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中考数学一轮复习专题3.3 坐标系中的规律探究四大类型（北师大版）（解析版）
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这是一份中考数学一轮复习专题3.3 坐标系中的规律探究四大类型（北师大版）（解析版），共26页。
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对坐标与中的规律探究的四大类型的理解！
【类型1 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】
1．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中A−1，1，B−1，−2，C3，−2，D3，1，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．
A．3，1B．−1，−2C．1，−2D．3，−2
【答案】A
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】∵ A−1，1，B−1，−2，C3，−2，D3，1，
∴AB=CD=3，BC=AD=4，
∴AB+BC+CD+AD=3+4+3+4=14，
∴瓢虫转一周，需要的时间是142=7 秒
∵2021=288×7+5 ，
∴ 按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发爬了5秒，路程是：5×2=10个单位，10=3+4+3，
∴第2022秒瓢虫在3,1 ．
故选A．
【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到0,1，接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动（即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→ 2,2→...，且每秒运动1个单位，那么2021秒时，这个粒子所处位置的坐标为（ ）
A．(3,44)B．(4,44)C．(44,3)D．(44,4)
【答案】A
【分析】根据现有点(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，设点(n,n)，当n为奇数时，运动了n(n+1)秒，方向向下；当n为偶数时，运动了n(n+1)秒，方向向左；然后利用这个结论算出2021秒的坐标．
【详解】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：(1,1)运动了2=1×2秒，方向向下，
位置：(2,2)运动了6=2×3秒，方向向左，
位置：(3,3)运动了12=3×4秒，方向向下，
位置：(4,4)运动了20=4×5秒，方向向左；
……
总结规律发现，设点(n,n)，
当n为奇数时，运动了n(n+1)秒，方向向下；
当n为偶数时，运动了n(n+1)秒，方向向左；
∵44×45=1980，45×46=2070，
∴到(44,44)处，粒子运动了44×45=1980秒，方向向左，
故到2021秒，须由(44,44)再向左运动2021−1980=41秒，
44−41=3，
2021秒时，这个粒子所处位置为(3,44)．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，数形结合并发现点运动的坐标规律是解题的关键．
3．（2023春·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A−1,0，点A第1次向上跳动1个单位至点A1−1,1，紧接着第2次向右跳动2个单位至点A21,1，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（ ）
A．505,1009B．−506,1010C．−506,1011D．506,1011
【答案】D
【分析】设第n次跳动至点An，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“A4n(−n−1,2n)，A4n+1(−n−1,2n+1)，A4n+2(n+1,2n+1)，A4n+3(n+1，2n+2)(n为自然数）”，依此规律结合2022=505×4+2即可得出点A2022的坐标．
【详解】解：设第n次跳动至点An，
观察，发现：A(−1,0)，A1(−1,1)，A2(1,1)，A3(1,2)，A4(−2,2)，A5(−2,3)，A6(2,3)，A7(2,4)，A8(−3,4)，A9(−3,5)，…，
∴A4n(−n−1,2n)，A4n+1(−n−1,2n+1)，A4n+2(n+1,2n+1)，A4n+3(n+1，2n+2)(n为自然数）．
∵2022=505×4+2，
∴A2022(506,1011)．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是根据部分点An坐标的变化找出变化规律．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，点A1的坐标为（1，1），将点A1先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点A2；将点A2先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A3；将点A3先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A4……按这个规律平移下去得到点An，（n 为正整数），则点An的坐标是（ ）
A．(2n,2n−1)B．(2n−1,2n)C．(2n−1,2n+1)D．(2n−1,2n−1)
【答案】D
【分析】探究规律，利用根据解决问题即可．
【详解】解：由题意知，A1（1，1），
A2（3，2），即（22−1，22−1），
A3（7，4），（23−1，23−1），
A4（15，8），（24−1，24−1），
…
An（2n−1，2n−1）．
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是学会探究规律的方法．
5．（2023春·湖南娄底·八年级娄底市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A10,1，A21,1，A31,0，A42,0，……，那么点A2023的坐标为___________．
【答案】1011,0
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
【详解】解：根据题意可知，A10,1，A21,1，A31,0，A42,0，A52,1，A63,1，A73,0，A84,0，……，
∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
∴2023÷4=505⋯⋯3，
∴点A2023的纵坐标为0，横坐标为0+2×505+1=1011，
∴点A2023的坐标1011,0，
故答案为：1011,0．
【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，－1），P5（－1，－1），…，根据这个规律，点P2022的坐标为____________．
【答案】（-505，506）
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余2的点在第二象限的角平分线往右移一个单位长度的点上，再根据第二象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，－1），P5（－1，－1），P6(－1，2)，…，
∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，
由规律可得，2022÷4=505⋅⋅⋅2，即点P2022在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，
∴点P2022（-505，506），
故答案为：（-505，506）
【点睛】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面角坐标系当中点的规律是解题的关键．
【类型2 沿斜线或曲线运动的点的规律探究】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，A5(4,0)，A6(1,−3)，A7(−2,0)，A8(2,4)，A9(6,0)，则依图中所示规律，A2022的坐标为（ ）
A．(1,−1011)B．(1,−1010)C．(2,1010)D．(2,1011)
【答案】A
【分析】观察给出点的坐标，找出点之间的规律解答即可．
【详解】解：∵A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，
A5(4,0)，A6(1,−3)，A7(−2,0)，A8(2,4)，A9(6,0)，
观察可知：每四个点为一组，第n组的点分别为：An(2n,0)，An+1(1,1−2n)，An+2(2−2n,0)，An+3(2,2n)，
∵2022÷4=505⋯⋯2，
∴A2022位于第506组的第二个点，
∴A20221,1−2×506，即A20221,−1011．
故选：A
【点睛】本题考查点的坐标规律，解题的关键是找出点的规律：每四个点为一组，第n组的点分别为：An(2n,0)，An+1(1,1−2n)，An+2(2−2n,0)，An+3(2,2n)．
2．（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）
A．4044,2B．4046,−2C．4046,0D．2023,−2
【答案】B
【分析】根据图象可得移动4秒图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为2个单位长度的半圆的周长为12×2π×2=2π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，
∴点P每秒走12个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（2，2），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（6，-2），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（8，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（10，2），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（12，0），
…，
∵2023÷4=505……3，
∴P的坐标是（4046，-2），
故选：B．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
3．（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径0,0→0,1→1,0→1,1→1,2→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为( )
A．45B．946C．990D．103
【答案】C
【分析】根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an，观察图形可知m=1，n=1，a1=4=22=1+12，且有3个点横坐标相同；m=2，n=3，a3=9=32=2+12，且有4个点横坐标相同；m=3，n=6，a6=16=42=3+12，且有5个点横坐标相同；可推导一般性规律为第m次多点横坐标相同时横坐标为n=m×m+12，an=m+12，且有m+2个点横坐标相同；令an=m+12≤2017，求合适的m，n，an的值，进而可得结果．
【详解】解：根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an，观察图形可知
①m=1，n=1，a1=4=22=1+12，且有3个点横坐标相同；
②m=2，n=3，a3=9=32=2+12，且有4个点横坐标相同；
③m=3，n=6，a6=16=42=3+12，且有5个点横坐标相同；
∴可推导一般性规律为：第m次多点横坐标相同时横坐标为n=m×m+12，an=m+12，且有m+2个点横坐标相同；
∴令an=m+12≤2017，
解得43≤m≤44，
当m=43时，n=43×43+12=946，a946=43+12=1936，
当m=44时，n=44×44+12=990，a990=44+12=2025，且有46个点横坐标相同，
∵1936<1979<2017<2025，
∴运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为990，
故选C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律探索问题．解题的关键在于根据已知信息推导出一般规律．
4．（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系上有点A1,0，点A第一次跳动至点A1−1,1，第二次向右跳动3个单位至点A22,1，第三次跳动至点A3−2,2，第四次向右跳动5个单位至点A43,2，…，依此规律跳动下去，点A第2023次跳动至A2023的坐标是（ ）
A．1012,1011B．−1012,1012C．−1011,1011D．−1010,1010
【答案】B
【分析】先分别求出点A1,A3,A5,A7的坐标，再归纳类推出一般规律即可求得答案．
【详解】解：由题意得：点A5的坐标为A5(−3,3)，
点A6的坐标为A6(−3+7,3)，即A6(4,3)，
点A7的坐标为A7(−4,4)，
观察可知，点A2×1−1的坐标为(−1,1)，
点A2×2−1的坐标为(−2,2)，
点A2×3−1的坐标为(−3,3)，
点A2×4−1的坐标为(−4,4)，
归纳类推得：点A2n−1的坐标为(−n,n)（其中，n为正整数），
∵2023=2×1012−1，
∴点A2023的坐标为(−1012,1012).
