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北师大版八年级数学上册专题7.5与三角形有关的角的四大类型解答同步练习(学生版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学上册专题7.5与三角形有关的角的四大类型解答同步练习(学生版+解析)，共63页。
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解答的理解！
【类型1 与三角形有关的角的计算】
1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．
(1)求∠DBF+∠DCF的度数；
(2)求∠A的度数．
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于点P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度数．
5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．
(1)求证：BG平分∠ABE．
(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度数．
6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE．
(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A'处．
【感知】如果点A'落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A'与∠2之间的关系是 ;
【探究】如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A'与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A'与∠1、∠2之间存在数量关系 .
8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C=∠ADB．
(1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．
9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．
(1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，则∠EFD=______．
(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE，求∠EPH的度数．
【类型2 与三角形有关的角的证明】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G在直线EF上且∠ABG=∠FGB．
(1)求证：∠C=∠CGE．
(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度数．
3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD．
(1)如图1所示，连接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．
①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；
②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：∠CDM=∠BAE；
(2)如图2所示，∠AED=∠A−∠D，若M为平面内一动点，MA∥ED，请直接写出∠MAB与∠CDE的数量关系．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，∠MON=60°，
(1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠APB=__________；
(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出∠APB的度数；
(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB+∠OPB=90°．
5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF．
求证：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
任务：
(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系．
6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．
(1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM于点F．判断∠ENB与∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F．
①依题意补全图形；
②若∠CAB=45°，求证：∠NEA=∠NAE．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2=180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°<∠BAE<20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为______．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC在中，∠B=∠C，点D在边BC上．
(1)如图①，点E在线段AC上，若∠ADE=∠AED，证明：∠BAD=2∠CDE；
(2)如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比
【类型3 与三角形有关的角的挖空题】
1．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，作点AC⊥AD，设BD分别与AC、CE交于点F、G．若BD平分∠ABC，且∠2=∠3，求证：∠CFG=∠CGF．
完成下面的证明过程：
证明：∵AC⊥AD （已知） ．
∴∠CAD=90°（垂直的定义）．
∵BD平分∠ABC （已知）
∴∠1=∠2 （ ）
∵∠2=∠3 （已知）
∴∠1= （等量代换）
∴ AD//BC （ ）
∴ =∠CAD=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
同理由CE⊥AB，
可得∠2+∠BGE=90°
∴∠CFG=∠BGE （ ）
又∵∠BGE=∠CGF （对顶角相等 ）
∴∠CFG=∠CGF（等量代换）
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，
完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN，
∴∠GMN＝12∠BMN（ ），
同理∠GNM＝12∠DNM．
∵AB∥CD
∴∠BMN＋∠DNM＝________（ ）．
∴∠GMN＋∠GNM＝________．
∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，
∴∠G＝________．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图，三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（ ）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+ +∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣ ﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2． （ ）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．
4．（2023春·河北衡水·八年级校考期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．
(1)求证：∠AFE＝∠ACB，完成下面的证明．
证明：∵∠2+∠AEC＝180°．∠1+∠2＝180（已知），
∴∠AEC＝∠1（等量代换），
∴AB∥FD（ ），
∴∠3＝ （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴ ＝∠B（等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ACB（ ）；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．
5．（2023春·山西晋城·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边CD与边AB重合，试求∠AOC的度数．
（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°
∴∠BOC=__________（___________________）
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转△DOC，当DC//AO时，求得∠AEO的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转△DOC，使点B落在边DC上，此时发现∠1与∠2之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在△AOE与△BCE中，
∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C
又∵∠AEO=∠CEB（___________________）
∠A=__________，∠C=__________，
∴∠1+∠A=∠2+∠C
∠1−∠2=__________．
【类型4 探究与三角形有关的角之间的关系】
1．（2023春·全国·八年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．
(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
2．（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与探究
问题情境：
如图1，已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，点E，F在直线AB上，且∠ACD=∠ACF，CE平分∠BCF．
(1)求∠ACE的度数．
实践探究：
(2)若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系．
(3)如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC=∠CAD时，请求出∠CAD的度数．
3．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP、∠A是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：如图①，若∠A=50°，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=_____度；∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系是 ；
(2)类比探究：如图①，若∠A=α，请先写出∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由；
(3)延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，则（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请重新写出∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系，并说明理由．
4．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： ．
5．（2023春·湖北·八年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是___________；∠EFB的度数是___________；
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
6．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）数学实践活动课上，研究小组探究如下问题：
【问题情境】如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，使直角顶点与点O重合，其中∠COD=90°，∠C=30°，OE平分∠BOC且交CD所在直线于点F．
【独立思考】（1）若∠AOC=30°，求∠OFC的度数；
【实践操作】（2）如图②，将直角三角尺绕点O旋转，当∠OFC=2∠AOC时，求∠AOC的度数；
【深入探究】（3）继续旋转直角三角尺，若OC不与AB重合，试探究旋转过程中，∠AOC和∠OFC之间的数量
小丽的证法
小红的证法
证明：
如图2，连接AD并延长至点M，
∠BED=∠BAD+∠EDA，
∠DFC=∠DAC+∠ADF（ 依据 ），
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∠EDA+∠ADF=∠EDF，
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
证明：
∵∠BED=80°,∠DFC=60°，
∠BAC=51°,∠EDF=89°（量角器测量所得），
∴∠BED+∠DFC=140°，
∠BAC+∠EDF=140°（计算所得）．
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF（等量代换）．
专题7.5 与三角形有关的角的四大类型解答
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解答的理解！
【类型1 与三角形有关的角的计算】
1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
【答案】75°
【分析】先由三角形内角和定理得到∠ACB=80，再由角平分线的定义得到∠ACE=40，进而利用三角形外角的性质得到∠CED=75°，根据垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF=15°，进而根据垂直的定义求出∠CDF的度数即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB=40°，
∴∠CED=∠A+∠ACE=75°，
∵DF⊥CE，即∠DFE=90°，
∴∠EDF=180°−∠DEF−∠DFE=15°，
∵CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴∠CDF=∠ADC−∠EDF=75°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
【答案】(1)CD=5
(2)∠DAE=15°
【分析】（1）由中线平分三角形面积可得△ADC的面积，再由面积公式即可求得CD的长；
（2）由三角形内角和可求得∠BAC的度数，由角平分线的性质可求得∠ADE，然后在Rt△ADE中即可求得结果．
【详解】（1）解：∵AD为BC边上的中线，
∴S△ADC=12S△ABC=12×30=15，
∵AE为边BC上的高，AE=6，
∴12CD⋅AE=15，
∴CD=5．
（2）解：∵∠BAC=180°−∠B−∠C=78°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=39°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−75°=15°．
【点睛】本题考查了三角形中线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是基础与关键．
3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．
(1)求∠DBF+∠DCF的度数；
(2)求∠A的度数．
【答案】(1)45°
(2)90°
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）先证明BD平分∠ABC，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵∠BDC=135°，
∴∠DBF+∠DCF=180°−135°=45° ；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF，
∴BD平分∠ABC，即∠ABD =∠CBD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2(∠DBC+∠DCB)=180°−2×45°=90°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°．
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于点P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度数．
【答案】45°
【分析】首先根据三角形的外角和求出∠CAD=40°，由此可得∠BAD=20°，再根据三角形的内角和和角平分线的性质求出∠BPD的度数即可.
【详解】解：∵∠C+∠CAD=∠ADB，
∴70°+∠CAD=110°．
∴∠CAD=40°．
∵∠BAD=13∠BAC，
∴∠CAB=60°，∠BAD=20°．
在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，
∴70°+60°+∠ABC=180°，
∴∠ABC=50°．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=12∠ABC=25°．
∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=25°+20°=45°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角和和角平分线的定义，属于基础题，要熟练掌握.
5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．
(1)求证：BG平分∠ABE．
(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)35°
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE=∠E，再根据角平分线的性质得出∠DAE=∠BAE，从而得出∠E=∠BAE，最后根据等腰三角形的性质即可得出BG平分∠ABE；
（2）根据∠DAB=60°，AD∥BC，得出∠ABE=120°，再根据角平分线的性质得出∠GBE=60°，从而得出∠DCE=105°，最后根据∠BGC=∠DCE−∠GBE即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠E，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠E=∠BAE，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）∵∠DAB=60°，AD∥BC，
∴∠ABE=120°，
∵BG平分∠ABE，
∴∠GBE=60°，
∵∠DCE=105°，
∴∠BGC=∠DCE−∠GBE=105°−60°=35°．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键．
6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE．
(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAE=23°，∠EAC=17°
(3)25°或50°或90°
【分析】（1）由平移的性质可得AC∥DE，可得∠CAE=∠E=65°=∠C，可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，由外角的性质可得∠E+∠BAE=40°，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴AC∥DE，
∴∠CAE=∠E=65°，
∴∠C=∠CAE，
∴AE∥BC；
（2）解：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴DE∥AC，
∴∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，
∴∠E+∠BAE=40°，
∵∠E=2∠BAE−29°，
∴∠BAE=23°，∠E=17°，
∴∠EAC=17°；
（3）解：如图2，当DE⊥BC时，
∵∠BAC=40°，∠C=65°，
∴∠ABC=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=15°，
∵∠BDE=40°，
∴∠E=25°；
如图3，当AE⊥AC时，
∵AC∥DE，
∴∠E=∠CAE=90°，
如图4，当AE⊥AB时，
∵AC∥DE，∠BAC=40°
∴∠E=90°−∠ADE=50°
综上所述：∠E=25°或50°或90°．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A'处．
【感知】如果点A'落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A'与∠2之间的关系是 ;
【探究】如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A'与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A'与∠1、∠2之间存在数量关系 .
