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    2022-2023学年湖南省长沙一中双语实验学校九年级(上)入学数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年湖南省长沙一中双语实验学校九年级(上)入学数学试卷(含解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

     

    2022-2023学年湖南省长沙一中双语实验学校九年级(上)入学数学试卷

     

     

    I卷(选择题)

     

    一、选择题(本大题共10小题,共30分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1. 要使二次根式有意义,则的值不可以为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 如果下列各组是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 如图,一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上,设木棍中点为,若木棍端沿墙下滑,且沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点到点的距离(    )

    A. 变小
    B. 不变
    C. 变大
    D. 无法判断

    1. 如图,在矩形中,,将矩形沿折叠,点落在点处,则重叠部分的面积为(    )

    A.
    B.
    C.
    D.

    1. 抛物线的对称轴和顶点坐标分别是(    )

    A. 直线 B. 直线
    C. 直线 D. 直线

    1. 一次函数中,的增大而减小,则的取值范围是(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 将抛物线先向左平移个单位,再向上平移个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛场.设有个队参赛,根据题意,可列方程为(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 已知,关于的一元二次方程的解为,则下列结论正确的是(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 如图所示,已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴的正半轴交于点,顶点为,则下列结论:是等腰三角形时,的值有个;其中正确的有(    )

    A.
    B.
    C.
    D.

    II卷(非选择题)

     

    二、填空题(本大题共6小题,共18分)

    1. 已知直线与直线平行,且经过点,则的值是______
    2. 已知菱形的两条对角线,则菱形的边长______
    3. 函数的图象如图所示,则不等式的解集为______


    1. 当直线经过第二、三、四象限时,则的取值范围是______
    2. 已知是方程的两根,则______
    3. 如果函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么的取值范围是______

     

    三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    1. 本小题
      解下列方程:
       
    2. 本小题
      直线轴交于点,与轴交于点
      求直线的解析式;
      轴负半轴上存在点,使的面积等于,求点的坐标.


    1. 本小题
      如图,矩形中,,过对角线中点的直线分别交边于点
      求证:四边形是平行四边形;
      当四边形是菱形时,求的长.


    1. 本小题
      为了调查学生每天零花钱情况,对我校初二学年某班名同学每天零花钱情况进行了统计,并绘制成下面的统计图.
      直接写出这名同学零花钱数据的众数是______;中位数是______
      求这名同学零花钱的平均数.
      该校共有学生人,请你根据该班的零花钱情况,估计这个中学学生每天的零花钱不小于元的人数.


    1. 本小题
      已知是关于的一元二次方程的两个根.
      取何值时,原方程有两个不相等的实数根?
      若以为对角线的菱形边长是,试求的值.
    2. 本小题
      长沙绿色度假村组织辆汽车装运完三种脐橙共吨到外地销售按计划辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.设装运种脐橙的车辆数为,装运种脐橙的车辆数为,根据下表提供的信息,解答以下问题:

    脐橙品种

    每辆汽车运载量

    每吨脐橙获得

    之间的函数关系式;
    如果装运每种脐橙的车辆数都不少于辆,那么车辆的安排方案有几种?
    设销售利润为,求之间的函数关系式;若要使此次销售获利最大,应釆用哪种安排方案?并求出最大利润的值.

    1. 本小题
      如图,上一点,平分且过的中点,交于点,交于点






      求证:
      求证:四边形是菱形.
      ,求菱形的面积.
    2. 本小题
      对于实数,定义新运算@@
      计算@@的值;
      @,求实数的值;
      设函数@,若函数的图象与轴恰有两个交点,求实数的取值范围.
    3. 本小题
      如图,直线轴交于点,与轴交于点,抛物线经过两点,且与轴的另一个交点为
      求抛物线的解析式;
      如图,点是直线上方抛物线上的一动点,当面积最大时,请求出点的坐标和面积的最大值?
      的结论下,过点轴的平行线交直线于点,连接,点是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
       



    答案和解析

     

    1.【答案】 

    【解析】解:由题意得:
    解得:
    时,分式无意义,
    故选:
    根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式求出的取值范围,判断即可.
    本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
     

    2.【答案】 

    【解析】解:
    此三角形是直角三角形,不合题意;
    B
    此三角形是直角三角形,不合题意;
    C
    此三角形是直角三角形,不符合题意;
    D
    此三角形不是直角三角形,符合题意;
    故选:
    根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,就是直角三角形,没有这种关系,就不是直角三角形,分析得出即可.
    本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
     

    3.【答案】 

    【解析】解:在木棍滑动的过程中,点到点的距离不发生变化,
    理由是:连接
    中点,

    即在木棍滑动的过程中,点到点的距离不发生变化,永远是
    故选:
    根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出,即可得出答案.
    此题考查了解直角三角形,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
     

    4.【答案】 

    【解析】解:易证

    ,则
    中,
    解之得:


    故选:
    因为边上的高,要求的面积,求得即可,求证,得,设,则在中,根据勾股定理求,于是得到,即可得到结果.
    本题考查了翻折变换折叠问题,勾股定理的正确运用,本题中设,根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键.
     

