2024-2025学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．6B．8C．10D．12
2、（4分）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH的长为（ ）
A．5B．C．D．
3、（4分）下列四个数中，大于而又小于的无理数是
A．B．C．D．
4、（4分）如果三个数a、b、c的中位数与众数都是5，平均数是4，那么b的值为（ ）
A．2B．4C．5D．5或2
5、（4分）若五箱苹果的质量（单位：）分别为18，21，18，19，20，则这五箱苹果质量的中位数和众数分别是（ ）
A．18和18B．19和18C．20和18D．20和19
6、（4分）如果有意义，那么（ ）
A．a≥B．a≤C．a≥﹣D．a
7、（4分）下面四个二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）在一组数据3，4，4，6，8中，下列说法错误的是（ ）
A．它的众数是4B．它的平均数是5
C．它的中位数是5D．它的众数等于中位数
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为_____．
10、（4分）如图，菱形中，垂直平分，垂足为，．那么菱形的对角线的长是_____．
11、（4分）如图，在菱形ABCD 中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是_________.
12、（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为_____．
13、（4分）一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）问题提出：
（1）如图1，在中，，点D和点A在直线的同侧，，，，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接（如图2），可求出的度数为______．
问题探究：
（2）如图3，在（1）的条件下，若，，且， ，
①求的度数．
②过点A作直线，交直线于点E，．请求出线段的长．

15、（8分）某公司欲招聘一名公务人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如表所示：
（1）如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
（2）如果公司认为作为公务人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
16、（8分）如图，四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AE＝DF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H．
(1)求证：∠ADG＝∠DCF；
(2)联结HO，试证明HO平分∠CHG．
17、（10分）因式分解：
18、（10分）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，则DE=______．
20、（4分）如图，在等边中，cm，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动，如果点、同时出发，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为____．
21、（4分）一次函数y=kx－2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是__．
22、（4分）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核，甲、乙、丙各项得分如下表：
该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，可判定_____被录用．
23、（4分）若一元二次方程的两个实数根分别是、，则一次函数的图象一定不经过第____________象限.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在平面直角坐标系中，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、．
(1)求直线和直线的解析式；
(2)点为直线上的一个动点，过作轴的垂线交直线于点，是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若沿方向平移(点在线段上，且不与点重合)，在平移的过程中，设平移距离为，与重叠部分的面积记为，试求与的函数关系式．
25、（10分）服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5 倍，求每件羽绒服的标价是多少元.
26、（12分）因式分解：
（1）36﹣x2
（2）ma2﹣2ma+m
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由平行四边形的性质得出DC＝AB＝4，AD＝BC＝1，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出△CDE的周长＝AD+DC，即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝1．
∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝1+4＝2．
故选C．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
2、B
【解析】
延长DC交FE于点M，连结BD，BF，根据正方形的性质，得DM的长，FM的长，∠DBF的度数，由勾股定理求出DF的长，由直角三角形的性质，得BH的长．
【详解】
如图示，延长DC交FE于点M，连接BD，BF．
∵正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，
∴DC=EM=3，EF=CM=4，
∴FM=1，DM=7
在Rt△FDM中，DF==5 ，
∵正方形ABCD，BEFG，
∴∠DBC=∠FBC=45°，
∴∠DBF=90°，
∵H为线段DF的中点，
∴BH= DF= ．
故选B
本题主要考查正方形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
3、B
【解析】
根据无理数的大概值和1，2比较大小，首先计算出每个选项的大概值.
【详解】
A 选项不是无理数；
B 是无理数且
C 是无理数但
D 是无理数但
故选B.
本题主要考查无理数的比较大小，关键在于估算结果.
4、D
【解析】
该数据的中位数与众数都是5，可以根据中位数、众数、平均数的定义，设出未知数列方程解答．
【详解】
解：设另一个数为x，
则5+5+x＝4×3，
解得x＝1，
即b＝5或1．
故选D．
本题主要考查众数、中位数、平均数，用方程解答数据问题是一种重要的思想方法．平均数是数据之和再除以总个数；中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
5、B
【解析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】
把这组数据从小到大排列为：18、18、19、20、21，数据18出现了两次最多，所以18为众数；19处在第3位是中位数.所以本题这组数据的中位数是19，众数是18.
故选：B.