【答案】感知：∠2=2∠A'探究：2∠A'=∠1+∠2 拓展：2∠A'=∠2−∠1
【分析】[感知]根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠EA'D，根据折叠性质得出∠EA'D=∠A，即可求出答案；
[探究]根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A'ED+∠A'DE=180°−∠A'，两式相加可得∠A'DA+∠A'EA=360°−∠A+∠A'，即∠A+∠A'+∠A'DA+∠A'EA=360°，根据平角的定义得出∠1+∠A'DA+∠2+∠A'EA=360°，可得出∠A'+∠A=∠1+∠2，根据折叠性质得出∠A'=∠A，即可得出2∠A=∠1+∠2；
[拓展]根据三角形外角性质得出∠DME=∠A'+∠1，∠2=∠A+∠DME，推出∠2=∠A+∠A'+∠1，即可得出答案．
【详解】解：[感知]：∠2=2∠A．
理由如下：当点A'落在边AB上时，由折叠可得：∠EA'D=∠A；
∵∠2=∠A+∠EA'D，
∴∠2=2∠A，
故答案为：∠2=2∠A；
[探究]：2∠A=∠1+∠2．
理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A'ED+∠A'DE=180°−∠A'，
∴∠A'DA+∠A'EA=360°−(∠A+∠A')，
∴∠A+∠A'+∠A'DA+∠A'EA=360°，
∵∠1+∠A'DA+∠2+∠A'EA=360°，
∴∠A'+∠A=∠1+∠2，
由折叠可得：∠A=∠A'，
∴2∠A'=∠1+∠2，
故答案为：2∠A'=∠1+∠2；
[拓展]：如图②，
∵∠DME=∠A'+∠1，∠2=∠A+∠DME，
由折叠可得：∠A=∠A'，
∴∠2=∠A+∠A'+∠1=2∠A+∠1，
∴2∠A=∠2−∠1，
2∠A'=∠2−∠1
故答案为：2∠A'=∠2−∠1．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．
8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C=∠ADB．
(1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠DAE+2∠C=90°，理由见解析
(3)99°
【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE=∠C，再根据∠C=∠ADB，即可得到∠DAE=∠ADB，即可得证；
（2）∠DAE+2∠C=90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB=∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C=90°，再根据∠C=∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∠AFD=180°−8α，根据DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°−8α，再根据∠DAE+2∠C=90°，即可得到α+2180°−8α=90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠C，
又∵∠C=∠ADB，
∴∠DAE=∠ADB，
∴AC∥BD；
（2）解：∠DAE+2∠C=90°
理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，
∴∠CGB=∠ADB+∠DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴在△BCG中，∠CGB+∠C=90°，
∴∠ADB+∠DAE+∠C=90°，
又∵∠C=∠ADB，
∴∠DAE+2∠C=90°；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，
∴∠AFD=180°−8α，
∵DF∥BC，
∴∠C=∠AFD=180°−8α，
又∵∠DAE+2∠C=90°，
∴2180°−8α+α=90°，
∴α=18°
∴∠C=180°−8×18°=36°，
∴∠ADB=∠C=36°，
又∵∠BAC=∠BAD，
∴∠ABC=180°−∠C−∠BAC=180°−∠ADB−∠BAD=∠ABD，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°，
∴在△ABD中，∠BAD=180°−45°−36°=99°，
∴∠BAD的度数为99°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．
(1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，则∠EFD=______．
(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE，求∠EPH的度数．
【答案】(1)10°
(2)画图见解析，∠AKD=3∠C−∠B4，理由见解析
(3)95°
【分析】（1）先求出∠BAC=100°，进而得到∠BAE=50°，∠AEC=80°，根据FD⊥BC得到∠FDE=90°，即可求出∠EAD=90°−∠AED=10°；
（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，再由三角形内角和定理得到∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，则45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，据此即可得到答案；
（3）根据∠EAD=∠CAD=2α得到∠BAE=∠CAE=4α，得到∠BAD=6α，从而求出∠B=90°−6α，进而求出∠CPE=2α，结合∠CPG=710∠B+∠CPE，得到∠CPG=63°−145α．根据PG⊥BC，得到45°+α+63°−145α=90°，求出α=10°．从而分别求出∠B=90°−6α=30°，∠PEM=35°，∠BEP=145°，再求出∠PHB=90°，根据四边形内角和为360°即可求出∠EPH=95°．
【详解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
∵DF⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°−∠AED=10°，
故答案为：10°；
（2）解：∠AKD=3∠C−∠B4，理由如下：
在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=90°−12∠B−12∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∵∠CAE和∠EDF的角平分线交于点K，
∴∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，
∵∠TAC+∠C+∠ATC=180°=∠TDK+∠AKD+∠DTK，∠DTK=∠ATC，
∴∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，
∴45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，
∴∠AKD=34∠C−14∠B=3∠C−∠B4；
（3）解：设∠EAD=∠CAD=2α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠EAD+∠CAD=4α，
∴∠BAD=6α，
∵AD⊥BC
∴∠ADE=90°，
∴∠B=90°−∠BAD=90°−6α，∠AED=90°−2α，
∴∠ACM=∠B+∠BAC=90°+2α，
∵PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，
∴∠PEC=12∠AEC=45°−α，∠PCG=12∠ACM=45°+α，
∴∠EPC=∠PCG−∠PEC=2α，
∴∠CPG=710∠B+∠CPE=71090°−6α+2α=63°−14α5，
∵PG⊥BC，
∴∠PCG+∠CPG=90°，
即45°+α+63°−145α=90°，
∴α=10°．
∴∠B=90°−6α=30°，∠PEC=35°，
∴∠BEP=180°−∠PEM=145°，
∵PH⊥AB，
∴∠PHB=90°，
∴在四边形BEPH中，∠EPH=360°−∠BEP−∠B−∠BHP=95°（四边形内角和可以看做是两个三角形的内角和）．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．
【类型2 与三角形有关的角的证明】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据平行线的性质得到∠A+∠C=180°，然后根据三角形内角和定理得到∠CED+∠D+∠C=180°，进而可证明出∠A=∠CED+∠D．
【详解】∵AB∥CD
∴∠A+∠C=180°
∵在△CED中，∠CED+∠D+∠C=180°
∴∠A=∠CED+∠D．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G在直线EF上且∠ABG=∠FGB．
(1)求证：∠C=∠CGE．
(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)70°．
【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可证明；
（2）先根据平行线的性质求得∠CMG=∠B=60°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ABG=∠FGB，
∴AB∥EF，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠C=∠CGE；
（2）解：如图，
∵∠C=∠CGB+20°，
∴∠CGB=∠C−20°，
∵AB∥CD，∠B=60°，
∴∠CMG=∠B=60°，
∵∠C+∠CMG+∠CGB=180°，
∴∠C+∠C−20°+60°=180°，
∴∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD．
(1)如图1所示，连接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．
①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；
②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：∠CDM=∠BAE；
(2)如图2所示，∠AED=∠A−∠D，若M为平面内一动点，MA∥ED，请直接写出∠MAB与∠CDE的数量关系．
【答案】(1)①AB∥CD，理由见解析；②证明见解析
(2)∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°
【分析】（1）①过点E作EF∥AB，则∠AEF=∠BAE，由∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED得到∠CDE=∠FED，则FE∥CD，即可得到结论．
②由DM∥AE得到∠AED=∠MDE．∠CDE=∠FED，则∠MDC=∠AEF．由∠AEF=∠BAE即可得到∠CDM=∠BAE；
（2）分点M在直线AB的右侧和点M在直线AB的左侧两种情况，分别求出∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．
【详解】（1）解：①AB∥CD.理由：
过点E作EF∥AB，如图，
则∠AEF=∠BAE，
∵∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED，
∴∠CDE=∠FED，
∴FE∥CD，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
②∵DM∥AE，
∴∠AED=∠MDE．
∵∠CDE=∠FED，
∴∠MDC=∠AEF．
∵∠AEF=∠BAE，
∴∠CDM=∠BAE．
（2）当点M在直线AB的右侧时，如下图，∠MAB=∠CDE，理由：
设AE与CD交于点F，
∵∠CFE=∠D+∠AED，
∴∠AED=∠CFE−∠D．
∵∠AED=∠BAE−∠D，
∴∠BAE=∠CFE．
∴AB∥CD．
∴∠ABC=∠DCE．
∵AM∥DE，
∴∠AMB=∠DEC．
∵∠MAB=180°−∠ABC−∠AMB，∠CDE=180°−∠DCE−∠DEC，
∴∠MAB=∠CDE，
②当点M在直线AB的左侧时，如图，∠MAB+∠CDE=180°，理由：
由（2）①可知：∠BAN=∠CDE．
∵∠BAN+∠BAM=180°，
∴∠MAB+∠CDE=180°．
综上，∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理灵活进行角的关系转换是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，∠MON=60°，
(1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠APB=__________；
(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出∠APB的度数；
(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB+∠OPB=90°．
【答案】(1)120°
(2)60°
(3)证明见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由平角的定义得∠MAB+∠MBA=240°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=120°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；
（3）由（2）可得∠PAB=∠MAP=30°+∠APO，∠OPB=60°−∠APO，代入∠PAB+∠OPB化简即可.
【详解】（1）解：∵∠MON=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°
∵PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA，
∴∠PAB=12∠OAB，∠PBA=12∠OBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°
∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=120°，
故答案为：120°；
（2）解：∵∠MON=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠MAB+∠MBA=240°，
∵PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA，
∴∠PAB=12∠MAB，∠PBA=12∠MBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠MAB+12∠MBA=120°，
∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=60°；
（3）证明：∵OC平分∠MON，∠MON=60°，
∴∠MOC=12∠MON=30°，
∵PA平分∠MAB，
∴∠PAB=∠MAP=∠MOP+∠APO=30°+∠APO，
∵∠APB=60°
∴∠OPB=60°−∠APO
∴∠PAB+∠OPB=30°+∠APO+60°−∠APO=90°
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．
5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF．
求证：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
任务：
(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系．
【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)A
(3)不成立，∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF
【分析】（1）连接AD并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可；
（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；
（3）根据三角形外角的性质得∠AGE=∠DFC+∠EDF，∠BED=∠BAC+∠AGE，整理可得答案
【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；
（3）不成立，
∵∠AGE是△GDF的一个外角，
∴∠AGE=∠DFC+∠EDF，
∵∠BED为△AEG的一个外角，
∴∠BED=∠BAC+∠AGE，
∴∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF（或∠BED−∠DFC=∠BAC+∠EDF）．
【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．
(1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM于点F．判断∠ENB与∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F．
①依题意补全图形；
②若∠CAB=45°，求证：∠NEA=∠NAE．
【答案】(1)∠ENB=∠NAC，理由见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）依据∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，进而得出∠MAC=∠ENB，再根据∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC；
（2）①过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F；②依据∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°−∠ENB，∠EAN=135°−∠NAC，即可得到∠NEA=∠NAE．
【详解】（1）解：∠ENB=∠NAC，
理由：∵BD⊥AM，
∴∠ADB=90°，
∵NE∥BD，
∴∠NFD=∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，
∴∠MAC=∠ENB，
又∵∠NAC=∠MAC，
∴∠ENB=∠NAC；
（2）解：①补全图形如图：
②同理可证∠ENB=∠NAC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABM=135°，
∴∠NEA=∠ABM−∠NEB=135°−∠ENB，
∵∠EAN=∠EAB−∠NAC−∠CAB=135°−∠NAC，
∴∠NEA=∠NAE．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质的综合运用，解决问题的关键是利用三角形内角和是180°进行推算．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2=180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°<∠BAE<20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为______．
【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；（2）见解析；（3）42°或41°
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠A=∠1，∠2=∠C，由此即可得到结论；
（2）由（1）可知：∠EG2F=∠1+∠DFG2，由角平分线的定义结合∠1=∠2可得∠EG2F=∠2+∠EFG2，再根据三角形的内角和定理可证明结论；
（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=3x，可求得∠BAE=4x−60°，结合∠BAE度数的取值范围可求解x的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点E作EF∥AB，
∴∠A=∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2=∠C．
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC=∠A+∠C，
故答案为：∠AEC=∠A+∠C；
（2）由（1）可知：∠EG2F=∠1+∠DFG2，
∵FG2平分∠MFD，
∴∠EFG2=∠DFG2，
∵∠1=∠2，
∴∠EG2F=∠2+∠EFG2，
∵∠EG1F+∠2+∠EFG2=180°，
∴∠FG1E+∠G2=180°；
（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=3x，
∵∠EFD=60°，
∴x+3x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=4x−60°，
又∵8°<∠BAE<20°，
∴8°<4x−60°<20°，
解得17°又∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠C=∠DFE−∠CEF=∠DFE−x，
∵∠C的度数为整数，
∴x=18°或19°，
∴∠C=60°−18°=42°或∠C=60°−19°=41°，
故答案为：42°或41°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC在中，∠B=∠C，点D在边BC上．
(1)如图①，点E在线段AC上，若∠ADE=∠AED，证明：∠BAD=2∠CDE；
(2)如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比
【答案】(1)见解析．
(2)3:2
【分析】（1）根据三角形的外角定理，∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE, ∠BAD=∠ADE+∠CDE−∠B，而∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE，代入上面式子有：∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠B，而∠B=∠C，所以∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠C=2∠CDE，证明了结论；
（2）如图，延长QF交AC于K，设∠P=x,∠BFQ=y；有∠AQK=∠AKQ，根据外角定理有，∠AKQ=∠KFC+∠C，而∠C=2∠1，∠KFC=y，2∠2=y+2∠1，而∠1+∠P=∠2+∠KFC，即∠1+x=∠2+y，联立可以找到x、y的关系式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE,
∴∠BAD=∠ADE+∠CDE−∠B
又∵∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE
∴∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠B
∵∠B=∠C，
∴∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠C=2∠CDE
即：∠BAD=2∠CDE．
（2）解：如图，延长QF交AC于K，设∠P=x,∠BFQ=y
∵AH⊥QK，∠HAQ=∠HAK
∴∠QAH+∠AQH=90°，∠HAK+∠AKQ=90°
∴∠AQK=∠AKQ
∴2∠2=∠KFC+∠C=y+2∠1.