故选：B .
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键.
5．（2023春·湖南湘潭·八年级统考期末）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（−1，0），P3（0，−1），则该折线上的点P9的坐标为（ ）
A．（−6，24）B．（−6，25）C．（−5，24）D．（−5，25）
【答案】B
【分析】根据题意，找出斐波那契数列的变化规律和点的变化规律，即可求解.
【详解】由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为−6，25，
故选B．
【点睛】本题主要考查点的坐标变化规律，找出P9在P6的正上方，是解题的关键.
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，O为坐标原点，O11,3、O22,2、O33,5，…，按照这样的规律下去，点O2023的坐标为_________．
【答案】2023,2025
【分析】根据2023为奇数找到点O2023的位置，利用坐标规律写出答案即可．
【详解】解：∵2023为奇数，
∴点O2023的位置就像O1、O3、O5•••的位置一样，
且当n为奇数时候，点On的坐标为（n，n＋2），
当n＝2023时，O2023的坐标为（2023，2025）．
故答案为：（2023，2025）．
【点睛】考查了点的坐标变化规律，根据2023为奇数找到点O2023的位置是解决本题的关键，难度不大．
7．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是 _____．
【答案】（2023，2）
【分析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【详解】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∵2019=4×504+3，
2020=4×505，
∴当第504循环结束时，即经过第4×504=2016次运动后，点P位置在（2023，0），
在此基础之上运动三次到（2023，2），
故答案为：（2023，2）．
【点睛】本题是点的坐标规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上，且BnBn+1的长度依次增加1个单位，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整数）. 那么A1的坐标为____________；An的坐标为_________（用含n的代数式表示）.
【答案】 （1,2） (n+12,(n+1)22)
【分析】根据A1、A2点的横纵坐标规律归纳出An的横纵坐标(n+12,(n+1)22)
【详解】解：如下图所示，
作A1D⊥ y轴于点D，
则B1D=B1B2÷2=(3−1)÷2=1，
∵ A1D=B1D=1，
∴ A1的横坐标= A1D=1，A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1=1+122=2，
即A1的坐标为（1,2）
同理可得：A2的横坐标=(B2B3)÷2=32，
A2的纵坐标=OB2+(B2B3)÷2=3+(6−3)÷2=1+222=4.5，
∴ An的横坐标为n+12，纵坐标为1+n22，
故答案为:(1)（1,2）; (2)(n+12,(n+1)22)
【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，培养学生的观察能力和归纳能力，从所给的数据和图形中寻找规律分别得出An点横纵坐标的规律是解决问题的关键.
【类型3 平面直角坐标系中图形的变换规律探究】
1．（2023春·河北石家庄·八年级厦门市槟榔中学统考期中）如图，面积为3的等腰△ABC，AB=AC，点B、点C在x轴上，且B1，0、C3，0，规定把△ABC “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，△ABC顶点A的坐标为（ ）
A．−2，−2020B．2，−2020C．2，−2021D．−2，−2021
【答案】A
【分析】根据题意可得点A2，3，第1次变换后，点A的坐标为−2，2，第2次变换后，点A的坐标为2，1，第3次变换后，点A的坐标为−2，0，第4次变换后，点A的坐标为2，−1，第5次变换后，点A的坐标为 −2，−2……，以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点A的横坐标为−2，纵坐标为3−n；当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为3−n，以此即可解答．
【详解】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B1，0、C3，0，
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴A2，3，
∴第1次变换A的坐标为−2，2，
第2次变换A的坐标为2，1，
第3次变换A的坐标为−2，0，
第4次变换后，点A的坐标为2，−1，
第5次变换后，点A的坐标为−2，−2，
以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点 A的横坐标为−2，纵坐标为3−n；
当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为3−n，
第2023次变换后，点A的坐标为−2，−2020，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换、规律型：点的坐标、等腰三角形的性质、坐标与图形变化，根据对称和平移的性质总结出点A坐标变化的规律是解题关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是( )
A．（11，1）B．（-11，1）C．（11，﹣1）D．（-11，-1）
【答案】C
【分析】根据平移和对称变换，点坐标的变化规律可得答案．
【详解】解：∵B，C的坐标分别是（1，1），（3，1），
∴BC中点的坐标为（2，1），
∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，
∴经过1次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（2+3，-1），即（5，-1），
经过2次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（5+3，1），即（8，1）
经过3次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（8+3，-1），即（11，-1）
故选：C．
【点睛】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道翻移变换的定义，利用对称和平移的特点，找出规律解决问题．
3．（2023春·八年级课时练习）如图：正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)若正方形ABCD第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…，则第2021次翻折后点C对应点的坐标为（ ）
A．3,−3B．3,3C．−3,3D．−3,−3
【答案】A
【分析】根据正方形ABCD的顶点A(1,1)，B(3,1)，可得AB=BC=2，C(3,3)，先求出前几次变换后C点的坐标，发现C点的坐标变换成周期规律，找到正确的周期，即可计算出结果．
【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A(1,1)，B(3,1)，
∴AB=BC=2，
∵C(3,3)，
第1次沿x轴翻折，点C1的坐标为(3,−3)，
第2次沿y轴翻折，点C2的坐标为(−3,−3)，
第3次沿x轴翻折，点C3的坐标为(−3,3)，
第4次沿y轴翻折，点C4的坐标为(3,3)，
第5次沿x轴翻折，点C5的坐标为(3,−3)，
点C的坐标以4个一周期变化，
∴2021÷4=505⋯1，
∴则第2021次翻折后点C对应点的坐标为(3,−3)．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的对称变化，C点的坐标变换成周期规律，找到正确的周期是解决本题的关键．
4．（2023春·北京·八年级阶段练习）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1,3），B（1,1），C（3,1），对角线交于点M．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，那么经过两次变换后，点M的坐标变为____________，连续经过2015次变换后，点M的坐标变为___________．
【答案】 （0，2） （－2013，－2）
【详解】试题分析：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2）
考点：图形的翻折．
5．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1，y1)，Q (x2，y2)的对称中心的坐标为x1+x22,y1+y22，如图．
（1）在平面直角坐标系中，若点P1(0，-1)，P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为________；
（2）另取两点B(−1,2)，C(−1，0)．有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点P2019的坐标为________．
【答案】 (1,1) (−4,1)
【分析】（1）根据对称中心的坐标公式代入计算即可
（2）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题．
【详解】（1）∵点P1(0，-1)，P2(2，3)
∴A的坐标为(0+22,−1+32)=(1,1)
（2）由题意可知P1(0,−1),P2(2,3)
∵点P2 ， P3关于点B对称
∴P3(−4,1)
∵点P3，P4关于点C对称
∴P4(−2,1)
同理可求P5(0,3),P6(−2,1),P7(0,−1)⋯
所以六次一个循环
∵2019÷6=336⋯3
