苏科版七年级数学下册举一反三系列11.8一元一次不等式全章六类必考压轴题同步练习(学生版+解析)

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专题11.8 一元一次不等式全章六类必考压轴题【苏科版】必考点1不等式(组)的整数解问题1.（2020春·重庆巴南·七年级统考期末）若整数a使关于x的不等式组x+12≤2x+56x−2>a至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是(    )．A．－3 B．－4 C．－10 D．－142.（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的不等式组3x+m<0x>−5的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围为_________3.（2018春·湖北荆州·七年级统考期末）如果不等式组3x−a≥02x−b<0的整数解仅为2，且a、b均为整数，则代数式2a2+b的最大值＝______．4.（2021春·全国·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）已知不等式组3x+a<2x,−13x<53x+2,有解但没有整数解，则a的取值范围为________．5.（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知关于x的不等式3x−a≥1只有两个负整数解，则a的取值范围是（    ）A．−10y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−114≥37无解，那么所有符合条件的整数a的个数为________．3.（2019春·河南商丘·七年级统考期末）关于x的方程k−2x=3(k−2)的解为非负数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x3≥x有解，则符合条件的整数k的值的和为__________．4.（2021春·山东滨州·七年级统考期末）某班数学兴趣小组对不等式组x>3,x≤a讨论得到以下结论：①若a=5，则不等式组的解集为312a−132x+8>4a有解且每一个x的值均不在−2≤x≤6的范围中，则a的取值范围是（    ）A．a<1 B．a≤1 C．11−a，3x−5≥a，且x只能取两个整数，则a的取值范围是_____．6.（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）当三个非负实数x，y，z满足关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4时，M=3x−2y+4z的最小值和最大值分别是多少？必考点4不等式中的新定义问题1.（2017秋·山东潍坊·九年级统考期末）设x为非负实数，将x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞（可读作尖括号x），即当非负实数x满足n﹣12≤x＜n+12时，其中n为整数，则＜x＞=n．如＜0.48＞=0，＜5.5＞=6，＜3.49＞=3．如果＜x﹣2.2＞=5，那么x的取值范围是_____．2.（2022春·江苏南通·七年级校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为21x−2<3的“相依方程”．(1)在方程①6(x+2)−(x+4)=23；②9x−3=0；③2x−3=0中，不等式组{2x−1>x+13(x−2)−x≤4的“相依方程”是________；（填序号）(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−1的“相依方程”，求k的取值范围；(3)若关于x的方程x−3m2=−2是关于x的不等式组{x+1>mx−m≤2m+1的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．3.（2021春·江苏常州·七年级统考期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；①2x−4=05x−2＜3；②x−53=2−3−x2x+32−1＜3−x4．（2）若关于x的组合5x+15=03x−a2＞a是“有缘组合”，求a的取值范围；（3）若关于x的组合5a−x2−3=2x−3ax−a2+1≤x+a是“无缘组合”；求a的取值范围．4.（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考期中）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即：当为非负整数时，如果n−12≤x=n，则n−12≤x=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<3>=3,<3.5>=<4.12>=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅试解决下列问题：(1)填空：①<π>=_________（π为圆周率）；②如果=3，则实数x的取值范围为_________；(2)若关于的不等式组2x−43≤x−1〈a〉−x>0的整数解恰有3个，求a的取值范围；(3)求满足〈x〉=43x的所有非负实数x的值．5.（2022春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为M，将不等式（组)的解集记为N，给出定义：若M中的数都在N内，则称M被N包含；若M中至少有一个数不在N内，则称M不能被N包含．如，方程组x=0x+y=2的解为x=0y=2，记A:{0，2}，方程组x=0x+y=4的解为x=0y=4，记B:{0，4}，不等式x−3<0的解集为x<3，记H:x<3．因为0，2都在H内，所以A被H包含；因为4不在H内，所以B不能被H包含．(1)将方程组2x−y=53x+4y=2的解中的所有数的全体记为C，将不等式x+1⩾0的解集记为D，请问C能否被D包含？