=kx（k＞0），下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图像与坐标轴没有交点
D．若点3，m，−3，n都在函数图像上，则m+n=0
【题型4 由反比例函数经过的象限求k】
【例4】（2023春·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（ ）
A．y=m2+1xB．y=m+1xC．y=mxD．y=−mx
【变式4-1】（2023春·河南郑州·九年级校考期中）若双曲线y=2a+4x位于第一、三象限，则a的值可以是（ ）
A．−4B．−3C．−2D．−1
【变式4-2】（2023春·山西大同·九年级统考期末）反比例函数y=2m+1x（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m<−12B．m>−12C．m<0D．m>0
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−2，3，B3，2，C(−6,m)分别在三个不同的象限，若反比例函数y=kxk≠0的图象经过其中两点则m的值为（ ）
A．1B．-1C．-6D．6
【题型5 由反比例函数的增减性求k】
【例5】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）反比例函数y=kxx>0图像上有两个点x1,y1，x2,y2，x1−x2y1−y2<0，则y=kx−k的图像不经过第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【变式5-1】（2023春·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数y=m−1xm2−2，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．±1D．2
【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如果反比例函数y=a−2x（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（ ）
A．a<0B．a>0C．a<2D．a>2
【变式5-3】（2023春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kxx<0的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数y=kxx<0的图象所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题型6 由反比例函数的性质比较大小】
【例6】（2023春·河北唐山·九年级校联考期中）（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）在反比例函数y＝-k2+1x图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3），若x1<0【变式6-1】（2023·天津·模拟预测）在反比例函数y＝1x的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1<0A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
【变式6-2】（2023春·山东东营·九年级统考期中）如图是三个反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k2＞k1＞k3C．k3＞k2＞k1D．k3＞k1＞k2
【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝1x图象上的点，且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1
【题型7 由反比例函数的图象求k】
【例7】（2023春·河北邯郸·九年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值可以为（ ）
A．−4B．−3C．−2D．2
【变式7-1】（2023春·九年级单元测试）双曲线y=kx的部分图象如图所示，那么k= ．
【变式7-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，符合图像的解析式是 ．（填序号）
①y=2x②y=−2x③y=2x和y=−2x④y=2x．
【变式7-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．3B．5C．6D．8
【题型8 由反比例函数k的几何意义求面积】
【例8】（2023春·陕西西安·九年级统考阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，B在y轴上，顶点A在y=−5x上，顶点C在y=7x上，则平行四边形OABC的面积是 ．
【变式8-1】（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB在x轴的正半轴上，过点A作x轴的垂线交反比例函数y=5x图像于点P，连接PB，过点A作AC∥PB，交y轴于点C，若AB=CB=52，则四边形APBC的面积是 ．

【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=−x+b交反比例函数y=3xx＞0的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，AE⊥x轴于点E，交OB于点F．若图中四边形BCEF与△AOF的面积差为12，则△ABF与△OEF的面积差为 ．
【变式8-3】（2023·辽宁盘锦·校联考二模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2xx≠0的图像相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022= ．
【知识点3 反比例函数比例系数k的几何意义】
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型9 由图形的面积求k】
【例9】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，反比例函数y=2x在第一象限的图象上有一点A，过点A分别作x轴和y轴的平行线l1，l2．若反比例函数y=kxk≠0的图象分别与l1，l2交于点B，C，△ABC的面积为4，则k的值是 ．

【变式9-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是5,0，函数y=kxx>0的图象经过菱形OABC的顶点C，若菱形OABC的面积为20，则k的值为 ．

【变式9-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点Aa，3，Bb，6在反比例函数y=kxx>0的图像上，△AOB的面积S△AOB=9，则k的值为 ．
【变式9-3】（2023春·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y=2xx>0，y=kxx<0的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ．
【题型10 反比例函数与几何的综合】
【例10】（2023·浙江·一模）如图，正方形ABCD的顶点A,B分别在y轴和x轴的正半轴上，OA=OB,CD边的中点正好在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，则正方形ABCD的边长为 ．

