2024-2025学年重庆七中八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆七中八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了25的平方根是，估算 37−2的值在，在下列实数，下列计算正确的是，下列运算正确的是，下列可以用平方差公式计算的是等内容，欢迎下载使用。

A. 5B. ±5C. 5D. ± 5
2.若式子 2−2x有意义，则x的取值范围为( )
A. x≥1B. x≤1C. x>1D. x<1
3.估算 37−2的值在( )
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
4.在下列实数： 3、 9、−π3、、12.26266266626666…中，无理数的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.下列计算正确的是( )
A. 36=±6B. 3−27=3C. (−5)2=−5D. 16=4
6.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a4=a7B. (a2)6=a8C. (2ab2)3=2a3b6D. −a8÷a2=−a4
7.下列可以用平方差公式计算的是( )
A. (a−b)(b−a)B. (−4b−3a)(−3a+4b)
C. (5a−3b)(3b−5a)D. (2a−3b)(−2a+3b)
8.根据图中的图形面积关系可以说明的公式是( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2
B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)(a−b)=a2−b2
D. a(a−b)=a2−ab
9.已知m−n=3，则m2−n2−6n的值是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
10.已知多项式A=x2+4x+n2，多项式B=2x2+6x+3n2+3．
①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n=2或−2；
②B−A≥2；
③若A+B=2 10，A⋅B=−6，则A−B=±8；
④代数式5A2+9B2−12A⋅B−6A+2031的最小值为2022．
以上结论正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
11. 2的相反数是______．
12.比较大小：2 3______3 2.(填“>、<、或=”)
13.若am=2，an=3，则a2m−n的值是______．
14.计算：(−0.125)2023×82024= ______．
15.若a，b为有理数，且2a2−2ab+b2−6a+9=0，则a+2b= ______．
16.若x2+kx+9是一个完全平方式，则k=______．
17.对于任意实数，规定的意义是abcd=ad−bc.则当x2−3x+1=0时，x+13xx−2x−1=______．
18.如果一个四位自然数abcd−的各数位上的数字均不为0，且满足ab−+bc−=cd−，那么称这个四位数为“共和数”.例如：四位数1235，∵12+23=35，∴1235是“共和数”；又如：四位数3824，38+82≠24，3824不是“共和数”，若一个“共和数”为m268，则m的值为______；若一个“共和数”M的前三个数字组成的三位数abc−与后三个数字组成的三位数bcd的差，再减去2a，结果能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差是______．
19.(1)计算：−12023+| 3−2|−3−27+ (−3)2；
(2)计算： 54÷ 3− 23× 12+ 50．
20.(1)计算：(x4)3÷(−x2)2+(−x2)3⋅x2；
(2)计算：(x+3)(x−5)+2x(3x−1)．
21.化简：
(1)(a+3b)(a−3b)−a(a−b)
(2)(3a−b)2+(2a−b)(a+2b)
22.已知x−2的算术平方根是2，2x+y+7的立方根是3，
(1)求x+y的值；
(2)求x2+y2的算术平方根．
23.已知x+y=3，xy=−10，求：
(1)(3−x)(3−y)的值．
(2)求x2+3xy+y2的值．
24.先化简，再求值：(x+2y)2−(x+3)(x−3)−4y2，其中 x−5+(y+34)2=0．
25.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
(1)求证：BD=CE；
(2)求证：∠M=∠N．
26.北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式.例如由图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
请解答下列问题：
(1)类似地，写出图②中所表示的数学等式______；
(2)如图③的图案被称为“赵爽弦图”，是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形.已知直角三角形的两直角边分别为a，b，若a+b=5，(a−b)2=13，求大正方形的面积；
(3)如图④，在边长为m(m>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解；25的平方根是±5，
