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苏科版八年级数学上册专题7.2期末押题卷同步特训(学生版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册专题7.2期末押题卷同步特训(学生版+解析)，共40页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期中）两个一次函数y1=mx+n、y2=nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）不等式x−1<5的正整数解的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．（3分）（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
A．115°B．116°C．117°D．118°
4．（3分）（2023下·山东济宁·八年级统考期中）意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A．S2=c2 B．S2=c2+12ab C．S1=a2+b2+ab D．S1=a2+b2+2ab
5．（3分）（2023下·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P是BC边上一点，点P从B点出发沿BC向点C运动，到达C点时停止．若BP=x，图中阴影部分面积为S，则图中可以近似地刻画出S与x之间关系的是（ ）
A. B．
C．D．
6．（3分）（2023上·河南开封·八年级统考期末）若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2=6a+8b+10c−60，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
7．（3分）（2023下·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4,1，A3−3,1，A4−3,0，A5−2,0，A6−2,3，A7−1,3，A8−1,0，A9−1,−3，A100,−3，A110,0，…，按此规律，则点A2023的坐标为( )
A．2023,0B．805,0C．804,1D．805,1
8．（3分）（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2B．4C．4或65D．2或125
9．（3分）（2023上·重庆江北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
A．187B．247C．267D．4
10．（3分）（2023上·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥△PCQ是等边三角形；⑦点C在∠AOE的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级校考期末）已知点P4,2a+10：
（1）若点P在x轴上，则a= ；
（2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ．
12．（3分）（2023下·福建厦门·八年级校考期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚的计算过程是这样的：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定359319是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定359319的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，可以确定359319的十位上的数是3；
由此求得359319=39．
现已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得3103823= ．
13．（3分）（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一束光线从点O射出，照在经过A(−2,0)、B(0,2)的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴反射后的光线恰好通过点A，则光线OD所在直线的函数表达式为 ．
14．（3分）（2023上·重庆巴南·八年级统考期末）如图，点D是△ABC的边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折能与△ECD重合，若AB=4，CD=2，AE=1，则点C到直线AB的距离为 ．
15．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．
16．（3分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A，若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角线与△AOB全等，则OD的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）已知2a+3的平方根是±3，3b−2c的立方根是2，c是6的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求a+6b−c的算术平方根．
18．（6分）（2023下·云南红河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)求△ABC的面积．
19．（8分）（2023下·四川成都·八年级统考期末）已知小明家距学校1200m，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，4min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离y(m)与小明出发的时间x(min)之间的关系如图所示，请解答下列问题：
(1)小明步行的速度是_______m/min，爸爸的速度是 m/min．a的值为 ；
(2)当小明与爸爸相距120m时，求小明出发后的时间．
20．（8分）（2023下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF ∥ AC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H．
(1)试说明BF=CD+DE；
(2)若∠C=45°．试判断BD与BG相等吗？为什么？
21．（8分）（2023上·江苏扬州·八年级校考期末）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B=64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．①求∠C的度数．②若AB=3，AC=5，求BC的长．
22．（8分）（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1,0，B0,2，C−1,−2，直线AB和直线AC的图象相交于点A，连接BC．
(1)求直线AB和直线AC的函数表达式；
(2)请直接写出△ABC的面积为___________，在第一象限，直线AC上找一点D，连接BD，当△ABD的面积等于△ABC的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．
(3)点E是直线AB上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接CE，EF，FC，当△CEF是以CE为底边的等腰直角三角形时，请直接写出△CEF的面积为___________．
23．（8分）（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合
(1)若点E是图①中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
(3)如图③，在图①的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由.