    5.【答案】 

    【解析】解:抛物线为
    对称轴是直线
    顶点坐标
    故选:
    根据时图象开口向上,时图象开口向下,顶点坐标是,对称轴是直线,可得答案.
    本题考查了二次函数的性质,利用时图象开口向上,在对称轴的左侧,的增大而减小,在对称轴的右侧,的增大而增大;时图象开口向下,在对称轴的左侧,的增大而增大,在对称轴的右侧,的增大而减小,顶点坐标是,对称轴是直线
     

    6.【答案】 

    【解析】解:一次函数中,的增大而减小,

    解得:
    AD错误,
    故选:
    根据一次函数中,的增大而减小,推出即可找到的取值范围.
    本题考查一次函数的性质以及不等式的解法,熟练掌握一次函数的性质特点,准确计算是解决本题的关键.
     

    7.【答案】 

    【解析】解:抛物线先向左平移个单位得到解析式:
    再向上平移个单位得到抛物线的解析式为:
    故选B
    按照左加右减,上加下减的规律,即可得出平移后抛物线的解析式.
    此题考查了二次函数图象与几何变换,掌握抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减是解题的关键.
     

    8.【答案】 

    【解析】

    【分析】
    本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系,注意队之间的比赛只有场,最后的总场数应除以,属于基础题.
    关系式为:球队总数每支球队需赛的场数,把相关数值代入即可.
    【解答】
    解:设有个队参赛,根据题意,可列方程为:
    故选:  

    9.【答案】 

    【解析】

    【分析】
    本题考查一元二次方程与二次函数的关系,数形结合是解题的关键.
    将关于的方程的解为的问题转化为二次函数交点的横坐标,借助图象即可得出答案.
    【解答】
    解:关于的一元二次方程的解为,可以看作二次函数与直线的交点的横坐标,如图,

    二次函数轴交点坐标为
    时,直线与抛物线交于轴上方的部分,


    故选A  

    10.【答案】 

    【解析】解:二次函数的图象与轴交于两点,
    对称轴为直线

    ,故正确,符合题意;

    时,


    ,故错误,不符合题意;

    二次函数

    时,

    时,

    是等腰三角形时,的值有个,故正确,符合题意;
    故选:
    由图象可得对称轴为直线,可得,可判断;将点坐标代入解析式可得,可判断;由等腰三角形的性质和两点距离公式,可求的值,可判断
    本题考查了抛物线与轴的交点,二次函数图象与系数关系,等腰三角形的性质,直角三角形的性质等知识,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.
     

    11.【答案】 

    【解析】解:直线与直线平行,

    直线过点


    故答案为
    先根据两直线平行的问题得到,然后把代入中可计算出的值.
    本题考查了两直线相交或平行问题:两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解;若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即值相同.
     

    12.【答案】 

    【解析】解:如图所示:
    菱形中,


    故答案为:
    由菱形的性质求得的长,,由勾股定理求得边的长即可.
    此题考查了菱形的性质以及勾股定理.熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解此题的关键.
     

    13.【答案】 

    【解析】解:函数的图象交点横坐标为
    由图象可知,不等式的解集为
    故答案为
    结合图象写出不等式的解集即可.
    此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看,就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合.关键是求出点坐标以及利用数形结合的思想.
     

    14.【答案】 

    【解析】解:经过第二、三、四象限,



    故答案为
    根据一次函数时图象经过第二、三、四象限,可得,即可求解;
    本题考查一次函数图象与系数的关系;掌握一次函数对函数图象的影响是解题的关键.
     

    15.【答案】 

    【解析】解:根据题意得
    所以
    故答案为
    根据根与系数的关系得到,然后利用整体代入的方法计算代数式的值.
    本题考查了根与系数的关系:若是一元二次方程的两根时,
     

    16.【答案】 

    【解析】解:函数图象经过四个象限,需满足个条件:
    函数是二次函数.因此,即
    二次函数与轴有两个交点.因此,解得
    两个交点必须要在轴的两侧.因此,解得
    综合式,可得:
    故答案为:
    函数图象经过四个象限,需满足个条件:
    函数是二次函数;
    二次函数与轴有两个交点;
    两个交点必须要在轴的两侧,即两个交点异号.
    本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与轴的交点、二次函数与轴交点等知识点,解题关键是确定函数图象经过四个象限所满足的条件.
     

    17.【答案】解:





     

    【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案.
    本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.
     

    18.【答案】解:设直线的解析式:
    代入

    解得
    直线的解析式:


    的面积等于


    轴负半轴上,且
     

    【解析】待定系数法求解析式即可;
    根据的面积可得的长,再根据题意即可求出点坐标.
    本题考查了一次函数,涉及待定系数法求解析式,三角形的面积等,熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.
     