∴P2019(−4,1)
故答案为：(1,1)；(−4,1)．
【点睛】本题主要考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键．
6.（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1，变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(−3,1)，A1(−3,2)，A2(−3,4)，A3(−3,8)；B(0,2)，B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)．
(1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成OA4B4，则点A4的坐标为 ，点B4的坐标为 ．
(2)若按（1）题找到的规律，将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，则点An的坐标是 ，Bn的坐标是 ．
【答案】(1)(−3,16)，(0,10)
(2)(−3，2n)，(0,2n+2)
【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案；
（2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可．
【详解】（1）解：∵A1(−3,2)，A2(−3,4)，A3(−3,8)；
∴A点横坐标为−3，纵坐标依次为：2，22，23，…
∴A4的纵坐标为：24=16，
∴A4(−3,16)，
∵B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)，
∴B点横坐标为0，纵坐标依次为：2+2，2×2+2，2×3+2，…
∴B4的纵坐标为：2×4+2=10，
∴B4(0,10)，
∴点A4的坐标为(−3,16)，点B4的坐标为(0,10)；
（2）（2）由（1）得出：An−3,2n，Bn(0,2n+2)，
∴点An的坐标是−3,2n，Bn的坐标是(0,2n+2)．
【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键．
7．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将ΔOAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A(1,3)，A1(2,3)，A2(4,3)，A3(8,3)，B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为 ，B4的坐标为 ．
(2)按以上规律将ΔOAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为 ，Bn的坐标为 ；
(3)△OAnBn的面积为 ．
【答案】(1)(16,3)，(32,0)
(2)(2n，3)，(2n+1，0)
(3)3×2n
【分析】（1）根据A1、A2、A3的坐标求出A4的坐标即可，根据B1、B2、B3的坐标求出B4的坐标即可；
（2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出An、Bn的坐标即可；
（3）根据三角形面积公式以及An、Bn的坐标，求解即可．
【详解】（1）解：∵A1(2,3)、A2(4,3)、A3(8,3)．
∴A4的横坐标为：24=16，纵坐标为：3．
故点A4的坐标为：(16,3)．
又∵B1(4,0)、B2(8,0)、B3(16,0)．
∴B4的横坐标为：25=32，纵坐标为：0．
故点B4的坐标为：(32,0)．
故答案为：(16,3)，(32,0)．
（2）由A1(2,3)、A2(4,3)、A3(8,3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3．
故An的坐标为：(2n，3)．
由B1(4,0)、B2(8,0)、B3(16,0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0．
故Bn的坐标为：(2n+1，0)；
故答案为：(2n，3)，(2n+1，0)；
（3）∵An的坐标为：(2n，3)，Bn的坐标为：(2n+1，0)，
∴△OAnBn的面积为12×2n+1×3=3×2n．
【点睛】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知：A(1,3) ，A1(−2,−3)，A2(4,3)，A3(−8,−3)，B(2,0)，B1(−4,0)，B2(8,0)，B3(−16,0)；
(1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OA3B3变换成△OA4B4则点A4的坐标为 _______，点B4的坐标为 _______．
(2)若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn推测点An坐标为 ___________，点Bn坐标为 _______．
【答案】(1) (16,3) (32,0)
(2) (−1)n·2n,(−1)n·3 (−1)n·2n+1,0
【分析】（1）根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可；
（2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标的变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可；
【详解】（1）解：根据图形变换的规律：
∵A(1,3) ，A1(−2,−3)，A2(4,3)，A3(−8,−3)；
∴点A4的坐标为(16,3)；
∵B(2,0)，B1(−4,0)，B2(8,0)，B3(−16,0)；
∴点B4的坐标为 (32,0)
（2）解：由图形变换的规律可得：
点An坐标为：(−1)n·2n,(−1)n·3；
点Bn的坐标为：(−1)n·2n+1,0；
【点睛】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律．
【类型4 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】
1．（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y，我们把P1y−1,−x−1叫做点P的友好点．已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2023的坐标为1,2，则点A1的坐标为（ ）
A．1,2B．1，−2C．−3，−2D．−3,2
【答案】C
【分析】求出A2、A3、A4、A5的坐标，找到规律，即可求出A1的值．
【详解】解：根据题意，点A1的坐标为A1x,y，
则A2y−1,−x−1，A3−x−2,−y，A4−y−1,x+1，A5x,y，
由此可知，每四次一循环，
因为2023÷4=505⋯3，
所以−x−2=1，−y=2，
解得，x=−3，y=−2，
所以A1−3,−2
故答案为：C．
【点睛】本题考查了点的坐标的特征，解题关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．
2．（2023春·重庆涪陵·八年级重庆市涪陵第十八中学校校考阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，M2,2，规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2022次这种变换后，点M的坐标变为（ ）
A．−2018,−2B．−2020,2C．−2019,2D．−2021,−2
【答案】B
【分析】根据题意，将M点沿着x轴翻折，再向左平移一个单位长度，所以点M向左平移2022个单位长度，知道M点的横坐标，当翻折次数为奇数时，纵坐标为−2，翻折次数为偶数时，纵坐标为2即可求解．
【详解】根据题意，将M点沿着x轴翻折，再向左平移一个单位长度，为一次变换，所以点M向左平移2022个单位长度，知道M点的横坐标为-2022+2＝-2020，当翻折次数为奇数时，纵坐标为−2，翻折次数为偶数时，纵坐标为2，
∵2022是偶数，
∴M点的坐标为−2020,2，
故答案为B．
【点睛】本题考查了图形经多次变换后的规律，正确找到规律是解决本题的关键．
3．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点Px，y经过某种变换后得到点P′−y−1，x+2，我们把点P′−y−1，x+2叫做点Px，y的希望点．已知点P1的希望点为P2，点P2的希望点为P3，点P3的希望点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P1的坐标为3，2，请计算点P2023的坐标为（ ）
A．0，−4B．−6，−1C．−3，5D．3，2
【答案】B
【分析】利用点Px，y经过某种变换后得到点P′−y−1，x+2，分别写出点P2的坐标为−3，5，点P3的坐标为−6，−1，点P4的坐标为0，−4，点P5的坐标为3，2，从而得到每4次变换为一个循环，然后利用2023=505×4+3，可判断点P2023的坐标与点P3的坐标相同，即可得到答案．
【详解】解：∵点P1的坐标为3，2，
∴点P2的坐标为−3，5，点P3的坐标为−6，−1，点P4的坐标为0，−4，点P5的坐标为3，2，…，
∵2023=505×4+3，
∴点P2023的坐标与点P3的坐标相同，为−6，−1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内的点的坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键．
4．（2023春·福建龙岩·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）=（-a，b），如f（1，2）=（-1，2）；②g（a，b）=（b，a），如g（1，2）=（2，1）；③h（a，b）=（-a，-b），如h（1，2）=（-1，-2）；按照以上变换有：g（h（f（1，2）））=g（h（-1，2））=g（1，-2）=（-2，1），那么h（f（g（3，-4）））等于（ ）
A．（4，-3）B．（-4，3）C．（-4，-3）D．（4，3）
【答案】C
【分析】根据f（a，b）=（-a，b）．g（a，b）=（b，a）．h（a，b）=（-a，-b），可得答案．
