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北师大版八年级数学上册专题5.7二元一次方程组章末八大题型总结(拔尖篇)同步练习(学生版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学上册专题5.7二元一次方程组章末八大题型总结(拔尖篇)同步练习(学生版+解析)，共33页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11225" 【题型1 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc11225 \h 1
\l "_Tc19070" 【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc19070 \h 1
\l "_Tc4564" 【题型3 解含参数的二元一次方程组】 PAGEREF _Tc4564 \h 2
\l "_Tc19118" 【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】 PAGEREF _Tc19118 \h 2
\l "_Tc18810" 【题型5 整体思想解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18810 \h 2
\l "_Tc3898" 【题型6 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc3898 \h 4
\l "_Tc32002" 【题型7 二元一次方程组的规律探究】 PAGEREF _Tc32002 \h 4
\l "_Tc9793" 【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc9793 \h 6
【题型1 二元一次方程的整数解】
【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（ ）
A．5B．7C．6D．无数对
【变式1-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是 ．
【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是 ．
【变式1-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点 ．
【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】
【例2】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1，则方程组正确的解是 ．
【变式2-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【变式2-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b的值应该是 ．
【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2，试求a2+b2−2ab的值．
【题型3 解含参数的二元一次方程组】
【例3】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y= ．
【变式3-1】整数a为 时，方程组2x+ay=4x+4y=8有正整数解．
【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（ ）个
A．4B．5C．6D．8
【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．
【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】
【例4】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−12C．x=5y=−32D．x=2y=32
【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=1B．x=2y=3C．x=1y=3D．x=3y=−1
【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−3C．x=−1y=3D．x=−3y=1
【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
【题型5 整体思想解二元一次方程组】
【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3x+y−ax−y=162x+y−bx−y=15的解 ．
【变式5-1】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得 ．
探索猜想：
（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1x=m，1y=n，原方程组转化为2m+3n=55m−2n=3，解得m=1n=1，∴1x=1，1y=1，由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=1．
(1)直接写出满足方程3x+2y=4的一个解______；
(2)解方程组3x+2y=4①5x−6y=2②．
【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路：
甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m的值．
乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
…
请用2种不同的方法解决上面的问题．
【题型6 二元一次方程组的新定义问题】
【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y'，其中x'=ax+byy'=ax−by（a，b为常数）.例如，当a=1，b=1时，d−2，3=1，−5.
（1）当a=2，b=1时，d3，1= ；
（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，−y，则a= ，b= .
【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．
(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；
(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．
【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n．
(1)若2x−x3=−1，求x的值；
(2)若x2+y3=45x−y=2，求xy的值．
【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知1∗1=1，3⊗2=8．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m 的解也满足方程x+y=5，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解．
【题型7 二元一次方程组的规律探究】
【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：
若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解．
甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ．
【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③
③×17得：17x+17y=17．④
①-④得：y=2，代入③得x=−1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．
(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2y=a+4bx+b+2y=b+4a≠b的解是______．
【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．
根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：
（1）方程组①的解为 ；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为 ，这个方程组的解为 ．
（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．
【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例8】阅读下列材料解决问题：
两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．
(1)下列说法错误的是________
A．123和51互为“调和数”B．345和513互为“调和数”
C．2018和8120互为“调和数”D．两位数xy和yx互为“调和数”
(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy， B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y=−x+9．
【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．
序号
1
2
3
……
n
方程组
{2x+y=3x−2y=4
{2x+y=5x−4y=16
{2x+y=7x−6y=36
方程组解
{x=2y=−1
{x=4y=−3
{x=6y=−5
序号
二元一次方程组
二元一次方程组的解
①
x+y=1x−y=1
x=y=
②
x+y=1x−2y=4
x=2y=−1
③
x+y=1x−3y=9
x=3y=−2
……
……
……
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
专题5.7 二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11225" 【题型1 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc11225 \h 1
\l "_Tc19070" 【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc19070 \h 3
\l "_Tc4564" 【题型3 解含参数的二元一次方程组】 PAGEREF _Tc4564 \h 5
\l "_Tc19118" 【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】 PAGEREF _Tc19118 \h 7
\l "_Tc18810" 【题型5 整体思想解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18810 \h 10
\l "_Tc3898" 【题型6 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc3898 \h 14
\l "_Tc32002" 【题型7 二元一次方程组的规律探究】 PAGEREF _Tc32002 \h 17
\l "_Tc9793" 【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc9793 \h 21
【题型1 二元一次方程的整数解】
【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（ ）
A．5B．7C．6D．无数对
【答案】A
【分析】要求方程x+y=7的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的取值，再进一步求得另一个未知数的值．
【详解】解：由已知，得y=7−x，
要使x，y都是正整数，
合适的x值只能是1，2，3，4，5，6，
相应的y=6，5，4，3，2，1．
共6对．
【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
【变式1-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是 ．
【答案】x=−1y=−4或x=−2y=−2
【分析】要求2x+y=−6的负整数解，就要先将方程做适当的变形，根据解为负整数，求解即可．
【详解】解：由2x+y=−6可得，y=−6−2x
因为二元一次方程2x+y=−6的负整数解，
则当x=−1时，y=−4；当x=−2时y=−2；当x=−3时，y=0（不符合题意，舍去）
则二元一次方程2x+y=−6的负整数解是x=−1y=−4或x=−2y=−2
故答案为：x=−1y=−4或x=−2y=−2
【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是 ．
【答案】x=16y=19
【分析】要求方程3x+5y＝143的正整数解，就要先将方程做适当变形，确定其中一组解，进一步得到通解，然后确定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．
【详解】解：由3x+5y＝143，得y＝28+3−3x5，
∴x=1y=28是方程组的一个解，其通解为x=1−5ty=28+3t（t为整数），
∵x，y都是正整数，
∴x=1y=28，x=6y=25，x=11y=22，x=16y=19，x=21y=16，x=26y=13，x=31y=10，x=36y=7，x=41y=4，x=46y=1，
∴使|x﹣y|的值最小的解是x=16y=19
故答案为x=16y=19．
【点睛】本题考查了绝对值、二元一次方程的正整数解，解题关键是确定二元一次方程的正整数解，再判断符合题意值.
