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高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第9章 随机变量及其分布优秀复习练习题
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这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第9章 随机变量及其分布优秀复习练习题，文件包含专题04随机变量及其分布四大题型-中职专用中职高二数学题型精析通关练高教版2023·拓展模块一下册原卷版docx、专题04随机变量及其分布四大题型-中职专用中职高二数学题型精析通关练高教版2023·拓展模块一下册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
题型一 离散型随机变量【频次0.3，难度0.3】
例1 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解.
【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；
测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．
故选：B．
变式1 下列随机变量不是离散型随机变量的是（ ）
A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X
B．南京长江大桥一天经过的车辆数X
C．某种水管的外径与内径之差X
D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的定义进行判断即可.
【详解】选项B、D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B、D中的X均为离散型随机变量．
选项A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故A中X为离散型随机变量．
而选项C中X的取值不能一一列举出来，则C中的X不是离散型随机变量．
故选：C.
例2 下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
变式2 在下列表述中不是离散型随机变量的是（ ）
①某机场候机室中一天的旅客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某篮球下降过程中离地面的距离；
④某立交桥一天经过的车辆数X．
A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案.
【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.
故选：C
例3 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
变式3 下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.
故选：C
题型二 离散型随机变量的分布列【频次0.3，难度0.3】
例4 随机变量X的分布列如下:
若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由随机变量分布列的性质和数学期望的定义列出方程组，计算即得.
【详解】由题意，①，②，
联立① ，② ，解得，.
故选：A.
变式4 下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】B
【分析】直接根据分布列的概率和为1列方程计算即可.
【详解】由已知得，解得或（舍去）.
故选：B.
例5 已知随机变量的分布列为
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由分布列性质计算即可.
【详解】由分布列的性质，得，解得．
故选:D.
变式5 已知随机变量的分布列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.
【详解】.
故选：D.
例6 已知随机变量的分布列为
设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出值，求出随机变量X的均值，再根据其性质求解.
【详解】由题可知，解得.
所以，
所以.
故选：A
变式6 设是一个离散型随机变量，其分布列为：
则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，可求，进而由可求结论.
【详解】由，解得（舍去），
所以．
故选：D.
题型三 二项分布【频次0.5，难度0.4】
例7 某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （ ）
A．二项分布B．超几何分布C．正态分布D．伯努利分布
【答案】B
【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可.
【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布；
将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验，
一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为，
在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布；
件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为，
则服从超几何分布；
若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布；
所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，
设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布.
故选：B
变式7 某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.
故选：B.
例8 设随机变量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果．
【详解】因为随机变量，
所以，
解得或（舍） ，
所以，
所以.
故选：D．
变式8 已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.
【详解】因为，所以．
故选：B
例9 已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二项分布的概率公式计算．
【详解】．
故选：D．
变式9 已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项分布有关的公式求得正确答案.
【详解】由，
得．
故选：C
例10 从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解.
【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
变式10 已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.
【详解】.
故选：C
题型四 正态分布【频次0.5，难度0.4】
例11 已知随机变量，且，则（ ）
A．0.7B．0.3C．0.2D．0.1
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】根据正态曲线的对称性可得,
故选：C
变式11 已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
（参考数据：，）
A．0.3413B．0.4772C．0.6826D．0.9544
【答案】B
【分析】根据正态分布的性质写出，再根据正态分布知识即可求解.
【详解】随机变量X服从正态分布,
,
,
根据正态分布对称性可得.
故选：B.
例12 某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（）
A．50天B．61天C．86天D．88天
【答案】B
【分析】由题意可得，进而由可得结论.
【详解】由，所以，
所以交易额在4460到4540盒的概率为，
所以由可知大约有61天．
故选：B.
变式12 已知随机变量，且，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C
例13 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ）
A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975
【答案】C
【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解.
【详解】由正态分布曲线的对称性可知，.
故选：C.
变式13 设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．，标准差B．，标准差
C．，标准差D．，标准差
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性分析判断即可.
【详解】因为随机变量ξ服从正态分布，，
所以，，，
所以，，
故选：B
例14 某校有1500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于125分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为（ ）
A．450B．400C．600D．550
【答案】A
【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求出相应的概率，然后可估计人数.
【详解】因为，，
所以,
则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为.
