2024-2025学年湖南省广益实验中学九上数学开学考试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年湖南省广益实验中学九上数学开学考试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若分式的值为零，则的值为( )
A．B．C．D．
2、（4分）下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分
B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
3、（4分）在平行四边形中，，则的度数为( )
A．110°B．100°C．70°D．20°
4、（4分）已知一次函数y＝（m+1）x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为（（ ）
A．0B．﹣1C．1D．±1
5、（4分）如图，已知的顶点A和AB边的中点C都在双曲线的一个分支上，点B在x轴上，则的面积为
A．3B．4C．6D．8
6、（4分）如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）要使分式有意义，则x的取值范围是( )
A．B．C．D．
8、（4分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣4=0的一个根为m，则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．任意实数
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在□ABCD中，∠A＝105º，则∠D＝__________．
10、（4分）命题“对角线相等的四边形是矩形”的逆命题是_____________．
11、（4分）当时，二次根式的值是______．
12、（4分）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是__________．
13、（4分）如图，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件：_____，使得△ABC≌△DCB．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围：
（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由.
15、（8分）已知：是一元二次方程的两实数根.
（1）求 的值；
（2）求 x1 x2的值．
16、（8分）计算：（1）
（2）（﹣1）2﹣（﹣）（+）
17、（10分）深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新进行装修．
（1）由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务．现在有甲，乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超过期限6天才能完成，若两队合做4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，甲工程队单独完成此工程需要多少天？
（2）装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购A、B两种清洁剂共100瓶，其中A种清洁剂6元/瓶，B种清洁剂9元/瓶．要使购买总费用不多于780元，则A种清洁剂最少应购买多少瓶？
18、（10分）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下：
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2.
（1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知关于x的方程m2x2+2(m﹣1)x+1＝0有实数根，则满足条件的最大整数解m是______．
20、（4分）如图，在矩形中，点为的中点，点为上一点，沿折叠，点恰好与点重合，则的值为______.
21、（4分）方程的解为_________.
22、（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x﹣3和y=kx+b的图象交于点P（m，1），则关于x的不等式2x﹣3＞kx+b的解集是_____．
23、（4分）如图，点E，F分别在x轴，y轴的正半轴上．点在线段EF上，过A作分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段AE上任意一点（P不与A，E重合），连接CP，过E作，交CP的延长线于点G，交CA的延长线于点D．有以下结论①，②，③，④，其中正确的结论是_____．（写出所有正确结论的番号）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与函数的图象相交于点，轴于点B．平移直线，使其经过点B，得到直线l，求直线l所对应的函数表达式．
25、（10分）如图所示，AE是∠BAC的角平分线，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD．
26、（12分）在中，，，是的角平分线，过点作于点，将绕点旋转，使的两边交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：
(1)当绕点旋转到如图1的位置，点在线段上，点在线段上时，且满足.
①请判断线段、、之间的数量关系，并加以证明
②求出的度数.
(2)当保持等于(1)中度数且绕点旋转到图2的位置时，若，，求的面积.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为零，
∴x2−1＝0且x2＋x−2≠0，
解得：x＝−1．
故选：C．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．
2、C
【解析】
解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是平行四边形；
B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是平行四边形；
C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形；
D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形．
故选C．
本题考查菱形的判定．
3、A
【解析】
根据平行四边形邻角互补进行求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠B=180°-∠A=110°，
故选A.
本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的邻角互补，对角相等．
4、C
【解析】
先根据一次函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）的图象经过原点得出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】
∵一次函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）的图象经过原点，
∴，解得m＝1．
故选：C．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当b＝0时函数图象经过原点是解答此题的关键．
5、C
【解析】
,结合图形可得:S△ABO=S△AOM+S△AMB,分别求解出S△AOM、S△AMB的值，过点A、C分别作AM⊥OB于M、CD⊥OB于D,设点A坐标为(x,y),设B的坐标为(a,0),已知点C是线段AB的中点, 由点A位于反比例函数的图象上可得:xy=4,即S△AOM=2,接下来,根据点C的坐标为( ),同理可解得S△CDO的面积，接下来,由S△AMB=×AM×BM,MB=|a−x|,AM=y,可解得S△AMB，即可确定△ABO的面积.