期末押题卷
【苏科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期中）两个一次函数y1=mx+n、y2=nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函数y=kx+bk≠0图象与k，b的关系，逐项判断即可．
【详解】A、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
B、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m<0，故正确；
C、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
D、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n<0，m<0，两结论相矛盾，故错误，
【点睛】此题考查了一次函数的图象性质，灵活运用一次函数图象的性质是解题的关键．
2．（3分）（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）不等式x−1<5的正整数解的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】先解不等式，得x<5+1，再根据2<5<3，得3<5+1<4，从而得出不等式x−1<5的正整数解是3，2，1，即可得出答案．
【详解】解：∵x−1<5，
∴x<5+1，
∵2<5<3，
∴3<5+1<4，
∴不等式x−1<5的正整数解是3，2，1，共3个，
【点睛】本题考查求解不等式和整数解，估算无理数的大小．熟练掌握估算无理数的大小和会解不等式是解题的关键．
3．（3分）（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
A．115°B．116°C．117°D．118°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM=128°，根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA,∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠MPA=12∠BMN,∠CPN=12∠BNM，即可求出答案．
【详解】解：∵∠ABC=52°，
∴∠BMN+∠BNM=128°，
∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠MPA,∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA=12∠BMN,∠CPN=12∠BNM，
∴∠MPA+∠CPN=12(∠BMN+∠BNM)=64°，
∴∠APC=116°；
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．
4．（3分）（2023下·山东济宁·八年级统考期中）意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A．S2=c2 B．S2=c2+12ab C．S1=a2+b2+ab D．S1=a2+b2+2ab
【答案】D
【分析】根据题意和图形可知S2=S1，S2=c2+12ab×2=c2+ab=a2+b2+ab，然后即可判断哪个选项符合题意；
【详解】由图可得：S2=S1，S2=c2+12ab×2=c2+ab=a2+b2+ab
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）（2023下·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P是BC边上一点，点P从B点出发沿BC向点C运动，到达C点时停止．若BP=x，图中阴影部分面积为S，则图中可以近似地刻画出S与x之间关系的是（ ）
A. B．
C．D．
【答案】D
【分析】如图:作△ABC的高AD，则AD为定值．根据三角形的面积公式得出S=12PB⋅AD=12x⋅AD=12AD⋅x;可判断得到S是x的正比例函数，最后根据正比例函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：如图，作△ABC的高AD，则AD为定值．
△PAB(图中阴影部分)的面积S=12PB⋅AD=12x⋅AD=12AD⋅x，即S=12AD⋅x，
∵AD为定值，
∴12AD为定值，
∴S是x的正比例函数．
故答案是C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像、三角形的面积、正比例函数的定义等知识点，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
6．（3分）（2023上·河南开封·八年级统考期末）若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2=6a+8b+10c−60，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】解：a2+b2+c2=6a+8b+10c−60，
移项得，a2+b2+c2−6a−8b−10c+60=0，
a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0，
(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，
a−3=0,b−4=0,c−5=0，
a=3,b=4,c=5，
a2=9,b2=16,c2=25，
a2+b2=c2，
△ABC是直角三角形，
【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
7．（3分）（2023下·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4,1，A3−3,1，A4−3,0，A5−2,0，A6−2,3，A7−1,3，A8−1,0，A9−1,−3，A100,−3，A110,0，…，按此规律，则点A2023的坐标为( )
A．2023,0B．805,0C．804,1D．805,1
【答案】A
【分析】由图可知，10个坐标的纵坐标为一循环，因此判断A2023对应的坐标是A3−3,1，那么纵坐标为1，横坐标每多一个循环则大4，可算出横坐标为805，然后直接求解即可．
【详解】解：观察图形可知，n为正整数时，An的纵坐标为0，1，3，−3，
纵坐标为0的点：A1,A4,A5,A8,A11,A14⋯⋯
纵坐标为1的点：A2,A3,A12,A13,A22,A23⋯⋯
纵坐标为3的点：A6,A7,A16,A17,A26,A27⋯⋯
纵坐标为−3的点：A9,A10,A19,A20,A29,A30⋯⋯
可以看出纵坐标为1，3，−3时，n取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2023÷10=202……3，纵坐标为1的规律A3−3,1
∴A2023的纵坐标为1，A2023正好是A3往右循环202次，
又∵每个循环横坐标加4，
