2024-2025学年海北市重点中学九上数学开学检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年海北市重点中学九上数学开学检测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，有一直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，则BC的长度为( )
A．2B．＋2C．3D．2
2、（4分）若化简的结果为，则的取值范围是( )
A．一切实数B．C．D．
3、（4分）平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( )
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
4、（4分）下列x的值中，能使不等式成立的是（ ）
A．B．2C．3D．
5、（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．菱形
C．等腰直角三角形D．平行四边形
7、（4分）下列命题正确的是（ ）
A．有两个角是直角的四边形是矩形；
B．两条对角线相等的四边形是矩形；
C．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形；
D．四个角都是直角的四边形是矩形；
8、（4分）某同学在体育备考训练期间，参加了七次测试，成绩依次为（单位：分）51，53，56，53，56，58，56，这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A．53，53B．53，56C．56，53D．56，56
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）不等式的正整数解的和______；
10、（4分）若n边形的每个内角都等于150°，则n＝_____．
11、（4分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝____度．
12、（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
13、（4分）已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形的面积为______cm1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究：
(1)如图②，当点在上时，求证：.
(2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.
15、（8分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC交BC于点D．求证：AB=DC．
16、（8分）（1）计算：﹣|-2|﹣（2﹣π）0+（﹣1）2017
（2）先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣）+6，其中a=﹣1
17、（10分）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
18、（10分）已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论.
（1）如图（1）AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是：____________ .

（2）如图（2）AB∥EF，BC∥DE， ∠1与∠2的关系是：____________

（3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果____ _____，那么____________.
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为
20、（4分）比较大小：__________.（用不等号连接)
21、（4分）计算 +（ ）2=________．
22、（4分）某次数学竞赛共有20道选择题，评分标准为对1题给5分，错1题扣3分，不答题不给分也不扣分，小华有3题未做，则他至少答对____道题，总分才不会低于65分．
23、（4分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，点E为BC上一点，连接AE,若∠CAD＝2∠BAE,CD=CE=9，则AE的长为_____________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图所示，在□ABCD中，点E，F在它的内部，且AE＝CF，BE＝DF，试指出AC与EF的关系，并说明理由．
25、（10分）如图,在中，，

（1）作边的垂直平分线，与、分别相交于点(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
（2）在（1）的条件下,连结，若，求的度数．
26、（12分）如图1，点是正方形的中心，点是边上一动点，在上截取，连结，．初步探究：在点的运动过程中：
(1)猜想线段与的关系，并说明理由．
深入探究：
(2)如图2，连结，过点作的垂线交于点．交的延长线于点．延长交的延长线于点．
①直接写出的度数．
②若，请探究的值是否为定值，若是，请求出其值；反之，请说明理由
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
分析: 先由∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，得到AD=BD=2, 再根据∠C＝90°，∠B＝30°得∠CAD=30°,然后在Rt△ACD中，利用30°的角所对的直角边是斜边的一半求得CD=1,从而求得BC的长度.
详解: ∵△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD，∠B＝∠CAD= 30°, ∠DEB=90°,
∴AD=BD=2, ∠CAD=30°,
∴CD=AD=1,
∴BC=BD+CD=2+1=3
故选：C．
点睛: 本题考查了翻折变换，主要利用了翻折前后对应边相等，此类题目，难点在于利用直角三角形中30°的角所对应的直角边是斜边的一半来解决问题.
2、B
【解析】
根据完全平方公式先把多项式化简为|1−x|−|x−4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【详解】
原式可化简为，
当，时，可得无解，不符合题意；
当，时，可得时，原式；
当，时，可得时，原式；
当，时，可得时，原式.
据以上分析可得当时，多项式等于.
故选B.
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论
3、B
【解析】
在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形.
【详解】
解：如图所示：
∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形，
故选B.
本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，掌握菱形的判定方法利用数形结合是解题的关键.
4、A
【解析】
根据不等式的解集的概念即可求出答案．
【详解】
解：不等式x-1＜1的解集为：x＜1．
所以能使不等式x-1＜1成立的是-2．
故选：A．
本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．
5、D
【解析】
根据把整式变成几个整式的积的过程叫因式分解进行分析即可．
【详解】
A、是整式的乘法运算，不是因式分解，故A不正确；
B、是积的乘方，不是因式分解，故B不正确；
C、右边不是整式乘积的形式，故C不正确；
D、是按照平方差公式分解的，符合题意，故D正确；
故选：D．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
6、B
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、菱形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、等腰直角三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7、D
【解析】
利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．
【详解】
A. 有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；
B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C. 两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形，故错误；
D. 四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选D.
本题考查矩形的判定定理及矩形的定义，它们有：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③有一个角为直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形。
8、D
【解析】
根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】
解：将数据重新排列为51，53，53，56，56，56，58，
所以这组数据的中位数为56，众数为56，
故选：D．
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3.
【解析】
先解出一元一次不等式，然后选取正整数解，再求和即可.
