中考数学一轮复习专题7.5 与三角形有关的角的四大类型解答（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题7.5 与三角形有关的角的四大类型解答（北师大版）（解析版），共50页。
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解答的理解！
【类型1 与三角形有关的角的计算】
1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．

【答案】75°
【分析】先由三角形内角和定理得到∠ACB=80，再由角平分线的定义得到∠ACE=40，进而利用三角形外角的性质得到∠CED=75°，根据垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF=15°，进而根据垂直的定义求出∠CDF的度数即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB=40°，
∴∠CED=∠A+∠ACE=75°，
∵DF⊥CE，即∠DFE=90°，
∴∠EDF=180°−∠DEF−∠DFE=15°，
∵CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴∠CDF=∠ADC−∠EDF=75°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
【答案】(1)CD=5
(2)∠DAE=15°
【分析】（1）由中线平分三角形面积可得△ADC的面积，再由面积公式即可求得CD的长；
（2）由三角形内角和可求得∠BAC的度数，由角平分线的性质可求得∠ADE，然后在Rt△ADE中即可求得结果．
【详解】（1）解：∵AD为BC边上的中线，
∴S△ADC=12S△ABC=12×30=15，
∵AE为边BC上的高，AE=6，
∴12CD⋅AE=15，
∴CD=5．
（2）解：∵∠BAC=180°−∠B−∠C=78°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=39°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−75°=15°．
【点睛】本题考查了三角形中线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是基础与关键．
3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．
(1)求∠DBF+∠DCF的度数；
(2)求∠A的度数．
【答案】(1)45°
(2)90°
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）先证明BD平分∠ABC，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵∠BDC=135°，
∴∠DBF+∠DCF=180°−135°=45° ；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF，
∴BD平分∠ABC，即∠ABD =∠CBD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2(∠DBC+∠DCB)=180°−2×45°=90°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°．
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于点P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度数．

【答案】45°
【分析】首先根据三角形的外角和求出∠CAD=40°，由此可得∠BAD=20°，再根据三角形的内角和和角平分线的性质求出∠BPD的度数即可.
【详解】解：∵∠C+∠CAD=∠ADB，
∴70°+∠CAD=110°．
∴∠CAD=40°．
∵∠BAD=13∠BAC，
∴∠CAB=60°，∠BAD=20°．
在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，
∴70°+60°+∠ABC=180°，
∴∠ABC=50°．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=12∠ABC=25°．
∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=25°+20°=45°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角和和角平分线的定义，属于基础题，要熟练掌握.
5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．

(1)求证：BG平分∠ABE．
(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)35°
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE=∠E，再根据角平分线的性质得出∠DAE=∠BAE，从而得出∠E=∠BAE，最后根据等腰三角形的性质即可得出BG平分∠ABE；
（2）根据∠DAB=60°，AD∥BC，得出∠ABE=120°，再根据角平分线的性质得出∠GBE=60°，从而得出∠DCE=105°，最后根据∠BGC=∠DCE−∠GBE即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠E，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠E=∠BAE，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）∵∠DAB=60°，AD∥BC，
∴∠ABE=120°，
∵BG平分∠ABE，
∴∠GBE=60°，
∵∠DCE=105°，
∴∠BGC=∠DCE−∠GBE=105°−60°=35°．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键．
6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE．

(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAE=23°，∠EAC=17°
(3)25°或50°或90°
【分析】（1）由平移的性质可得AC∥DE，可得∠CAE=∠E=65°=∠C，可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，由外角的性质可得∠E+∠BAE=40°，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴AC∥DE，
∴∠CAE=∠E=65°，
∴∠C=∠CAE，
∴AE∥BC；
（2）解：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴DE∥AC，
∴∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，
∴∠E+∠BAE=40°，
∵∠E=2∠BAE−29°，
∴∠BAE=23°，∠E=17°，
∴∠EAC=17°；
（3）解：如图2，当DE⊥BC时，

∵∠BAC=40°，∠C=65°，
∴∠ABC=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=15°，
∵∠BDE=40°，
∴∠E=25°；
如图3，当AE⊥AC时，

∵AC∥DE，
∴∠E=∠CAE=90°，
如图4，当AE⊥AB时，
∵AC∥DE，∠BAC=40°
∴∠E=90°−∠ADE=50°
综上所述：∠E=25°或50°或90°．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A′处．
【感知】如果点A′落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A′与∠2之间的关系是 ;
【探究】如果点A′落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A′与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
【拓展】如果点A′落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A′与∠1、∠2之间存在数量关系 .