故选：B．
根据开平方的意义，可得答案．
本题考查了平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得：2−2x≥0，
解得：x≤1．
故选：B．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件和解不等式，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵6< 37<7，
∴6−2< 37−2<7−2，
∴4< 37−2<5，
∴ 37−2的值在4和5之间．
故选：C．
估算出 37的范围，再写出 37−2的范围即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解： 9=3，
所以在实数 3、 9、−π3、、12.26266266626666…中，无理数有 3、−π3、12.26266266626666…，共3个．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(两个1之间依次多一个0)，等有这样规律的数．
5.【答案】D
【解析】解：A． 36=6，因此选项A不符合题意；
B.3−27=−3，因此选项B不符合题意；
C. (−5)2=|−5|=5，因此选项C不符合题意；
D. 16=4，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据二次根式的性质、立方根逐项进行化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，立方根，理解立方根的定义，掌握二次根式的性质是正确化简的前提．
6.【答案】A
【解析】解：A、运算正确，故A符合题意；
B、(a2)6=a12，故B不符合题意；
C、(2ab2)3=8a3b6，故C不符合题意；
D、−a8÷a2=−a6，故D不符合题意．
故选：A．
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此通过计算，即可判断．
本题考查同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，关键是掌握以上运算的法则．
7.【答案】B
【解析】解：A，(a−b)(b−a)=−(a−b)(a−b)，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B，(−4b−3a)(−3a+4b)=(−3a−4b)(−3a+4b)，能用平方差公式计算，符合题意；
C，(5a−3b)(3b−5a)=−(3b−5a)(3b−5a)，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D，(2a−3b)(−2a+3b)=−(2a−3b)(2a−3b)，不能用平方差公式计算，不符合题意．
故选：B．
根据平方差公式符合(a+b)(a−b)模式的能用公式计算，逐项判断即可．
本题考查了平方差公式的计算，熟练平方差公式的特点是使用公式的前提，两数和与两数差的积等于这两个数的平方差．
8.【答案】C
【解析】解：如图，由于S长方形B=S长方形C，
因此有S长方形A+S长方形B=S长方形A+S长方形C，
而S长方形A+S长方形B=(a+b)(a−b)，
S长方形A+S长方形C=S长方形A+S长方形C+S长方形D−S长方形D，
=a2−b2，
所以有(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：C．
根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵m−n=3，
∴m2=(n+3)2，
∴m2=n2+6n+9，
∴m2−n2−6n=9，
故选：C．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
10.【答案】B
【解析】解：①根据题意得x2+4x+n2=(x+2)2，
∴n2=4，
解得n=2或−2，
故①正确；
②B−A
=(2x2+6x+3n2+3)−(x2+4x+n2)
=x2+2x+3+2n2
=(x+1)2+2+2n2，
∵(x+1)2≥0，2n2≥0，
∴(x+1)2+2+2n2≥2，
∴B−A≥2，
故②正确；
③∵A+B=2 10，A⋅B=−6，
∴(A−B)2
=(A+B)2−4A⋅B
=(2 10)2−4×(−6)
=64，
由②可知，−2≥A−B，
∴A−B=−8，
故③错误；
④5A2+9B2−12A⋅B−6A+2031
=(A−3)2+(2A−3B)2+2022
∵2A−3B
=2(x2+4x+n2)−3(2x2+6x+3n2+3)
=−4x2−10x−9−7n2
=−(2x+52)2−114−7n2，
又∵−7n2≤0，−(2x+52)2≤0，
∴2A−3B≤−114，
∴5A2+9B2−12A⋅B−6A+2031最小值为(−114)2+2022，
故④错误．
故选：B．
①利用完全平方公式的形式求解；
②利用整式的加减运算和配方法求解；
③利用完全平方和和完全平方差公式求解；
④利用完全平方公式和配方法求解．
本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难．
11.【答案】− 2
【解析】解： 2的相反数是− 2．
故答案为：− 2．
根据相反数的定义即可得出答案．
此题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决问题的关键．
12.【答案】<