【变式10-1】（2023春·河北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=3xx>0的图象上，点B在函数y=kxx<0的图象上，AB⊥y轴于点C.若AC=3BC，则k的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【变式10-2】（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．点A的坐标为m,2．连接OA,OB,AB．若OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 ．

【变式10-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线y=22x上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．①当A点坐标为1,m时，D点的坐标为 ；②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为 ．

专题21.6 反比例函数的图形与性质（一）【十大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24688" 【题型1 反比例函数概念辨析】 PAGEREF _Tc24688 \h 1
\l "_Tc15546" 【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc15546 \h 3
\l "_Tc24296" 【题型3 由反比例函数解析式判断其性质】 PAGEREF _Tc24296 \h 5
\l "_Tc15530" 【题型4 由反比例函数经过的象限求k】 PAGEREF _Tc15530 \h 7
\l "_Tc23085" 【题型5 由反比例函数的增减性求k】 PAGEREF _Tc23085 \h 9
\l "_Tc4666" 【题型6 由反比例函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc4666 \h 11
\l "_Tc22912" 【题型7 由反比例函数的图象求k】 PAGEREF _Tc22912 \h 13
\l "_Tc4570" 【题型8 由反比例函数k的几何意义求面积】 PAGEREF _Tc4570 \h 16
\l "_Tc26877" 【题型9 由图形的面积求k】 PAGEREF _Tc26877 \h 21
\l "_Tc8950" 【题型10 反比例函数与几何的综合】 PAGEREF _Tc8950 \h 27
【知识点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
【题型1 反比例函数概念辨析】
【例1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是P=FS．则下列说法不正确的是（ ）
A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
【答案】C
【分析】由正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可．
【详解】解：A．在P=FS中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意；
B．在P=FS中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意；
C．在P=FS中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；
D．在P=FS中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·广西贺州·九年级统考期末）当k 时，关于x的函数y=k−1x是反比例函数．
【答案】k≠1
【分析】本剧反比例函数的定义解题即可．
【详解】∵函数y=k−1x是反比例函数，
∴k−1≠0，
解得：k≠1，
故答案为k≠1．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握形如y=kx(k≠0)的函数是反比例函数是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·广西贵港·九年级统考期中）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=x−1B．xy=5C．y=x3D．y=12x
【答案】C
【分析】由反比例函数的三种形式判断即可．
【详解】解：反比例函数的三种形式为：
①y=kx（k为常数，k≠0 ），②xy=k （k为常数，k≠0），③y=kx−1 （k为常数，k≠0），
由此可知：只有y=x3不是反比例函数，其它都是反比例函数，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·湖南永州·九年级统考期中）已知关于x的反比例函数y=m−2xm−3，则m的值为 ．
【答案】−2
【分析】由反比例函数的定义得到m−2≠0，m−3=−1，即可求得m的值．
【详解】解：∵y=m−2xm−3是反比例函数，
∴m−2≠0，m−3=−1，
∴m=±2且m≠2，
∴m=−2，
故答案为：−2
【点睛】此题考查了反比例函数，形如y=kxk≠0的函数是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例2】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期末）已知点−2,y1，3,y2，2,y3都在反比例函数y=6x的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3【答案】C
【分析】分别把点−2,y1，3,y2，2,y3代入函数解析式求出y1,y2,y3的值即可判断．
【详解】解：∵点−2,y1，3,y2，2,y3都在反比例函数y=6x的图象上，
∴y1=6−2=−3；y2=63=2；y3=62=3，
∵−3<2<3，
∴y1故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，把点A、B、C的坐标代入解析式求出y1,y2,y3的值是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）双曲线y=−12x不会经过的点是（ ）
A．2,−6B．8,−32C．−3,4D．2,−5
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、当x=2时，y=−122=−6，过点2,−6，不符合题意；
B、当x=8时，y=−128=−32，过点8,−32，不符合题意；
C、当x=−3时，y=−12−3=4，过点−3,4，不符合题意；
D、当x=2时，y=−122=−6，过点2,−6，不经过点2,−5，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．