∴∠2−∠1=12y
∵∠1+x=∠2+y
∴x=12y+y
∴2x=3y
∴x:y=2:3
故：∠P与∠BFQ的度数之比为2:3．
【点睛】本题主要考查了三角形外角定理、直角三角形性质、角平分线的定义等知识，熟练运用外角定理，找到相应的等量关系，并通过等量代换找到角之间的关系是求解的关键．
【类型3 与三角形有关的角的挖空题】
1．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，作点AC⊥AD，设BD分别与AC、CE交于点F、G．若BD平分∠ABC，且∠2=∠3，求证：∠CFG=∠CGF．
完成下面的证明过程：
证明：∵AC⊥AD （已知） ．
∴∠CAD=90°（垂直的定义）．
∵BD平分∠ABC （已知）
∴∠1=∠2 （ ）
∵∠2=∠3 （已知）
∴∠1= （等量代换）
∴ AD//BC （ ）
∴ =∠CAD=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
同理由CE⊥AB，
可得∠2+∠BGE=90°
∴∠CFG=∠BGE （ ）
又∵∠BGE=∠CGF （对顶角相等 ）
∴∠CFG=∠CGF（等量代换）
【答案】角平分线定义；∠3；内错角相等，两直线平行；∠ACB；等角的余角相等
【分析】根据垂直的定义可得∠CAD=90°，然后根据角平分线定义可得∠1=∠2，根据等量代换可得∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行可证AD//BC，从而得出∠ACB =∠CAD=90°，再根据等角的余角相等可得∠CFG=∠BGE，最后根据对顶角相等和等量代换即可证出结论．
【详解】证明：∵AC⊥AD （已知） ．
∴∠CAD=90°（垂直的定义）．
∵BD平分∠ABC （已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵∠2=∠3 （已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠ACB =∠CAD=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
同理由CE⊥AB，
可得∠2+∠BGE=90°
∴∠CFG=∠BGE（等角的余角相等）
又∵∠BGE=∠CGF （对顶角相等 ）
∴∠CFG=∠CGF（等量代换）
故答案为: 角平分线定义；∠3；内错角相等，两直线平行；∠ACB；等角的余角相等．
【点睛】此题考查的是垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质，掌握垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质是解题关键．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，
完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN，
∴∠GMN＝12∠BMN（ ），
同理∠GNM＝12∠DNM．
∵AB∥CD
∴∠BMN＋∠DNM＝________（ ）．
∴∠GMN＋∠GNM＝________．
∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，
∴∠G＝________．
【答案】角分线的定义；180°；两直线平行，同旁内角互补；90°；180°；90°
【分析】根据角平分线的定义，可得∠GMN＝12∠BMN，∠GNM＝12∠DNM． 再由AB∥CD，可得∠BMN＋∠DNM＝180°，从而得到∠GMN＋∠GNM＝90°．然后根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】证明：∵MG平分∠BMN，
∴∠GMN＝12∠BMN（角分线的定义），
同理∠GNM＝12∠DNM．
∵AB∥CD，
∴∠BMN＋∠DNM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠GMN＋∠GNM＝90°．
∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝180°，
∴∠G＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图，三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（ ）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+ +∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣ ﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2． （ ）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．
【答案】（1）三角形内角和定理；∠2；∠DBC；等量代换；（2）见解析．
【分析】（1）根据三角形内角和定理、等式的性质解答；
（2）延长BD交AC于E，根据三角形的外角性质证明结论．
【详解】（1）∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形内角和定理）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2（等量代换），
故答案为：三角形内角和定理；∠2；∠BDC；等量代换；
（2）如图，延长BD交AC于E，
由三角形的外角性质可知，∠BEC＝∠A+∠1，
∴∠BDC＝∠BEC+∠2=∠A+∠1+∠2．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和是解题的关键．
4．（2023春·河北衡水·八年级校考期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．
(1)求证：∠AFE＝∠ACB，完成下面的证明．
证明：∵∠2+∠AEC＝180°．∠1+∠2＝180（已知），
∴∠AEC＝∠1（等量代换），
∴AB∥FD（ ），
∴∠3＝ （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴ ＝∠B（等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ACB（ ）；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．
【答案】(1)同位角相等，两直线平行；∠AEF；∠AEF；FE∥CB；两直线平行，同位角相等
(2)40°
【分析】（1）由题意可得∠AEC＝∠1，从而可判断AB∥FD，求出∠AEF＝∠B，得到FE∥CB，即得∠AFE＝∠ACB；
（2）利用三角形的内角和可求得∠BCE的度数，再利用角平分线的定义得∠ACB＝2∠BCE，从而得解．
【详解】（1）解：∵∠2+∠AEC＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠AEC＝∠1（等量代换），
∴AB∥FD（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠AEF＝∠B（等量代换），
∴FE∥CB（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ACB（两直线平行，同位角相等），
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠AEF；∠AEF；FE∥CB；两直线平行，同位角相等；
（2）∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2＝110°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠2＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝40°，
∵FE∥CB，
∴∠AFE＝∠ACB＝40°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
5．（2023春·山西晋城·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边CD与边AB重合，试求∠AOC的度数．
（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°
∴∠BOC=__________（___________________）
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转△DOC，当DC//AO时，求得∠AEO的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转△DOC，使点B落在边DC上，此时发现∠1与∠2之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在△AOE与△BCE中，
∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C
又∵∠AEO=∠CEB（___________________）
∠A=__________，∠C=__________，
∴∠1+∠A=∠2+∠C
∠1−∠2=__________．
【答案】（1）75°；三角形内角和是180°；15°；（2）105°；见解析；（3）对顶角相等；30°；45°；15°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；
（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；
（3）在△AOE与△BCE中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C，计算即可求解．
【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，
∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=15°；
（2）解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，
∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BAO=30°，
∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；
（3）在△AOE与△BCE中，
∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C，
又∵∠AEO=∠CEB（对顶角相等），
∠A=30°，∠C=45°，
∴∠1+∠A=∠2+∠C，
∠1−∠2=15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【类型4 探究与三角形有关的角之间的关系】
1．（2023春·全国·八年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．
(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①150°；②45°；
(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；
(3)存在，30°,45°,120°,135°,165°．
【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理；
（3）分五种情况进行讨论：当CB ∥ AD时，当EB ∥ AC时，当CE ∥ AD时，当EB ∥ CD时，当BE ∥ AD时，分别求得∠ACE的度数．
【详解】（1）解：①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案为：150°；
②∵∠ACB=135°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=135°−90°=45°，
∴∠DCE=90°−45°=45°，
故答案为：45°；
（2）解：∠ACB+∠DCE=180°，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
即∠ACB+∠DCE=180°；
（3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CB ∥ AD时，如图1所示：
∴∠DCB=∠D=30°，
∴∠ACE=∠DCB=30°；
当EB ∥ AC时，如图2所示：
∴∠ACE=∠E=45°；
当CE ∥ AD时，如图3所示：
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
当EB ∥ CD时，如图4所示：
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=90°+45°=135°；
当BE ∥ AD时，延长AC交BE于F，如图5所示：
∴∠CFB=∠A=60°，
∵∠ECF+∠E+∠CFE=180°，∠CFB +∠CFE =180°，
∴∠ECF=15°，
∴∠ACE=180°−∠ECF=180°−15°=165°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，几何图形中的角度计算，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质，数形结合是解题的关键．
2．（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与探究
问题情境：
如图1，已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，点E，F在直线AB上，且∠ACD=∠ACF，CE平分∠BCF．
(1)求∠ACE的度数．
实践探究：
(2)若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系．
(3)如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC=∠CAD时，请求出∠CAD的度数．
【答案】(1)60°
(2)∠BFC=2∠BAC，理由见解析
(3)90°
【分析】（1）由平行线的性质求出∠BCD=120°，再根据题意及角平分线的定义得出∠ACF+∠FCE=12∠BCD，即可求解；
（2）由平行线的性质和三角形外角的性质即可求解；
（3）由题可得AD∥BC，∠D=60°，∠BCD=120°，由三角形内角和定理可得∠DCA=∠BCE，由角平分线的定义可得∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE，求出∠DCA=14∠BCD=30°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCD=120°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠FCE=∠BCE=12∠FCB，
∵∠ACD=∠ACF，
∴∠ACF+∠FCE=12DCF+12∠BCF=12∠BCD=60°；
（2）∠BFC=2∠BAC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠ACD=∠ACF，
∴∠BAC=∠ACF，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，
∴∠BFC=2∠BAC；
（3）∵AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，
∴AD∥BC，∠D=60°，∠BCD=120°，
∵∠BEC=∠CAD，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠ACD=∠ACF，∠FCE=∠BCE，
∴∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCA=14∠BCD=30°，
∴∠CAD=180°−∠D−∠DCA=90°
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，正确识图是解题的关键．
3．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP、∠A是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：如图①，若∠A=50°，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=_____度；∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系是 ；
(2)类比探究：如图①，若∠A=α，请先写出∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由；
(3)延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，则（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请重新写出∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90；40；∠ABP+∠ACP=90°−∠A
(2)∠ABP+∠ACP=90°−∠A；理由见解析