说明理由；(2)将关于x，y的方程组2x+3y−5a=−1x−2y+a=3的解中的所有数的全体记为E，将不等式组3(x−2)⩾x−42x+13>x−1的解集记为F，若E不能被F包含，求实数a的取值范围．6.（2022春·重庆·九年级校联考期中）若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大3，我们称这个数为“多多数”．将一个“多多数”m各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数m'，记Fm=m−m'−540909．例如：m=4512，∴m'=2154，则F4512=4512−2154−540909=2(1)判断7643和4631是否为“多多数”？请说明理由；(2)若A为一个能被13整除的“多多数”，且FA≥0，求满足条件的“多多数”A．必考点5解绝对值不等式1.（2021秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）若关于x的不等式a≥x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5有解，则a的取值范围是__________.2.（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）已知不等式12x−2−5−1>12ax−2+2的解是x<12，则a＝_______．3.（2021春·浙江·七年级期中）能够使不等式x−x1+x<0成立的x的取值范围_______．4.（2020秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）解不等式：|x|−4+2x+3>85.（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式x−2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为x+1=x−−1，所以x+1的几何意义就是数轴上x所对应的点与−1所对应的点之间的距离．  ⑴. 发现问题：代数式x+1+x−2的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是−1,     2,     x ，AB=3．∵x+1+x−2的几何意义是线段PA与PB的长度之和∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PA+PB>3∴x+1+x−2的最小值是3．⑶.解决问题：①.x−4+x+2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：x+3+x−1>4③.当a为何值时，代数式x+a+x−3的最小值是2．必考点6方程与不等式（组）的实际应用1.（2022秋·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地，他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为___________元．2.（2022秋·重庆合川·九年级校考期中）冬季运动越野滑雪的路段分为上坡、平地、下坡三种类型，滑雪者在同种路段中滑行速度保持不变．运动爱好者小明上坡滑雪3分钟与平地滑雪2分钟的路程相等．第一次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别是2分钟、2分钟、3分钟．第二次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别比第一次多了50%、50%、20%，总路程比第一次多32%．第三次训练所用时间为第一次的3倍，其中上坡、平地、下坡滑雪的时间依次减少，且总路程是第二次的2倍．设第三次训练中平地滑雪时间为b分钟，若b为整数，则b的值为 _____．3.（2022春·上海崇明·六年级校考期中）“无体育，不巴蜀”，在即将开始的中考体育测试中，初三学生正在全力以赴做最后的冲刺训练．若年级所有班级中人数最少的有61人，最多的有77人，在一次体育测试中，某班男生的平均分比女生多了0.25分，小莹抱怨道：“我们女生就是15分的小佳拖了后腿，要是没有她，我们女生的平均分会比男生还多1分．”小峰反驳说：“我们男生要是不算得了9分的小友，平均分也会再多1分．”班长小伟听到他们的对话后说：“让我们一起帮助他们，如果小佳和小友的体育成绩都能提高到_________分，那么男生和女生的平均分就一样了．”4.（2022春·重庆梁平·九年级校联考期中）新学期开始，某出版社计划出版销售A、B、C三种书籍，每种书箱均是整数本出售．第一个星期，该出版社三种书籍的售价均为整数，且C种书籍的售价是其余两种书籍售价之和的3倍，同时C种书籍的售价小于39元且不低于27元，三种书籍第一个星期内售出数量之比为3：2：1．第二个星期由于纸张价格迅速上涨，人工成本也在增加，该出版社决定把部分书籍涨价销售，其中A种书籍售价不变，B种书籍的售价比第一周售价增加1倍，C种书籍售价比第一周售价上升了13，且第二个星期内，A种和C种书籍销量之比是4：5，B种书籍比第一个星期的销量减少20%．出版社结算发现，第一个星期三种书籍的总销售额比第二个星期A、C两种书籍的总销售额多517元，第一个星期三种书籍的总销售量与第二个星期三种书籍的总销售量之差不低于87本且小于115本，则这两个星期C种书籍的总销售额是__________．5.（2022春·重庆渝北·九年级校考期中）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．春节期间，开州书法协会开展现场书写并赠送春联的公益活量为__________个．专题11.8 一元一次不等式全章六类必考压轴题【苏科版】必考点1不等式(组)的整数解问题1.（2020春·重庆巴南·七年级统考期末）若整数a使关于x的不等式组x+12≤2x+56x−2>a至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是(    )．A．－3 B．－4 C．－10 D．－14【答案】D【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数得到a−2=−6或−12，从而确定所有满足条件的整数a的值的和．