【解析】解：∵(2 3)2=12，(3 2)2=18，
而12<18，
∴2 3<3 2．
故答案为：<．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
13.【答案】43
【解析】解：∵am=2，an=3，
∴a2m−n=a2m÷an=(am)2÷an=22÷3=43．
故答案为：43．
根据同底数幂相除除法法则逆用和幂的乘方法则逆用即可得出结果．
本题主要考查了同底数幂相除除法法则逆用和幂的乘方法则逆用，熟练掌握同底数幂相除除法法则逆用和幂的乘方法则逆用是解此题的关键．
14.【答案】−8
【解析】解：(−0.125)2023×(−8)2024
=−(18)2023×(8)2023×8
=−(18×8)2023×8
=−8，
故答案为：−8．
根据积的乘方的运算法则，即可求解，
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
15.【答案】9
【解析】解：∵2a2−2ab+b2−6a+9=0，
∴a2−2ab+b2+a2−6a+9=0，
∴(a−b)2+(a−3)2=0，
∴a−b=0，a−3=0，
∴a=b=3，
∴a+2b=9，
故答案为：9．
根据配方法可得(a−b)2+(a−3)2=0，进一步可得a−b=0，a−3=0，求出a和b的值，进一步即可求出a+2b的值．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
16.【答案】±6
【解析】解：∵x2±6x+9=(x±3)2，
∴k=±6，
故答案为：±6．
根据口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央”求出k的值．
本题考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式，满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两种是解题关键．
17.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力和化简能力．
根据题意得出算式(x+1)(x−1)−3x(x−2)，化简后把x2−3x的值代入求出即可．
【解答】
解：根据题意得：(x+1)(x−1)−3x(x−2)
=x2−1−3x2+6x
=−2x2+6x−1
=−2(x2−3x)−1，
∵x2−3x+1=0，
∴x2−3x=−1，
原式=−2×(−1)−1
=1．
故答案为1．
18.【答案】4 4494
【解析】解：由题意，m2−+26=68，
∴10m+2=42．
∴10m=40．
∴m=4；
∵ab−+bc−=cd−，
∴10a+b+10b+c=10c+d．
∴10a+11b=9c+d．
∵abc−−bcd−−2a
=100a+10b+c−100b−10c−d−2a
=98a−90b−9c−d
=98a−90b−(10a+11b)
=88a−101b
=84a+4a−105a+4b
=7(12a−15b)+4(a+b)，
又abc−−bcd−−2a能被7整除，
∴4(a+b)是7的倍数．
∴(a+b)是7的倍数．
当a最小时，M最小；当a最大时，M最大．
又a，b，c，d均不为0，
∴a最小为1．
∴b=6．
此时a+b=7．
∴9c+d=10+66=76.这时c=8，d=4.(∵9c<76,∴c<9.又07.∴c=8.∴d=4.)
又∵ab−+bc−=cd−，
∴a又∵ab−+bc−为两位数，
∴a+b≤10．
∴a+b=7．
又b≠0，
∴a的最大值为6，此时b=1．
∴10a+11b=71=9c+d．
又0∴62≤9c<71．
∴7≤c<8．
∴c=7，d=8．
∴M=6178．
∴6178−1684=4494．
故答案为：4；4494．
根据“共和数”的概念列方程求m的值；根据“共和数”的概念先求得10a+11b=9c+d，然后根据题意列出两个三位数字之差，然后结合能被7整除的数的特征分析满足条件的最大值．
本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式=−1+2− 3−(−3)+3
=7− 3；
(2)原式= 54÷3− 23×12+5 2
=3 2−2 2+5 2
=6 2．
【解析】(1)根据3a3=a， a2=|a|及|a|=−a(a<0)求解即可得到答案；
(2)根据 a⋅ b= ab， a÷ b= ab求解即可得到答案．
本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键．
20.【答案】解：(1)原式=x12÷x4+(−x6)⋅x2
=x8−x8
=0；
(2)原式=x2−2x−15+6x2−2x
=7x2−4x−15．
【解析】(1)根据(am)n=amn，am⋅an=am+n，am÷an=am−n求解即可得到答案；
(2)根据单项式乘多项法则及多项式乘多项式法则求解即可得到答案．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)(a+3b)(a−3b)−a(a−b)
=a2−9b2−a2+ab
=−9b2+ab；
(2)(3a−b)2+(2a−b)(a+2b)
=9a2−6ab+b2+2a2+4ab−ab−2b2
=11a2−3ab−b2．
【解析】(1)根据平方差公式和单项式乘多项式可以解答本题；
(2)根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
22.【答案】解：(1)∵x−2的算术平方根是2，2x+y+7的立方根是3，