本题考查众数，中位数，在做题时需注意①众数是出现次数最多的数，这样的数可能有几个；②在找中位数时需先给数列进行排序，如果数列的个数是奇数个，那么中位数为中间那个数，如果数列的个数是偶数个，那么中位数为中间两个数的平均数.
6、C
【解析】
被开方数为非负数，列不等式求解即可.
【详解】
根据题意得：，解得.
故选：.
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数.
7、A
【解析】
分析：根据最简二次根式的概念进行判断即可．
详解：A．是最简二次根式；
B．被开方数含分母，故B不是最简二次根式；
C．被开方数含能开得尽方的因数，故C不是最简二次根式；
D．被开方数含有小数，故D不是最简二次根式．
故选A．
点睛：本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8、C
【解析】
一组数据中出现次数最多的数为众数；
将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
根据平均数的定义求解．
【详解】
在这一组数据中4是出现次数最多的，故众数是4；
将这组数据已经从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数是4，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4；
由平均数的公式的，=（3+4+4+6+8）÷5=5，平均数为5，
故选C．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、﹣1＜b＜1
【解析】
由题意，G(-2，3)，M(2，-3)，根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，求出直线经过点G或M时的b的值即可判断．
【详解】
解：由题意，G(-2，3)，M(2，-3)，
根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，
当直线y＝x+b经过点G(-2，3)时，b＝1，
当直线y＝x+b经过点M(2，-3)时，b＝-1，
∴满足条件的b的范围为：-1＜b＜1．
故答案为：-1＜b＜1.
本题考查一次函数图象上点的特征、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10、
【解析】
由垂直平分可得，再由菱形的性质得出，根据勾股定理求出，即可得出．
【详解】
解：垂直平分，AB=2cm，
∴=2cm，
在菱形ABCD中，，，，
，
，
；
故答案为：．
本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出是解决问题的关键．
11、1
【解析】
根据菱形的性质可得AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，再根据直角三角形的性质可得AB=2OP，进而得到AB长，然后可算出菱形ABCD的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵点P是AB的中点，
∴AB=2OP，
∵PO=2，
∴AB=4，
∴菱形ABCD的周长是：4×4=1，
故答案为：1．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，四边相等，此题难度不大．
12、
【解析】
根据题意可证△ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得AP=EF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得AP=EF=2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．
【详解】
解：连接AP，
∵AB2+AC2＝169，BC2＝169
∴AB2+AC2＝BC2
∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形
∴AP＝EF，∠EPF＝90°
又∵M是EF的中点
∴PM＝EF
∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．
根据垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小
此时S△ABC＝AB×AC＝BC×AP
∴AP＝
∴EF＝
∴PM＝
故答案为
本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF=AP
13、（3，0）.
【解析】
试题分析：把y=0代入y＝2x－6得x=3，所以一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为（3，0）.
考点：一次函数的图像与x轴的交点坐标.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）30°；（2）①；②
【解析】
（1）由旋转的性质，得△ABD≌，则，然后证明是等边三角形，即可得到；
（2）①将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，连接．与（1）同理证明为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；
②由解直角三角形求出，再由等边三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）根据题意，∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质，则△ABD≌，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴≌，
∴，
∴；
（2）①，
．
如图1，将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，连接．
，
，
，
，
，
．
．
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
②如图2，由①知，，
在中，，
．
是等边三角形，
，
，
．
本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．
15、 (1)甲将被录取；(2)乙将被录取.