【详解】解：x+12⩽2x+56x−2>a，不等式组整理得：x⩽2x>a+2，由不等式组至少有4个整数解，得到a+2<−1，解得：a<−3，解方程组ax+2y=0x+y=6，得x=−12a−2y=6aa−2，又∵关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，∴a−2=−6或−12，解得a=−4或a=−10，∴所有满足条件的整数a的值的和是−14．故选：D．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出a的范围，本题属于中等题型．2.（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的不等式组3x+m<0x>−5的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围为_________【答案】3⩽m<6或−6⩽m<−3．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据所有整数解的和为﹣9可以确定有哪些整数解，再根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．【详解】解：∵ 3x+m<0①x>−5②，由①得，x<−m3，∵不等式组有解，∴不等式组的解集为−5y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−114≥37无解，那么所有符合条件的整数a的个数为________．【答案】7【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可．【详解】解方程组x−y=a+32x+y=5a得：x=2a+1y=a-2∵方程组的解满足x>y∴2a+1>a-2，解得a>−3解不等式组2x+1<2a2x−114≥37得：x3,x≤a讨论得到以下结论：①若a=5，则不等式组的解集为33a≤3仍然无解，故a的取值范围为a≤3，故③错误；④要使不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为5≤a<6，则a的值可以为5.3，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查了不等式组的含参问题，解决本题的关键是熟记解不等式组的口诀，注意临界值是否取等．5.（2022春·河北衡水·七年级校考期末）已知题目：解关于x的不等式组5x+2≤3x−55−x<□，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是（    ）A．172 B．152 C．8 D．9【答案】D【分析】设“□”处是a，根据题意可得：5x+2≤3x−5①5−x5−a，∵不等式组无解，∴5−a≥−3.5，∴a≤8.5，∴“□”处不可以是9，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．6.（2021·浙江·九年级自主招生）已知不等式组x>12a−112a−11得：x>1或x<−1 解2a−11解得a<0a>0即：a≠0故选A【点睛】本题考查了不等式组的解法与解集的确定，熟练确定不等式的解集是解题关键．7．（2023春·七年级课时练习）关于x的不等式组a−x>32x+8>4a有解且每一个x的值均不在−2≤x≤6的范围中，则a的取值范围是（    ）A．a<1 B．a≤1 C．132x+8>4a的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：由a−x>32x+8>4a，解得：2a−432x+8>4a的解集中每一个值均不在−2≤x≤6的范围中，得：2a−4≥6或a−3≤−2，解得：a≥5或a≤1，∵不等式组a−x>32x+8>4a有解，∴2a−409−c>0，∴21−a，3x−5≥a，且x只能取两个整数，则a的取值范围是_____．【答案】21−a，3x−5≥a，∴3−x>1−a3x−5≥a，故x1x−2<3的解集为21x−2<3的“相依方程”．(1)在方程①6(x+2)−(x+4)=23；②9x−3=0；③2x−3=0中，不等式组{2x−1>x+13(x−2)−x≤4的“相依方程”是________；（填序号）(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−1的“相依方程”，求k的取值范围；(3)若关于x的方程x−3m2=−2是关于x的不等式组{x+1>mx−m≤2m+1的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．【答案】(1)①(2)−932, 从而可得答案．【详解】（1）解：①6(x+2)−(x+4)=23，整理得：5x=15, 解得：x=3, ②9x−3=0，解得：x=13, ③2x−3=0，解得：x=32. {2x−1>x+13(x−2)−x≤4解不等式2x−1>x+1可得：x>2, 解不等式3(x−2)−x≤4可得：x≤5, 所以不等式组的解集为：2x①x−12≥2x+13−1② 由①得：x>−1, 由②得：x≤1, 所以不等式组的解集为：−1m①x−m≤2m+1②由①得：x>m−1, 由②得：x≤3m+1, ∴不等式组的解集为：m−132, 而3m−4≤3m+1恒成立，所以不等式组的解集为：m>32, 综上：32a，得：x＞a，∵关于x的组合5x+15=03x−a2>a是“有缘组合”，∴-3在x＞a范围内，∴a＜-3；（3）解方程5a−x2−3=2x−3a，去分母，得5a-x-5＝4x-5a，移项，合并同类项，得：5x＝11a-5，化系数为1得：x＝11a−65，解不等式x−a2+1≤x+a，去分母，得：x-a+2≤2x+2a，移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，∵关于x的组合5a−x2−3=2x−3ax−a2+1≤x+a是“无缘组合，∴11a−65<-3a+2，解得：a<813．【点睛】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解．4.