∴x−2=22，2x+y+7=27，
解得x=6，y=8，
x+y=6+8=14；
(2)由(1)知x=6，y=8，
∴x2+y2=62+82=100，
∴x2+y2的算术平方根是10．
【解析】(1)先运用立方根和算术平方根的定义求出x与y的值；
(2)先运用立方根和算术平方根的定义求出x与y的值，再求出x2+y2的平方根．
本题考查了立方根和算术平方根的知识，解答本题的关键在于根据算术平方根和立方根的定义求出x和y的值．
23.【答案】解：(1)∵x+y=3，xy=−10，
∴原式=9−3y−3x+xy
=9−3(x+y)+xy
=9−3×3−10
=9−9−10
=−10；
(2)∵x+y=3，xy=−10，
∴原式=(x+y)2+xy
=9−10
=−1．
【解析】(1)原式利用多项式乘多项式法则计算，把各自的值代入计算即可求出值；
(2)原式利用完全平方公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
24.【答案】解：原式=x2+4xy+4y2−x2+9−4y2
=4xy+9，
∵ x−5≥0，(y+34)2≥0， x−5+(y+34)2=0，
∴x−5=0，y+34=0，
解得：x=5，y=−34，
∴原式=4xy+9=4×5×(−34)+9=−6．
【解析】根据非负式子和为0，它们分别等于0，求出字母值，代入求解即可得到答案．
本题考查算术平方根的非负性、偶次方及整式的混合运算—化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠1=∠2AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由(1)得：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，
∠C=∠B AC=AB ∠CAM=∠BAN ，
∴△ACM≌△ABN(ASA)，
∴∠M=∠N．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可
(2)证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由ASA证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
26.【答案】(a+b)2=4ab+(a−b)2
【解析】解：(1)利用正方形面积公式，大正方形的面积为：(a+b)2，
∵大正方形由四个小长方形和一个小正方形构成，
∴大正方形的面积也可表示为：4ab+(a−b)2，
∴(a+b)2=4ab+(a−b)2，
故答案为：(a+b)2=4ab+(a−b)2；
(2)∵小正方形的边长为：a−b，
∴小正方形的面积为：(a−b)2，
∴大正方形面积为：4×12ab+(a−b)2=2ab+(a−b)2=a2+b2，
∵a+b=5，(a−b)2=13，
∴(a+b)2=25，
∴(a+b)2+(a−b)2=a2+b2+2ab+a2+b2−2ab=2(a2+b2)=25+13=38，
∴a2+b2=19，
∴大正方形的面积为19；
(3)如图，延长PE交BA的延长线于点I，延长QF交CB的延长线于点J，延长MG交DC的延长线于点K，延长NH交AD的延长线于点L，
∵∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，
∴∠AEI=∠BFJ=∠CGK=∠DHL=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠EAI=∠FBJ=∠GCK=∠HDL=90°，
∴△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL为等腰直角三角形，
∵AE=BF=CG=DH=1，
∴AI=BJ=CK=DL=1，
∴FI=GK=HK=EL=AB=BC=CD=AD，
∴S▱ABCD=S△FQI+S△MGJ+S△NHK+S△EPL，
∵S▱ABCD=S四边形AEQF+S四边形BFMG+S四边形CGNH+S四边形DHPE+S▱MNPQ，
∴S▱MNPQ=S△AEI+S△BFJ+S△CGK+S△DHL
=12AE2+12BF2+12CG2+12DH2
=12+12+12+12
=2．
(1)利用大正方形面积公式表示出大正方形的面积，也可用四个小长方形与一个小正方形表示出大正方形的面积，利用面积相等即可求解；
(2)利用四个直角三角形的面积与小正方形的面积表示出大正方形的面积，根据a+b=5，(a−b)2=13可求出ab，代入即可求解；
(3)延长PE交BA的延长线于点I，延长QF交CB的延长线于点J，延长MG交DC的延长线于点K，延长NH交AD的延长线于点L，由∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°可得△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL为等腰直角三角形，从而可得FI=GK=HK=EL=AB=BC=CD=AD，可得等腰Rt△FQI，等腰Rt△MGJ，等腰Rt△NHK，等腰Rt△EPL的面积之和为正方形ABCD的面积，从而可得正方形MNPQ的面积为等腰Rt△AEI，等腰Rt△BFJ，等腰Rt△CGK，等腰Rt△DHL的面积之和，即可求解．
本题考查乘法公式的证明，解题的关键是熟练掌握乘法公式的证明方法，一般利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明．