【答案】感知：∠2=2∠A′探究：2∠A′=∠1+∠2 拓展：2∠A′=∠2−∠1
【分析】[感知]根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠EA′D，根据折叠性质得出∠EA′D=∠A，即可求出答案；
[探究]根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°−∠A′，两式相加可得∠A′DA+∠A′EA=360°−∠A+∠A′，即∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，根据平角的定义得出∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，可得出∠A′+∠A=∠1+∠2，根据折叠性质得出∠A′=∠A，即可得出2∠A=∠1+∠2；
[拓展]根据三角形外角性质得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，推出∠2=∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．
【详解】解：[感知]：∠2=2∠A．
理由如下：当点A'落在边AB上时，由折叠可得：∠EA′D=∠A；
∵∠2=∠A+∠EA′D，
∴∠2=2∠A，
故答案为：∠2=2∠A；
[探究]：2∠A=∠1+∠2．
理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°−∠A′，
∴∠A′DA+∠A′EA=360°−(∠A+∠A′)，
∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，
∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折叠可得：∠A=∠A′，
∴2∠A′=∠1+∠2，
故答案为：2∠A′=∠1+∠2；
[拓展]：如图②，

∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，
由折叠可得：∠A=∠A′，
∴∠2=∠A+∠A′+∠1=2∠A+∠1，
∴2∠A=∠2−∠1，
2∠A′=∠2−∠1
故答案为：2∠A′=∠2−∠1．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．
8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C=∠ADB．

(1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠DAE+2∠C=90°，理由见解析
(3)99°
【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE=∠C，再根据∠C=∠ADB，即可得到∠DAE=∠ADB，即可得证；
（2）∠DAE+2∠C=90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB=∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C=90°，再根据∠C=∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∠AFD=180°−8α，根据DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°−8α，再根据∠DAE+2∠C=90°，即可得到α+2180°−8α=90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠C，
又∵∠C=∠ADB，
∴∠DAE=∠ADB，
∴AC∥BD；
（2）解：∠DAE+2∠C=90°
理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，
∴∠CGB=∠ADB+∠DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴在△BCG中，∠CGB+∠C=90°，
∴∠ADB+∠DAE+∠C=90°，
又∵∠C=∠ADB，
∴∠DAE+2∠C=90°；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，
∴∠AFD=180°−8α，
∵DF∥BC，
∴∠C=∠AFD=180°−8α，
又∵∠DAE+2∠C=90°，
∴2180°−8α+α=90°，
∴α=18°
∴∠C=180°−8×18°=36°，
∴∠ADB=∠C=36°，
又∵∠BAC=∠BAD，
∴∠ABC=180°−∠C−∠BAC=180°−∠ADB−∠BAD=∠ABD，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°，
∴在△ABD中，∠BAD=180°−45°−36°=99°，
∴∠BAD的度数为99°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．