∴A2023横坐标为−3+202×4=805
∴A2023805,1
故选：D
【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解．
8．（3分）（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2B．4C．4或65D．2或125
【答案】A
【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≌△BQP ②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB，AP=BQ时，
△APE≌△BQP，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≌△BQP，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=125cm/s．
故v的值为2或125．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识点，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9．（3分）（2023上·重庆江北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
A．187B．247C．267D．4
【答案】A
【分析】证明△BOE≌△BOH得出∠EOH=∠BOH=60°，证明△COD≌△COH得出CD=CH，进而即可求解．
【详解】解：如图，在BC上截取BH=BE，连接OH
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CDB,∠ACE=∠BCE，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠DBC+∠BCE=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
在△BOE和△BOH中，
BE=BH∠ABD=∠CBDBO=BO，
∴△BOE≌△BOH(SAS)，
∴∠EOB=∠BOH=60°，
∴∠COH=∠BOC−∠BOH=60°，
∴ ∠COD=∠COH=60°，
在△COD和△COH中，
∠ACE=∠BCEOC=OC∠COD=∠COH，
∴△COD≌△COH(ASA)，
∴CD=CH，
∴BE+CD=BH+CH=BC=7，
∵ △ABC周长为20，
∴AB+AC+BC=20，
∴AE+AD=6，
∵AE:AD=4:3，
∴AE=67×4=247．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
10．（3分）（2023上·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥△PCQ是等边三角形；⑦点C在∠AOE的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD=∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；由△ACD≌△BCE， 可得∠CAP=∠CBQ，可得∠AOB=∠ACB=60°, 故⑤正确，角边角证明△ACP≌△BCQ得AP=BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ=∠ACB=60°判定两线PQ∥AE，结论②正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确．
【详解】解：如图1所示：
∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE， 故结论①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
∵∠BPO=∠APC，
∴∠AOB=∠ACB=60°，故⑤正确，
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=60°，
在△ACP和△BCQ中，∠CAP=∠CBQAC=BC∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQASA，
∴AP=BQ，PC=QC， 故③正确，
∴△PCQ是等边三角形，故⑥正确
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∴PQ∥AE， 故②正确；
若DE=DP，
∵DC=DE，
∴DP=DC，
∴∠PCD=∠DPC，
又∵∠PCD=60°，
∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点， 如图2所示：
∵CM⊥AD，CN⊥BE，△ACD≌△BCE，
∴CM=CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，故结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级校考期末）已知点P4,2a+10：
（1）若点P在x轴上，则a= ；
（2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ．
【答案】 −5 −3或−7/−7或−3
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值；
（2）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数，进而得出a的值．
【详解】解：（1）∵点P4,2a+10在x轴上，
∴2a+10=0，
解得：a=−5；
故答案为：−5；
（2）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴2a+10=4或2a+10=−4，
解得：a=−3或a=−7，
故答案为：−3或−7．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质．
12．（3分）（2023下·福建厦门·八年级校考期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚的计算过程是这样的：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定359319是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定359319的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，可以确定359319的十位上的数是3；
由此求得359319=39．
现已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得3103823= ．
【答案】47
【分析】根据华罗庚的计算过程，按照过程，求解3103823即可．
【详解】解：∵1000<103823<1000000
∴3103823是个两位数，