    19.【答案】证明:四边形是矩形,的中点,




    四边形是平行四边形;
    解:当四边形是菱形时,
    ,则 
    中,

    解得:
     

    【解析】根据平行四边形的性质,判定,得出四边形的对角线互相平分,进而得出结论;
    中,由勾股定理得出方程,解方程求出的长.
    题主要考查了矩形的性质,菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形全等是解决问的关键.
     

    20.【答案】   

    【解析】解:由统计图可得,
    名同学零花钱数据的众数是元,中位数是元,
    故答案为:元,元;

    答:这名同学零花钱的平均数是元;

    答:这个中学学生每天的零花钱不小于元的有人.
    根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数;
    根据统计图中的数据可以求得这名同学零花钱的平均数;
    根据题意可以求得这个中学学生每天的零花钱不小于元的人数.
    本题考查众数、用样本估计总体、加权平均数、中位数,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
     

    21.【答案】解:由题意得
    要使方程有两个不相等的实数根,需要
    ,解得
    时,方程有两个不相等的实数根.

    是关于的一元二次方程的两个根,

    为菱形的对角线,
    互相垂直并且平分,






    解得,

    不合题意,舍去,
    的值为 

    【解析】若方程有两个不相等的实数根,则有,得到关于的不等式,求解即可;
    由根与系数的关系得出根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出,那么,由此得出关于的方程,解方程即可.
    此题考查了根的判别式,一元二次方程的根与有如下关系:
    时,方程有两个不相等的两个实数根;
    时,方程有两个相等的两个实数根;
    时,方程无实数根.
    也考查了菱形的性质,勾股定理以及根与系数的关系.
     

    22.【答案】解:根据题意,装运种脐橙的车辆数为,装运种脐橙的车辆数为
    那么装运种脐橙的车辆数为
    则有:
    整理得:且为整数

    知,装运三种脐橙的车辆数分别为
    由题意得:
    解得:
    因为为整数,
    所以的值为,所以安排方案共有种.
    方案一:装运种脐橙车,种脐橙车,种脐橙车;
    方案二:装运种脐橙车,种脐橙车,种脐橙车,
    方案三:装运种脐橙车,种脐橙车,种脐橙车,
    方案四:装运种脐橙车,种脐橙车,种脐橙车,
    方案五:装运种脐橙车,种脐橙车,种脐橙车;

    设利润为百元则:

    的值随的增大而减小.
    要使利润最大,则
    故选方案一百元万元
    答:当装运种脐橙车,种脐橙车,种脐橙车时,获利最大,最大利润为万元. 

    【解析】等量关系为:车辆数之和
    关系式为:装运每种脐橙的车辆数
    总利润为:装运种脐橙的车辆数装运种脐橙的车辆数装运种脐橙的车辆数,然后按的取值来判定.
    考查了一次函数的应用,一元一次不等式的应用,解决本题的关键是读懂题意,根据关键描述语,找到所求量的等量关系.确定的范围,得到装在的几种方案是解决本题的关键.
     

    23.【答案】解:证明:的中点,










    中,


    证明:由


    四边形是平行四边形,


    平分



    平行四边形是菱形;
    解:由得四边形是菱形,




    四边形是平行四边形,


    四边形是菱形,


    中,由勾股定理得
     

    【解析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
    即可得出结论;
    先证明四边形是平行四边形,再证明,即可得出结论;
    由菱形的性质得出,证明四边形是平行四边形,得出,由菱形的性质得出,得出,由勾股定理得,即可得出答案.
     

    24.【答案】解:@@@

    ,即时,@,解得:
    ,同理可得:


    ,即
    ,解得:
    ,同理可得:,该函数与轴只有一个交点,故舍去;
    综上, 

    【解析】@@@,即可求解;
    两种情况,分别求解即可;
    两种情况,分别求解即可.
    本题考查的是抛物线和轴交点,涉及到根的判别式、一元一次方程等,这类新定义题,通常按照题设的顺序逐次求解.
     

    25.【答案】解:,则

    ,则

    将点、点代入



    ,则

    ,则

    ,则


    如图:过点轴交于点
    ,则


    时,面积的最大值为
    此时
    存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:



    为平行四边形的对角线时,


    为平行四边形的对角线时,


    为平行四边形的对角线时,


    综上所述:点坐标为 

    【解析】求出点坐标,再将两点的坐标代入,即可求解析式;
    过点轴交于点,设,则,可得,求解即可;
    ,分三种情况讨论:为平行四边形的对角线时;为平行四边形的对角线时;为平行四边形的对角线时;由平行四边形的对角线互相平分,借助中点坐标公式即可求点的坐标.
    本题是二次函数的综合题,熟练则二次函数的图象及性质,平行四边形的性质,分类讨论是解题的关键.
     

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