【详解】由已知条件可得h（f（g（3，-4）））= h（f（-4，3））= h（4，3）=（-4，-3）．
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）=（-a，b）．g（a，b）=（b，a）．h（a，b）=（-a，-b）是解题关键．
5．（2023·浙江台州·八年级统考期中）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1[Pn﹣1（x，y）]（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1[P1（1，2）]＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1[P2（1，2）]＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2019（1，﹣1）为（ ）
A．（0，21009）B．（0，﹣21009）C．（0，﹣21010）D．（0，21010）
【答案】D
【分析】根据所给的已知条件，找出题目中的变化规律，得出当n为奇数时的坐标，即可求出P2019（1，﹣1）时的答案．
【详解】根据题意得：
P1（1，﹣1）＝（0，2），
P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）
P3（1，﹣1）＝（0，4），
P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）
P5（1，﹣1）＝（0，8），
P6（1，﹣1）＝（8，﹣8），
…
当n为偶数时，Pn（1，﹣1）＝（2n2，﹣2n2），
当n为奇数时，Pn（1，﹣1）＝（0，2n+12），
则P2019（1，﹣1）＝（0，21010）．
故选D．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是找出数字的变化，得出当n为偶数和n为奇数时的规律，并应用此规律解题．
6．（2023春·四川巴中·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，如果点Px，y经过某种变换后得到点Py−2，2−x，我们把点Py−2，2−x叫做点Px，y的完美对应点．已知点P的完美对应点为P1，P1点的完美对应点为P2，P2的完美对应点为P3，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P的坐标为1，0，P2023的坐标为（ ）
A．2，3B．−1,4C．−2,1D．1,0
【答案】A
【分析】分别求P1，P2，P3，P4，发现循环规律即可解题．
【详解】解：点P的坐标为1，0，
P的完美对应点为P1的坐标为−2，1，
点P1的完美对应点为P2的坐标为−1，4，
点P2的完美对应点为P3的坐标为2，3，
点P3的完美对应点为P4的坐标为1，0，
观察发现，P点坐标四个一循环，
2023÷4=505……3，
点P2022的坐标与P3的坐标相同，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标变换规律，根据坐标变换方法，求出点的坐标并发现循环规律是解题关键．
7．（2023春·全国·八年级期末）对有序数对x, y的一次操作变换记为P1x, y，定义其变换法则如下：P1x, y＝x+y, x−y；且规定Pnx, y＝P1（Pn−1x, y）（n为大于1的整数）．如P11, 2＝3, −1，P21, 2＝P1（P11, 2）＝P13, −1＝2, 4，P31, 2＝P1（P21, 2）＝P12, 4＝6, −2．则P20201, −1＝________．
【答案】21010,−21010
【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．
【详解】依题意可得P1（1，−1）＝（0，2），
P2（1，−1）＝P1（P1（1，−1））＝P1（0，−2）＝（2，−2），
P3（1，−1）＝P1（P2（1，−1））＝P1（2，−2）＝（0，4）＝（0，22），
P4（1，−1）＝P1（P3（1，−1））＝P1（0，4）＝（4，−4）＝（22，−22），
P5（1，−1）＝P1（P4（1，−1））＝P1（22，−22）＝（0，23），
…，
P20201, −1＝21010,−21010．
故答案为：21010,−21010．
【点睛】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．
8．（2023春·浙江绍兴·八年级统考学业考试）在平面直角坐标系中，如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，已知点A(1,−2)，经过一个变换后对应点为A1，经过2个变换后对应点为A2，经过n个变换后对应点为An，则用含n的代数式表示点An的坐标为__________．
【答案】(1+n,−2+3n)
【分析】根据如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，于是得到点A（1，-2）经过一个变换后对应点A1的坐标为（2，1），经过2个变换后对应点为A2的坐标为（3，4），经过3个变换后对应点为A3的坐标为（4，7），于是得到结论．
【详解】解：∵如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，
∴点A（1，-2）经过一个变换后对应点A1的坐标为（1+1，1×3-2），
经过2个变换后对应点为A2的坐标为（1+2，2×3-2），
经过3个变换后对应点为A3的坐标为（1+3，3×3-2），
∴经过n个变换后对应点An的坐标为（1+n，-2+3n），
故答案为：（1+n，-2+3n）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型：点的坐标，正确的理解题意是解题的关键．
9．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点Px,y经过某种变换后得到点P′−y+1,x+2，我们把点P′−y+1,x+2叫做点Px,y的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn，若点P1的坐标为1,0，则点P2021的坐标为___________．
【答案】（1，0）
【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（−3，3），点P4的坐标为（−2，−1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2021＝4×505＋1可判断点P2021的坐标与点P1的坐标相同．
【详解】解：根据题意得点P1的坐标为（1，0），则点P2的坐标为（1，3），点P3的坐标为（−2，3），点P4的坐标为（−2，0），点P5的坐标为（1，0），…，
而2021＝4×505+1，
所以点P2021的坐标与点P1的坐标相同，为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点睛】本题考查了坐标的变化规律探索，找出前5个点的坐标，找出变化规律，是解题的关键．
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对坐标与中的规律探究的四大类型的理解！
【类型1 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】
1．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中A−1，1，B−1，−2，C3，−2，D3，1，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．
A．3，1B．−1，−2C．1，−2D．3，−2
【答案】A
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】∵ A−1，1，B−1，−2，C3，−2，D3，1，
∴AB=CD=3，BC=AD=4，
∴AB+BC+CD+AD=3+4+3+4=14，
∴瓢虫转一周，需要的时间是142=7 秒
∵2021=288×7+5 ，
∴ 按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发爬了5秒，路程是：5×2=10个单位，10=3+4+3，
∴第2022秒瓢虫在3,1 ．
故选A．
【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到0,1，接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动（即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→ 2,2→...，且每秒运动1个单位，那么2021秒时，这个粒子所处位置的坐标为（ ）
A．(3,44)B．(4,44)C．(44,3)D．(44,4)
【答案】A
【分析】根据现有点(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，设点(n,n)，当n为奇数时，运动了n(n+1)秒，方向向下；当n为偶数时，运动了n(n+1)秒，方向向左；然后利用这个结论算出2021秒的坐标．
【详解】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：(1,1)运动了2=1×2秒，方向向下，
位置：(2,2)运动了6=2×3秒，方向向左，
位置：(3,3)运动了12=3×4秒，方向向下，
位置：(4,4)运动了20=4×5秒，方向向左；
……
总结规律发现，设点(n,n)，
当n为奇数时，运动了n(n+1)秒，方向向下；
当n为偶数时，运动了n(n+1)秒，方向向左；
∵44×45=1980，45×46=2070，
∴到(44,44)处，粒子运动了44×45=1980秒，方向向左，
故到2021秒，须由(44,44)再向左运动2021−1980=41秒，
44−41=3，
2021秒时，这个粒子所处位置为(3,44)．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，数形结合并发现点运动的坐标规律是解题的关键．