【变式2-2】（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）已知反比例函数y=8x的图象经过点Am，−4，则A关于y轴的对称点A'坐标为 ．
【答案】2,−4
【分析】由反比例数的性质求得A的坐标，由关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．
【详解】解：∵反比例函数y=8x的图象经过点Am,−4，
∴−4m=8，
解得：m=−2，
∴A−2,−4,
则A关于y轴的对称点A'坐标为2,−4，
故答案为：2,−4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关于y轴对称的点的坐标特征，得出点A的坐标是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做“格点”，已知点A在反比例函数y=6x第一象限的图象上，若点A是格点，则A的坐标为 ．
【答案】(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)
【分析】由题意写出反比例函数y=6x在第一象限的格点坐标即可．
【详解】解：由题意，反比例函数y=6x在第一象限的格点坐标有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)，
∴A点坐标为(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)，
故答案为：(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解“格点”坐标的含义以及掌握反例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
【知识点2 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【题型3 由反比例函数解析式判断其性质】
【例3】（2023春·辽宁阜新·九年级校考期末）已知反比例函数y=−6x，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点2,3在该函数图象上
C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称
【答案】D
【分析】由反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【详解】解：A．∵反比例函数y=−6x中-6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入y=−6x得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数y=−6x中-6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数y=−6x的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东临沂·九年级校考期末）关于反比例函数y=13x，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小D．若点a,b在它的图象上，则点b,a也在它的图象上
【答案】C
【分析】由反比例函数的图象和性质进行分析，即可一一判定．
【详解】解：A、它的图象是双曲线，故该说法正确；
B、∵k=13>0，
∴它的图象在第一、三象限，故该说法正确；
C、在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，故该说法错误；
D、若点a,b在它的图象上，则点b,a也在它的图象上，故该说法正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是掌握和灵活运用反比例函数的图象和性质．
【变式3-2】（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）对于反比例函数y=−3x，下列说法不正确的是（ ）
A．图像分布在第二、四象限
B．当x>0时，y随x的增大而增大
C．图像经过点−1,3
D．若点Ax1，y1，Bx2，y2都在图像上，且x1＜x2，则y1＜y2
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质分别判断各选项即可解答．
【详解】解：∵反比例函数y=−3x，
A、∵k=−3<0，∴图像布在第二、四象限，故此选项正确，不符合题意；
B、∵k=−3<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意；
C、∵3=−3−1，∴图像经过点−1,3，故此选项正确，不符合题意；
D、∵k=−3<0，∴ y随x的增大而减小，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握：反例函数y=kx ，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
【变式3-3】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）关于反比例函数y=kx（k＞0），下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图像与坐标轴没有交点
D．若点3，m，−3，n都在函数图像上，则m+n=0
【答案】B
【分析】当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0 时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限，y随x的增大而增大．
【详解】解：A、因为k＞0，所以反比例函数y=kx（k＞0），的图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
B、反比例函数y=kx（k＞0）的图象是双曲线，经过第一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意；
C、该函数图象与坐标轴无限接近，但无交点，故本选项不符合题意；
D、若点3，m，−3，n 都在函数图象上，
∴m=k3，n=−3x，
∴m+n=0，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）的性质：①当k＞0 时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
【题型4 由反比例函数经过的象限求k】
【例4】（2023春·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（ ）
A．y=m2+1xB．y=m+1xC．y=mxD．y=−mx
【答案】A
【分析】由反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；
