鲁教版八年级数学上册专项素养综合练(八)旋转中的三种常用模型课件

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专项素养综合练(八)旋转中的三种常用模型模型解读　　此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的,旋转后的图形与原图形之间存在两种情况.类型一　手拉手模型模型示例如图1,△ABD与△ACE为等边三角形,B,A,E三点共线.  图1 图2如图2,△ABD和△ACE为等腰三角形,且AB=AD,AC=AE,B,A,E三点不共线.1.(2023山东烟台招远期末)△ABC和△ADE都是等边三角形.当△ADE绕点A旋转到图1的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA.  图1 图2(1)请猜想线段PA,PB,PC之间的数量关系,并加以证明.(2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时,其他条件不变,请直接写出线段PA,PB,PC之间的数量关系,不需要证明.解析    (1)PB=PA+PC,证明如下:如图,在BP上截取BF=PC,连接AF, ∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA.(2)PC=PA+PB.类型二　半角模型模型解读　　当一个角包含着这个角的半角,常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等.模型示例2.(2023山西大同平城校级月考)定义:我们习惯过等腰三角形顶角的顶点引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半,这样的模型称为半角模型.常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等,在解决“半角模型”的问题时,旋转是一种常用的方法.已知,如图1,四边形ABCD是正方形,E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=45°.(1)在图1中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题,请按小亮的思(1)在图1中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题,请按小亮的思路写出证明过程.(2)如图2,当∠EAF绕点A旋转到图2的位置时,试探究EF与DF,BE之间有怎样的数量关系.  图1 图2解析    (1)证明:由旋转的性质可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF,∠ABG=∠ADF,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=∠ADF=∠ABC=90°,∴∠ABC+∠ABG=180°,∴G,B,C三点在一条直线上,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF,在△AGE和△AFE中, ∴△AGE≌△AFE(SAS),∴GE=EF,∵GE=GB+BE=BE+DF,∴EF=BE+DF.(2)结论:EF=DF-BE.理由:如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,∴△ABE≌△ADG,∴BE=DG, 同(1)可证得△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF=DF-DG=DF-BE.类型三　对角互补模型模型解读(1)如图1,当∠DCE的一边与AO交于点D时,下列结论(知二推二):①∠1=∠2,②∠AOB+∠DCE=180°,③CD=CE,④OE=2NE+OD.  图1 作法1 作法2 (2)如图2,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,下列结论(知二推二):①∠1=∠2,②∠AOB+∠DCE=180°,③CD=CE,④OE=2NE-OD. 图2 图2 作法1 作法23.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD,其中∠BAD和∠BCD都是直角,另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD的面积.解析　如图,将△ABC绕点A旋转90°,得到△ADC',∴∠ADC'=∠ABC,AC=AC',△ABC≌△ADC',∠CAC'=90°, ∴∠CDC'=∠ADC+∠ADC'=∠ADC+∠ABC=180°,∴点C、D、C'在同一条直线上,又∵AC=AC',∴△ACC'是等腰直角三角形,∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC'的面积,∴S四边形ABCD=S△ACC'= ×2×2=2.