(3)不成立；∠ACP−∠ABP=90°−∠A；理由见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；
（2）根据题意可得∠PBC+∠PCB=90°，在△ABC中，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）在△ABC中，利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A，再由∠PBC+∠PCB=90°，两式相减，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：∠BPC=90°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠PBC+∠PCB=90°；
∵∠A=50°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB−∠PBC+∠PCB=40°；
∴∠ABP+∠ACP+∠A=40°+50°=90°．
故答案为：90；40；∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
（2）解：∠ABP+∠ACP=90°−∠A；理由如下：
根据题意得：∠BPC=90°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∵∠PBC+∠PCB+∠ABP+∠ACP+∠A=180°，
即90°+∠ABP+∠ACP+∠A=180°；
∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
（3）解：不成立．结论：∠ACP−∠ABP=90°−∠A．理由如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB−∠PBC+∠PCB=180°−∠A−90°=90°−∠A，
∴∠ABC+∠ACP+∠PCB−∠ABP−∠ABC−∠PCB=90°−∠A，
∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关链是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： ．
【答案】(1)∠BOC=90°+12∠A，理由见解析
(2)∠BOC=12∠A，理由见解析
(3)∠BOC=90°−12∠A
【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB ∠1+∠2=12∠ABC+∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）先由角平分线得出∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再由三角形的外角的性质得出，∠2=12∠A+∠1，再根据三角形外角的性质，即可得出结论；
（3）首先根据三角形的外角性质，得∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，再根据角平分线的定义，可得∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∠BOC=90°+12∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12∠ABC+∠ACB
又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A
∴∠1+∠2=12180°−∠A=90°−12∠A
∴∠BOC=180°−∠1+∠2
=180°−90°−12∠A
=90°+12∠A；
（2）解：∠BOC=12∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=12∠A+∠ABC=12∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2−∠1=12∠A+∠1−∠1=12∠A；
（3）解：结论∠BOC=90°−12∠A．
根据三角形的外角性质，得∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠BCE，
∴∠OBC+∠OCB=12∠DBC+∠BCE=12∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°+12∠A，
∴在△OBC中，
∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−90°+12∠A=90°−12∠A，
故答案为：∠BOC=90°−12∠A．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键．
5．（2023春·湖北·八年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是___________；∠EFB的度数是___________；
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【答案】(1)①80°；20°②∠BGE=90°−12∠A
(2)∠BGE=90°+12∠A
【分析】（1）①直接运用三角形内角和定理以及平行线的性质可求解；②证明∠BGE=∠GEF+∠GFE=12∠ABC+∠C即可；
（2）证明∠BGE=180°−∠GEF+∠GFE=180°−12180°−∠A即可．
【详解】（1）①∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=40°，∠C=60°，
∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=180°−40°+60°=80°，
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=12∠ABC=20°,
∵EF∥BC,
∴∠EFB=∠FBC=20°,
故答案为：80°；20°；
②∵EF∥BC,
∴∠GFE=∠CBF,∠FED=∠C,
∵BD平分∠ABC, EG平分∠DEF,
∴∠CBF=12∠ABC,∠GEF=12∠DEF,
∴∠GFE=12∠ABC,∠GEF=12∠C,
又∠BGE=∠GEF+∠GFE,
∴∠BGE=12∠ABC+∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BGE=12180°−∠A=90°−12∠A；
（2）如图,
∵EF∥BC,
∴∠GFE=∠CBF,∠FED=∠C,
∵BD平分∠ABC, EG平分∠DEF,
∴∠CBG=12∠ABC,∠GEF=12∠DEF,
∴∠GFE=12∠ABC,∠GEF=12∠C,
又∠BGE+∠GEF+∠GFE=180°,
∴∠BGE=180°−∠GEF+∠GFE
∴∠BGE=180°−12∠ABC+∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BGE=180°−12180°−∠A=90°+12∠A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，正确识别图形是解答本题的关键．
6．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）数学实践活动课上，研究小组探究如下问题：
【问题情境】如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，使直角顶点与点O重合，其中∠COD=90°，∠C=30°，OE平分∠BOC且交CD所在直线于点F．
【独立思考】（1）若∠AOC=30°，求∠OFC的度数；
【实践操作】（2）如图②，将直角三角尺绕点O旋转，当∠OFC=2∠AOC时，求∠AOC的度数；
【深入探究】（3）继续旋转直角三角尺，若OC不与AB重合，试探究旋转过程中，∠AOC和∠OFC之间的数量关系．
【答案】（1）75°；（2）40°；（3）2∠OFC−∠AOC=120°或∠AOC−2∠OFC=120°．
【分析】（1）先求出∠BOC=150°，再根据角平分线的定义求出∠COE=75°，然后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由角平分线的定义得∠BOC=2∠COE=2∠BOE，利用三角形内角和定理得∠COE=150°−2∠AOC，再根据∠AOC+∠BOC=180°即可求解；
（3）由角平分线的定义得∠BOC=2∠COE=2∠BOE，利用三角形外角的性质得COE=30°−∠OFC，再根据∠AOC+∠BOC=180°即可求解；
【详解】（1）∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−30°=150°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=75°，
∴∠OFC=180°−30°−75°=75°．
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2∠BOE．
∵∠OFC=2∠AOC，∠C=30°，
∴∠COE=180°−∠C−∠OFC=150°−2∠AOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+2150°−2∠AOC=180°，
∴∠AOC=40°；
（3）当OC在直线AB的上方时，如图2，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2∠BOE．
∵∠AOC=30°，
∴COE=180°−∠C−∠OFC=150°−∠OFC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+2150°−∠OFC=180°，
∴2∠OFC−∠AOC=120°；
当OC在直线AB的下方时，如备用图，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2∠BOE．
∵∠C=30°，
∴COE=30°−∠OFC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+230°−∠OFC=180°，
∴∠AOC−2∠OFC=120°．
综上可知，∠AOC和∠OFC之间的数量关系为：2∠OFC−∠AOC=120°或∠AOC−2∠OFC=120°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键．
7．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知，直线AB∥CD．
(1)如图1，点E在AB、CD之间，求证：∠AEC=∠A+∠C；
(2)如图2，在（1）的条件下，∠BAE的平分线交CE的延长线于点F，∠DCE的平分线交AE的延长线于点G，试探究∠F，∠G和∠AEC这三个角之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点E在直线AB的上方，∠EAB，∠ECD的平分线交于点F，若∠E−∠F=20°，请直接写出∠ECD−∠EAB的值．
【答案】(1)见解析
(2)∠F+∠G=32∠AEC，理由见解析
(3)∠ECD−∠EAB=40°
【分析】（1）作EG∥AB∥CD，根据平行线的性质即可证明结论；
（2）根据三角形的内角和可得∠AEF+∠CEG=360°−∠EAF−∠ECG−∠F−∠G，根据角平分线的性质可得∠EAF+∠ECG=12∠BAE+∠DCE，结合（1）可得∠EAF+∠ECG=12∠AEC，推得∠AEF+∠CEG=360°−12∠AEC−∠F−∠G，故2∠AEC=12∠AEC+∠F+∠G，即可得出答案；
（3）根据三角形的外角性质可推得∠E−∠F=∠FCE−∠EAF，根据角平分线的性质，得出∠E−∠F=12∠ECD−12∠EAB=20°，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，作EG∥AB∥CD，
∴∠A=∠AEG，∠C=∠CEG，
∵∠AEC=∠AEG+∠CEG，
∴∠AEC=∠A+∠C．
（2）解：∵∠AEC=180°−∠CEG，∠AEC=180°−∠AEF，
∴2∠AEC=360°−∠AEF−∠CEG，
又∵∠AEF=180°−∠EAF−∠F，∠CEG=180°−∠ECG−∠G，
故∠AEF+∠CEG=360°−∠EAF−∠ECG−∠F−∠G，
且AF、CG分别为∠BAE、∠DCE的平分线，
∴∠EAF=12∠BAE，∠ECG=12∠DCE，
故∠EAF+∠ECG=12∠BAE+12∠DCE=12∠BAE+∠DCE
由（1）可知∠BAE+∠DCE=∠AEC
∴∠EAF+∠ECG=12∠BAE+12∠DCE=12∠AEC，
∴∠AEF+∠CEG=360°−12∠AEC−∠F−∠G
又∵2∠AEC=360°−∠AEF−∠CEG，
∴2∠AEC=12∠AEC+∠F+∠G，
∴∠F+∠G=32∠AEC．
（3）∵∠EAF+∠E=∠FCE+∠F，
∴∠E−∠F=∠FCE−∠EAF，
∵AF，CE是∠EAB、∠ECD的平分线，
∴∠E−∠F=12∠ECD−12∠EAB=20°
∴∠ECD−∠EAB=40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形的外角性质，作出辅助线是解题的关键．
8．（2023春·四川泸州·八年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，AC∥EF
(1)观察猜想：若∠A=45°，∠E=65°，则∠CDE的度数为
(2)探究问题：请在图1中探究∠A，∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系，并说明理由.
(3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠CAB，∠CDE与∠E又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由
【答案】(1)110°
(2)∠CDE=∠A+∠E；理由见解析
(3)∠CAB=∠E+∠D，理由见解析
【分析】（1）延长AB交DE于点G，交EF于点H，根据平行线的性质求出∠EHG=∠A=45°，根据三角形外角的性质求出∠DGH=∠E+∠EHG=65°+45°=110°，最后根据平行线的性质求出结果即可；
（2）根据解析（1）的方法，求解即可；
（3）延长CA交DE于点G，AB与DE交于点H，根据平行线的性质得出∠CGD=∠E，∠AHG=∠D，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示：
∵AC∥EF，∠A=45°，
∴∠EHG=∠A=45°，
∵∠E=65°，
∴∠DGH=∠E+∠EHG=65°+45°=110°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠DGH=110°．
故答案为：110°．
（2）解：∠CDE=∠A+∠E；理由如下：
延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示：
∵AC∥EF，
∴∠EHG=∠A，
∴∠DGH=∠E+∠EHG=∠E+∠A，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠DGH=∠A+∠E．
（3）解：∠CAB=∠E+∠D，理由如下：
延长CA交DE于点G，AB与DE交于点H，如图所示：
小丽的证法
小红的证法
证明：
如图2，连接AD并延长至点M，
∠BED=∠BAD+∠EDA，
∠DFC=∠DAC+∠ADF（ 依据 ），
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∠EDA+∠ADF=∠EDF，
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
证明：
∵∠BED=80°,∠DFC=60°，
∠BAC=51°,∠EDF=89°（量角器测量所得），
∴∠BED+∠DFC=140°，
∠BAC+∠EDF=140°（计算所得）．
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF（等量代换）．
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解答的理解！
【类型1 与三角形有关的角的计算】
1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．
(1)求∠DBF+∠DCF的度数；
(2)求∠A的度数．
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于点P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度数．
5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．
(1)求证：BG平分∠ABE．
(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度数．
6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE．
(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A'处．
【感知】如果点A'落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A'与∠2之间的关系是 ;
【探究】如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A'与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A'与∠1、∠2之间存在数量关系 .