B、不确定；
C、不确定；
D、不确定．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·河南郑州·九年级校考期中）若双曲线y=2a+4x位于第一、三象限，则a的值可以是（ ）
A．−4B．−3C．−2D．−1
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数2a+4＞0，解得a的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y=2a+4x的图象位于第一、三象限，
∴2a+4＞0，
解得：a>−2．
结合选项可知，只有-1符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当k>0时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大．
【变式4-2】（2023春·山西大同·九年级统考期末）反比例函数y=2m+1x（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m<−12B．m>−12C．m<0D．m>0
【答案】A
【分析】利用反比例函数的性质：当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴2m+1<0，
∴2m<−1，
∴m<−12，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中k的意义以及相对应图象所在象限的位置是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−2，3，B3，2，C(−6,m)分别在三个不同的象限，若反比例函数y=kxk≠0的图象经过其中两点则m的值为（ ）
A．1B．-1C．-6D．6
【答案】B
【分析】由已知条件得到点A−2,1在第二象限，求得点C−6,m一定在第三象限，由于反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过B3，2，C−6,m，于是得到结论．
【详解】∵A−2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且点A、B、C在三个不同象限，
又∵点C的横坐标为−6，
∴C−6,m在第三象限，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，
∴B3,2，C−6,m两点在该反比例函数图象上，
∴2=k3m=k−6
解得k=6m=−1
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键．
【题型5 由反比例函数的增减性求k】
【例5】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）反比例函数y=kxx>0图像上有两个点x1,y1，x2,y2，x1−x2y1−y2<0，则y=kx−k的图像不经过第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】B
【分析】由x1−x2y1−y2<0可得x1−x2<0y1−y2>0或 x1−x2>0y1−y2<0，从而由反比例函数增减性确定k的符合，即可由一次函数图像与性质得到答案．
【详解】解：∵反比例函数y=kxx>0图像上有两个点x1,y1，x2,y2，x1−x2y1−y2<0，
∴ x1−x2<0y1−y2>0或 x1−x2>0y1−y2<0，
∴当x1y2或x1>x2y10在x>0时，y随x的增大而减小，则k>0，
∴−k<0，
∴ y=kx−k的图像不经过第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质是解决问题的关键．
【变式5-1】（2023春·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数y=m−1xm2−2，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．±1D．2
【答案】B
【分析】反比例函数的自变量次数为−1，y随x的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且m−1<0，据此列出方程与不等式即可求得m的值．
【详解】由题意得：m2−2=−1m−1<0 ．
∴m=±1且m<1．
∴m=−1．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义及其增减性，解题的关键由反比例函数的定义及增减性列出方程与不等式．
【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如果反比例函数y=a−2x（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（ ）
A．a<0B．a>0C．a<2D．a>2
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质，k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，建立不等式，求解即可．
【详解】∵反比例函数y=a−2x（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，
∴a-2＞0，
解得a＞2，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kxx<0的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数y=kxx<0的图象所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】由反比例函数的性质求解．
【详解】解：反比例函数y=kxx<0的函数值y随着自变量x的增大而增大，
所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x<0，则分支在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
【题型6 由反比例函数的性质比较大小】
【例6】（2023春·河北唐山·九年级校联考期中）（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）在反比例函数y＝-k2+1x图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3），若x1<0【答案】y2＜y3＜y1
【分析】因为k2+1>0，所以-（k2+1）<0，此函数分布在二，四象限，在各象限y随x的增加而增大，即可判断出y2＜y3＜y1．
【详解】∵k2+1>0，
∴-（k2+1）<0，
∴y＝-k2+1x，
图象在二，四象限，第二象限y为正，