【详解】
解：解得;x＜3,；则正整数解有2和1；
所以正整数解的和为3；故答案为3.
本题考查了解一元一次不等式组和正整数的概念，其关键在于选取正整数解.
10、1
【解析】
根据多边形的内角和定理：求解即可．
【详解】
解：由题意可得：，
解得．
故多边形是1边形．
故答案为：1．
主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和为：．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
11、1
【解析】
首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【详解】
解：∵正五边形的外角为10°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝1°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝1°，
故答案为1．
本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
12、x≥﹣2且x≠1
【解析】
分析：
根据使分式和二次根式有意义的条件进行分析解答即可.
详解：
∵要使y=有意义，
∴ ，解得：且.
故答案为：且.
点睛：熟记：“二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数；分式有意义的条件是：分母的值不为0”是正确解答本题的关键.
13、18
【解析】
由题意可知菱形的较短的对角线与菱形的一组边组成一个等边三角形，根据勾股定理可求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
解：因为菱形的一个内角是110°，则相邻的内角为60°从而得到较短的对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，
即较短的对角线为6cm，根据勾股定理可求得较长的对角线的长为6cm，
则这个菱形的面积=×6×6=18cm1，
故答案为18．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)证明见解析；(2)成立，理由见解析.
【解析】
（1）过点P作MN//BC，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP；
（2）过点作于,交于点，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP；
【详解】
(1)证明：过点作，分别交于点，交于点，
则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，
∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，
在△QNP和△BMP中，
∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=BP．
(2)成立.
过点作于,交于点
在正方形中,
∴
∴是矩形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在根据正方形的性质得到判定全等三角形的条件，进而得到结论成立.
15、详见解析
【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠B=∠ADB，∠C=∠DAC解答即可．
【详解】
解：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，
∴∠B=∠BAC=72°，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD=36°，∠DAC=36°，
∴∠ADB=72°，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠C=∠DAC=36°，
∴AD=DC，
∴AB=DC．
此题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的角平分线，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答．
16、（1）﹣1；（2）原式=a2+a=5﹣3．
【解析】
（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质及乘方的定义分别计算各项后，再合并即可；（2）先把代数式2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣）+6化为最简，再代入求值即可.
【详解】
（1）原式=3﹣2﹣×1-1
=﹣﹣1
=﹣1；
（2）原式=2a2﹣6﹣a2+a+6
=a2+a
当a=﹣1时，原式=（﹣1）2+（﹣1）=5﹣3．
本题题考查了实数及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17、（1）C；（2）（x﹣2）1；（3）（x+1）1．
【解析】
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】
（1）故选C；
（2）（x2﹣1x+1）（x2﹣1x+7）+9，设x2﹣1x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+1）2=（x2﹣1x+1）2=（x﹣2）1．
故答案为：（x﹣2）1；
（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）1．
本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
18、（1）∠1=∠1，证明见解析；（1）∠1+∠1=180°，证明见解析；（3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补；（4）这两个角分别是30°，30°或70°，110°．
【解析】
（1）根据两直线平行，内错角相等，可求出∠1=∠1；
（1）根据两直线平行，内错角相等及同旁内角互补可求出∠1+∠1=180°；
（3）由（1）（1）可得出结论；
（4）由（3）可列出方程，求出角的度数．
【详解】
解：（1）AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠1的关系是：∠1=∠1
证明：∵AB∥EF
∴∠1=∠BCE
∵BC∥DE
∴∠1=∠BCE
∴∠1=∠1．
（1）AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠1的关系是：∠1+∠1=180°．
证明：∵AB∥EF
∴∠1=∠BCE
∵BC∥DE
∴∠1+∠BCE=180°
∴∠1+∠1=180°．
（3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
（4）解：设其中一个角为x°，列方程得x=1x-30或x+1x-30=180，
故x=30或x=70，
所以1x-30=30或110，
答：这两个角分别是30°，30°或70°，110°．
本题考查平行线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
试题解析：∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴
考点：平行线分线段成比例．
20、<
【解析】
先运用二次根式的性质把根号外的数移到根号内，即可解答
【详解】
∵=
∴＜
故答案为：＜
此题考查实数大小比较，难度不大
21、6
【解析】
根据二次根式的性质计算．
【详解】
原式=3+3
=6.
故答案为:6.
考查二次根式的运算，掌握是解题的关键.
22、2
【解析】
设至少答对x道题，总分才不会低于1，根据对1题给5分，错1题扣3分，不答题不给分也不扣分．小华有3题未做，总分不低于2分，可列不等式求解．
【详解】
解：设至少答对x道题，总分才不会低于1，
根据题意，得
5x-3（20-x-3）≥2，
解之得x≥14.5.
答：至少答对2道题，总分才不会低于1．
故答案是：2．
本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意找到题目中的不等关系列不等式是解决本题的关键.