3．（2023春·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A−1,0，点A第1次向上跳动1个单位至点A1−1,1，紧接着第2次向右跳动2个单位至点A21,1，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（ ）
A．505,1009B．−506,1010C．−506,1011D．506,1011
【答案】D
【分析】设第n次跳动至点An，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“A4n(−n−1,2n)，A4n+1(−n−1,2n+1)，A4n+2(n+1,2n+1)，A4n+3(n+1，2n+2)(n为自然数）”，依此规律结合2022=505×4+2即可得出点A2022的坐标．
【详解】解：设第n次跳动至点An，
观察，发现：A(−1,0)，A1(−1,1)，A2(1,1)，A3(1,2)，A4(−2,2)，A5(−2,3)，A6(2,3)，A7(2,4)，A8(−3,4)，A9(−3,5)，…，
∴A4n(−n−1,2n)，A4n+1(−n−1,2n+1)，A4n+2(n+1,2n+1)，A4n+3(n+1，2n+2)(n为自然数）．
∵2022=505×4+2，
∴A2022(506,1011)．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是根据部分点An坐标的变化找出变化规律．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，点A1的坐标为（1，1），将点A1先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点A2；将点A2先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A3；将点A3先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A4……按这个规律平移下去得到点An，（n 为正整数），则点An的坐标是（ ）
A．(2n,2n−1)B．(2n−1,2n)C．(2n−1,2n+1)D．(2n−1,2n−1)
【答案】D
【分析】探究规律，利用根据解决问题即可．
【详解】解：由题意知，A1（1，1），
A2（3，2），即（22−1，22−1），
A3（7，4），（23−1，23−1），
A4（15，8），（24−1，24−1），
…
An（2n−1，2n−1）．
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是学会探究规律的方法．
5．（2023春·湖南娄底·八年级娄底市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A10,1，A21,1，A31,0，A42,0，……，那么点A2023的坐标为___________．
【答案】1011,0
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
【详解】解：根据题意可知，A10,1，A21,1，A31,0，A42,0，A52,1，A63,1，A73,0，A84,0，……，
∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
∴2023÷4=505⋯⋯3，
∴点A2023的纵坐标为0，横坐标为0+2×505+1=1011，
∴点A2023的坐标1011,0，
故答案为：1011,0．
【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，－1），P5（－1，－1），…，根据这个规律，点P2022的坐标为____________．
【答案】（-505，506）
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余2的点在第二象限的角平分线往右移一个单位长度的点上，再根据第二象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，－1），P5（－1，－1），P6(－1，2)，…，
∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，
由规律可得，2022÷4=505⋅⋅⋅2，即点P2022在第二象限的角平分线往上移一个单位长度的直线上，
∴点P2022（-505，506），
故答案为：（-505，506）
【点睛】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面角坐标系当中点的规律是解题的关键．
【类型2 沿斜线或曲线运动的点的规律探究】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，A5(4,0)，A6(1,−3)，A7(−2,0)，A8(2,4)，A9(6,0)，则依图中所示规律，A2022的坐标为（ ）
A．(1,−1011)B．(1,−1010)C．(2,1010)D．(2,1011)
【答案】A
【分析】观察给出点的坐标，找出点之间的规律解答即可．
【详解】解：∵A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，
A5(4,0)，A6(1,−3)，A7(−2,0)，A8(2,4)，A9(6,0)，
观察可知：每四个点为一组，第n组的点分别为：An(2n,0)，An+1(1,1−2n)，An+2(2−2n,0)，An+3(2,2n)，
∵2022÷4=505⋯⋯2，
∴A2022位于第506组的第二个点，
∴A20221,1−2×506，即A20221,−1011．
故选：A
【点睛】本题考查点的坐标规律，解题的关键是找出点的规律：每四个点为一组，第n组的点分别为：An(2n,0)，An+1(1,1−2n)，An+2(2−2n,0)，An+3(2,2n)．
2．（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）
A．4044,2B．4046,−2C．4046,0D．2023,−2
【答案】B
【分析】根据图象可得移动4秒图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为2个单位长度的半圆的周长为12×2π×2=2π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，
∴点P每秒走12个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（2，2），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（6，-2），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（8，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（10，2），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（12，0），
…，
∵2023÷4=505……3，
∴P的坐标是（4046，-2），
故选：B．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
3．（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径0,0→0,1→1,0→1,1→1,2→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为( )
A．45B．946C．990D．103
【答案】C
【分析】根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an，观察图形可知m=1，n=1，a1=4=22=1+12，且有3个点横坐标相同；m=2，n=3，a3=9=32=2+12，且有4个点横坐标相同；m=3，n=6，a6=16=42=3+12，且有5个点横坐标相同；可推导一般性规律为第m次多点横坐标相同时横坐标为n=m×m+12，an=m+12，且有m+2个点横坐标相同；令an=m+12≤2017，求合适的m，n，an的值，进而可得结果．
【详解】解：根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an，观察图形可知
①m=1，n=1，a1=4=22=1+12，且有3个点横坐标相同；
②m=2，n=3，a3=9=32=2+12，且有4个点横坐标相同；
③m=3，n=6，a6=16=42=3+12，且有5个点横坐标相同；
∴可推导一般性规律为：第m次多点横坐标相同时横坐标为n=m×m+12，an=m+12，且有m+2个点横坐标相同；
∴令an=m+12≤2017，
解得43≤m≤44，
当m=43时，n=43×43+12=946，a946=43+12=1936，
当m=44时，n=44×44+12=990，a990=44+12=2025，且有46个点横坐标相同，
∵1936<1979<2017<2025，
∴运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为990，
故选C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律探索问题．解题的关键在于根据已知信息推导出一般规律．
4．（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系上有点A1,0，点A第一次跳动至点A1−1,1，第二次向右跳动3个单位至点A22,1，第三次跳动至点A3−2,2，第四次向右跳动5个单位至点A43,2，…，依此规律跳动下去，点A第2023次跳动至A2023的坐标是（ ）
A．1012,1011B．−1012,1012C．−1011,1011D．−1010,1010
【答案】B
【分析】先分别求出点A1,A3,A5,A7的坐标，再归纳类推出一般规律即可求得答案．
【详解】解：由题意得：点A5的坐标为A5(−3,3)，
点A6的坐标为A6(−3+7,3)，即A6(4,3)，
点A7的坐标为A7(−4,4)，
观察可知，点A2×1−1的坐标为(−1,1)，
点A2×2−1的坐标为(−2,2)，
点A2×3−1的坐标为(−3,3)，
点A2×4−1的坐标为(−4,4)，
归纳类推得：点A2n−1的坐标为(−n,n)（其中，n为正整数），
∵2023=2×1012−1，
∴点A2023的坐标为(−1012,1012).