∴y1最大，第四象限内y随x增大而增大，所以y2最小，因此y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点睛】此题考查反比例函数图像和系数k的关系，会数形结合是本题解题关键，学会利用图像解题．
【变式6-1】（2023·天津·模拟预测）在反比例函数y＝1x的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1<0A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】由反比例函数的图象性质判断即可；
【详解】解：∵反比例函数y＝1x的图象位于一、三象限，x＜0时y＜0，x＞0时y＞0，
∴y1最小，
∵x＞0时函数递减，0∴y2>y3，
∴y1故选： A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：比例系数大于0时，函数的两个分支分布在一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；掌握其性质是解题关键．
【变式6-2】（2023春·山东东营·九年级统考期中）如图是三个反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k2＞k1＞k3C．k3＞k2＞k1D．k3＞k1＞k2
【答案】C
【分析】由反比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数y1═k3x的图象在第一象限，
∴k3＞0．
∵反比例函数y2=k2x，y1=k1x的图象在第二象限，
∴k2＜0，k1＜0．
∵y=k1x的图象据原点较远，
∴k1＜k2，
∴k3＞k2＞k1．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝1x图象上的点，且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1
【答案】C
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝1x1，y2＝1x2，y3＝1x3，然后利用y1＜0＜y2＜y3比较x1、x2、x3的大小．
【详解】解：∵点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝1x图象上的点，
∴y1＝1x1，y2＝1x2，y3＝1x3，
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴x1＜x3＜x2．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
【题型7 由反比例函数的图象求k】
【例7】（2023春·河北邯郸·九年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值可以为（ ）
A．−4B．−3C．−2D．2
【答案】B
【分析】由函数图象确定k的取值范围．
【详解】解：如图所示，
反比例函数y=kx的图象位于第二、四象限，则k<0．
又∵−2×2∴观察选项，只有选项B合题意．
故选：B．
【点睛】考查了反比例函数的图象，由函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点．
【变式7-1】（2023春·九年级单元测试）双曲线y=kx的部分图象如图所示，那么k= ．
【答案】2
【分析】由题图可知双曲线过点（1，2），然后用待定系数法求解即可.
【详解】解：∵双曲线过点（1，2），
∴2=k1，
∴k=2.
故答案为2.
【点睛】本题考点：用待定系数法求反比例函数的解析式.
【变式7-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，符合图像的解析式是 ．（填序号）
①y=2x②y=−2x③y=2x和y=−2x④y=2x．
【答案】④
【分析】由题干图像为双曲线，且图像再第一象限和第二象限，得到y>0，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵双曲线图像在第一象限和第二象限，
∴y>0，
∴应选④，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了反比例函数图像，解题关键是掌握反比例函数y=kx的图像是双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限．
【变式7-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．3B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】由点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答案.
【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，
∴k>3，
∵点（3，2）在反比例函数图象上方，
∴k3<2，即k<6，
∴3故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.
【题型8 由反比例函数k的几何意义求面积】
【例8】（2023春·陕西西安·九年级统考阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，B在y轴上，顶点A在y=−5x上，顶点C在y=7x上，则平行四边形OABC的面积是 ．
【答案】12
【分析】过点A作AE⊥y于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，因为四边形OABC是平行四边形，可证得△AEO≅△CDBAAS，△AEB≅△CDOAAS，即S△AEO=S△CDB，S△AEB=S△CDO，再由反比例函数的k的几何意义即可解答．
【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥y于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，∠AOE=∠CBD，
∵AE⊥y，CD⊥y，
∴∠AEO=∠CDB=90°，
∴△AEO≅△CDBAAS，
∴ S△AEO=S△CDB，
同理可得：△AEB≅△CDOAAS，S△AEB=S△CDO，
∵点A在反比例函数y=−5x上，
∴S△AOE=S△CDB=12×−5=52，
∵点C在反比例函数y=7x上，
∴S△AEB=S△CDO=12×7=72，
∴平行四边形OABC的面积为：52×2+72×2=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k是解答本题的关键．
【变式8-1】（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB在x轴的正半轴上，过点A作x轴的垂线交反比例函数y=5x图像于点P，连接PB，过点A作AC∥PB，交y轴于点C，若AB=CB=52，则四边形APBC的面积是 ．