【变式1-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点 ．
【答案】(2，3)， (3，1)
【分析】根据题意得出x，y的取值范围，以及x， y为整数，找到符合条件的x的值，代入方程y=−2x+7，即可求解．
【详解】由题意可得：x>0y>0，即x>0−2x+7>0，且x，y为整数，
解得：0< x < 3.5且x， y为整数，
则x = 1或2或3，
当x= 1时，y=-2×1+7=5，
当x=2时，y=-2×2+7=3，
当x = 3时，y=-2×3+7= 1，
那么方程y= - 2x + 7的正整数点为(1， 5)，(2，3)，(3，1)．
则方程y = -2x十7的剩余的正整数点为(2，3)， (3，1)．
故答案为： (2，3)， (3，1)．
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，以及一元一次不等式，解题的关键是弄清题意，掌握正整数点的求解方法，找出符合条件的正整数点．
【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】
【例2】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1，则方程组正确的解是 ．
【答案】x=45y=65
【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．
【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组ax+y=2①2x−by=1②时，
甲看错了方程①中的a，解得x=1y=2，
∴2×1−2b=1，解得b=12，
∵乙看错了方程②中的b，解得x=1y=1，
∴a+1=2，解得a=1，
∴原方程组为x+y=2①2x−12y=1②，
由①得：x=2−y③，
把③代入②得22−y−12y=1，解得y=65，
将y=65代入③得x=2−65=45，
∴方程组的解为x=45y=65．
故答案为：x=45y=65．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．
【变式2-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【答案】2x+5y=1−2x−7y=1
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是x=3y=−1，
∴3a−b=13c+7=1，
∴c=−2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1，
∴−2a+b=1，
∴−2a+b=13a−b=1，
解得：a=2b=5．
∴原方程组为2x+5y=1−2x−7y=1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
【变式2-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b的值应该是 ．
【答案】9
【分析】根据题意，把x=−1y=2代入y−ax=6，求出a的值，再把x=−2y=1和a的值代入y−ax=b，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：x=−1y=2是y−ax=6是一个解，
∴2+a=6，
∴a=4，
把a=4和x=−2y=1代入y−ax=b，得：1+2×4=b，
∴b=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练在为方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2，试求a2+b2−2ab的值．
【答案】608449
【分析】根据题意将小明所得方程组的解代入方程②，将小文所得方程组的解代入方程①，即可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：由题意得：−a+2b=163b+2a=2 ，
解方程组得a=−447b=347 ，
∴a2+b2−2ab=a−b2=608449．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的知识，理解抄错了方程①，得到方程组的解即只满足方程②，同理抄错了方程②，得到方程组的解即只满足方程①，是解答本题的关键．
【题型3 解含参数的二元一次方程组】
【例3】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y= ．
【答案】3
【分析】把k看做常数解二元一次方程组，求得x=2−12k，y=1+12k，再代入计算即可．
【详解】解：3x−y=5−2k①x+3y=k+5②
由①×3+②，得10x=20−5k，
解得：x=2−12k，
把x=2−12k代入②，得y=1+12k，
∴x+y=2−12k+1+12k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程是解题的关键．
【变式3-1】整数a为 时，方程组2x+ay=4x+4y=8有正整数解．
【答案】−4
【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出a的值．
【详解】解：∵ 2x+ay=4①x+4y=8②，
∴①−②×2，得
a−8y=−12，
∴ y=128−a，
将y=128−a代入②式，得：
x=8−488−a，
又∵方程组是正整数解，
∴8−a=12时满足x、y均为正整数，
解得：a=−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（ ）个
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得x=4a−1,再根据整数解的条件进行讨论，并检验即可得到答案．
【详解】解：由题意得：{x−y=−3①ax−y=1②
②-①得：(a−1)x=4,
当a≠1时，x=4a−1,
∵a,x都为整数，
∴a=−3或a=−1或a=0或a=2或a=3或a=5,
此时y=x+3也为整数，
所以a的所有的可能的值有6个，
故选C
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．
【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．
【答案】x=5y=−4
【分析】根据题意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【详解】解：x+my=7①mx−y=2+m②，①+②得，
x+my+mx-y=9+m，
则x-y-9+mx+my-m=0，
则x-y-9+m（x+y-1）=0，
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
x−y−9=0x+y−1=0，
解得x=5y=−4，
故答案为：x=5y=−4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的问题和解二元一次方程组，解集本题的关键是理解题意，明确这些方程的解与m的取值无关．同时应掌握二元一次方程组的基本解法——代入消元法和加减消元法．
【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】
【例4】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−12C．x=5y=−32D．x=2y=32
【答案】A
【分析】由2a−b=0得：b=2a，把b=2a代入a−1x+by+5−2a=0得a−1x+2ay+5−2a=0，整理得：x+2y−2a−x+5=0，根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0，解关于x、y的方程组即可．
【详解】解：由2a−b=0得：b=2a，
∴关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0可变为：
a−1x+2ay+5−2a=0，
整理得：x+2y−2a−x+5=0，
∵当a取不同值时，方程都有一个公共解，
∴x+2y−2=0−x+5=0，
解得：x=5y=−32，故C正确．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0．
【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=1B．x=2y=3C．x=1y=3D．x=3y=−1
【答案】B
【分析】由题意可令x=2时，代入进行求解即可．
【详解】解：由y=kx−2k+3可变形为y=kx−2+3，
∵当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，
∴当x=2时，则y=3，
∴这个公共解为x=2y=3；
故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．
【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−3C．x=−1y=3D．x=−3y=1
【答案】D
【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：原方程可整理得：
m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，
根据题意得：x+y+2=02x+3y+3=0
解得x=−3y=1．
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
【答案】x=−3y=−2
【分析】根据公式求得b=2a，将方程转化得到(x−2y−1)a=−3−x，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到x−2y−1=0−3−x=0，解方程组即可．
【详解】解：∵a☆b=0，
∴2a−b=0，
∴b=2a，
则方程a+1x−by−a+3=0可转化为a+1x−2ay−a+3=0，
∴(x−2y−1)a=−3−x，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴x−2y−1=0−3−x=0，
解得x=−3y=−2，
故答案为：x=−3y=−2．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键．
【题型5 整体思想解二元一次方程组】
【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3x+y−ax−y=162x+y−bx−y=15的解 ．
【答案】x=5y=2
【分析】把关于 x、y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 看作关于x+y 和 x+y的二元一次方程组，利用关于 m,n 的二元一次方程组 3m−an=162m+bn=15 的解为 m=7n=3,得到 x+y=7，x−y=3，从而求出x、y即可；
【详解】解：∵关于 m,n 的二元一次方程组3m−an=162m+bn=15 的解为 m=7n=3，
把关于 x、y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 看作关于 x+y 和 x+y 的二元一次方程组，
∴x+y=7x−y=3,