8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C=∠ADB．
(1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．
9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．
(1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，则∠EFD=______．
(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE，求∠EPH的度数．
【类型2 与三角形有关的角的证明】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G在直线EF上且∠ABG=∠FGB．
(1)求证：∠C=∠CGE．
(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度数．
3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD．
(1)如图1所示，连接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．
①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；
②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：∠CDM=∠BAE；
(2)如图2所示，∠AED=∠A−∠D，若M为平面内一动点，MA∥ED，请直接写出∠MAB与∠CDE的数量关系．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，∠MON=60°，
(1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠APB=__________；
(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出∠APB的度数；
(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB+∠OPB=90°．
5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF．
求证：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
任务：
(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系．
6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．
(1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM于点F．判断∠ENB与∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F．
①依题意补全图形；
②若∠CAB=45°，求证：∠NEA=∠NAE．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2=180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°<∠BAE<20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为______．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC在中，∠B=∠C，点D在边BC上．
(1)如图①，点E在线段AC上，若∠ADE=∠AED，证明：∠BAD=2∠CDE；
(2)如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比
【类型3 与三角形有关的角的挖空题】
1．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，作点AC⊥AD，设BD分别与AC、CE交于点F、G．若BD平分∠ABC，且∠2=∠3，求证：∠CFG=∠CGF．
完成下面的证明过程：
证明：∵AC⊥AD （已知） ．
∴∠CAD=90°（垂直的定义）．
∵BD平分∠ABC （已知）
∴∠1=∠2 （ ）
∵∠2=∠3 （已知）
∴∠1= （等量代换）
∴ AD//BC （ ）
∴ =∠CAD=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
同理由CE⊥AB，
可得∠2+∠BGE=90°
∴∠CFG=∠BGE （ ）
又∵∠BGE=∠CGF （对顶角相等 ）
∴∠CFG=∠CGF（等量代换）
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，
完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN，
∴∠GMN＝12∠BMN（ ），
同理∠GNM＝12∠DNM．
∵AB∥CD
∴∠BMN＋∠DNM＝________（ ）．
∴∠GMN＋∠GNM＝________．
∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，
∴∠G＝________．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图，三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（ ）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+ +∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣ ﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2． （ ）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．
4．（2023春·河北衡水·八年级校考期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．
(1)求证：∠AFE＝∠ACB，完成下面的证明．
证明：∵∠2+∠AEC＝180°．∠1+∠2＝180（已知），
∴∠AEC＝∠1（等量代换），
∴AB∥FD（ ），
∴∠3＝ （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴ ＝∠B（等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ACB（ ）；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．
5．（2023春·山西晋城·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边CD与边AB重合，试求∠AOC的度数．
（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°
∴∠BOC=__________（___________________）
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转△DOC，当DC//AO时，求得∠AEO的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转△DOC，使点B落在边DC上，此时发现∠1与∠2之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在△AOE与△BCE中，
∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C
又∵∠AEO=∠CEB（___________________）
∠A=__________，∠C=__________，
∴∠1+∠A=∠2+∠C
∠1−∠2=__________．
【类型4 探究与三角形有关的角之间的关系】
1．（2023春·全国·八年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．
(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
2．（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与探究
问题情境：
如图1，已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，点E，F在直线AB上，且∠ACD=∠ACF，CE平分∠BCF．
(1)求∠ACE的度数．
实践探究：
(2)若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系．
(3)如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC=∠CAD时，请求出∠CAD的度数．
3．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP、∠A是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：如图①，若∠A=50°，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=_____度；∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系是 ；
(2)类比探究：如图①，若∠A=α，请先写出∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由；
(3)延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，则（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请重新写出∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系，并说明理由．
4．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： ．
5．（2023春·湖北·八年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是___________；∠EFB的度数是___________；
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
6．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）数学实践活动课上，研究小组探究如下问题：
【问题情境】如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，使直角顶点与点O重合，其中∠COD=90°，∠C=30°，OE平分∠BOC且交CD所在直线于点F．
【独立思考】（1）若∠AOC=30°，求∠OFC的度数；
【实践操作】（2）如图②，将直角三角尺绕点O旋转，当∠OFC=2∠AOC时，求∠AOC的度数；
【深入探究】（3）继续旋转直角三角尺，若OC不与AB重合，试探究旋转过程中，∠AOC和∠OFC之间的数量
小丽的证法
小红的证法
证明：
如图2，连接AD并延长至点M，
∠BED=∠BAD+∠EDA，
∠DFC=∠DAC+∠ADF（ 依据 ），
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∠EDA+∠ADF=∠EDF，
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
证明：
∵∠BED=80°,∠DFC=60°，
∠BAC=51°,∠EDF=89°（量角器测量所得），
∴∠BED+∠DFC=140°，
∠BAC+∠EDF=140°（计算所得）．
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF（等量代换）．
专题7.5 与三角形有关的角的四大类型解答
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解答的理解！
【类型1 与三角形有关的角的计算】
1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
【答案】75°
【分析】先由三角形内角和定理得到∠ACB=80，再由角平分线的定义得到∠ACE=40，进而利用三角形外角的性质得到∠CED=75°，根据垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF=15°，进而根据垂直的定义求出∠CDF的度数即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB=40°，
∴∠CED=∠A+∠ACE=75°，
∵DF⊥CE，即∠DFE=90°，
∴∠EDF=180°−∠DEF−∠DFE=15°，
∵CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴∠CDF=∠ADC−∠EDF=75°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
【答案】(1)CD=5
(2)∠DAE=15°
【分析】（1）由中线平分三角形面积可得△ADC的面积，再由面积公式即可求得CD的长；
（2）由三角形内角和可求得∠BAC的度数，由角平分线的性质可求得∠ADE，然后在Rt△ADE中即可求得结果．
【详解】（1）解：∵AD为BC边上的中线，
∴S△ADC=12S△ABC=12×30=15，
∵AE为边BC上的高，AE=6，
∴12CD⋅AE=15，
∴CD=5．
（2）解：∵∠BAC=180°−∠B−∠C=78°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=39°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−75°=15°．
【点睛】本题考查了三角形中线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是基础与关键．
3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．
(1)求∠DBF+∠DCF的度数；
(2)求∠A的度数．
【答案】(1)45°
(2)90°
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）先证明BD平分∠ABC，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵∠BDC=135°，
∴∠DBF+∠DCF=180°−135°=45° ；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF，
∴BD平分∠ABC，即∠ABD =∠CBD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2(∠DBC+∠DCB)=180°−2×45°=90°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°．
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于点P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度数．
【答案】45°
【分析】首先根据三角形的外角和求出∠CAD=40°，由此可得∠BAD=20°，再根据三角形的内角和和角平分线的性质求出∠BPD的度数即可.
【详解】解：∵∠C+∠CAD=∠ADB，
∴70°+∠CAD=110°．
∴∠CAD=40°．
∵∠BAD=13∠BAC，
∴∠CAB=60°，∠BAD=20°．
在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，
∴70°+60°+∠ABC=180°，
∴∠ABC=50°．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=12∠ABC=25°．
∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=25°+20°=45°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角和和角平分线的定义，属于基础题，要熟练掌握.
5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．
(1)求证：BG平分∠ABE．
(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)35°
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE=∠E，再根据角平分线的性质得出∠DAE=∠BAE，从而得出∠E=∠BAE，最后根据等腰三角形的性质即可得出BG平分∠ABE；
（2）根据∠DAB=60°，AD∥BC，得出∠ABE=120°，再根据角平分线的性质得出∠GBE=60°，从而得出∠DCE=105°，最后根据∠BGC=∠DCE−∠GBE即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠E，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠E=∠BAE，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）∵∠DAB=60°，AD∥BC，
∴∠ABE=120°，
∵BG平分∠ABE，
∴∠GBE=60°，
∵∠DCE=105°，
∴∠BGC=∠DCE−∠GBE=105°−60°=35°．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键．
6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE．
(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAE=23°，∠EAC=17°
(3)25°或50°或90°
【分析】（1）由平移的性质可得AC∥DE，可得∠CAE=∠E=65°=∠C，可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，由外角的性质可得∠E+∠BAE=40°，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴AC∥DE，
∴∠CAE=∠E=65°，
∴∠C=∠CAE，
∴AE∥BC；
（2）解：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴DE∥AC，
∴∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，
∴∠E+∠BAE=40°，
∵∠E=2∠BAE−29°，
∴∠BAE=23°，∠E=17°，
∴∠EAC=17°；
（3）解：如图2，当DE⊥BC时，
∵∠BAC=40°，∠C=65°，
∴∠ABC=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=15°，
∵∠BDE=40°，
∴∠E=25°；
如图3，当AE⊥AC时，
∵AC∥DE，
∴∠E=∠CAE=90°，
如图4，当AE⊥AB时，
∵AC∥DE，∠BAC=40°
∴∠E=90°−∠ADE=50°
综上所述：∠E=25°或50°或90°．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A'处．
【感知】如果点A'落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A'与∠2之间的关系是 ;
【探究】如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A'与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A'与∠1、∠2之间存在数量关系 .