【答案】6516
【分析】连接OP，CP，由平行线的性质得到S△ABC=S△APC=S△APO=k2=52，进而求得OC=2，利用勾股定理求得OB=32，进而求得P4,54，由四边形APBC的面积是S△ABC+S△ABP求解即可．
【详解】解：连接OP，CP，

∵PA⊥x轴于A，
∴∠PAO=∠COA=90°，
∵PA∥OC，
∴S△APC=S△APO=k2=52，
∵AC∥PB，
∴S△ABC=S△APC=52，
由12AB⋅OC=12×52OC=52，得OC=2，
∴OB=BC2−OC2=522−22=32，
∴OA=BO+AB=4，
∴P4,54，则PA=54，
∴四边形APBC的面积是S△ABC+S△ABP =52+12×52×54 =6516，
故答案为：6516．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握反比例函数k的几何意义，由平行线的性质得到S△ABC=S△APC=S△APO是解答的关键．
【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=−x+b交反比例函数y=3xx＞0的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，AE⊥x轴于点E，交OB于点F．若图中四边形BCEF与△AOF的面积差为12，则△ABF与△OEF的面积差为 ．
【答案】52
【分析】作BH⊥OC于点H，由反比例函数面积性质及四边形BCEF与△AOF的面积差为12推出△BCH面积为12，可求出OH=3,OC=4，确定直线AC解析式，得到A1，3，B3，1，从而将△ABF与△OEF的面积差转化为△AOB与△AOE的面积之差计算即可．
【详解】解：作BH⊥OC于点H，
∵四边形BCEF与△AOF的面积差为12，反比例函数y=3xx＞0
∴S△BOH−S△EOF+S△BCH−S△AOE−S△EOF=12，S△BOH=S△AOE=32，
∴S△BCH=12，
∴12BH·CH=12，
∴BH·CH=1．
∵直线y=−x+b分别交x轴，y轴于点C，D，
∴Cb,0,D0,b，
∴CO=OD，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠BCH=∠CBH=45°，
∴BH=CH，
∴BH=CH=1，
∴OH=3BH=3,OC=OH+CH=4，
∴直线y=−x+4，B3，1，
∴y=−x+4y=3x，
解得x=1y=3,x=3y=1，
∴A1，3，B3，1，
设直线OB的解析式为y=kx，
∴1=k×3，
解得k=13，
∴F1，13，
∴AF=3−13=83，
∵S△ABF−S△EOF=S△AOB−S△AOF−S△EOF=S△AOB−S△AOE，
∴S△ABF−S△EOF=12AF×OE+12AF×EB−32=12AF×OB−32
=12×83×3−32=52．
故答案为：52．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定解析式，熟练掌握交点的意义，反比例函数的性质和k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键．
【变式8-3】（2023·辽宁盘锦·校联考二模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2xx≠0的图像相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022= ．
【答案】12022
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，设A1(a,0)，则A2(2a,0)，A3(3a,0)，可求出A2022，对应的P1a,2a，P22a,22a，P33a,23a，可求出P20222022a,22022a，由三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意，设A1(0,a)，
∴A2(2a,0)，A3(3a,0)，A4(4a,0)，A5(5a,0)，
∴P1a,2a，P22a,22a，P33a,23a，P44a,24a，P55a,25a，
∴OA1=a，A1A2=a，A2A3=a，A3A4=a，A4A5=a，┈，A2021A2022=a，
A1P1=2a，A2P2=22a，A3P3=23a，A4P4=24a，A5P5=25a，┈，A2022P2022=22022a，
∴S1=12OA·A1P1=12×a×2a=1，S2=12A1A2·A2P2=12×a×22a=12，S3=12A2A3·A3P3=12×a×23a=13，S4=12A3A4·A4P4=12×a×24a=14，S5=12A4A5·A5P5=12×a×25a=15，┈，S2022=12A2021A2022·A2022P2022=12×a×22022a=12022，
故答案为：12022．
【点睛】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键．
【知识点3 反比例函数比例系数k的几何意义】
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型9 由图形的面积求k】
【例9】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，反比例函数y=2x在第一象限的图象上有一点A，过点A分别作x轴和y轴的平行线l1，l2．若反比例函数y=kxk≠0的图象分别与l1，l2交于点B，C，△ABC的面积为4，则k的值是 ．