（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考期中）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即：当为非负整数时，如果n−12≤x=n，则n−12≤x=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<3>=3,<3.5>=<4.12>=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅试解决下列问题：(1)填空：①<π>=_________（π为圆周率）；②如果=3，则实数x的取值范围为_________；(2)若关于的不等式组2x−43≤x−1〈a〉−x>0的整数解恰有3个，求a的取值范围；(3)求满足〈x〉=43x的所有非负实数x的值．【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；(2)1.5≤a＜2.5；(3)0，34，32．【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；（3）利用＜x＞=43x设43x=k，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；故答案为：3，②∵＜x-1＞=3，∴2.5≤x-1＜3.5∴3.5≤x＜4.5；故答案为：3.5≤x＜4.5；（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5；（3）∵x≥0，43x为整数，设43x=k，k为整数，则x=34k，∴＜34k＞=k，∴k-12≤34k＜k+12，k≥0，∴0≤k≤2，∴k=0，1，2，则x=0，34，32．【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．5.（2022春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为M，将不等式（组)的解集记为N，给出定义：若M中的数都在N内，则称M被N包含；若M中至少有一个数不在N内，则称M不能被N包含．如，方程组x=0x+y=2的解为x=0y=2，记A:{0，2}，方程组x=0x+y=4的解为x=0y=4，记B:{0，4}，不等式x−3<0的解集为x<3，记H:x<3．因为0，2都在H内，所以A被H包含；因为4不在H内，所以B不能被H包含．(1)将方程组2x−y=53x+4y=2的解中的所有数的全体记为C，将不等式x+1⩾0的解集记为D，请问C能否被D包含？说明理由；(2)将关于x，y的方程组2x+3y−5a=−1x−2y+a=3的解中的所有数的全体记为E，将不等式组3(x−2)⩾x−42x+13>x−1的解集记为F，若E不能被F包含，求实数a的取值范围．【答案】(1)C能被D包含．理由见解析(2)实数a的取值范围是a<2或a⩾3【分析】（1）解方程组求得方程组的解为x=2y=−1，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣1都在D内，即可证得C能被D包含；（2）解关于x，y的方程组2x+3y−5a=−1x−2y+a=3得到它的解为x=a+1y=a−1，得到E：{a+1，a﹣l}，解不等式组3(x−2)⩾x−42x+13>x−1得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解得a＜2或a≥3．（1）C能被D包含．理由如下：解方程组2x−y=53x+4y=2得到它的解为x=2y=−1，∴C:{2，−1}，∵不等式x+1⩾0的解集为x⩾−1，∴D:x⩾−1，∵2和−1都在D内，∴C能被D包含；（2）解关于x，y的方程组2x+3y−5a=−1x−2y+a=3得到它的解为x=a+1y=a−1，∴E:{a+1，a−l}，解不等式组3(x−2)⩾x−42x+13>x−1得它的解集为1⩽x<4，∴F: 1⩽x<4，∵E不能被F包含，且a−112ax−2+2的解是x<12，则a＝_______．【答案】−5【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据x<12列方程求解即可．【详解】∵12x−2−5−1>12ax−2+2x−2−5−2>ax−2+2x−2−ax−2>2+2+51−ax−2>9∴1−a>0，即a<1，∴x−2>91−a∴x−2<−91−a或x−2>91−a∴x<−91−a+2或x>91−a+2∵不等式的解是x<12，∴x>91−a+2应舍去，∴−91−a+2=12，解得a=−5，经检验，a=−5是方程的解．故答案为：−5．【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解．3.（2021春·浙江·七年级期中）能够使不等式x−x1+x<0成立的x的取值范围_______．【答案】x＜-1【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围．【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0，于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0；当x＜0时，|x|-x=-2x＞0，x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1，所以x的取值范围是x＜-1．故答案为：x＜-1．【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度．4.（2020秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）解不等式：|x|−4+2x+3>8【答案】x＜-5或x＞1【分析】根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并．