∴关于 x,y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 的解为 x=5y=2；
故答案为： x=5y=2；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．
【变式5-1】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得 ．
探索猜想：
（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【答案】（1）m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；（2）x=3y=2
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设4x+3y=m，6x−y=n，
则原方程组可化为m3+n8=8m6+n2=11，
解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，
解方程组，得x=3y=2，
故答案为：m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；
（2）设2x+y=m，x−2y=n，
则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，
解关于m，n的方程组，得m=8n=−1，
所以2x+y=8x−2y=−1，
解方程组，得x=3y=2；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1x=m，1y=n，原方程组转化为2m+3n=55m−2n=3，解得m=1n=1，∴1x=1，1y=1，由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=1．
(1)直接写出满足方程3x+2y=4的一个解______；
(2)解方程组3x+2y=4①5x−6y=2②．
【答案】(1)x=1y=2（答案不确定，满足方程即可）
(2)x=1y=2
【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可；
（2）仿照例题，设1x=m，1y=n，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解．
【详解】（1）解：当x=1y=2时，3x+2y=4方程成立，
故方程的解可以是：x=1y=2，
故答案为：x=1y=2（答案不确定，满足方程即可）
（2）设1x=m，1y=n，原方程组转化为3m+2n=45m−6n=2，
解得m=1n=12，
∴1x=1，1y=12由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．
【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路：
甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m的值．
乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
…
请用2种不同的方法解决上面的问题．
【答案】m=4
【分析】解法1：利用加减法求出x=13−3my=2m−6，再代入x+2y=5，即可得到m的值；
解法2：①+②得，5x+10y=5m+5，则x+2y=m+1，由x+2y=5得到m+1=5，即可得到m的值；
解法3：解方程组x+2y=52x+3y=8得到x=1y=2，把x=1y=2代入3x+7y=5m−3，即可得到m的值．
【详解】解法1：3x+7y=5m−3①2x+3y=8②
①×2−②×3得，5y=10m−30，
解得y=2m−6，
把y=2m−6代入②得，2x+32m−6=8，
解得x=13−3m，
∴x=13−3my=2m−6，
∵x+2y=5，
∴13−3m+22m−6=5，
解得m=4；
解法2：3x+7y=5m−3①2x+3y=8②
①+②得，5x+10y=5m+5，
则x+2y=m+1，
∵x+2y=5，
∴m+1=5，
解得m=4；
解法3：x+2y=5①2x+3y=8②
①×2−②得，y=2，
把y=2代入①得，x+4=5，
解得x=1，
∴x=1y=2，
把x=1y=2代入3x+7y=5m−3得，
3+14=5m−3，
解得m=4．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．
【题型6 二元一次方程组的新定义问题】
【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y'，其中x'=ax+byy'=ax−by（a，b为常数）.例如，当a=1，b=1时，d−2，3=1，−5.
（1）当a=2，b=1时，d3，1= ；
（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，−y，则a= ，b= .
【答案】 7，5 −23 −1
【分析】（1）由题意可得：x'=2x+yy'=2x−y，再将x=3，y=1代入即可求解；
（2）由题意可得：3a+b=−33a−b=−1，求解方程组即可．
【详解】解：（1）当a=2，b=1时，x'=2x+yy'=2x−y，
∵x'=2×3+1=7，y'=2×3−1=5，
∴d3，1=7，5
（2）∵dx，y=−x，−y，x−3y=0，
∴d3y，y=−3y，−y，
∴3ay+by=−3y3ay−by=−y，
化简得：3a+b=−33a−b=−1，
解得：a=−23b=−1，
故答案为：−23，−1．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．
(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；
(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．
【答案】(1)a=25
(2)m=4n=−4或m=−4n=4
(3)b=2
【分析】（1）根据“关联方程”的定义求解即可；
（2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到m−n=8或n−m=8，再结合m+n=0，解方程组即可；
（3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答．
【详解】（1）解：解方程2x−4=x+1得：x=5，
将x=−5代入方程5x+a=0得：5×−5+a=0，
解得：a=25；
（2）解：由题意得：m+n=0m−n=8或m+n=0n−m=8，
解两个二元一次方程组得：m=4n=−4或m=−4n=4，
∴m、n的值为：m=4n=−4或m=−4n=4；
（3）解：解方程2x+3b−2=0得：x=−3b+22，
解：方程3x−5b+4=0得：x=5b−43，
∵方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是关于x的“关联方程”，
∴−3b+22+5b−43=0，
解得：b=2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，和解二元一次方程组的应用，正确掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n．
(1)若2x−x3=−1，求x的值；
(2)若x2+y3=45x−y=2，求xy的值．
【答案】(1)x=2
(2)x=3y=1
【分析】（1）先按定义列出方程化成一元一次方程求解即可；
（2）先按定义列出二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵2x−x3=−1，
∴2×10+x−x×10−3=−1，解得：x=2．
（2）解：∵x2+y3=45x−y=2，
∴x×10+2+y×10+3=45x−y=2，即x+y=4x−y=2，解得：x=3y=1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识点，理解新定义是解答本题的关键．
【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知1∗1=1，3⊗2=8．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m 的解也满足方程x+y=5，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解．
【答案】(1)a=2b=−1
(2)m=32
(3)x=92y=−12
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y=5求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得a+b=13a−2b=8，
解得：a=2b=−1；
（2）解：依题意得2x−y=4−m2x+y=5m，
解得：x=m+1y=3m−2，
∵x+y=5，
∴m+1+3m−2=5，
解得：m=32；
（3）解：由题意得： 方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，
∴由方程组a1x+yx∗b1x−y=c1a2x+yx⊗b2x−y=c2得方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2，
∴方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解满足x+y=4x−y=5，
解得x=92y=−12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
【题型7 二元一次方程组的规律探究】
【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【答案】{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，{x=2ny=−2n+1
【详解】试题分析：仔细分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从-2开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从-1开始的连续负奇数，根据得到的规律求解即可.
解：由题意得第n个方程组为{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，它的解为{x=2ny=−2n+1（n为正整数）.
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.
【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：
若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解．
甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ．
【答案】{x=5y=13
【详解】试题分析：把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得，再根据方程组的解是可得，从而求得结果.
把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得
由题意得，解得{x=5y=13.
考点：解二元一次方程组
点评：解题的关键是读懂题意，找到规律，正确利用题中所提供换元法解题.