【详解】
解:过点A、C分别作AM⊥OB于M、CD⊥OB于D,设点A坐标为(x,y)
∵ 顶点A在双曲线y=(x＞0)图象上
∴ xy=4
∵ AM⊥OB
∴ S△AMO=×AM×OM=×xy，S△AMB=×AM×BM (三角形的面积等于一边与此边上高的乘积的一半)
∵ S△AMO=×xy， xy=4
∴ S△AMO=2
设B的坐标为(a,0)
∵ 点C是线段AB的中点 点A、B坐标为(x,y)、(a,0)
∴ 点C坐标为()
∵ CD⊥OB 点C坐标为()
∴ S△CDO=×CD×OD=×()×()=2 (三角形的面积等于一边与此边上高的乘积的一半)
故ay=2
∵ S△AMB=×AM×BM，MB=|a−x| ，AM=y
∴ S△AMB=×|a−x|×y=4
∵ S△ABO=S△AOM+S△AMB，S△AOM=2，S△AMB=4
∴ S△ABO=6
即△ABO的面积是6,答案选C.
本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握计算法则是解题关键.
6、D
【解析】
过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，利用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得，，根据反比例函数比例系数的几何意义求得，从而求得，从而求得k的值．
【详解】
解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵，
∴，
∴，
∴
∵点在反比例函数的图象上
∴
∴
∴，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D．
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
7、A
【解析】
根据分式分母不为0的条件进行求解即可.
【详解】
由题意得
x-1≠0，
解得：x≠1，
故选A.
8、C
【解析】
根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】
把x=m代入方程2x2﹣mx﹣4=0得2m2﹣m2﹣4=0，
解得m=2或m=﹣2，
故选C．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据平行四边形的对角相等的性质即可求解．
【详解】
解：在□ABCD中，
∠A＝105º，
故答案为：
本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．
10、矩形的对角线相等
【解析】
根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，原命题的条件是对角线相等，结论是矩形，互换即可得解.
【详解】
原命题的条件是：对角线相等的四边形，结论是：矩形；
则逆命题为矩形的对角线相等.
此题主要考查对逆命题的理解，熟练掌握，即可解题.
11、2
【解析】
把x=3代入二次根式，可得.
【详解】
把x=3代入二次根式，可得.
故答案为：2
本题考核知识点：二次根式化简. 解题关键点：熟练进行化简.
12、m＜3
【解析】
根据一次函数y=（m-3）x-2的图象经过二、三、四象限判断出m的取值范围即可．
【详解】
∵一次函数y=（m-3）x-2的图象经过二、三、四象限，
∴m-3＜0，
∴m＜3，
故答案为：m＜3.
此题考查一次函数的图象与系数的关系，解题关键在于掌握一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时函数的图象在二、三、四象限．
13、∠ABC＝∠DCB．
【解析】
有一个直角∠A＝∠D＝90°相等，有一个公共边相等，可以加角，还可以加边，都行，这里我们选择加角∠ABC＝∠DCB
【详解】
解：因为∠A＝∠D＝90°，BC=CB，∠ABC＝∠DCB，所以△ABC≌△DCB，故条件成立
本题主要考查三角形全等
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y=200x+74000（10≤x≤30）；（2）将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，理由见解析．
【解析】
（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；
（2）利用不等式的性质进行求解，对x进行分类即可；根据一次函数的单调性可直接判断每天获得租金最高的方案，得出结论．
【详解】
解：（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30-x）台，派往A，B地区的甲型收割机分别为（30-x）台和（x-10）台．
∴y=1600x+1200（30-x）+1800（30-x）+1600（x-10）=200x+74000（10≤x≤30）．
（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，
∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30
∴有3种不同分派方案：
①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；
②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；
③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；∵y=200x+74000中，
∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，
此时，y=200×30+74000=80000，
∴农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．
故答案为：（1）y=200x+74000（10≤x≤30）；（2）将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，理由见解析．
本题考查利用一次函数解决实际问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
15、（1）27；（2）
【解析】
（1）根据根与系数的关系，求出和 的值，即可得到答案；
（2）根据题意，可得，计算即可得到答案.
【详解】
解：（1）∵是一元二次方程的两实数根，
∴，，
∴；
（2）根据题意，，
∴；
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握，，然后变形计算即可.
16、（1）；（2）
【解析】
（1）根据绝对值的意义、有理数的乘方、二次根式的性质、负整数指数幂的意义化简，进而求和即可；
（2）根据二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】
（1）原式==；
（2）原式===．
本题考查了实数的混合运算．熟练掌握相关法则是解答本题的关键．
17、（1）甲工程队单独完成需要12天；（2）A种清洁剂最少应购买1瓶
【解析】
（1）可设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，根据工作总量的等量关系，列出方程即可求解；
（2）可设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100-a）瓶，根据购买总费用不多于780元，列出不等式即可求解．
【详解】
解：（1）设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，
依题意有，解得x=12，
经检验，x=12是原方程的解．
故甲工程队单独完成此工程需要12天；
（2）设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100-a）瓶，
依题意有6a+9（100-a）≤780，
解得a≥1．
故A种清洁剂最少应购买1瓶．
考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
18、（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙．
【解析】
（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【详解】
（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；
（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．
本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
分m=1即m≠1两种情况考虑，当m=1时可求出方程的解，从而得出m=1符合题意；当m≠1时，由方程有实数根，利用根的判别式即可得出△=-8m+4≥1，解之即可得出m的取值范围.综上即可得出m的取值范围，取其内最大的整数即可.