∵13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729
∴3103823的个位数字是7，
如果划去103823后面的三位823得到数103
而43<103<53
∴3103823的十位数字是4
∴3103823=47
故答案为：47
【点睛】此题考查了立方根的概念，解题的关键是理解求解步骤，按照求解步骤进行求解．
13．（3分）（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一束光线从点O射出，照在经过A(−2,0)、B(0,2)的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴反射后的光线恰好通过点A，则光线OD所在直线的函数表达式为 ．
【答案】y=−2x
【分析】先作出点O关于AB的对称点及点A关于y轴的对称点，求得过两个对称点的直线与直线AB的交点D，进而即可求解．
【详解】解：如图，分别作出点O关于AB的对称点及点A关于y轴的对称点，
由题意可知点O关于AB的对称点是C−2,2，点A关于y轴的对称点是F2,0，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(−2,0),B(0,2)在直线AB上，
∴−2k+b=0b=2，
解得k=1,b=2，
∴直线AB的解析式是y=x+2，
同理可得CF的解析式是y=−x2+1，
两式联立，得y=x+2y=−x2+1，
解得x=−23,y=43．则D−23,43
设直线OD的解析式为y=k1x
D−23,43代入y=k1x，并解得：k1=−2
∴直线OD的解析式为y=−2x
故答案为：y=−2x．
【点睛】本题考查了轴对称的知识，以及一次函数的应用，求出两个对称点的解析式是解决本题的关键．
14．（3分）（2023上·重庆巴南·八年级统考期末）如图，点D是△ABC的边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折能与△ECD重合，若AB=4，CD=2，AE=1，则点C到直线AB的距离为 ．
【答案】152/1215
【分析】连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得△AEB为直角三角形，且G为BE中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可得BE的长，再根据S△ABC=2S△BDC，即12AB⋅CH=2×12CD⋅BG，从而可求得CH的长．
【详解】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，
由折叠的性质可得：BD=ED，CB=CE，
∴CG为BE的中垂线，
∴BG=12BE，
∵点D是AB的中点，AB=4，CD=2，AE=1，
∴BD=AD=12AB=2，S△CBD=S△CAD，AD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，∠DEA=∠DAE，
∵∠EDA+∠DEA+∠DAE=180°，
即2∠DEB+2∠DEA=180°，
∴∠DEB+∠DEA=90°，
即∠BEA=90°，
∴BE=AB2−AE2=42−12=15，
∴BG=12BE=152，
∵S△ABC=2S△BDC，
∴12AB⋅CH=2×12CD⋅BG，
∴4CH=2×2×152，
∴CH=152，
∴点C到直线AB的距离为152．
故答案为：152．
【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG为BE的中垂线，S△ABC=2S△BDC．
15．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．
【答案】252
【分析】如图，将AD逆时针旋转90°到AE，连接DE、CE，则AE=AD=5，∠EAD=∠ADC，CD∥AE，证明△ABD≌△ACESAS，根据S△ABD=S△ACE=12AE×AD，计算求解即可．
【详解】解：如图，将AD逆时针旋转90°到AE，连接DE、CE，
∴AE=AD=5，∠EAD=∠ADC，
∴CD∥AE，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠EAD，即∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴S△ABD=S△ACE=12AE×AD=12×5×5=252，
故答案为：252．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，平行线间距离相等，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于正确的添加辅助线构造全等三角形．
16．（3分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A，若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角线与△AOB全等，则OD的长为 ．
【答案】3或5+1
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD=∠OBA，分别从∠ACD=90°或∠ADC=90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD=AB，或△ACD≌△BAO时，AD=OB，分别求得AD的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y=0时，即0=−2x+2，
解得：x=1．
当x=0时，y=2，
∴A(1，0)，B(0，2)．
∴OA=1，OB=2．
∴AB=OA2+OB2=5．
∵AP⊥AB，点C在射线AP上，
∴∠BAC=90°，即∠OAB+∠CAD=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA．
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD=90°或∠ADC=90°，即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD=∠AOB=90°，AD=AB，
∴OD=AD+OA=5+1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC=∠AOB=90°，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3．
综上所述，OD的长为3或5+1．
故答案为：3或5+1．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）已知2a+3的平方根是±3，3b−2c的立方根是2，c是6的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求a+6b−c的算术平方根．
【答案】(1)a=3，b=4，c=2
(2)a+6b−c的算术平方根是5