(1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，则∠EFD=______．
(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE，求∠EPH的度数．
【答案】(1)10°
(2)画图见解析，∠AKD=3∠C−∠B4，理由见解析
(3)95°
【分析】（1）先求出∠BAC=100°，进而得到∠BAE=50°，∠AEC=80°，根据FD⊥BC得到∠FDE=90°，即可求出∠EAD=90°−∠AED=10°；
（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，再由三角形内角和定理得到∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，则45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，据此即可得到答案；
（3）根据∠EAD=∠CAD=2α得到∠BAE=∠CAE=4α，得到∠BAD=6α，从而求出∠B=90°−6α，进而求出∠CPE=2α，结合∠CPG=710∠B+∠CPE，得到∠CPG=63°−145α．根据PG⊥BC，得到45°+α+63°−145α=90°，求出α=10°．从而分别求出∠B=90°−6α=30°，∠PEM=35°，∠BEP=145°，再求出∠PHB=90°，根据四边形内角和为360°即可求出∠EPH=95°．
【详解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
∵DF⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°−∠AED=10°，
故答案为：10°；
（2）解：∠AKD=3∠C−∠B4，理由如下：
在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=90°−12∠B−12∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∵∠CAE和∠EDF的角平分线交于点K，
∴∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，
∵∠TAC+∠C+∠ATC=180°=∠TDK+∠AKD+∠DTK，∠DTK=∠ATC，
∴∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，
∴45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，
∴∠AKD=34∠C−14∠B=3∠C−∠B4；

（3）解：设∠EAD=∠CAD=2α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠EAD+∠CAD=4α，
∴∠BAD=6α，
∵AD⊥BC
∴∠ADE=90°，
∴∠B=90°−∠BAD=90°−6α，∠AED=90°−2α，
∴∠ACM=∠B+∠BAC=90°+2α，
∵PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，
∴∠PEC=12∠AEC=45°−α，∠PCG=12∠ACM=45°+α，
∴∠EPC=∠PCG−∠PEC=2α，
∴∠CPG=710∠B+∠CPE=71090°−6α+2α=63°−14α5，
∵PG⊥BC，
∴∠PCG+∠CPG=90°，
即45°+α+63°−145α=90°，
∴α=10°．
∴∠B=90°−6α=30°，∠PEC=35°，
∴∠BEP=180°−∠PEM=145°，
∵PH⊥AB，
∴∠PHB=90°，
∴在四边形BEPH中，∠EPH=360°−∠BEP−∠B−∠BHP=95°（四边形内角和可以看做是两个三角形的内角和）．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．
【类型2 与三角形有关的角的证明】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D．

【答案】证明见解析
【分析】首先根据平行线的性质得到∠A+∠C=180°，然后根据三角形内角和定理得到∠CED+∠D+∠C=180°，进而可证明出∠A=∠CED+∠D．
【详解】∵AB∥CD
∴∠A+∠C=180°
∵在△CED中，∠CED+∠D+∠C=180°
∴∠A=∠CED+∠D．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G在直线EF上且∠ABG=∠FGB．

(1)求证：∠C=∠CGE．
(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)70°．
【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可证明；
（2）先根据平行线的性质求得∠CMG=∠B=60°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ABG=∠FGB，
∴AB∥EF，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠C=∠CGE；
（2）解：如图，

∵∠C=∠CGB+20°，
∴∠CGB=∠C−20°，
∵AB∥CD，∠B=60°，
∴∠CMG=∠B=60°，
∵∠C+∠CMG+∠CGB=180°，
∴∠C+∠C−20°+60°=180°，
∴∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD．

(1)如图1所示，连接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．
①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；
②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：∠CDM=∠BAE；
(2)如图2所示，∠AED=∠A−∠D，若M为平面内一动点，MA∥ED，请直接写出∠MAB与∠CDE的数量关系．
【答案】(1)①AB∥CD，理由见解析；②证明见解析
(2)∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°
【分析】（1）①过点E作EF∥AB，则∠AEF=∠BAE，由∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED得到∠CDE=∠FED，则FE∥CD，即可得到结论．
②由DM∥AE得到∠AED=∠MDE．∠CDE=∠FED，则∠MDC=∠AEF．由∠AEF=∠BAE即可得到∠CDM=∠BAE；
（2）分点M在直线AB的右侧和点M在直线AB的左侧两种情况，分别求出∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．
【详解】（1）解：①AB∥CD.理由：
过点E作EF∥AB，如图，