故选：B .
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键.
5．（2023春·湖南湘潭·八年级统考期末）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（−1，0），P3（0，−1），则该折线上的点P9的坐标为（ ）
A．（−6，24）B．（−6，25）C．（−5，24）D．（−5，25）
【答案】B
【分析】根据题意，找出斐波那契数列的变化规律和点的变化规律，即可求解.
【详解】由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为−6，25，
故选B．
【点睛】本题主要考查点的坐标变化规律，找出P9在P6的正上方，是解题的关键.
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，O为坐标原点，O11,3、O22,2、O33,5，…，按照这样的规律下去，点O2023的坐标为_________．
【答案】2023,2025
【分析】根据2023为奇数找到点O2023的位置，利用坐标规律写出答案即可．
【详解】解：∵2023为奇数，
∴点O2023的位置就像O1、O3、O5•••的位置一样，
且当n为奇数时候，点On的坐标为（n，n＋2），
当n＝2023时，O2023的坐标为（2023，2025）．
故答案为：（2023，2025）．
【点睛】考查了点的坐标变化规律，根据2023为奇数找到点O2023的位置是解决本题的关键，难度不大．
7．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是 _____．
【答案】（2023，2）
【分析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【详解】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∵2019=4×504+3，
2020=4×505，
∴当第504循环结束时，即经过第4×504=2016次运动后，点P位置在（2023，0），
在此基础之上运动三次到（2023，2），
故答案为：（2023，2）．
【点睛】本题是点的坐标规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上，且BnBn+1的长度依次增加1个单位，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整数）. 那么A1的坐标为____________；An的坐标为_________（用含n的代数式表示）.
【答案】 （1,2） (n+12,(n+1)22)
【分析】根据A1、A2点的横纵坐标规律归纳出An的横纵坐标(n+12,(n+1)22)
【详解】解：如下图所示，
作A1D⊥ y轴于点D，
则B1D=B1B2÷2=(3−1)÷2=1，
∵ A1D=B1D=1，
∴ A1的横坐标= A1D=1，A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1=1+122=2，
即A1的坐标为（1,2）
同理可得：A2的横坐标=(B2B3)÷2=32，
A2的纵坐标=OB2+(B2B3)÷2=3+(6−3)÷2=1+222=4.5，
∴ An的横坐标为n+12，纵坐标为1+n22，
故答案为:(1)（1,2）; (2)(n+12,(n+1)22)
【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，培养学生的观察能力和归纳能力，从所给的数据和图形中寻找规律分别得出An点横纵坐标的规律是解决问题的关键.
【类型3 平面直角坐标系中图形的变换规律探究】
1．（2023春·河北石家庄·八年级厦门市槟榔中学统考期中）如图，面积为3的等腰△ABC，AB=AC，点B、点C在x轴上，且B1，0、C3，0，规定把△ABC “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，△ABC顶点A的坐标为（ ）
A．−2，−2020B．2，−2020C．2，−2021D．−2，−2021
【答案】A
【分析】根据题意可得点A2，3，第1次变换后，点A的坐标为−2，2，第2次变换后，点A的坐标为2，1，第3次变换后，点A的坐标为−2，0，第4次变换后，点A的坐标为2，−1，第5次变换后，点A的坐标为 −2，−2……，以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点A的横坐标为−2，纵坐标为3−n；当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为3−n，以此即可解答．
【详解】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B1，0、C3，0，
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴A2，3，
∴第1次变换A的坐标为−2，2，
第2次变换A的坐标为2，1，
第3次变换A的坐标为−2，0，
第4次变换后，点A的坐标为2，−1，
第5次变换后，点A的坐标为−2，−2，
以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点 A的横坐标为−2，纵坐标为3−n；
当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为3−n，
第2023次变换后，点A的坐标为−2，−2020，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换、规律型：点的坐标、等腰三角形的性质、坐标与图形变化，根据对称和平移的性质总结出点A坐标变化的规律是解题关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是( )
A．（11，1）B．（-11，1）C．（11，﹣1）D．（-11，-1）
【答案】C
【分析】根据平移和对称变换，点坐标的变化规律可得答案．
【详解】解：∵B，C的坐标分别是（1，1），（3，1），
∴BC中点的坐标为（2，1），
∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，
∴经过1次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（2+3，-1），即（5，-1），
经过2次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（5+3，1），即（8，1）
经过3次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（8+3，-1），即（11，-1）
故选：C．
【点睛】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道翻移变换的定义，利用对称和平移的特点，找出规律解决问题．
3．（2023春·八年级课时练习）如图：正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(1,1)，(3,1)若正方形ABCD第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…，则第2021次翻折后点C对应点的坐标为（ ）
A．3,−3B．3,3C．−3,3D．−3,−3
【答案】A
【分析】根据正方形ABCD的顶点A(1,1)，B(3,1)，可得AB=BC=2，C(3,3)，先求出前几次变换后C点的坐标，发现C点的坐标变换成周期规律，找到正确的周期，即可计算出结果．
【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A(1,1)，B(3,1)，
∴AB=BC=2，
∵C(3,3)，
第1次沿x轴翻折，点C1的坐标为(3,−3)，
第2次沿y轴翻折，点C2的坐标为(−3,−3)，
第3次沿x轴翻折，点C3的坐标为(−3,3)，
第4次沿y轴翻折，点C4的坐标为(3,3)，
第5次沿x轴翻折，点C5的坐标为(3,−3)，
点C的坐标以4个一周期变化，
∴2021÷4=505⋯1，
∴则第2021次翻折后点C对应点的坐标为(3,−3)．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的对称变化，C点的坐标变换成周期规律，找到正确的周期是解决本题的关键．
4．（2023春·北京·八年级阶段练习）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1,3），B（1,1），C（3,1），对角线交于点M．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，那么经过两次变换后，点M的坐标变为____________，连续经过2015次变换后，点M的坐标变为___________．
【答案】 （0，2） （－2013，－2）
【详解】试题分析：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2）
考点：图形的翻折．
5．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1，y1)，Q (x2，y2)的对称中心的坐标为x1+x22,y1+y22，如图．