【答案】感知：∠2=2∠A'探究：2∠A'=∠1+∠2 拓展：2∠A'=∠2−∠1
【分析】[感知]根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠EA'D，根据折叠性质得出∠EA'D=∠A，即可求出答案；
[探究]根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A'ED+∠A'DE=180°−∠A'，两式相加可得∠A'DA+∠A'EA=360°−∠A+∠A'，即∠A+∠A'+∠A'DA+∠A'EA=360°，根据平角的定义得出∠1+∠A'DA+∠2+∠A'EA=360°，可得出∠A'+∠A=∠1+∠2，根据折叠性质得出∠A'=∠A，即可得出2∠A=∠1+∠2；
[拓展]根据三角形外角性质得出∠DME=∠A'+∠1，∠2=∠A+∠DME，推出∠2=∠A+∠A'+∠1，即可得出答案．
【详解】解：[感知]：∠2=2∠A．
理由如下：当点A'落在边AB上时，由折叠可得：∠EA'D=∠A；
∵∠2=∠A+∠EA'D，
∴∠2=2∠A，
故答案为：∠2=2∠A；
[探究]：2∠A=∠1+∠2．
理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A'ED+∠A'DE=180°−∠A'，
∴∠A'DA+∠A'EA=360°−(∠A+∠A')，
∴∠A+∠A'+∠A'DA+∠A'EA=360°，
∵∠1+∠A'DA+∠2+∠A'EA=360°，
∴∠A'+∠A=∠1+∠2，
由折叠可得：∠A=∠A'，
∴2∠A'=∠1+∠2，
故答案为：2∠A'=∠1+∠2；
[拓展]：如图②，
∵∠DME=∠A'+∠1，∠2=∠A+∠DME，
由折叠可得：∠A=∠A'，
∴∠2=∠A+∠A'+∠1=2∠A+∠1，
∴2∠A=∠2−∠1，
2∠A'=∠2−∠1
故答案为：2∠A'=∠2−∠1．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．
8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C=∠ADB．
(1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠DAE+2∠C=90°，理由见解析
(3)99°
【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE=∠C，再根据∠C=∠ADB，即可得到∠DAE=∠ADB，即可得证；
（2）∠DAE+2∠C=90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB=∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C=90°，再根据∠C=∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∠AFD=180°−8α，根据DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°−8α，再根据∠DAE+2∠C=90°，即可得到α+2180°−8α=90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠C，
又∵∠C=∠ADB，
∴∠DAE=∠ADB，
∴AC∥BD；
（2）解：∠DAE+2∠C=90°
理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，
∴∠CGB=∠ADB+∠DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴在△BCG中，∠CGB+∠C=90°，
∴∠ADB+∠DAE+∠C=90°，
又∵∠C=∠ADB，
∴∠DAE+2∠C=90°；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，
∴∠AFD=180°−8α，
∵DF∥BC，
∴∠C=∠AFD=180°−8α，
又∵∠DAE+2∠C=90°，
∴2180°−8α+α=90°，
∴α=18°
∴∠C=180°−8×18°=36°，
∴∠ADB=∠C=36°，
又∵∠BAC=∠BAD，
∴∠ABC=180°−∠C−∠BAC=180°−∠ADB−∠BAD=∠ABD，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°，
∴在△ABD中，∠BAD=180°−45°−36°=99°，
∴∠BAD的度数为99°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．
(1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，则∠EFD=______．
(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE，求∠EPH的度数．
【答案】(1)10°
(2)画图见解析，∠AKD=3∠C−∠B4，理由见解析
(3)95°
【分析】（1）先求出∠BAC=100°，进而得到∠BAE=50°，∠AEC=80°，根据FD⊥BC得到∠FDE=90°，即可求出∠EAD=90°−∠AED=10°；
（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，再由三角形内角和定理得到∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，则45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，据此即可得到答案；
（3）根据∠EAD=∠CAD=2α得到∠BAE=∠CAE=4α，得到∠BAD=6α，从而求出∠B=90°−6α，进而求出∠CPE=2α，结合∠CPG=710∠B+∠CPE，得到∠CPG=63°−145α．根据PG⊥BC，得到45°+α+63°−145α=90°，求出α=10°．从而分别求出∠B=90°−6α=30°，∠PEM=35°，∠BEP=145°，再求出∠PHB=90°，根据四边形内角和为360°即可求出∠EPH=95°．
【详解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
∵DF⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°−∠AED=10°，
故答案为：10°；
（2）解：∠AKD=3∠C−∠B4，理由如下：
在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=90°−12∠B−12∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∵∠CAE和∠EDF的角平分线交于点K，
∴∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，
∵∠TAC+∠C+∠ATC=180°=∠TDK+∠AKD+∠DTK，∠DTK=∠ATC，
∴∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，
∴45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，
∴∠AKD=34∠C−14∠B=3∠C−∠B4；
（3）解：设∠EAD=∠CAD=2α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠EAD+∠CAD=4α，
∴∠BAD=6α，
∵AD⊥BC
∴∠ADE=90°，
∴∠B=90°−∠BAD=90°−6α，∠AED=90°−2α，
∴∠ACM=∠B+∠BAC=90°+2α，
∵PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，
∴∠PEC=12∠AEC=45°−α，∠PCG=12∠ACM=45°+α，
∴∠EPC=∠PCG−∠PEC=2α，
∴∠CPG=710∠B+∠CPE=71090°−6α+2α=63°−14α5，
∵PG⊥BC，
∴∠PCG+∠CPG=90°，
即45°+α+63°−145α=90°，
∴α=10°．
∴∠B=90°−6α=30°，∠PEC=35°，
∴∠BEP=180°−∠PEM=145°，
∵PH⊥AB，
∴∠PHB=90°，
∴在四边形BEPH中，∠EPH=360°−∠BEP−∠B−∠BHP=95°（四边形内角和可以看做是两个三角形的内角和）．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．
【类型2 与三角形有关的角的证明】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据平行线的性质得到∠A+∠C=180°，然后根据三角形内角和定理得到∠CED+∠D+∠C=180°，进而可证明出∠A=∠CED+∠D．
【详解】∵AB∥CD
∴∠A+∠C=180°
∵在△CED中，∠CED+∠D+∠C=180°
∴∠A=∠CED+∠D．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G在直线EF上且∠ABG=∠FGB．
(1)求证：∠C=∠CGE．
(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)70°．
【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可证明；
（2）先根据平行线的性质求得∠CMG=∠B=60°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ABG=∠FGB，
∴AB∥EF，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠C=∠CGE；
（2）解：如图，
∵∠C=∠CGB+20°，
∴∠CGB=∠C−20°，
∵AB∥CD，∠B=60°，
∴∠CMG=∠B=60°，
∵∠C+∠CMG+∠CGB=180°，
∴∠C+∠C−20°+60°=180°，
∴∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD．
(1)如图1所示，连接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．
①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；
②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：∠CDM=∠BAE；
(2)如图2所示，∠AED=∠A−∠D，若M为平面内一动点，MA∥ED，请直接写出∠MAB与∠CDE的数量关系．
【答案】(1)①AB∥CD，理由见解析；②证明见解析
(2)∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°
【分析】（1）①过点E作EF∥AB，则∠AEF=∠BAE，由∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED得到∠CDE=∠FED，则FE∥CD，即可得到结论．
②由DM∥AE得到∠AED=∠MDE．∠CDE=∠FED，则∠MDC=∠AEF．由∠AEF=∠BAE即可得到∠CDM=∠BAE；
（2）分点M在直线AB的右侧和点M在直线AB的左侧两种情况，分别求出∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．
【详解】（1）解：①AB∥CD.理由：
过点E作EF∥AB，如图，
则∠AEF=∠BAE，
∵∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED，
∴∠CDE=∠FED，
∴FE∥CD，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
②∵DM∥AE，
∴∠AED=∠MDE．
∵∠CDE=∠FED，
∴∠MDC=∠AEF．
∵∠AEF=∠BAE，
∴∠CDM=∠BAE．
（2）当点M在直线AB的右侧时，如下图，∠MAB=∠CDE，理由：
设AE与CD交于点F，
∵∠CFE=∠D+∠AED，
∴∠AED=∠CFE−∠D．
∵∠AED=∠BAE−∠D，
∴∠BAE=∠CFE．
∴AB∥CD．
∴∠ABC=∠DCE．
∵AM∥DE，
∴∠AMB=∠DEC．
∵∠MAB=180°−∠ABC−∠AMB，∠CDE=180°−∠DCE−∠DEC，
∴∠MAB=∠CDE，
②当点M在直线AB的左侧时，如图，∠MAB+∠CDE=180°，理由：
由（2）①可知：∠BAN=∠CDE．
∵∠BAN+∠BAM=180°，
∴∠MAB+∠CDE=180°．
综上，∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理灵活进行角的关系转换是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，∠MON=60°，
(1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠APB=__________；
(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出∠APB的度数；
(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB+∠OPB=90°．
【答案】(1)120°
(2)60°
(3)证明见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由平角的定义得∠MAB+∠MBA=240°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=120°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；
（3）由（2）可得∠PAB=∠MAP=30°+∠APO，∠OPB=60°−∠APO，代入∠PAB+∠OPB化简即可.
【详解】（1）解：∵∠MON=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°
∵PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA，
∴∠PAB=12∠OAB，∠PBA=12∠OBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°
∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=120°，
故答案为：120°；
（2）解：∵∠MON=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠MAB+∠MBA=240°，
∵PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA，
∴∠PAB=12∠MAB，∠PBA=12∠MBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠MAB+12∠MBA=120°，
∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=60°；
（3）证明：∵OC平分∠MON，∠MON=60°，
∴∠MOC=12∠MON=30°，
∵PA平分∠MAB，
∴∠PAB=∠MAP=∠MOP+∠APO=30°+∠APO，
∵∠APB=60°
∴∠OPB=60°−∠APO
∴∠PAB+∠OPB=30°+∠APO+60°−∠APO=90°
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．
5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF．
求证：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
任务：
(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系．
【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)A
(3)不成立，∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF
【分析】（1）连接AD并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可；
（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；
（3）根据三角形外角的性质得∠AGE=∠DFC+∠EDF，∠BED=∠BAC+∠AGE，整理可得答案
【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；
（3）不成立，
∵∠AGE是△GDF的一个外角，
∴∠AGE=∠DFC+∠EDF，
∵∠BED为△AEG的一个外角，
∴∠BED=∠BAC+∠AGE，
∴∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF（或∠BED−∠DFC=∠BAC+∠EDF）．
【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．
(1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM于点F．判断∠ENB与∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F．
①依题意补全图形；
②若∠CAB=45°，求证：∠NEA=∠NAE．
【答案】(1)∠ENB=∠NAC，理由见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）依据∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，进而得出∠MAC=∠ENB，再根据∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC；
（2）①过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F；②依据∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°−∠ENB，∠EAN=135°−∠NAC，即可得到∠NEA=∠NAE．
【详解】（1）解：∠ENB=∠NAC，
理由：∵BD⊥AM，
∴∠ADB=90°，
∵NE∥BD，
∴∠NFD=∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，
∴∠MAC=∠ENB，
又∵∠NAC=∠MAC，
∴∠ENB=∠NAC；
（2）解：①补全图形如图：
②同理可证∠ENB=∠NAC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABM=135°，
∴∠NEA=∠ABM−∠NEB=135°−∠ENB，
∵∠EAN=∠EAB−∠NAC−∠CAB=135°−∠NAC，
∴∠NEA=∠NAE．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质的综合运用，解决问题的关键是利用三角形内角和是180°进行推算．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2=180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°<∠BAE<20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为______．
【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；（2）见解析；（3）42°或41°
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠A=∠1，∠2=∠C，由此即可得到结论；
（2）由（1）可知：∠EG2F=∠1+∠DFG2，由角平分线的定义结合∠1=∠2可得∠EG2F=∠2+∠EFG2，再根据三角形的内角和定理可证明结论；
（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=3x，可求得∠BAE=4x−60°，结合∠BAE度数的取值范围可求解x的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点E作EF∥AB，
∴∠A=∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2=∠C．
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC=∠A+∠C，
故答案为：∠AEC=∠A+∠C；
（2）由（1）可知：∠EG2F=∠1+∠DFG2，
∵FG2平分∠MFD，
∴∠EFG2=∠DFG2，
∵∠1=∠2，
∴∠EG2F=∠2+∠EFG2，
∵∠EG1F+∠2+∠EFG2=180°，
∴∠FG1E+∠G2=180°；
（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=3x，
∵∠EFD=60°，
∴x+3x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=4x−60°，
又∵8°<∠BAE<20°，
∴8°<4x−60°<20°，
解得17°
∴∠C=∠DFE−∠CEF=∠DFE−x，
∵∠C的度数为整数，
∴x=18°或19°，
∴∠C=60°−18°=42°或∠C=60°−19°=41°，
故答案为：42°或41°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC在中，∠B=∠C，点D在边BC上．
(1)如图①，点E在线段AC上，若∠ADE=∠AED，证明：∠BAD=2∠CDE；
(2)如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比
【答案】(1)见解析．
(2)3:2
【分析】（1）根据三角形的外角定理，∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE, ∠BAD=∠ADE+∠CDE−∠B，而∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE，代入上面式子有：∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠B，而∠B=∠C，所以∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠C=2∠CDE，证明了结论；
（2）如图，延长QF交AC于K，设∠P=x,∠BFQ=y；有∠AQK=∠AKQ，根据外角定理有，∠AKQ=∠KFC+∠C，而∠C=2∠1，∠KFC=y，2∠2=y+2∠1，而∠1+∠P=∠2+∠KFC，即∠1+x=∠2+y，联立可以找到x、y的关系式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE,
∴∠BAD=∠ADE+∠CDE−∠B
又∵∠ADE=∠AED=∠C+∠CDE
∴∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠B
∵∠B=∠C，
∴∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE−∠C=2∠CDE
即：∠BAD=2∠CDE．
（2）解：如图，延长QF交AC于K，设∠P=x,∠BFQ=y
∵AH⊥QK，∠HAQ=∠HAK
∴∠QAH+∠AQH=90°，∠HAK+∠AKQ=90°
∴∠AQK=∠AKQ
∴2∠2=∠KFC+∠C=y+2∠1.