【分析】（1）根据平方根、无理数的估算、立方根分别求出a、b、c的值即可；
（2）先求出a+6b−c的值，求出平方根即可．
【详解】（1）解：∵2a+3的平方根是±3，
∴2a+3=32．
∴a=3．
∴c是6的整数部分，
∴c=2．
∵3b−2c的立方根是2，，
∴3b−2c=3b−4=23．
∴b=4．
∴a=3，b=4，c=2；
（2）∵a=3，b=4，c=2，
∴a+6b−c=3+6×4−2=25．
∴a+6b−c的算术平方根是5．
【点睛】此题考查了平方根、立方根、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．（6分）（2023下·云南红河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)图见解析，点A1的坐标为(4,5)
(2)图见解析，点A2的坐标为(−4,−1)
(3)S△ABC=4
【分析】（1）根据轴对称图形的作法作出图形，即可得出点的坐标；
（2）利用平移作出相应图形，依据坐标轴即可确定点的坐标；
（3）利用网格中长方形的面积减去周边三角形的面积即可
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(4,5)．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(−4,−1)．
（3）由图可知S△ABC=4×3−3×2×12−1×2×12−2×4×12=4．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图、轴对称作图及网格求三角形面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．（8分）（2023下·四川成都·八年级统考期末）已知小明家距学校1200m，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，4min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离y(m)与小明出发的时间x(min)之间的关系如图所示，请解答下列问题：
(1)小明步行的速度是_______m/min，爸爸的速度是 m/min．a的值为 ；
(2)当小明与爸爸相距120m时，求小明出发后的时间．
【答案】(1)90，180，12；
(2)43min或203min或769min
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值；
（2）根据题意可知：分三种情况，然后分别计算出相应的时间即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
小明的速度为：360÷4=90(m/min)，
爸爸的速度为：90×8÷(8−4)=180(m/min)，
a=8+4=12，
故答案为：90，180，12；
（2）解：当小明与爸爸相距120m时，设小明出发后的时间为mmin，
爸爸出发前：90m=120，
解得m=43；
爸爸出发后与小明相遇之前：90m−180(m−4)=120，
解得m=203；
小明与爸爸相遇之后：(90+180)(m−8)=120，
解得m=769；
答：当小明与爸爸相距120m时，小明出发后的时间是43min或203min或769min．
【点睛】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键．
20．（8分）（2023下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF ∥ AC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H．
(1)试说明BF=CD+DE；
(2)若∠C=45°．试判断BD与BG相等吗？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)BG=BD；理由见解析
【分析】（1）先根据“AAS”证明△BOF≌△COA，得出BF=CA=CD+AD，最后根据AD=DE，得出BF=CD+DE；
（2）先根据“SAS”证明△BAC≌△EBF，得出∠BFE=∠C=45°，根据BF∥AC，得出∠CEG=∠BFE=45°，即可得出∠CGE=180°−∠C+∠CEC=90°，从而得出∠BGE=∠BDE，根据“AAS”证明△BEG≌△BED，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BF∥AC，
∴∠BFO=∠CAO，∠FBO=∠ACO，
又∵AO为△ABC的中线，
∴BO=CO，
∵在△BOF与△COA中，∠BFO=∠CAO∠FBO=∠ACOBO=CO，
∴△BOF≌△COA AAS，
∴BF=CA=CD+AD，
∵AD=DE，
∴BF=CD+DE．
（2）解：BG=BD，理由如下：
∵BD垂直平分AE，
∴BA=BE，∠BAC=∠BEA，
又∵BF∥AC，
∴∠BEA=∠EBF=∠BAC，
∵在△BAC与△EBF中AC=BF∠BAC=∠EBFBA=EB，
∴△BAC≌△EBF SAS，
∴∠BFE=∠C=45°，
∵BF∥AC，
∴∠CEG=∠BFE=45°，
∴∠CGE=180°−∠C+∠CEC=90°，
∴∠BGE=180°−∠CGE=90°=∠BDE，
∵在△BEG与△BED中∠BGE=∠BDE∠EBG=∠EBDBE=BE，
∴△BEG≌△BED AAS，
∴BG=BD．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，证明△BOF≌△COA是解答（1）的关键，证明△BAC≌△EBF和△BEG≌△BED是解答（2）的关键．
21．（8分）（2023上·江苏扬州·八年级校考期末）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B=64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．①求∠C的度数．②若AB=3，AC=5，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①32°；②163
【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD=12∠ADB=32°；②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，得32−x2=52−(3+x)2，解方程即可．
【详解】（1）解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图：
（2）证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
（3）①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=12∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，
Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，
