鲁教版八年级数学上册专项素养综合练(九)构造平行四边形解决三类问题课件

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专项素养综合练(九)构造平行四边形解决三类问题1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,过点O作任意一条直线分别交AB,CD于点G,H,连接GF,EH.求证:GF∥EH.类型一　构造平行四边形证明线段平行或线段互相平分证明　如图,连接EG,FH, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠OBG=∠ODH,∵∠BOG=∠DOH,∴△OBG≌△ODH(ASA),∴OG=OH,∵E,F分别为OB,OD的中点,∴OE= OB,OF= OD,∴OE=OF,∴四边形EHFG是平行四边形,∴GF∥EH.2.(2023山东菏泽鄄城期末)如图,点B,E,F,D在一条直线上,BE=DF,AC交BD于点O,AD∥BC,AE∥FC.(1)求证:AC与BD互相平分.(2)若AE⊥AC,AE=BE,BD=16,EF=10,求AC的长.  解析    (1)证明:如图,连接AB,CD, ∵BE=DF,∴BF=DE,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,∵AE∥FC,∴∠AED=∠CFB,∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AD=CB,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC与BD互相平分.(2)∵AC与BD互相平分,∴OA=OC,OB=OD= BD=8,∵BE=DF,∴OE=OF= EF=5,∴AE=BE=OB-OE=3,在Rt△AOE中,∵AE⊥AC,∴AO= =4,∴AC=2AO=8.类型二　构造平行四边形证明角相等或求角度3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,求证:∠A=∠B.证明　如图,过C作CE∥AD,交AB于点E, ∵AB∥DC,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AD=CE,∵AD=BC,∴CE=CB,∴∠B=∠CEB,∵AD∥CE,∴∠A=∠CEB,∴∠A=∠B.4.在等腰三角形ABC中,AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,恰有AD=BC=CE=DE.求∠BAC的度数.解析　如图,过D作DF∥BC,且DF=BC,连接CF、EF,则四边形BDFC是平行四边形, ∴BD=CF,DA∥FC,∴∠EAD=∠ECF,∵BC∥DF,∴∠ABC=∠ADF,∵CE=AD,AB=AC,∴AE=BD,∴AE=CF,在△ADE和△CEF中, ∴△ADE≌△CEF(SAS),∴ED=EF,∵ED=BC,BC=DF,∴ED=EF=DF,∴△DEF为等边三角形,∴∠EDF=60°,设∠BAC=x°,则∠ADF=∠ABC= ,∵AD=DE,∴∠DEA=∠DAE,∵∠DAE=180°-x°,∴∠ADE=180°-2∠DAE=180°-2(180°-x°)=2x°-180°,∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°,∴ +2x°-180°=60°,∴x=100,∴∠BAC=100°.类型三　构造平行四边形证明线段的大小关系5.如图,AD是△ABC的边BC上的中线,求证:AD