∴∠2−∠1=12y
∵∠1+x=∠2+y
∴x=12y+y
∴2x=3y
∴x:y=2:3
故：∠P与∠BFQ的度数之比为2:3．
【点睛】本题主要考查了三角形外角定理、直角三角形性质、角平分线的定义等知识，熟练运用外角定理，找到相应的等量关系，并通过等量代换找到角之间的关系是求解的关键．
【类型3 与三角形有关的角的挖空题】
1．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，作点AC⊥AD，设BD分别与AC、CE交于点F、G．若BD平分∠ABC，且∠2=∠3，求证：∠CFG=∠CGF．
完成下面的证明过程：
证明：∵AC⊥AD （已知） ．
∴∠CAD=90°（垂直的定义）．
∵BD平分∠ABC （已知）
∴∠1=∠2 （ ）
∵∠2=∠3 （已知）
∴∠1= （等量代换）
∴ AD//BC （ ）
∴ =∠CAD=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
同理由CE⊥AB，
可得∠2+∠BGE=90°
∴∠CFG=∠BGE （ ）
又∵∠BGE=∠CGF （对顶角相等 ）
∴∠CFG=∠CGF（等量代换）
【答案】角平分线定义；∠3；内错角相等，两直线平行；∠ACB；等角的余角相等
【分析】根据垂直的定义可得∠CAD=90°，然后根据角平分线定义可得∠1=∠2，根据等量代换可得∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行可证AD//BC，从而得出∠ACB =∠CAD=90°，再根据等角的余角相等可得∠CFG=∠BGE，最后根据对顶角相等和等量代换即可证出结论．
【详解】证明：∵AC⊥AD （已知） ．
∴∠CAD=90°（垂直的定义）．
∵BD平分∠ABC （已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵∠2=∠3 （已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠ACB =∠CAD=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
同理由CE⊥AB，
可得∠2+∠BGE=90°
∴∠CFG=∠BGE（等角的余角相等）
又∵∠BGE=∠CGF （对顶角相等 ）
∴∠CFG=∠CGF（等量代换）
故答案为: 角平分线定义；∠3；内错角相等，两直线平行；∠ACB；等角的余角相等．
【点睛】此题考查的是垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质，掌握垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质是解题关键．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，
完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN，
∴∠GMN＝12∠BMN（ ），
同理∠GNM＝12∠DNM．
∵AB∥CD
∴∠BMN＋∠DNM＝________（ ）．
∴∠GMN＋∠GNM＝________．
∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，
∴∠G＝________．
【答案】角分线的定义；180°；两直线平行，同旁内角互补；90°；180°；90°
【分析】根据角平分线的定义，可得∠GMN＝12∠BMN，∠GNM＝12∠DNM． 再由AB∥CD，可得∠BMN＋∠DNM＝180°，从而得到∠GMN＋∠GNM＝90°．然后根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】证明：∵MG平分∠BMN，
∴∠GMN＝12∠BMN（角分线的定义），
同理∠GNM＝12∠DNM．
∵AB∥CD，
∴∠BMN＋∠DNM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠GMN＋∠GNM＝90°．
∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝180°，
∴∠G＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图，三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（ ）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+ +∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣ ﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2． （ ）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．
【答案】（1）三角形内角和定理；∠2；∠DBC；等量代换；（2）见解析．
【分析】（1）根据三角形内角和定理、等式的性质解答；
（2）延长BD交AC于E，根据三角形的外角性质证明结论．
【详解】（1）∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形内角和定理）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2（等量代换），
故答案为：三角形内角和定理；∠2；∠BDC；等量代换；
（2）如图，延长BD交AC于E，
由三角形的外角性质可知，∠BEC＝∠A+∠1，
∴∠BDC＝∠BEC+∠2=∠A+∠1+∠2．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和是解题的关键．
4．（2023春·河北衡水·八年级校考期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．
(1)求证：∠AFE＝∠ACB，完成下面的证明．
证明：∵∠2+∠AEC＝180°．∠1+∠2＝180（已知），
∴∠AEC＝∠1（等量代换），
∴AB∥FD（ ），
∴∠3＝ （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴ ＝∠B（等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ACB（ ）；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．
【答案】(1)同位角相等，两直线平行；∠AEF；∠AEF；FE∥CB；两直线平行，同位角相等
(2)40°
【分析】（1）由题意可得∠AEC＝∠1，从而可判断AB∥FD，求出∠AEF＝∠B，得到FE∥CB，即得∠AFE＝∠ACB；
（2）利用三角形的内角和可求得∠BCE的度数，再利用角平分线的定义得∠ACB＝2∠BCE，从而得解．
【详解】（1）解：∵∠2+∠AEC＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠AEC＝∠1（等量代换），
∴AB∥FD（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠AEF＝∠B（等量代换），
∴FE∥CB（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ACB（两直线平行，同位角相等），
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠AEF；∠AEF；FE∥CB；两直线平行，同位角相等；
（2）∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2＝110°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠2＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝40°，
∵FE∥CB，
∴∠AFE＝∠ACB＝40°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
5．（2023春·山西晋城·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边CD与边AB重合，试求∠AOC的度数．
（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°
∴∠BOC=__________（___________________）
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转△DOC，当DC//AO时，求得∠AEO的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转△DOC，使点B落在边DC上，此时发现∠1与∠2之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在△AOE与△BCE中，
∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C
又∵∠AEO=∠CEB（___________________）
∠A=__________，∠C=__________，
∴∠1+∠A=∠2+∠C
∠1−∠2=__________．
【答案】（1）75°；三角形内角和是180°；15°；（2）105°；见解析；（3）对顶角相等；30°；45°；15°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；
（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；
（3）在△AOE与△BCE中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C，计算即可求解．
【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，
∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=15°；
（2）解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，
∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BAO=30°，
∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；
（3）在△AOE与△BCE中，
∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C，
又∵∠AEO=∠CEB（对顶角相等），
∠A=30°，∠C=45°，
∴∠1+∠A=∠2+∠C，
∠1−∠2=15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【类型4 探究与三角形有关的角之间的关系】
1．（2023春·全国·八年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．
(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①150°；②45°；
(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；
(3)存在，30°,45°,120°,135°,165°．
【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理；
（3）分五种情况进行讨论：当CB ∥ AD时，当EB ∥ AC时，当CE ∥ AD时，当EB ∥ CD时，当BE ∥ AD时，分别求得∠ACE的度数．
【详解】（1）解：①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案为：150°；
②∵∠ACB=135°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=135°−90°=45°，
∴∠DCE=90°−45°=45°，
故答案为：45°；
（2）解：∠ACB+∠DCE=180°，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
即∠ACB+∠DCE=180°；
（3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CB ∥ AD时，如图1所示：
∴∠DCB=∠D=30°，
∴∠ACE=∠DCB=30°；
当EB ∥ AC时，如图2所示：
∴∠ACE=∠E=45°；
当CE ∥ AD时，如图3所示：
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
当EB ∥ CD时，如图4所示：
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=90°+45°=135°；
当BE ∥ AD时，延长AC交BE于F，如图5所示：
∴∠CFB=∠A=60°，
∵∠ECF+∠E+∠CFE=180°，∠CFB +∠CFE =180°，
∴∠ECF=15°，
∴∠ACE=180°−∠ECF=180°−15°=165°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，几何图形中的角度计算，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质，数形结合是解题的关键．
2．（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与探究
问题情境：
如图1，已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，点E，F在直线AB上，且∠ACD=∠ACF，CE平分∠BCF．
(1)求∠ACE的度数．
实践探究：
(2)若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系．
(3)如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC=∠CAD时，请求出∠CAD的度数．
【答案】(1)60°
(2)∠BFC=2∠BAC，理由见解析
(3)90°
【分析】（1）由平行线的性质求出∠BCD=120°，再根据题意及角平分线的定义得出∠ACF+∠FCE=12∠BCD，即可求解；
（2）由平行线的性质和三角形外角的性质即可求解；
（3）由题可得AD∥BC，∠D=60°，∠BCD=120°，由三角形内角和定理可得∠DCA=∠BCE，由角平分线的定义可得∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE，求出∠DCA=14∠BCD=30°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCD=120°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠FCE=∠BCE=12∠FCB，
∵∠ACD=∠ACF，
∴∠ACF+∠FCE=12DCF+12∠BCF=12∠BCD=60°；
（2）∠BFC=2∠BAC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠ACD=∠ACF，
∴∠BAC=∠ACF，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，
∴∠BFC=2∠BAC；
（3）∵AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，
∴AD∥BC，∠D=60°，∠BCD=120°，
∵∠BEC=∠CAD，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠ACD=∠ACF，∠FCE=∠BCE，
∴∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCA=14∠BCD=30°，
∴∠CAD=180°−∠D−∠DCA=90°
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，正确识图是解题的关键．
3．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP、∠A是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：如图①，若∠A=50°，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=_____度；∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系是 ；