【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③
③×17得：17x+17y=17．④
①-④得：y=2，代入③得x=−1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．
(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2y=a+4bx+b+2y=b+4a≠b的解是______．
【答案】(1)x=−1y=2；
(2)x=−1y=2．
【分析】（1）根据题意，利用例题方法求解即可；
（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．
【详解】（1）解：{1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②，
②−①得：20x+20y=20，即x+y=1，③
③×1997得：1997x+1997y=1997，④
①−④得：2y=4，即y=2，
将y=2代入③得x=−1，
所以这个方程组得解是{x=−1y=2；
（2）解：{ax+(a+2)y=a+4①bx+(b+2)y=b+4②(a≠b)，
②−①得：(b−a)x+(b−a)y=b−a，即x+y=1，③
③×a得：ax+ay=a，④
①−④得：2y=4，解得y=2，
将y=2代入③得：x=−1，
所以这个方程组得解是{x=−1y=2，
故答案为：{x=−1y=2．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．
【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．
根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：
（1）方程组①的解为 ；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为 ，这个方程组的解为 ．
（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．
【答案】（1）x=1y=0；（2）x+y=1x−ny=n2，x=ny=−n+1；（3）a=5，该方程组符合（2）中的规律．
【分析】（1）根据加减消元法，即可求解；
（2）找出方程组及其解的变化规律，即可得到答案；
（3）把x=5y=−4代入5+4a=25，求出a的值，进而即可判断．
【详解】解：（1）x+y=1①x−y=1②，
①+②得：2x=2，解得：x=1，
①-②得：2y=0，解得：y=0，
∴方程组的解：x=1y=0；
（2）由方程组的变化规律可知：第n个方程组为x+y=1x−ny=n2，这个方程组的解为x=ny=−n+1，
故答案是：x+y=1x−ny=n2，x=ny=−n+1；
（3）∵方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，
∴5+4a=25，
∴a=5，
此时，方程组为x+y=1x−5y=25，它的解为x=5y=−4，该方程组符合（2）中的规律．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解以及加减消元法，掌握方程组及其解的变化规律是解题的关键．
【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例8】阅读下列材料解决问题：
两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．
(1)下列说法错误的是________
A．123和51互为“调和数”B．345和513互为“调和数”
C．2018和8120互为“调和数”D．两位数xy和yx互为“调和数”
(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy， B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y=−x+9．
【答案】(1)B
(2)见解析
【分析】（1）根据“调和数”的定义，逐项判断即可求解；
（2）根据A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，可得x+y=9−2x+m，从而得到x+y是9的倍数，再由A、B是两个不等的两位数，即可求证．
【详解】（1）解：A．∵1+2+3=5+1=6，
∴123和51互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；
B．∵3+4+5=12≠5+1+3=9，
∴345和513不是“调和数”，故本选项错误，符合题意；
C．∵2+0+1+8=8+1+2+0=11，
∴2018和8120互为“调和数”， 故本选项正确，不符合题意；
D．∵x+y=y+x，
∴两位数xy和yx互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：B
（2）解：根据题意得：
x+y=m+n10x+y+10m+n=310m+n−10x−y，
解得：19x+y=9m，
∴x+y=9−2x+m，
∴x+y是9的倍数，
∴x+y=9或18，
∵A、B是两个不等的两位数，
∴x+y=9，
即y=−x+9．
【点睛】此题主要考查了整除的问题，新定义，解题的关键在于理解新定义，运用整除的思想解决问题．
【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．
【答案】(1)① 100−x−y；100−x−y3②3x+5y+100−x−y3=100
(2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只
(3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只
【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程；
（2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）先根据3x+5y+100−x−y3=100求出x，y之间的关系，然后结合“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”讨论，即可求出结论．
【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
∴买了(100−x−y)只小鸡，买小鸡花了100−x−y3文钱．
故答案为：(100−x−y)；100−x−y3．
②根据题意得：3x+5y+100−x−y3=100．
故答案为：3x+5y+100−x−y3=100．
（2）由题意得
3x+5y+100−x−y3=100x=4y+2，
解得x=18y=4，
∴100−x−y=78只．
答：公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；
（3）根据题意得：3×5y+100−3−y3=100，化简得：x=25−74y，
当y=0时，x=2；当y=4时，x=18；当y=8时，x=11；当y=12时，x=4；当y=16时，x=−3（舍去）．
又因为x+y≤20，且x≤y，
所以仅有x=4，y=12符合题意，此时100−x−y=84．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
【点睛】本题考查了列代数式，以及二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组求解是解答本题的关键．
【变式8-2】阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；
(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
【答案】(1)x=1311y=311
(2)13
【分析】（1）由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，计算求解即可；
（2）由矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，可得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，①+②+③得，a+b+c=13．
【详解】（1）解：由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，
解得，x=1311y=311，
∴矩阵4153−23对应的方程组的解为x=1311y=311；
（2）解：∵矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，
∴将x=1y=1z=1代入ax−2y+3z=7x+by+4z=52x−y+cz=8，得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，
①+②+③得，a+b+c=13．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
【变式8-3】阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数），要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4−23x=2所以2x+3y=12的正整数解为x=3y=2．
问题：
(1)求方程3x+2y=8的正整数解．
(2)已知一根木条长7m，现将木条截成2m长和1m长这两种规格，为了不造成浪费，结合上述材料，试说明有几种不同的截法（两种规格均有），并一一列出．
【答案】(1)方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1
(2)共有3种不同的截法，截法1：截成2m长的木条1根，1m长的木条5条；截法2：截成2m长的木条2根，1m长的木条3条；截法3：截成2m长的木条3根，1m长的木条1条
【分析】（1）由3x+2y=8，可得出y=4−32x，结合x、y为正整数，即可求出方程3x+2y=8的正整数解；
（2）设可以截成2m长的木条a根，1m长的木条b条，根据木条的总长度为7m，可列出关于x、y的二元一次方程，结合x、y为正整数，即可求得各截法．
【详解】（1）解：∵3x+2y=8，
∴y=8−3x2=4−32x，
∵要使y=4−32x为正整数，则32x为正整数，
∴x为2倍数，
∴x=2，
将x=2代入y=4−32x=4−32×2=1，
∴方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1；
（2）解：设可以截成2m长的木条a根，1m长的木条b条，
根据题意得：2a+b=7，
∴b=7−2a，
又∵a，b均为正整数，
∴ a=1b=5或a=2b=3或a=3b=1，
∴共有3种不同的截法，
序号
1
2
3
……
n
方程组
{2x+y=3x−2y=4
{2x+y=5x−4y=16
{2x+y=7x−6y=36
方程组解
{x=2y=−1
{x=4y=−3
{x=6y=−5
序号
二元一次方程组
二元一次方程组的解
①
x+y=1x−y=1
x=y=
②
x+y=1x−2y=4
x=2y=−1
③
x+y=1x−3y=9
x=3y=−2
……
……
……
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11225" 【题型1 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc11225 \h 1
\l "_Tc19070" 【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc19070 \h 1
\l "_Tc4564" 【题型3 解含参数的二元一次方程组】 PAGEREF _Tc4564 \h 2
\l "_Tc19118" 【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】 PAGEREF _Tc19118 \h 2
\l "_Tc18810" 【题型5 整体思想解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18810 \h 2
\l "_Tc3898" 【题型6 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc3898 \h 4