（1）在平面直角坐标系中，若点P1(0，-1)，P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为________；
（2）另取两点B(−1,2)，C(−1，0)．有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点P2019的坐标为________．
【答案】 (1,1) (−4,1)
【分析】（1）根据对称中心的坐标公式代入计算即可
（2）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题．
【详解】（1）∵点P1(0，-1)，P2(2，3)
∴A的坐标为(0+22,−1+32)=(1,1)
（2）由题意可知P1(0,−1),P2(2,3)
∵点P2 ， P3关于点B对称
∴P3(−4,1)
∵点P3，P4关于点C对称
∴P4(−2,1)
同理可求P5(0,3),P6(−2,1),P7(0,−1)⋯
所以六次一个循环
∵2019÷6=336⋯3
∴P2019(−4,1)
故答案为：(1,1)；(−4,1)．
【点睛】本题主要考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键．
6.（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1，变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(−3,1)，A1(−3,2)，A2(−3,4)，A3(−3,8)；B(0,2)，B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)．
(1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成OA4B4，则点A4的坐标为 ，点B4的坐标为 ．
(2)若按（1）题找到的规律，将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，则点An的坐标是 ，Bn的坐标是 ．
【答案】(1)(−3,16)，(0,10)
(2)(−3，2n)，(0,2n+2)
【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案；
（2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可．
【详解】（1）解：∵A1(−3,2)，A2(−3,4)，A3(−3,8)；
∴A点横坐标为−3，纵坐标依次为：2，22，23，…
∴A4的纵坐标为：24=16，
∴A4(−3,16)，
∵B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)，
∴B点横坐标为0，纵坐标依次为：2+2，2×2+2，2×3+2，…
∴B4的纵坐标为：2×4+2=10，
∴B4(0,10)，
∴点A4的坐标为(−3,16)，点B4的坐标为(0,10)；
（2）（2）由（1）得出：An−3,2n，Bn(0,2n+2)，
∴点An的坐标是−3,2n，Bn的坐标是(0,2n+2)．
【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键．
7．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将ΔOAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A(1,3)，A1(2,3)，A2(4,3)，A3(8,3)，B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为 ，B4的坐标为 ．
(2)按以上规律将ΔOAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为 ，Bn的坐标为 ；
(3)△OAnBn的面积为 ．
【答案】(1)(16,3)，(32,0)
(2)(2n，3)，(2n+1，0)
(3)3×2n
【分析】（1）根据A1、A2、A3的坐标求出A4的坐标即可，根据B1、B2、B3的坐标求出B4的坐标即可；
（2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出An、Bn的坐标即可；
（3）根据三角形面积公式以及An、Bn的坐标，求解即可．
【详解】（1）解：∵A1(2,3)、A2(4,3)、A3(8,3)．
∴A4的横坐标为：24=16，纵坐标为：3．
故点A4的坐标为：(16,3)．
又∵B1(4,0)、B2(8,0)、B3(16,0)．
∴B4的横坐标为：25=32，纵坐标为：0．
故点B4的坐标为：(32,0)．
故答案为：(16,3)，(32,0)．
（2）由A1(2,3)、A2(4,3)、A3(8,3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3．
故An的坐标为：(2n，3)．
由B1(4,0)、B2(8,0)、B3(16,0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0．
故Bn的坐标为：(2n+1，0)；
故答案为：(2n，3)，(2n+1，0)；
（3）∵An的坐标为：(2n，3)，Bn的坐标为：(2n+1，0)，
∴△OAnBn的面积为12×2n+1×3=3×2n．
【点睛】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知：A(1,3) ，A1(−2,−3)，A2(4,3)，A3(−8,−3)，B(2,0)，B1(−4,0)，B2(8,0)，B3(−16,0)；
(1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OA3B3变换成△OA4B4则点A4的坐标为 _______，点B4的坐标为 _______．
(2)若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn推测点An坐标为 ___________，点Bn坐标为 _______．
【答案】(1) (16,3) (32,0)
(2) (−1)n·2n,(−1)n·3 (−1)n·2n+1,0
【分析】（1）根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可；
（2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标的变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可；
【详解】（1）解：根据图形变换的规律：
∵A(1,3) ，A1(−2,−3)，A2(4,3)，A3(−8,−3)；
∴点A4的坐标为(16,3)；
∵B(2,0)，B1(−4,0)，B2(8,0)，B3(−16,0)；
∴点B4的坐标为 (32,0)
（2）解：由图形变换的规律可得：
点An坐标为：(−1)n·2n,(−1)n·3；
点Bn的坐标为：(−1)n·2n+1,0；
【点睛】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律．
【类型4 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】
1．（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y，我们把P1y−1,−x−1叫做点P的友好点．已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2023的坐标为1,2，则点A1的坐标为（ ）
A．1,2B．1，−2C．−3，−2D．−3,2
【答案】C
【分析】求出A2、A3、A4、A5的坐标，找到规律，即可求出A1的值．
【详解】解：根据题意，点A1的坐标为A1x,y，
则A2y−1,−x−1，A3−x−2,−y，A4−y−1,x+1，A5x,y，
由此可知，每四次一循环，
因为2023÷4=505⋯3，
所以−x−2=1，−y=2，
解得，x=−3，y=−2，
所以A1−3,−2
故答案为：C．
【点睛】本题考查了点的坐标的特征，解题关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．
2．（2023春·重庆涪陵·八年级重庆市涪陵第十八中学校校考阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，M2,2，规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2022次这种变换后，点M的坐标变为（ ）
A．−2018,−2B．−2020,2C．−2019,2D．−2021,−2
【答案】B
【分析】根据题意，将M点沿着x轴翻折，再向左平移一个单位长度，所以点M向左平移2022个单位长度，知道M点的横坐标，当翻折次数为奇数时，纵坐标为−2，翻折次数为偶数时，纵坐标为2即可求解．
【详解】根据题意，将M点沿着x轴翻折，再向左平移一个单位长度，为一次变换，所以点M向左平移2022个单位长度，知道M点的横坐标为-2022+2＝-2020，当翻折次数为奇数时，纵坐标为−2，翻折次数为偶数时，纵坐标为2，
∵2022是偶数，
∴M点的坐标为−2020,2，
故答案为B．
【点睛】本题考查了图形经多次变换后的规律，正确找到规律是解决本题的关键．