【答案】6或−2
【分析】设l1，l2分别与x轴和y轴交于点E和点F，Aa,2a，再分k>0和k<0两种情况，求出点B和点C坐标，由△ABC的面积为4，列出方程求出k值即可．
【详解】解：设l1，l2分别与x轴和y轴交于点E和点F，Aa,2a，
当k>0时，如图，
∵点A在y=2x图像上，
∴四边形OEAF的面积为2，
∵△ABC的面积为4，
∴y=kxk≠0的图像在y=2x图像上方，
xA=xC=a，yA=yB=2a，代入y=kx中，
得yC=ka，xB=ak2，
∴AC=ka−2a=k−2a，AB=ak2−a=ak−2a2，
∴S△ABC=12×AC×AB=12×k−2a×ak−2a2=4，
解得：k=−2（舍）或k=6；

当k<0时，
同理可得：AC=2a−ka=2−ka，AB=a−ak2=2a−ak2，
∴S△ABC=12×AC×AB=12×2−ka×2a−ak2=4，
解得：k=−2或k=6（舍）；

综上：k的值为6或−2，
故答案为：6或−2．
【点睛】本题考查了反比例函数综合问题，解题的关键是利用函数表达式求出点的坐标，得到线段，表示面积．
【变式9-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是5,0，函数y=kxx>0的图象经过菱形OABC的顶点C，若菱形OABC的面积为20，则k的值为 ．

【答案】−12
【分析】过点C作CD⊥OA，由点A的坐标，求出菱形的边长，由菱形的面积，进而求出CD的长，再利用勾股定理求出OD的长，进而求出C点坐标，利用横纵坐标之积，即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥OA，

∵点A的坐标是5,0，四边形OABC为菱形，
∴OC=OA=5，
∵菱形OABC的面积为20，
∴OA⋅CD=20，
∴CD=4，
∴OD=OC2−DC2=3，
∴C3,−4，
∴k=3×−4=−12；
故答案为：−12．
【点睛】本题考查由图形面积求k值．熟练掌握菱形的性质和勾股定理，求出C点坐标，是解决本题的关键．
【变式9-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点Aa，3，Bb，6在反比例函数y=kxx>0的图像上，△AOB的面积S△AOB=9，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先由反比例函数的性质得到k=3a=6b，则a=2b，再证明S梯形ACDB=S△AOB=9，然后由梯形面积公式求出b=2，则k=12．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵点Aa，3，Bb，6在反比例函数y=kxx>0的图像上，
∴k=3a=6b，
∴a=2b，
∵S△AOB=S△AOC+S△AOB=S△BOD+S梯形ACDB，S△AOC=S△BOD=k2，
∴S梯形ACDB=S△AOB=9，
∵OC=a，OD=b，BD=6，AC=3，
∴6+32⋅a−b=9，
∴92b=9，
∴b=2，
∴k=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特点，正确作出辅助线证明S梯形ACDB=S△AOB=9是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y=2xx>0，y=kxx<0的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ．
【答案】−4
【分析】连接OB、OC，因为BC∥x轴，可以得出S△ABC=S△BOC，结合反比例函数k的几何意义即可求出k的值．
【详解】解：如图所示：连接OB、OC，
∵BC∥x轴，
∴S△ABC=S△BOC，
∴S△BOC=12×2+12×k，
又∵△ABC的面积是3，
∴12×2+12×k=3，
∴k=±4，
又∵y=kxx<0，
∴k=−4．
故答案为：−4．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键．
【题型10 反比例函数与几何的综合】
【例10】（2023·浙江·一模）如图，正方形ABCD的顶点A,B分别在y轴和x轴的正半轴上，OA=OB,CD边的中点正好在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，则正方形ABCD的边长为 ．

【答案】223
【分析】设CD的中点为E，连接OE交AB于点F，由对称性得到∠AOF=∠BOF，进而求得E1,1，勾股定理求出OE=12+12=2，然后OF=BF=x，则AD=AB=2x，利用OF+EF=OE解方程求解即可．
【详解】如图所示，设CD的中点为E，连接OE交AB于点F，

∵四边形ABCD是正方形，OA=OB，CD边的中点正好在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，
∴由对称性可得，OE是∠AOB平分线
∴∠AOF=∠BOF，
∵点E在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，
∴E1,1，
∴OE=12+12=2，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OF⊥AB，OF=BF，
∴设OF=BF=x，
∴AD=AB=2x，
∵∠A=∠D=∠AFE=90°，
∴四边形AFED是矩形，
∴EF=AD=2x，
∵OF+EF=OE，
∴x+2x=2，
∴解得x=23．
∴正方形边长为：232
故答案为：223．
【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合题，正方形和矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式10-1】（2023春·河北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=3xx>0的图象上，点B在函数y=kxx<0的图象上，AB⊥y轴于点C.若AC=3BC，则k的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【答案】A
【分析】设A的横坐标为a，则纵坐标为3a，由题意得出点B的坐标为(−13a,3a)，代入y=kx（x＜0）即可求得k的值．
【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为3a，
∵AC=3BC，∴B的横坐标为-13a，
∵AB⊥y轴于点C，∴AB∥x轴，∴B（-13a，3a），
∵点B在函数y=kx（x＜0）的图象上，∴k=-13a×3a=-1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．
【变式10-2】（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．点A的坐标为m,2．连接OA,OB,AB．若OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 ．