\l "_Tc32002" 【题型7 二元一次方程组的规律探究】 PAGEREF _Tc32002 \h 4
\l "_Tc9793" 【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc9793 \h 6
【题型1 二元一次方程的整数解】
【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（ ）
A．5B．7C．6D．无数对
【变式1-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是 ．
【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是 ．
【变式1-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点 ．
【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】
【例2】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1，则方程组正确的解是 ．
【变式2-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【变式2-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b的值应该是 ．
【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2，试求a2+b2−2ab的值．
【题型3 解含参数的二元一次方程组】
【例3】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y= ．
【变式3-1】整数a为 时，方程组2x+ay=4x+4y=8有正整数解．
【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（ ）个
A．4B．5C．6D．8
【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．
【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】
【例4】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−12C．x=5y=−32D．x=2y=32
【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=1B．x=2y=3C．x=1y=3D．x=3y=−1
【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−3C．x=−1y=3D．x=−3y=1
【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
【题型5 整体思想解二元一次方程组】
【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3x+y−ax−y=162x+y−bx−y=15的解 ．
【变式5-1】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得 ．
探索猜想：
（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1x=m，1y=n，原方程组转化为2m+3n=55m−2n=3，解得m=1n=1，∴1x=1，1y=1，由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=1．
(1)直接写出满足方程3x+2y=4的一个解______；
(2)解方程组3x+2y=4①5x−6y=2②．
【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路：
甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m的值．
乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
…
请用2种不同的方法解决上面的问题．
【题型6 二元一次方程组的新定义问题】
【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y'，其中x'=ax+byy'=ax−by（a，b为常数）.例如，当a=1，b=1时，d−2，3=1，−5.
（1）当a=2，b=1时，d3，1= ；
（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，−y，则a= ，b= .
【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．
(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；
(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．
【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n．
(1)若2x−x3=−1，求x的值；
(2)若x2+y3=45x−y=2，求xy的值．
【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知1∗1=1，3⊗2=8．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m 的解也满足方程x+y=5，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解．
【题型7 二元一次方程组的规律探究】
【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：
若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解．
甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ．
【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③
③×17得：17x+17y=17．④
①-④得：y=2，代入③得x=−1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．
(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2y=a+4bx+b+2y=b+4a≠b的解是______．
【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．
根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：
（1）方程组①的解为 ；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为 ，这个方程组的解为 ．
（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．
【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例8】阅读下列材料解决问题：
两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．
(1)下列说法错误的是________
A．123和51互为“调和数”B．345和513互为“调和数”
C．2018和8120互为“调和数”D．两位数xy和yx互为“调和数”
(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy， B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y=−x+9．
【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．
序号
1
2
3
……
n
方程组
{2x+y=3x−2y=4
{2x+y=5x−4y=16
{2x+y=7x−6y=36
方程组解
{x=2y=−1
{x=4y=−3
{x=6y=−5
序号
二元一次方程组
二元一次方程组的解
①
x+y=1x−y=1
x=y=
②
x+y=1x−2y=4
x=2y=−1
③
x+y=1x−3y=9
x=3y=−2
……
……
……
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
专题5.7 二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11225" 【题型1 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc11225 \h 1
\l "_Tc19070" 【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc19070 \h 3
\l "_Tc4564" 【题型3 解含参数的二元一次方程组】 PAGEREF _Tc4564 \h 5
\l "_Tc19118" 【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】 PAGEREF _Tc19118 \h 7
\l "_Tc18810" 【题型5 整体思想解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18810 \h 10
\l "_Tc3898" 【题型6 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc3898 \h 14
\l "_Tc32002" 【题型7 二元一次方程组的规律探究】 PAGEREF _Tc32002 \h 17
\l "_Tc9793" 【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc9793 \h 21
【题型1 二元一次方程的整数解】
【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（ ）
A．5B．7C．6D．无数对
【答案】A
【分析】要求方程x+y=7的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的取值，再进一步求得另一个未知数的值．
【详解】解：由已知，得y=7−x，
要使x，y都是正整数，
合适的x值只能是1，2，3，4，5，6，
相应的y=6，5，4，3，2，1．
共6对．
【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
【变式1-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是 ．
【答案】x=−1y=−4或x=−2y=−2
【分析】要求2x+y=−6的负整数解，就要先将方程做适当的变形，根据解为负整数，求解即可．
【详解】解：由2x+y=−6可得，y=−6−2x
因为二元一次方程2x+y=−6的负整数解，
则当x=−1时，y=−4；当x=−2时y=−2；当x=−3时，y=0（不符合题意，舍去）
则二元一次方程2x+y=−6的负整数解是x=−1y=−4或x=−2y=−2
故答案为：x=−1y=−4或x=−2y=−2
【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是 ．
【答案】x=16y=19
【分析】要求方程3x+5y＝143的正整数解，就要先将方程做适当变形，确定其中一组解，进一步得到通解，然后确定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．
【详解】解：由3x+5y＝143，得y＝28+3−3x5，
∴x=1y=28是方程组的一个解，其通解为x=1−5ty=28+3t（t为整数），
∵x，y都是正整数，
∴x=1y=28，x=6y=25，x=11y=22，x=16y=19，x=21y=16，x=26y=13，x=31y=10，x=36y=7，x=41y=4，x=46y=1，
∴使|x﹣y|的值最小的解是x=16y=19
故答案为x=16y=19．
【点睛】本题考查了绝对值、二元一次方程的正整数解，解题关键是确定二元一次方程的正整数解，再判断符合题意值.