3．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点Px，y经过某种变换后得到点P′−y−1，x+2，我们把点P′−y−1，x+2叫做点Px，y的希望点．已知点P1的希望点为P2，点P2的希望点为P3，点P3的希望点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P1的坐标为3，2，请计算点P2023的坐标为（ ）
A．0，−4B．−6，−1C．−3，5D．3，2
【答案】B
【分析】利用点Px，y经过某种变换后得到点P′−y−1，x+2，分别写出点P2的坐标为−3，5，点P3的坐标为−6，−1，点P4的坐标为0，−4，点P5的坐标为3，2，从而得到每4次变换为一个循环，然后利用2023=505×4+3，可判断点P2023的坐标与点P3的坐标相同，即可得到答案．
【详解】解：∵点P1的坐标为3，2，
∴点P2的坐标为−3，5，点P3的坐标为−6，−1，点P4的坐标为0，−4，点P5的坐标为3，2，…，
∵2023=505×4+3，
∴点P2023的坐标与点P3的坐标相同，为−6，−1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内的点的坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键．
4．（2023春·福建龙岩·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）=（-a，b），如f（1，2）=（-1，2）；②g（a，b）=（b，a），如g（1，2）=（2，1）；③h（a，b）=（-a，-b），如h（1，2）=（-1，-2）；按照以上变换有：g（h（f（1，2）））=g（h（-1，2））=g（1，-2）=（-2，1），那么h（f（g（3，-4）））等于（ ）
A．（4，-3）B．（-4，3）C．（-4，-3）D．（4，3）
【答案】C
【分析】根据f（a，b）=（-a，b）．g（a，b）=（b，a）．h（a，b）=（-a，-b），可得答案．
【详解】由已知条件可得h（f（g（3，-4）））= h（f（-4，3））= h（4，3）=（-4，-3）．
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）=（-a，b）．g（a，b）=（b，a）．h（a，b）=（-a，-b）是解题关键．
5．（2023·浙江台州·八年级统考期中）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1[Pn﹣1（x，y）]（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1[P1（1，2）]＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1[P2（1，2）]＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2019（1，﹣1）为（ ）
A．（0，21009）B．（0，﹣21009）C．（0，﹣21010）D．（0，21010）
【答案】D
【分析】根据所给的已知条件，找出题目中的变化规律，得出当n为奇数时的坐标，即可求出P2019（1，﹣1）时的答案．
【详解】根据题意得：
P1（1，﹣1）＝（0，2），
P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）
P3（1，﹣1）＝（0，4），
P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）
P5（1，﹣1）＝（0，8），
P6（1，﹣1）＝（8，﹣8），
…
当n为偶数时，Pn（1，﹣1）＝（2n2，﹣2n2），
当n为奇数时，Pn（1，﹣1）＝（0，2n+12），
则P2019（1，﹣1）＝（0，21010）．
故选D．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是找出数字的变化，得出当n为偶数和n为奇数时的规律，并应用此规律解题．
6．（2023春·四川巴中·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，如果点Px，y经过某种变换后得到点Py−2，2−x，我们把点Py−2，2−x叫做点Px，y的完美对应点．已知点P的完美对应点为P1，P1点的完美对应点为P2，P2的完美对应点为P3，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P的坐标为1，0，P2023的坐标为（ ）
A．2，3B．−1,4C．−2,1D．1,0
【答案】A
【分析】分别求P1，P2，P3，P4，发现循环规律即可解题．
【详解】解：点P的坐标为1，0，
P的完美对应点为P1的坐标为−2，1，
点P1的完美对应点为P2的坐标为−1，4，
点P2的完美对应点为P3的坐标为2，3，
点P3的完美对应点为P4的坐标为1，0，
观察发现，P点坐标四个一循环，
2023÷4=505……3，
点P2022的坐标与P3的坐标相同，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标变换规律，根据坐标变换方法，求出点的坐标并发现循环规律是解题关键．
7．（2023春·全国·八年级期末）对有序数对x, y的一次操作变换记为P1x, y，定义其变换法则如下：P1x, y＝x+y, x−y；且规定Pnx, y＝P1（Pn−1x, y）（n为大于1的整数）．如P11, 2＝3, −1，P21, 2＝P1（P11, 2）＝P13, −1＝2, 4，P31, 2＝P1（P21, 2）＝P12, 4＝6, −2．则P20201, −1＝________．
【答案】21010,−21010
【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．
【详解】依题意可得P1（1，−1）＝（0，2），
P2（1，−1）＝P1（P1（1，−1））＝P1（0，−2）＝（2，−2），
P3（1，−1）＝P1（P2（1，−1））＝P1（2，−2）＝（0，4）＝（0，22），
P4（1，−1）＝P1（P3（1，−1））＝P1（0，4）＝（4，−4）＝（22，−22），
P5（1，−1）＝P1（P4（1，−1））＝P1（22，−22）＝（0，23），
…，
P20201, −1＝21010,−21010．
故答案为：21010,−21010．
【点睛】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．
8．（2023春·浙江绍兴·八年级统考学业考试）在平面直角坐标系中，如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，已知点A(1,−2)，经过一个变换后对应点为A1，经过2个变换后对应点为A2，经过n个变换后对应点为An，则用含n的代数式表示点An的坐标为__________．
【答案】(1+n,−2+3n)
【分析】根据如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，于是得到点A（1，-2）经过一个变换后对应点A1的坐标为（2，1），经过2个变换后对应点为A2的坐标为（3，4），经过3个变换后对应点为A3的坐标为（4，7），于是得到结论．
【详解】解：∵如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，
∴点A（1，-2）经过一个变换后对应点A1的坐标为（1+1，1×3-2），
经过2个变换后对应点为A2的坐标为（1+2，2×3-2），
经过3个变换后对应点为A3的坐标为（1+3，3×3-2），
∴经过n个变换后对应点An的坐标为（1+n，-2+3n），
故答案为：（1+n，-2+3n）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型：点的坐标，正确的理解题意是解题的关键．
9．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点Px,y经过某种变换后得到点P′−y+1,x+2，我们把点P′−y+1,x+2叫做点Px,y的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn，若点P1的坐标为1,0，则点P2021的坐标为___________．
【答案】（1，0）
【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（−3，3），点P4的坐标为（−2，−1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2021＝4×505＋1可判断点P2021的坐标与点P1的坐标相同．
【详解】解：根据题意得点P1的坐标为（1，0），则点P2的坐标为（1，3），点P3的坐标为（−2，3），点P4的坐标为（−2，0），点P5的坐标为（1，0），…，
而2021＝4×505+1，
所以点P2021的坐标与点P1的坐标相同，为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点睛】本题考查了坐标的变化规律探索，找出前5个点的坐标，找出变化规律，是解题的关键．
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