(2)类比探究：如图①，若∠A=α，请先写出∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由；
(3)延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，则（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请重新写出∠ABP与∠ACP、∠A的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90；40；∠ABP+∠ACP=90°−∠A
(2)∠ABP+∠ACP=90°−∠A；理由见解析
(3)不成立；∠ACP−∠ABP=90°−∠A；理由见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；
（2）根据题意可得∠PBC+∠PCB=90°，在△ABC中，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）在△ABC中，利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A，再由∠PBC+∠PCB=90°，两式相减，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：∠BPC=90°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠PBC+∠PCB=90°；
∵∠A=50°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB−∠PBC+∠PCB=40°；
∴∠ABP+∠ACP+∠A=40°+50°=90°．
故答案为：90；40；∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
（2）解：∠ABP+∠ACP=90°−∠A；理由如下：
根据题意得：∠BPC=90°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∵∠PBC+∠PCB+∠ABP+∠ACP+∠A=180°，
即90°+∠ABP+∠ACP+∠A=180°；
∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
（3）解：不成立．结论：∠ACP−∠ABP=90°−∠A．理由如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB−∠PBC+∠PCB=180°−∠A−90°=90°−∠A，
∴∠ABC+∠ACP+∠PCB−∠ABP−∠ABC−∠PCB=90°−∠A，
∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关链是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： ．
【答案】(1)∠BOC=90°+12∠A，理由见解析
(2)∠BOC=12∠A，理由见解析
(3)∠BOC=90°−12∠A
【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB ∠1+∠2=12∠ABC+∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）先由角平分线得出∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再由三角形的外角的性质得出，∠2=12∠A+∠1，再根据三角形外角的性质，即可得出结论；
（3）首先根据三角形的外角性质，得∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，再根据角平分线的定义，可得∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∠BOC=90°+12∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12∠ABC+∠ACB
又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A
∴∠1+∠2=12180°−∠A=90°−12∠A
∴∠BOC=180°−∠1+∠2
=180°−90°−12∠A
=90°+12∠A；
（2）解：∠BOC=12∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=12∠A+∠ABC=12∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2−∠1=12∠A+∠1−∠1=12∠A；
（3）解：结论∠BOC=90°−12∠A．
根据三角形的外角性质，得∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠BCE，
∴∠OBC+∠OCB=12∠DBC+∠BCE=12∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°+12∠A，
∴在△OBC中，
∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−90°+12∠A=90°−12∠A，
故答案为：∠BOC=90°−12∠A．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键．
5．（2023春·湖北·八年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是___________；∠EFB的度数是___________；
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【答案】(1)①80°；20°②∠BGE=90°−12∠A
(2)∠BGE=90°+12∠A
【分析】（1）①直接运用三角形内角和定理以及平行线的性质可求解；②证明∠BGE=∠GEF+∠GFE=12∠ABC+∠C即可；
（2）证明∠BGE=180°−∠GEF+∠GFE=180°−12180°−∠A即可．
【详解】（1）①∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=40°，∠C=60°，
∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=180°−40°+60°=80°，
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=12∠ABC=20°,
∵EF∥BC,
∴∠EFB=∠FBC=20°,
故答案为：80°；20°；
②∵EF∥BC,
∴∠GFE=∠CBF,∠FED=∠C,
∵BD平分∠ABC, EG平分∠DEF,
∴∠CBF=12∠ABC,∠GEF=12∠DEF,
∴∠GFE=12∠ABC,∠GEF=12∠C,
又∠BGE=∠GEF+∠GFE,
∴∠BGE=12∠ABC+∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BGE=12180°−∠A=90°−12∠A；
（2）如图,
∵EF∥BC,
∴∠GFE=∠CBF,∠FED=∠C,
∵BD平分∠ABC, EG平分∠DEF,
∴∠CBG=12∠ABC,∠GEF=12∠DEF,
∴∠GFE=12∠ABC,∠GEF=12∠C,
又∠BGE+∠GEF+∠GFE=180°,
∴∠BGE=180°−∠GEF+∠GFE
∴∠BGE=180°−12∠ABC+∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BGE=180°−12180°−∠A=90°+12∠A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，正确识别图形是解答本题的关键．
6．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）数学实践活动课上，研究小组探究如下问题：
【问题情境】如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，使直角顶点与点O重合，其中∠COD=90°，∠C=30°，OE平分∠BOC且交CD所在直线于点F．
【独立思考】（1）若∠AOC=30°，求∠OFC的度数；
【实践操作】（2）如图②，将直角三角尺绕点O旋转，当∠OFC=2∠AOC时，求∠AOC的度数；
【深入探究】（3）继续旋转直角三角尺，若OC不与AB重合，试探究旋转过程中，∠AOC和∠OFC之间的数量关系．
【答案】（1）75°；（2）40°；（3）2∠OFC−∠AOC=120°或∠AOC−2∠OFC=120°．
【分析】（1）先求出∠BOC=150°，再根据角平分线的定义求出∠COE=75°，然后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由角平分线的定义得∠BOC=2∠COE=2∠BOE，利用三角形内角和定理得∠COE=150°−2∠AOC，再根据∠AOC+∠BOC=180°即可求解；
（3）由角平分线的定义得∠BOC=2∠COE=2∠BOE，利用三角形外角的性质得COE=30°−∠OFC，再根据∠AOC+∠BOC=180°即可求解；
【详解】（1）∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−30°=150°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=75°，
∴∠OFC=180°−30°−75°=75°．
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2∠BOE．
∵∠OFC=2∠AOC，∠C=30°，
∴∠COE=180°−∠C−∠OFC=150°−2∠AOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+2150°−2∠AOC=180°，
∴∠AOC=40°；
（3）当OC在直线AB的上方时，如图2，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2∠BOE．
∵∠AOC=30°，
∴COE=180°−∠C−∠OFC=150°−∠OFC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+2150°−∠OFC=180°，
∴2∠OFC−∠AOC=120°；
当OC在直线AB的下方时，如备用图，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2∠BOE．
∵∠C=30°，
∴COE=30°−∠OFC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+230°−∠OFC=180°，
∴∠AOC−2∠OFC=120°．
综上可知，∠AOC和∠OFC之间的数量关系为：2∠OFC−∠AOC=120°或∠AOC−2∠OFC=120°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键．
7．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知，直线AB∥CD．
(1)如图1，点E在AB、CD之间，求证：∠AEC=∠A+∠C；
(2)如图2，在（1）的条件下，∠BAE的平分线交CE的延长线于点F，∠DCE的平分线交AE的延长线于点G，试探究∠F，∠G和∠AEC这三个角之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点E在直线AB的上方，∠EAB，∠ECD的平分线交于点F，若∠E−∠F=20°，请直接写出∠ECD−∠EAB的值．
【答案】(1)见解析
(2)∠F+∠G=32∠AEC，理由见解析
(3)∠ECD−∠EAB=40°
【分析】（1）作EG∥AB∥CD，根据平行线的性质即可证明结论；
（2）根据三角形的内角和可得∠AEF+∠CEG=360°−∠EAF−∠ECG−∠F−∠G，根据角平分线的性质可得∠EAF+∠ECG=12∠BAE+∠DCE，结合（1）可得∠EAF+∠ECG=12∠AEC，推得∠AEF+∠CEG=360°−12∠AEC−∠F−∠G，故2∠AEC=12∠AEC+∠F+∠G，即可得出答案；
（3）根据三角形的外角性质可推得∠E−∠F=∠FCE−∠EAF，根据角平分线的性质，得出∠E−∠F=12∠ECD−12∠EAB=20°，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，作EG∥AB∥CD，
∴∠A=∠AEG，∠C=∠CEG，
∵∠AEC=∠AEG+∠CEG，
∴∠AEC=∠A+∠C．
（2）解：∵∠AEC=180°−∠CEG，∠AEC=180°−∠AEF，
∴2∠AEC=360°−∠AEF−∠CEG，
又∵∠AEF=180°−∠EAF−∠F，∠CEG=180°−∠ECG−∠G，
故∠AEF+∠CEG=360°−∠EAF−∠ECG−∠F−∠G，
且AF、CG分别为∠BAE、∠DCE的平分线，
∴∠EAF=12∠BAE，∠ECG=12∠DCE，
故∠EAF+∠ECG=12∠BAE+12∠DCE=12∠BAE+∠DCE
由（1）可知∠BAE+∠DCE=∠AEC
∴∠EAF+∠ECG=12∠BAE+12∠DCE=12∠AEC，
∴∠AEF+∠CEG=360°−12∠AEC−∠F−∠G
又∵2∠AEC=360°−∠AEF−∠CEG，
∴2∠AEC=12∠AEC+∠F+∠G，
∴∠F+∠G=32∠AEC．
（3）∵∠EAF+∠E=∠FCE+∠F，
∴∠E−∠F=∠FCE−∠EAF，
∵AF，CE是∠EAB、∠ECD的平分线，
∴∠E−∠F=12∠ECD−12∠EAB=20°
∴∠ECD−∠EAB=40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形的外角性质，作出辅助线是解题的关键．
8．（2023春·四川泸州·八年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，AC∥EF
(1)观察猜想：若∠A=45°，∠E=65°，则∠CDE的度数为
(2)探究问题：请在图1中探究∠A，∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系，并说明理由.
(3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠CAB，∠CDE与∠E又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由
【答案】(1)110°
(2)∠CDE=∠A+∠E；理由见解析
(3)∠CAB=∠E+∠D，理由见解析
【分析】（1）延长AB交DE于点G，交EF于点H，根据平行线的性质求出∠EHG=∠A=45°，根据三角形外角的性质求出∠DGH=∠E+∠EHG=65°+45°=110°，最后根据平行线的性质求出结果即可；
（2）根据解析（1）的方法，求解即可；
（3）延长CA交DE于点G，AB与DE交于点H，根据平行线的性质得出∠CGD=∠E，∠AHG=∠D，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示：
∵AC∥EF，∠A=45°，
∴∠EHG=∠A=45°，
∵∠E=65°，
∴∠DGH=∠E+∠EHG=65°+45°=110°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠DGH=110°．
故答案为：110°．
（2）解：∠CDE=∠A+∠E；理由如下：
延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示：
∵AC∥EF，
∴∠EHG=∠A，
∴∠DGH=∠E+∠EHG=∠E+∠A，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠DGH=∠A+∠E．
（3）解：∠CAB=∠E+∠D，理由如下：
延长CA交DE于点G，AB与DE交于点H，如图所示：
小丽的证法
小红的证法
证明：
如图2，连接AD并延长至点M，
∠BED=∠BAD+∠EDA，
∠DFC=∠DAC+∠ADF（ 依据 ），
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∠EDA+∠ADF=∠EDF，
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
证明：
∵∠BED=80°,∠DFC=60°，
∠BAC=51°,∠EDF=89°（量角器测量所得），
∴∠BED+∠DFC=140°，
∠BAC+∠EDF=140°（计算所得）．
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF（等量代换）．
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