【变式1-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点 ．
【答案】(2，3)， (3，1)
【分析】根据题意得出x，y的取值范围，以及x， y为整数，找到符合条件的x的值，代入方程y=−2x+7，即可求解．
【详解】由题意可得：x>0y>0，即x>0−2x+7>0，且x，y为整数，
解得：0< x < 3.5且x， y为整数，
则x = 1或2或3，
当x= 1时，y=-2×1+7=5，
当x=2时，y=-2×2+7=3，
当x = 3时，y=-2×3+7= 1，
那么方程y= - 2x + 7的正整数点为(1， 5)，(2，3)，(3，1)．
则方程y = -2x十7的剩余的正整数点为(2，3)， (3，1)．
故答案为： (2，3)， (3，1)．
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，以及一元一次不等式，解题的关键是弄清题意，掌握正整数点的求解方法，找出符合条件的正整数点．
【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】
【例2】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1，则方程组正确的解是 ．
【答案】x=45y=65
【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．
【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组ax+y=2①2x−by=1②时，
甲看错了方程①中的a，解得x=1y=2，
∴2×1−2b=1，解得b=12，
∵乙看错了方程②中的b，解得x=1y=1，
∴a+1=2，解得a=1，
∴原方程组为x+y=2①2x−12y=1②，
由①得：x=2−y③，
把③代入②得22−y−12y=1，解得y=65，
将y=65代入③得x=2−65=45，
∴方程组的解为x=45y=65．
故答案为：x=45y=65．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．
【变式2-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【答案】2x+5y=1−2x−7y=1
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是x=3y=−1，
∴3a−b=13c+7=1，
∴c=−2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1，
∴−2a+b=1，
∴−2a+b=13a−b=1，
解得：a=2b=5．
∴原方程组为2x+5y=1−2x−7y=1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
【变式2-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b的值应该是 ．
【答案】9
【分析】根据题意，把x=−1y=2代入y−ax=6，求出a的值，再把x=−2y=1和a的值代入y−ax=b，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：x=−1y=2是y−ax=6是一个解，
∴2+a=6，
∴a=4，
把a=4和x=−2y=1代入y−ax=b，得：1+2×4=b，
∴b=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练在为方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2，试求a2+b2−2ab的值．
【答案】608449
【分析】根据题意将小明所得方程组的解代入方程②，将小文所得方程组的解代入方程①，即可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：由题意得：−a+2b=163b+2a=2 ，
解方程组得a=−447b=347 ，
∴a2+b2−2ab=a−b2=608449．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的知识，理解抄错了方程①，得到方程组的解即只满足方程②，同理抄错了方程②，得到方程组的解即只满足方程①，是解答本题的关键．
【题型3 解含参数的二元一次方程组】
【例3】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y= ．
【答案】3
【分析】把k看做常数解二元一次方程组，求得x=2−12k，y=1+12k，再代入计算即可．
【详解】解：3x−y=5−2k①x+3y=k+5②
由①×3+②，得10x=20−5k，
解得：x=2−12k，
把x=2−12k代入②，得y=1+12k，
∴x+y=2−12k+1+12k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程是解题的关键．
【变式3-1】整数a为 时，方程组2x+ay=4x+4y=8有正整数解．
【答案】−4
【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出a的值．
【详解】解：∵ 2x+ay=4①x+4y=8②，
∴①−②×2，得
a−8y=−12，
∴ y=128−a，
将y=128−a代入②式，得：
x=8−488−a，
又∵方程组是正整数解，
∴8−a=12时满足x、y均为正整数，
解得：a=−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（ ）个
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得x=4a−1,再根据整数解的条件进行讨论，并检验即可得到答案．
【详解】解：由题意得：{x−y=−3①ax−y=1②
②-①得：(a−1)x=4,
当a≠1时，x=4a−1,
∵a,x都为整数，
∴a=−3或a=−1或a=0或a=2或a=3或a=5,
此时y=x+3也为整数，
所以a的所有的可能的值有6个，
故选C
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．
【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．
【答案】x=5y=−4
【分析】根据题意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【详解】解：x+my=7①mx−y=2+m②，①+②得，
x+my+mx-y=9+m，
则x-y-9+mx+my-m=0，
则x-y-9+m（x+y-1）=0，
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
x−y−9=0x+y−1=0，
解得x=5y=−4，
故答案为：x=5y=−4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的问题和解二元一次方程组，解集本题的关键是理解题意，明确这些方程的解与m的取值无关．同时应掌握二元一次方程组的基本解法——代入消元法和加减消元法．
【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】
【例4】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−12C．x=5y=−32D．x=2y=32
【答案】A
【分析】由2a−b=0得：b=2a，把b=2a代入a−1x+by+5−2a=0得a−1x+2ay+5−2a=0，整理得：x+2y−2a−x+5=0，根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0，解关于x、y的方程组即可．
【详解】解：由2a−b=0得：b=2a，
∴关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0可变为：
a−1x+2ay+5−2a=0，
整理得：x+2y−2a−x+5=0，
∵当a取不同值时，方程都有一个公共解，
∴x+2y−2=0−x+5=0，
解得：x=5y=−32，故C正确．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0．
【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=1B．x=2y=3C．x=1y=3D．x=3y=−1
【答案】B
【分析】由题意可令x=2时，代入进行求解即可．
【详解】解：由y=kx−2k+3可变形为y=kx−2+3，
∵当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，
∴当x=2时，则y=3，
∴这个公共解为x=2y=3；
故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．
【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−3C．x=−1y=3D．x=−3y=1
【答案】D
【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：原方程可整理得：
m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，
根据题意得：x+y+2=02x+3y+3=0
解得x=−3y=1．
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
【答案】x=−3y=−2
【分析】根据公式求得b=2a，将方程转化得到(x−2y−1)a=−3−x，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到x−2y−1=0−3−x=0，解方程组即可．
【详解】解：∵a☆b=0，
∴2a−b=0，
∴b=2a，
则方程a+1x−by−a+3=0可转化为a+1x−2ay−a+3=0，
∴(x−2y−1)a=−3−x，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴x−2y−1=0−3−x=0，
解得x=−3y=−2，
故答案为：x=−3y=−2．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键．
【题型5 整体思想解二元一次方程组】
【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3x+y−ax−y=162x+y−bx−y=15的解 ．
【答案】x=5y=2
【分析】把关于 x、y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 看作关于x+y 和 x+y的二元一次方程组，利用关于 m,n 的二元一次方程组 3m−an=162m+bn=15 的解为 m=7n=3,得到 x+y=7，x−y=3，从而求出x、y即可；
【详解】解：∵关于 m,n 的二元一次方程组3m−an=162m+bn=15 的解为 m=7n=3，
把关于 x、y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 看作关于 x+y 和 x+y 的二元一次方程组，
∴x+y=7x−y=3,