【详解】解：令|x|−4=0，解得：x=±4，令2x+3=0，解得：x=−32，∴当x＜-4时，−x−4−2x+3>8，解得：x＜-5，∴此时x＜-5；当-4≤x＜−32时，x+4−2x+3>8，解得：x＜-7，∴此时无解；当−32≤x＜0时，x+4+2x+3>8，解得：x＞13，∴此时无解；当0≤x＜4时，−x+4+2x+3>8，解得：x＞1，∴此时1＜x＜4；当x≥4时，x−4+2x+3>8，解得：x＞3，∴此时x≥4；综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集．5.（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式x−2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为x+1=x−−1，所以x+1的几何意义就是数轴上x所对应的点与−1所对应的点之间的距离．  ⑴. 发现问题：代数式x+1+x−2的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是−1,     2,     x ，AB=3．∵x+1+x−2的几何意义是线段PA与PB的长度之和∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PA+PB>3∴x+1+x−2的最小值是3．⑶.解决问题：①.x−4+x+2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：x+3+x−1>4③.当a为何值时，代数式x+a+x−3的最小值是2．【答案】①6；②x<−3或x>1；③a=−1或a=−5【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，∴|x−4|表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，|x+2|=|x−(−2)|表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，∴|x−4|+|x+2|的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，且线段AB的长度为6，∴|x−4|+|x+2|的最小值为6.故答案为：6.②设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则，|x+3|+|x−1|的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为x<−3或x>1．故答案为：x<−3或x>1．③设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB的长度为|−a−3|，|x+a|+|x−3|的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴|−a−3|=2∴a+3=2或a+3=−2，即a=−1或a=−5；故答案为：a=−1或a=−5.【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键．必考点6方程与不等式（组）的实际应用1.（2022秋·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地，他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为___________元．【答案】2980【分析】设小李方案中桃树为x亩，则梨树为36−36×512−x=21−x亩，每亩桃树为a元，每亩梨树为b元，然后根据小李和小张的花费求得a+b=150，再根据桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，求得8≤a−b≤14，则79≤a≤82，再根据每亩桃树的花费为整数，结合小李方案的花费求出a、b的值即可得到答案．【详解】解：设小李方案中桃树为x亩，则梨树为36−36×512−x=21−x亩，每亩桃树为a元，每亩梨树为b元，由题意得：ax+b21−x=1590bx+a21−x=1590−30，∴a+b=150，又∵桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，∴8≤a−b≤14，∴8≤a−150−a≤14，∴158≤2a≤164，∴79≤a≤82，∵每亩桃树的花费为整数，∴当a=79时，b=71，∴79x+7121−x=1590，解得x=998（不是整数，舍去），同理当a=80时，b=70，求得x=12（符合题意）；同理当a=81时，b=69，求得x=474（不是整数，舍去）；同理当a=82时，b=68，求得x=827（不是整数，舍去）；∴只有当a=80，b=70符合题意；∵桃树的价格比梨树的贵，∴要使花费最少，则种植的桃树面积要最少，∵x>021−x>0，∴0b>c，a×2v+b×3v+c×v下坡=2.64S1，消元整理后得到a+b+c=212a+3b+5c=66，解得a=13−2b3c=8−b3，根据a>b>c求出b的整数解即可．【详解】解：设小明上坡滑雪的速度为2v，平地滑雪的速度为3v，下坡滑雪的速度为v下坡，第一次的路程为S1则由题意可得S1=2×2v+2×3v+3×v下坡第二次的训练时间为：上坡滑雪2×1+50％=3分钟，平地滑雪2×(1+50％)=3分钟，下坡滑雪3×(1+20％)=3.6分钟第二次路程为S1×1+32％=1.32S1则由题意可得1.32S1=3×2v+3×3v+3.6×v下坡设第三次训练时间为：上坡滑雪a分钟，平地滑雪b分钟，下坡滑雪c分钟则由题意可得a+b+c=3×2+2+3=21，其中a>b>ca×2v+b×3v+c×v下坡=2.64S1解S1=2×2v+2×3v+3×v下坡得：v下坡=S1−10v3将v下坡=S1−10v3代入1.32S1=3×2v+3×3v+3.6×v下坡得1.32S1=3×2v+3×3v+3.6×S1−10v3解得v=0.04S1将v=0.04S1，v下坡=S1−10v3代入a×2v+b×3v+c×v下坡=2.64S1得a×2×0.04S1+b×3×0.04S1+c×S1−10×0.04S13=2.64S1解得2a+3b+5c=66∴a+b+c=212a+3b+5c=66解得a=13−2b3c=8−b3∴a=13−2b3>b解得b<395，c=8−b36∴6