23、
【解析】
如图，作AM平分∠DAC，交CD于点M，过点M作MN⊥AC于点N，证明△ABE∽△ADM，根据相似三角形的性质可得AB：AD=BE：DM，证明△ADM≌△ANM，根据全等三角形的性质可得 AN=AD，MN=DM，设BE=m，DM=n，则AN=AD=BC= 9+m，MN=n，CM= 9-n，由此可得，即9n=m(9+m)，根据勾股定理可得AC=，
从而可得 CN= -（9+m）,在Rt△CMN中，根据勾股定理则可得（9-n）2=n2+[-（9+m）]2，继而由9n=m(9+m)，可得- 2m(9+m)=2(9+m)2-2(9+m)，化简得=9+2m，两边同时平方后整理得m2+6m-27=0，求得m=3或m=-9（舍去），再根据勾股定理即可求得答案.
【详解】
如图，作AM平分∠DAC，交CD于点M，过点M作MN⊥AC于点N，
则∠CAD=2∠DAM=2∠NAM，∠ANM=∠MNC=90°，
∵∠CAD＝2∠BAE，
∴∠BAE=∠DAM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=9，∠B=∠D=90°，AD=BC，
∴△ABE∽△ADM，
∴AB：AD=BE：DM，
又∵AM=AM，
∴△ADM≌△ANM，
∴AN=AD，MN=DM，
设BE=m，DM=n，则AN=AD=BC=CE+BE=9+m，MN=n，CM=CD-DM=9-n，
∵AB：AD=BE：DM，
∴，即9n=m(9+m)，
∵∠B=90°，∴AC=，
∴CN=AC-AN=-（9+m）,
在Rt△CMN中，CM2=CN2+MN2，
即（9-n）2=n2+[-（9+m）]2，
∴81-18n+n2=n2+92+(9+m)2-2(9+m)+(9+m)2，
又∵9n=m(9+m)，
∴81- 2m(9+m)+n2=n2+92+(9+m)2-2(9+m)+(9+m)2，
即- 2m(9+m)=2(9+m)2-2(9+m)，
∴=9+2m，
∴92+(9+m)2=(9+2m)2，
即m2+6m-27=0，
解得m=3或m=-9（舍去），
∴AE=，
故答案为：.

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识，准确计算是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、AC与EF互相平分，见解析.
【解析】
由题意可证△ABE≌△DCF，可得∠BAE＝∠DCF，即可得∠CAE＝∠ACF，可证AE∥CF即可证AECF是平行四边形，可得AC与EF的关系．
【详解】
AC与EF互相平分
∵▱ABCD
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BAC＝∠ACD
∵AB＝CD，AE＝CF，BE＝DF
∴△ABE≌△CDF
∴∠BAE＝∠FCD且∠BAC＝∠ACD
∴∠EAC＝∠FCA
∴CF∥AE且AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AC与EF互相平分
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证AECF是平行四边形是本题的关键．
25、（1）见解析；（2）96°
【解析】
（1）利用基本作图（作线段的垂直平分线）作DE垂直平分AB即可；
（1）利用线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠EAB=∠B=48°，然后根据三角形外角性质计算∠AEC的度数．
【详解】
（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B=48°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=96°．
故答案为96°．
本题考查了作图-基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
26、（1）EO⊥FO，EO=FO；理由见解析；（2）①；②=2
【解析】
（1）由正方形的性质可得BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°，由“SAS”可证△BEO≌△CFO，可得OE=OF，∠BOE=∠COF，可证EO⊥FO；
（2）①由等腰直角三角形的性质可得∠EOG的度数；
②由∠EOF=∠ABF=90°，可得点E，点O，点F，点B四点共圆，可得∠EOB=∠BFE，通过证明△BOH∽△BIO，可得，即可得结论．
【详解】
解：（1）OE=OF，OE⊥OF，连接AC，BD，
∵点O是正方形ABCD的中心
∴点O是AC，BD的交点
∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°
∵CF=BE，∠ABO=∠ACB，BO=CO，
∴△BEO≌△CFO（SAS）
∴OE=OF，∠BOE=∠COF
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°
∴∠EOF=90°，
∴EO⊥FO.
（2）
①∵OE=OF，OE⊥OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF
∴∠EOG=45°
②BH•BI的值是定值，
理由如下：
如图，连接DB，
∵AB=BC=CD=2
∴BD=2，
∴BO=
∵∠AOB=∠COB=45°，∠HBE=∠GBI=90°
∴∠HBO=∠IBO=135°
∵∠EOF=∠ABF=90°
∴点E，点O，点F，点B四点共圆
∴∠EOB=∠BFE，
∵EF⊥OI，AB⊥HF
∴∠BEF+∠BFE=90°，∠BEF+∠EIO=90°
∴∠BFE=∠BIO，
∴∠BOE=∠BIO，且∠HBO=∠IBO
∴△BOH∽△BIO
∴
∴BH•BI=BO2=2
本题相似综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明△BOH∽△BIO是本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人