∴关于 x,y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 的解为 x=5y=2；
故答案为： x=5y=2；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．
【变式5-1】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得 ．
探索猜想：
（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【答案】（1）m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；（2）x=3y=2
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设4x+3y=m，6x−y=n，
则原方程组可化为m3+n8=8m6+n2=11，
解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，
解方程组，得x=3y=2，
故答案为：m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；
（2）设2x+y=m，x−2y=n，
则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，
解关于m，n的方程组，得m=8n=−1，
所以2x+y=8x−2y=−1，
解方程组，得x=3y=2；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1x=m，1y=n，原方程组转化为2m+3n=55m−2n=3，解得m=1n=1，∴1x=1，1y=1，由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=1．
(1)直接写出满足方程3x+2y=4的一个解______；
(2)解方程组3x+2y=4①5x−6y=2②．
【答案】(1)x=1y=2（答案不确定，满足方程即可）
(2)x=1y=2
【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可；
（2）仿照例题，设1x=m，1y=n，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解．
【详解】（1）解：当x=1y=2时，3x+2y=4方程成立，
故方程的解可以是：x=1y=2，
故答案为：x=1y=2（答案不确定，满足方程即可）
（2）设1x=m，1y=n，原方程组转化为3m+2n=45m−6n=2，
解得m=1n=12，
∴1x=1，1y=12由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．
【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路：
甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m的值．
乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
…
请用2种不同的方法解决上面的问题．
【答案】m=4
【分析】解法1：利用加减法求出x=13−3my=2m−6，再代入x+2y=5，即可得到m的值；
解法2：①+②得，5x+10y=5m+5，则x+2y=m+1，由x+2y=5得到m+1=5，即可得到m的值；
解法3：解方程组x+2y=52x+3y=8得到x=1y=2，把x=1y=2代入3x+7y=5m−3，即可得到m的值．
【详解】解法1：3x+7y=5m−3①2x+3y=8②
①×2−②×3得，5y=10m−30，
解得y=2m−6，
把y=2m−6代入②得，2x+32m−6=8，
解得x=13−3m，
∴x=13−3my=2m−6，
∵x+2y=5，
∴13−3m+22m−6=5，
解得m=4；
解法2：3x+7y=5m−3①2x+3y=8②
①+②得，5x+10y=5m+5，
则x+2y=m+1，
∵x+2y=5，
∴m+1=5，
解得m=4；
解法3：x+2y=5①2x+3y=8②
①×2−②得，y=2，
把y=2代入①得，x+4=5，
解得x=1，
∴x=1y=2，
把x=1y=2代入3x+7y=5m−3得，
3+14=5m−3，
解得m=4．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．
【题型6 二元一次方程组的新定义问题】
【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y'，其中x'=ax+byy'=ax−by（a，b为常数）.例如，当a=1，b=1时，d−2，3=1，−5.
（1）当a=2，b=1时，d3，1= ；
（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，−y，则a= ，b= .
【答案】 7，5 −23 −1
【分析】（1）由题意可得：x'=2x+yy'=2x−y，再将x=3，y=1代入即可求解；
（2）由题意可得：3a+b=−33a−b=−1，求解方程组即可．
【详解】解：（1）当a=2，b=1时，x'=2x+yy'=2x−y，
∵x'=2×3+1=7，y'=2×3−1=5，
∴d3，1=7，5
（2）∵dx，y=−x，−y，x−3y=0，
∴d3y，y=−3y，−y，
∴3ay+by=−3y3ay−by=−y，
化简得：3a+b=−33a−b=−1，
解得：a=−23b=−1，
故答案为：−23，−1．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．
(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；
(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．
【答案】(1)a=25
(2)m=4n=−4或m=−4n=4
(3)b=2
【分析】（1）根据“关联方程”的定义求解即可；
（2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到m−n=8或n−m=8，再结合m+n=0，解方程组即可；
（3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答．
【详解】（1）解：解方程2x−4=x+1得：x=5，
将x=−5代入方程5x+a=0得：5×−5+a=0，
解得：a=25；
（2）解：由题意得：m+n=0m−n=8或m+n=0n−m=8，
解两个二元一次方程组得：m=4n=−4或m=−4n=4，
∴m、n的值为：m=4n=−4或m=−4n=4；
（3）解：解方程2x+3b−2=0得：x=−3b+22，
解：方程3x−5b+4=0得：x=5b−43，
∵方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是关于x的“关联方程”，
∴−3b+22+5b−43=0，
解得：b=2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，和解二元一次方程组的应用，正确掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n．
(1)若2x−x3=−1，求x的值；
(2)若x2+y3=45x−y=2，求xy的值．
【答案】(1)x=2
(2)x=3y=1
【分析】（1）先按定义列出方程化成一元一次方程求解即可；
（2）先按定义列出二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵2x−x3=−1，
∴2×10+x−x×10−3=−1，解得：x=2．
（2）解：∵x2+y3=45x−y=2，
∴x×10+2+y×10+3=45x−y=2，即x+y=4x−y=2，解得：x=3y=1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识点，理解新定义是解答本题的关键．
【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知1∗1=1，3⊗2=8．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m 的解也满足方程x+y=5，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解．
【答案】(1)a=2b=−1
(2)m=32
(3)x=92y=−12
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y=5求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得a+b=13a−2b=8，
解得：a=2b=−1；
（2）解：依题意得2x−y=4−m2x+y=5m，
解得：x=m+1y=3m−2，
∵x+y=5，
∴m+1+3m−2=5，
解得：m=32；
（3）解：由题意得： 方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，
∴由方程组a1x+yx∗b1x−y=c1a2x+yx⊗b2x−y=c2得方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2，
∴方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解满足x+y=4x−y=5，
解得x=92y=−12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
【题型7 二元一次方程组的规律探究】
【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【答案】{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，{x=2ny=−2n+1
【详解】试题分析：仔细分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从-2开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从-1开始的连续负奇数，根据得到的规律求解即可.
解：由题意得第n个方程组为{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，它的解为{x=2ny=−2n+1（n为正整数）.
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.
【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：
若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解．
甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ．
【答案】{x=5y=13
【详解】试题分析：把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得，再根据方程组的解是可得，从而求得结果.
把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得
由题意得，解得{x=5y=13.
考点：解二元一次方程组
点评：解题的关键是读懂题意，找到规律，正确利用题中所提供换元法解题.