【详解】
解：当m＝1时，原方程为2x+1＝1，
解得：x＝﹣，
∴m＝1符合题意；
当m≠1时，∵关于x的方程m2x2+2(m﹣1)x+1＝1有实数根，
∴△＝[2(m﹣1)]2﹣4m2＝﹣8m+4≥1，
解得：m≤且m≠1．
综上所述：m≤．
故答案为：1．
本题考查的是方程的实数根，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
20、
【解析】
【分析】由矩形性质可得AB=CD,BC=AD;由对折得AB=BE，设AB=x,根据勾股定理求出BC关于x的表达式，便可得到.
【详解】设AB=x,在矩形ABCD中, AB=CD=x,BC=AD;
因为，E为CD的中点，
所以，CE=，
由对折可知BE=AB=x.
在直角三角形BCE中
BC=，
所以，.
故答案为图（略），
【点睛】本题考核知识点：矩形性质，轴对称. 解题关键点：利用轴对称性质得到相等线段，利用勾股定理得到BE和BC的关系.
21、
【解析】
采用分解因式法解方程即可.
【详解】
解：，解得.
本题考查了分解因式法解方程.
22、x＞1．
【解析】
把点P（m，1）代入y=1x﹣3即可得1m-3=1，解得m=1，所以点P的坐标为（1，1），观察图象可得不等式1x﹣3＞kx+b的解集是x＞1．
23、①③④.
【解析】
如图，作AM⊥y轴于M，AN⊥OE于N．首先证明四边形AMON是正方形，再证明△AMF≌△ANB（ASA），△AMC≌△ANE（ASA），△AFC≌△ABE（SSS）即可解决问题.
【详解】
解：如图，作AM⊥y轴于M，AN⊥OE于N．
∵A（4，4），
∴AM=AN=4，
∵∠AMO=∠ONA=90°，
∴四边形ANON是矩形，
∵AM=AN，
∴四边形AMON是正方形，
∴OM=ON=4，
∴∠MAN=90°，
∵CD⊥EF，
∴∠FAC=∠MAN=90°，
∴△AMF≌△ANB（ASA），∴FM=BN，
∴OF+OB=OM+FM+ON-BN=2OM=8，故③正确，
同法可证△AMC≌△ANE（ASA），
∴CM=NE，AC=AE，故①正确；
∵FM=BN，
∴CF=BE，
∵AC=AE，AF=AB，
∴△AFC≌△ABE（SSS），
∴S△ABE-S△BOC=S△AFC-S△BOC=S四边形ABOF=S正方形AMON=16，故④正确，
当BE为定值时，点P是动点，故PC≠BE，故②错误，
故答案为①③④．
本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、．
【解析】
求出A点的坐标，求出B点的坐标，再用待定系数法求出正比例函数的解析式，最后求出一次函数的解析式即可．
【详解】
解：将代入中，，∴
∵轴于点B，．
将代入中，，解得
∴设直线l所对应的函数表达式为．
将代入上式，得 ，解得．
∴直线l所对应的函数表达式是．
故答案为：．
本题考查平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
25、见解析
【解析】
求出EC=EB，∠ECA=∠EBA=90°，∠CAE=∠BAE，根据AAS推出△CAE≌△BAE，根据全等三角形的性质得出AC=AB，根据SAS推出△CAD≌△BAD即可．
【详解】
证明：∵AE是∠BAC的角平分线，EB⊥AB，EC⊥AC，
∴EC=EB，∠ECA=∠EBA=90°，∠CAE=∠BAE，
在△CAE和△BAE中
,
∴△CAE≌△BAE，
∴AC=AB，
在△CAD和△BAD中
,
∴△CAD≌△BAD，
∴BD=CD．
考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等是三角形的对应边相等，对应角相等．
26、 (1)①，理由见解析；②；(2) .
【解析】
(1)①根据角平分线的性质得到根据全等三角形的性质和判定即可得到答案；
②根据全等三角形的性质即可得到答案；
(2) 根据全等三角形的性质和判定即可得到答案；
【详解】
(1)①
∵
∴，
∵平分
∴
又∵
∴
∴
∵中，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
②∵
∴
∴
∵
∴
∴
(2)∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
设，则
∵，∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线的性质、全等三角形的性质和判定.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲
10
6
10
6
8
乙
7
9
7
8
9