故选：A.
变式14 已知随机变量，，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案.
【详解】由题意得，所以.
故选：C.X
-1
0
1
P
0
1
2
0.36
5
10
15
0
1
2
0
1
题型一 离散型随机变量【频次0.3，难度0.3】
例1 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解.
【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；
测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．
故选：B．
变式1 下列随机变量不是离散型随机变量的是（ ）
A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X
B．南京长江大桥一天经过的车辆数X
C．某种水管的外径与内径之差X
D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的定义进行判断即可.
【详解】选项B、D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B、D中的X均为离散型随机变量．
选项A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故A中X为离散型随机变量．
而选项C中X的取值不能一一列举出来，则C中的X不是离散型随机变量．
故选：C.
例2 下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
变式2 在下列表述中不是离散型随机变量的是（ ）
①某机场候机室中一天的旅客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某篮球下降过程中离地面的距离；
④某立交桥一天经过的车辆数X．
A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案.
【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.
故选：C
例3 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
变式3 下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.
故选：C
题型二 离散型随机变量的分布列【频次0.3，难度0.3】
例4 随机变量X的分布列如下:
若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由随机变量分布列的性质和数学期望的定义列出方程组，计算即得.
【详解】由题意，①，②，
联立① ，② ，解得，.
故选：A.
变式4 下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】B
【分析】直接根据分布列的概率和为1列方程计算即可.
【详解】由已知得，解得或（舍去）.
故选：B.
例5 已知随机变量的分布列为
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由分布列性质计算即可.
【详解】由分布列的性质，得，解得．
故选:D.
变式5 已知随机变量的分布列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.
【详解】.
故选：D.
例6 已知随机变量的分布列为
设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出值，求出随机变量X的均值，再根据其性质求解.
【详解】由题可知，解得.
所以，
所以.
故选：A
变式6 设是一个离散型随机变量，其分布列为：
则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，可求，进而由可求结论.
【详解】由，解得（舍去），
所以．
故选：D.
题型三 二项分布【频次0.5，难度0.4】
例7 某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （ ）
A．二项分布B．超几何分布C．正态分布D．伯努利分布
【答案】B
【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可.
【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布；
将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验，
一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为，
在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布；
件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为，
则服从超几何分布；
若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布；
所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，
设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布.
故选：B
变式7 某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.
故选：B.
例8 设随机变量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果．
【详解】因为随机变量，
所以，
解得或（舍） ，
所以，
所以.
故选：D．
变式8 已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.
【详解】因为，所以．
故选：B
例9 已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二项分布的概率公式计算．
【详解】．
故选：D．
变式9 已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项分布有关的公式求得正确答案.
【详解】由，
得．
故选：C
例10 从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解.
【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
变式10 已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.
【详解】.
故选：C
题型四 正态分布【频次0.5，难度0.4】
例11 已知随机变量，且，则（ ）
A．0.7B．0.3C．0.2D．0.1
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】根据正态曲线的对称性可得,
故选：C
变式11 已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
（参考数据：，）
A．0.3413B．0.4772C．0.6826D．0.9544
【答案】B
【分析】根据正态分布的性质写出，再根据正态分布知识即可求解.
【详解】随机变量X服从正态分布,
,
,
根据正态分布对称性可得.
故选：B.
例12 某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（）
A．50天B．61天C．86天D．88天
【答案】B
【分析】由题意可得，进而由可得结论.
【详解】由，所以，
所以交易额在4460到4540盒的概率为，
所以由可知大约有61天．
故选：B.
变式12 已知随机变量，且，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C
例13 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ）
A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975
【答案】C
【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解.
【详解】由正态分布曲线的对称性可知，.
故选：C.
变式13 设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．，标准差B．，标准差
C．，标准差D．，标准差
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性分析判断即可.
【详解】因为随机变量ξ服从正态分布，，
所以，，，
所以，，
故选：B
例14 某校有1500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于125分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为（ ）
A．450B．400C．600D．550
【答案】A
【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求出相应的概率，然后可估计人数.
【详解】因为，，
所以,
则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为.
故选：A.
变式14 已知随机变量，，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案.
【详解】由题意得，所以.
故选：C.X
-1
0
1
P
0
1
2
0.36
5
10
15
0
1
2
0
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