【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③
③×17得：17x+17y=17．④
①-④得：y=2，代入③得x=−1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．
(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2y=a+4bx+b+2y=b+4a≠b的解是______．
【答案】(1)x=−1y=2；
(2)x=−1y=2．
【分析】（1）根据题意，利用例题方法求解即可；
（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．
【详解】（1）解：{1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②，
②−①得：20x+20y=20，即x+y=1，③
③×1997得：1997x+1997y=1997，④
①−④得：2y=4，即y=2，
将y=2代入③得x=−1，
所以这个方程组得解是{x=−1y=2；
（2）解：{ax+(a+2)y=a+4①bx+(b+2)y=b+4②(a≠b)，
②−①得：(b−a)x+(b−a)y=b−a，即x+y=1，③
③×a得：ax+ay=a，④
①−④得：2y=4，解得y=2，
将y=2代入③得：x=−1，
所以这个方程组得解是{x=−1y=2，
故答案为：{x=−1y=2．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．
【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．
根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：
（1）方程组①的解为 ；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为 ，这个方程组的解为 ．
（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．
【答案】（1）x=1y=0；（2）x+y=1x−ny=n2，x=ny=−n+1；（3）a=5，该方程组符合（2）中的规律．
【分析】（1）根据加减消元法，即可求解；
（2）找出方程组及其解的变化规律，即可得到答案；
（3）把x=5y=−4代入5+4a=25，求出a的值，进而即可判断．
【详解】解：（1）x+y=1①x−y=1②，
①+②得：2x=2，解得：x=1，
①-②得：2y=0，解得：y=0，
∴方程组的解：x=1y=0；
（2）由方程组的变化规律可知：第n个方程组为x+y=1x−ny=n2，这个方程组的解为x=ny=−n+1，
故答案是：x+y=1x−ny=n2，x=ny=−n+1；
（3）∵方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，
∴5+4a=25，
∴a=5，
此时，方程组为x+y=1x−5y=25，它的解为x=5y=−4，该方程组符合（2）中的规律．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解以及加减消元法，掌握方程组及其解的变化规律是解题的关键．
【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例8】阅读下列材料解决问题：
两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．
(1)下列说法错误的是________
A．123和51互为“调和数”B．345和513互为“调和数”
C．2018和8120互为“调和数”D．两位数xy和yx互为“调和数”
(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy， B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y=−x+9．
【答案】(1)B
(2)见解析
【分析】（1）根据“调和数”的定义，逐项判断即可求解；
（2）根据A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，可得x+y=9−2x+m，从而得到x+y是9的倍数，再由A、B是两个不等的两位数，即可求证．
【详解】（1）解：A．∵1+2+3=5+1=6，
∴123和51互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；
B．∵3+4+5=12≠5+1+3=9，
∴345和513不是“调和数”，故本选项错误，符合题意；
C．∵2+0+1+8=8+1+2+0=11，
∴2018和8120互为“调和数”， 故本选项正确，不符合题意；
D．∵x+y=y+x，
∴两位数xy和yx互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：B
（2）解：根据题意得：
x+y=m+n10x+y+10m+n=310m+n−10x−y，
解得：19x+y=9m，
∴x+y=9−2x+m，
∴x+y是9的倍数，
∴x+y=9或18，
∵A、B是两个不等的两位数，
∴x+y=9，
即y=−x+9．
【点睛】此题主要考查了整除的问题，新定义，解题的关键在于理解新定义，运用整除的思想解决问题．
【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．
【答案】(1)① 100−x−y；100−x−y3②3x+5y+100−x−y3=100
(2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只
(3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只
【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程；
（2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）先根据3x+5y+100−x−y3=100求出x，y之间的关系，然后结合“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”讨论，即可求出结论．
【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
∴买了(100−x−y)只小鸡，买小鸡花了100−x−y3文钱．
故答案为：(100−x−y)；100−x−y3．
②根据题意得：3x+5y+100−x−y3=100．
故答案为：3x+5y+100−x−y3=100．
（2）由题意得
3x+5y+100−x−y3=100x=4y+2，
解得x=18y=4，
∴100−x−y=78只．
答：公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；
（3）根据题意得：3×5y+100−3−y3=100，化简得：x=25−74y，
当y=0时，x=2；当y=4时，x=18；当y=8时，x=11；当y=12时，x=4；当y=16时，x=−3（舍去）．
又因为x+y≤20，且x≤y，
所以仅有x=4，y=12符合题意，此时100−x−y=84．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
【点睛】本题考查了列代数式，以及二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组求解是解答本题的关键．
【变式8-2】阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；
(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
【答案】(1)x=1311y=311
(2)13
【分析】（1）由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，计算求解即可；
（2）由矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，可得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，①+②+③得，a+b+c=13．
【详解】（1）解：由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，
解得，x=1311y=311，
∴矩阵4153−23对应的方程组的解为x=1311y=311；
（2）解：∵矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，
∴将x=1y=1z=1代入ax−2y+3z=7x+by+4z=52x−y+cz=8，得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，
①+②+③得，a+b+c=13．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
【变式8-3】阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数），要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4−23x=2所以2x+3y=12的正整数解为x=3y=2．
问题：
(1)求方程3x+2y=8的正整数解．
(2)已知一根木条长7m，现将木条截成2m长和1m长这两种规格，为了不造成浪费，结合上述材料，试说明有几种不同的截法（两种规格均有），并一一列出．
【答案】(1)方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1
(2)共有3种不同的截法，截法1：截成2m长的木条1根，1m长的木条5条；截法2：截成2m长的木条2根，1m长的木条3条；截法3：截成2m长的木条3根，1m长的木条1条
【分析】（1）由3x+2y=8，可得出y=4−32x，结合x、y为正整数，即可求出方程3x+2y=8的正整数解；
（2）设可以截成2m长的木条a根，1m长的木条b条，根据木条的总长度为7m，可列出关于x、y的二元一次方程，结合x、y为正整数，即可求得各截法．
【详解】（1）解：∵3x+2y=8，
∴y=8−3x2=4−32x，
∵要使y=4−32x为正整数，则32x为正整数，
∴x为2倍数，
∴x=2，
将x=2代入y=4−32x=4−32×2=1，
∴方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1；
（2）解：设可以截成2m长的木条a根，1m长的木条b条，
根据题意得：2a+b=7，
∴b=7−2a，
又∵a，b均为正整数，
∴ a=1b=5或a=2b=3或a=3b=1，
∴共有3种不同的截法，
序号
1
2
3
……
n
方程组
{2x+y=3x−2y=4
{2x+y=5x−4y=16
{2x+y=7x−6y=36
方程组解
{x=2y=−1
{x=4y=−3
{x=6y=−5
序号
二元一次方程组
二元一次方程组的解
①
x+y=1x−y=1
x=y=
②
x+y=1x−2y=4
x=2y=−1
③
x+y=1x−3y=9
x=3y=−2
……
……
……
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
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