则∠AEF=∠BAE，
∵∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED，
∴∠CDE=∠FED，
∴FE∥CD，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
②∵DM∥AE，
∴∠AED=∠MDE．
∵∠CDE=∠FED，
∴∠MDC=∠AEF．
∵∠AEF=∠BAE，
∴∠CDM=∠BAE．
（2）当点M在直线AB的右侧时，如下图，∠MAB=∠CDE，理由：

设AE与CD交于点F，
∵∠CFE=∠D+∠AED，
∴∠AED=∠CFE−∠D．
∵∠AED=∠BAE−∠D，
∴∠BAE=∠CFE．
∴AB∥CD．
∴∠ABC=∠DCE．
∵AM∥DE，
∴∠AMB=∠DEC．
∵∠MAB=180°−∠ABC−∠AMB，∠CDE=180°−∠DCE−∠DEC，
∴∠MAB=∠CDE，
②当点M在直线AB的左侧时，如图，∠MAB+∠CDE=180°，理由：

由（2）①可知：∠BAN=∠CDE．
∵∠BAN+∠BAM=180°，
∴∠MAB+∠CDE=180°．
综上，∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理灵活进行角的关系转换是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，∠MON=60°，

(1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠APB=__________；
(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出∠APB的度数；
(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB+∠OPB=90°．
【答案】(1)120°
(2)60°
(3)证明见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由平角的定义得∠MAB+∠MBA=240°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=120°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；
（3）由（2）可得∠PAB=∠MAP=30°+∠APO，∠OPB=60°−∠APO，代入∠PAB+∠OPB化简即可.
【详解】（1）解：∵∠MON=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°
∵PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA，
∴∠PAB=12∠OAB，∠PBA=12∠OBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°
∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=120°，
故答案为：120°；
（2）解：∵∠MON=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠MAB+∠MBA=240°，
∵PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA，
∴∠PAB=12∠MAB，∠PBA=12∠MBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠MAB+12∠MBA=120°，
∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=60°；
（3）证明：∵OC平分∠MON，∠MON=60°，
∴∠MOC=12∠MON=30°，
∵PA平分∠MAB，
∴∠PAB=∠MAP=∠MOP+∠APO=30°+∠APO，
∵∠APB=60°
∴∠OPB=60°−∠APO
∴∠PAB+∠OPB=30°+∠APO+60°−∠APO=90°
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．
5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF．
求证：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．
任务：
(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系．
【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)A
(3)不成立，∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF
【分析】（1）连接AD并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可；
（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；
（3）根据三角形外角的性质得∠AGE=∠DFC+∠EDF，∠BED=∠BAC+∠AGE，整理可得答案
【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；
（3）不成立，
∵∠AGE是△GDF的一个外角，
∴∠AGE=∠DFC+∠EDF，
∵∠BED为△AEG的一个外角，
∴∠BED=∠BAC+∠AGE，
∴∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF（或∠BED−∠DFC=∠BAC+∠EDF）．
【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．

(1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM于点F．判断∠ENB与∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F．
①依题意补全图形；
②若∠CAB=45°，求证：∠NEA=∠NAE．
【答案】(1)∠ENB=∠NAC，理由见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）依据∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，进而得出∠MAC=∠ENB，再根据∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC；
（2）①过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F；②依据∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°−∠ENB，∠EAN=135°−∠NAC，即可得到∠NEA=∠NAE．
【详解】（1）解：∠ENB=∠NAC，
理由：∵BD⊥AM，
∴∠ADB=90°，
∵NE∥BD，
∴∠NFD=∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，
∴∠MAC=∠ENB，
又∵∠NAC=∠MAC，
∴∠ENB=∠NAC；
（2）解：①补全图形如图：

②同理可证∠ENB=∠NAC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABM=135°，
∴∠NEA=∠ABM−∠NEB=135°−∠ENB，
∵∠EAN=∠EAB−∠NAC−∠CAB=135°−∠NAC，
∴∠NEA=∠NAE．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质的综合运用，解决问题的关键是利用三角形内角和是180°进行推算．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2=180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°