【解析】
（1）求得面试和笔试的平均成绩即可得到结论；
（2）根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：（1）＝＝89（分），
＝＝87.5（分），
因为＞，
所以认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，甲将被录取；
（2）甲的平均成绩为：（86×6+90×4）÷10＝87.6（分），
乙的平均成绩为：（92×6+83×4）÷10＝88.4（分），
因为乙的平均分数较高，
所以乙将被录取．
此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．
16、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
（1）根据题意可得△DFC≌△AFB，△AGB≌△ADG，可得∠ADG=∠DCF
（2）由题意可证CF⊥DG，由∠CHD=∠COD=90°，则D，F，O，C四点共圆，可得∠CDO=∠CHO=45°，可证OH平分∠CHG.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠CAB＝45°，AC⊥BD
∵DC＝AB，DF＝AE，∠CDA＝∠DAB＝90°
∴△DFC≌△AEB
∴∠ABE＝∠DCF
∵AG＝AG，AB＝AD，∠DAC＝∠CAB＝45°
∴△ADG≌△ABG
∴∠ADG＝∠ABE
∴∠DCF＝∠ADG
(2)∵∠DCF＝∠ADG，且∠ADG+∠CDG＝90°
∴∠DCF+∠CDG＝90°
∴∠CHD＝∠CHG＝90°
∵∠CHD＝∠COD
∴C，D，H，O四点共圆
∴∠CHO＝∠CDO＝45°
∴∠GHO＝∠CHO＝45°
∴HO平分∠CHG
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
17、（x+y-1）（x+y+1）
【解析】
将前三项先利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
解：（x2+y2+2xy）-1
=（x+y）2-1
=（x+y-1）（x+y+1）．
此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键．
18、（1）x＜﹣1；（2）x＝2
【解析】
（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）由①得：x＜﹣1，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为x＜﹣1，
解集表示在数轴上为：
；
（2）分式方程去分母得：3（x﹣1）＝x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3.1
【解析】
根据三角形的中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，
∴．
故答案为：3.1．
本题考查了三角形的中位线定理，属于基本题型，熟练掌握该定理是解题关键．
20、1或3
【解析】
用t表示出AE和CF，当AE=CF时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,
据此求解即可.
【详解】
解:设运动时间为t，则AE=t cm，BF=2t cm，
∵是等边三角形，cm，
∴BC=3 cm，
∴CF= ，
∵AG∥BC，
∴AE∥CF，
∴当AE=CF时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴=t,
∴2t-3=t或3-2t=t,
∴t=3或t=1,
故答案是：1或3.
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形有很多判定定理，结合题目条件找到所缺的合适的判定条件是解题的关键.
21、k＜1
【解析】
根据一次函数图象的增减性来确定k的符号即可.
【详解】
解：∵一次函数y=kx-2的函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜1，
故答案为k＜1．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠1）中，当k＞1时，y随x的增大而增大；当k＜1时，y随x的增大而减小．
22、乙
【解析】
由于甲的面试成绩低于80分，根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
【详解】
解：∵该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，
∴甲淘汰；
乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5，
丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3，
乙将被录取．
故答案为：乙．
本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
23、四
【解析】
根据根与系数的关系可得出a＋b＝1、ab＝4，再结合一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y＝abx＋a＋b的图象经过的象限，此题得解．
【详解】
解：∵一元二次方程的两个实数根分别是a、b，
∴a＋b＝1，ab＝4，
∴一次函数的解析式为y＝4x＋1．
∵4＞0，1＞0，
∴一次函数y＝abx＋a＋b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四.
本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=-x+1，y=x；（2）m=或；（3）S=.
【解析】
（1）理由待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设M（m，），则N（m，-m+1）．当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，可得|-m+1-|=3，解方程即可；
（3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．根据S=S△OFQ-S△OEP=OF•FQ-OE•PG计算即可.
【详解】
解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，解得，
∴直线CD的解析式为y=-x+1．
设直线OD的解析式为y=mx，则有3m=1，m=，
∴直线OD的解析式为y=x.
（2）存在．
理由：如图1中，设M（m，），则N（m，-m+1）．
当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴|-m+1-|=3，
解得m=或.
（3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
因为平移距离为t，所以水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），
则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，），C′（1+t，3-t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3-t）代入得：b=-1t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x-1t．
∴E（，0）．
联立y=3x-1t与y=，解得x=．
∴S=S△OFQ-S△OEP=OF•FQ-OE•PG
=（1+t）（）-
=.
本题考查一次函数综合题、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．
25、每件羽绒服的标价为700元
【解析】
设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，等量关系：11月份的销售量是10月份的1.5倍．
【详解】
设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，
根据题意得:，
解得:x＝700，
经检验x＝700是原方程的解
答:每件羽绒服的标价为700元
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26、（1）（6+x）（6﹣x）；（1）m（a﹣1）1．
【解析】
1）原式利用平方差公式分解即可；
（1）原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
（1）原式＝（6+x）（6﹣x）；
（1）原式＝m（a1﹣1a+1）＝m（a﹣1）1．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
应试者
面试
笔试
甲
86
90
乙
92
83
笔试
面试
体能
甲
83
79
90
乙
85
80
75
丙
80
90
73