【答案】25−2
【分析】过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥CD于点C，证明△DAO≌△CBA，进而由全等三角形的性质得出DA=CB,AC=OD，由点Am,2，进而得出B2+m,2−m，由点A,B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．列出方程，求得m的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥CD于点C，

∴∠C=∠CDO=90°，
∵OA=AB,∠OAB=90°，
∴∠DAO=90°−∠CAB=∠CBA
∴△DAO≌△CBA
∴DA=CB,AC=OD
∵点A的坐标为m,2．
∴AC=OD=2，AD=BC=m
∴B2+m,2−m
∵A,B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴2m=2+m2−m
解得：m=5−1或m=−5−1（舍去）
∴k=2m=25−2
故答案为：25−2．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点B的坐标是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线y=22x上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．①当A点坐标为1,m时，D点的坐标为 ；②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为 ．

【答案】 22,−1 12
【分析】①先求解A1,22，如图，连接OD，过A作AG⊥y轴于G，过D作DQ⊥x轴于Q，证明△AOG≌△DOQ，可得OQ=OG=22,DQ=AG=1，从而可得答案；
∴D22,−1；
②设Am,n，同理可得：Dn,−m，求解直线AD为y=m+nm−nx−m2+n2m−n，可得Em2+n2m+n,0，求解AE2=m2+n2m+n−m2+n2=n2m−n2m+n2+n2，DE2=m2+n2m+n−n2+m2=m2m−n2m+n2+m2，如图，过E作EQ⊥AC于Q，证明AE2=2DE2，可得n2m−n2m+n2+n2=2m2m−n2m+n2+2m2，可得n2=2m2，而mn=22，求解m2=2，n2=4，从而可得答案．
故答案为：D22,−1，12
【详解】解：①∵A1,m在y=22x上，
∴m=22，即A1,22，
如图，连接OD，过A作AG⊥y轴于G，过D作DQ⊥x轴于Q，

∴∠AGO=∠DQO=90°，
∵正方形ABCD，
∴AO⊥OD,AO=OD，
∵∠GOQ=90°=∠AOD，
∴∠AOG=∠DOQ，
∴△AOG≌△DOQ，
∴OQ=OG=22,DQ=AG=1，
∴D22,−1；
②设Am,n，
同理可得：Dn,−m，
设直线AD为y=kx+b，
∴mk+b=nnk+b=−m，解得：k=m+nm−nb=−m2+n2m−n，
∴直线AD为y=m+nm−nx−m2+n2m−n，
当y=0时，则m+nm−nx−m2+n2m−n=0，
解得：x=m2+n2m+n，即Em2+n2m+n,0，
∴AE2=m2+n2m+n−m2+n2=n2m−n2m+n2+n2，
DE2=m2+n2m+n−n2+m2=m2m−n2m+n2+m2，
如图，过E作EQ⊥AC于Q，

∵CE平分∠ACD，
∴EQ=ED，
∴S△ACES△DCE=12AC×EQ12CD×DE=12AE×CD12CD×DE，
∴AEDE=ACCD=2，
∴AE2=2DE2，
∴n2m−n2m+n2+n2=2m2m−n2m+n2+2m2，
整理可得：n2m+n2+m−n2=2m2m+n2+m−n2，
∴n2=2m2，而mn=22，
∴m2=2，n2=4，
∴正方形的面积=AD2=m−n2+n+m2=2m2+n2=12．
故答案为：D22,−1，12
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题．
函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点