∴32−x2=52−(3+x)2，
解得，x=76，
∴BC=76×2+3=163．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
22．（8分）（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1,0，B0,2，C−1,−2，直线AB和直线AC的图象相交于点A，连接BC．
(1)求直线AB和直线AC的函数表达式；
(2)请直接写出△ABC的面积为___________，在第一象限，直线AC上找一点D，连接BD，当△ABD的面积等于△ABC的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．
(3)点E是直线AB上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接CE，EF，FC，当△CEF是以CE为底边的等腰直角三角形时，请直接写出△CEF的面积为___________．
【答案】(1)直线AB的函数表达式为y1=−2x+2，直线AC的函数表达式为y2=x−1
(2)3，3,2
(3)2或269或179或5
【分析】（1）用待定系数法，即可求解直线AB和直线AC的函数表达式；
（2）先求出直线AC与y轴的交点坐标，再用割补法求△ABC的面积即可；根据△ABD的面积等于△ABC的面积可得AC=AD，过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，通过证明△ACF≌△ADGAAS，即可得出AF=AG=2,CF=DG=2，即可求出点D的面积；
（3）根据题意，进行分类讨论，当点F在x轴上，点F在y轴上，分别过点E和F作坐标轴的垂线，通过证明三角形的全等，得出点E和点F的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：设直线AB的函数表达式为y1=k1x+b1k1≠0，
把A1,0，B0,2代入得：
0=k1+b12=b1，解得： k1=−2b1=2，
∴直线AB的函数表达式为y1=−2x+2，
设直线AC的函数表达式为y2=k2x+b2k2≠0，
把A1,0，C−1,−2代入得：
0=k2+b2−2=−k2+b2，解得： k2=1b2=−1，
∴直线AC的函数表达式为y2=x−1；
（2）把x=0代入y2=−x−1得：y2=−1，
∴M0,−1，
∵A1,0，B0,2，C−1,−2，
∴BM=2−−1=3，点A到y轴距离为1个单位长度，点C到y轴距离为1个单位长度，
∴S△ABC=S△ABM+S△BCM=12×3×1+12×3×1=3，
过点C作CN⊥x轴于点N，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵C−1,−2，
∴N−1,0，
∴AN=2,CN=2，
设△ABD在AD边上的高为h，
∵S△ABC=S△ABD，．
∴12AC⋅ℎ=12AD⋅ℎ，
∴AC=AD，
在△ACN和△ADG中，
∠DAG=∠CAN∠DGA=∠CNAAC=AD，
∴△ACN≌△ADGAAS，
∴AN=AG=2,CN=DG=2，
∴D3,2．
故答案为：3，3,2；
（3）①如图：当点F在x轴负半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设Ea,−2a+2,Fb,0，
∵△CEF是以CE为底的等腰直角三角形，
∴EF=CF,∠EFC=90°，
∵∠EFQ+∠CFP=90°，∠EFQ+∠FEQ=90°，
∴∠CFQ=∠FEQ，
在△CFP和△FEQ中，
∠CFQ=∠FEQ∠EQF=∠FPCEF=CF，
∴△CFP≌△FEQAAS，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P−1,0,Qa,0，
∴a−b=2−1−b=−2a+2，
解得：a=1b=−1，
∴E1,0,F−1,0，
∴EF=2,CF=2,
∴S△CEF=12×2×2=2；
②如图：当点F在x轴正半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
同理可得：∴△CFP≌△FEQAAS，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P−1,0,Qa,0，
∴b−a=2b−−1=−2a+2，
解得：a=−13b=53，
∴E−13,43,F53,0，
∴EF=CF=53+132+432=2133，
∴S△CEF=12×2133×2133=269；
③如图：当点F在y轴上时，过点C作CH⊥y轴于点H，过点E作EI⊥y轴于点I，
∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设Ea,−2a+2,F0,b，
同理可得：∴△CFH≌△FEIAAS，
∴CH=FI=1,FH=EI，
∵H0,−2,I0,−2a+2，
∴b−−2a+2=1b−−2=a，
解得：a=53b=−13，
∴E53,−43,F0,−13，
∴EF=CF=532+−43+132=343，
∴S△CEF=12×343×343=179；
或∴−2a+2−b=1−2−b=a，
解得：a=3b=−5，
∴E3,−4,F0,5，
∴EF=CF=32+1=10，
∴S△CEF=12×10×10=5；
综上：△CEF的面积为2或269或179或5．
故答案为：2或269或179或5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，具有分裂讨论的思想．
23．（8分）（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合
(1)若点E是图①中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
(3)如图③，在图①的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由
【答案】(1)DE与DA垂直，证明过程见解析；
(2)证明过程见解析；
(3)DB与DP相等，证明过程见解析．
【分析】（1）先求出∠ABC=45°，进而求出∠BAM=45°，从而判断出∠ADE=90°，即可得结论；
（2）先判断出∠ADP=∠BDE，再判断出∠BED=∠PAD，根据ASA判断两个三角形全等；
（3）过点D作DF⊥DA交线段AB的延长线于点F，判断出∠PAD=∠F，再判断出∠ADP=∠BDF，根据ASA判断两个三角形全等，然后由全等的性质即可得．
【详解】（1）解：DE⊥AD．
证明：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=45°，
∵ MN∥BC，
∴ ∠MAB=∠ABC=45°，
∵ DE=DA，
∴ ∠MAB=∠DEA=45°，
∴ ∠ADE=90°，
∴ DE⊥AD；
（2）∵ DP⊥DB，
∴ ∠BDE+∠EDP=90°，
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADE=90°，∠ADP+∠EDP=90°，
∴ ∠ADP=∠BDE，
∵ ∠BED是△ADE的外角，
∴ ∠BED=∠EDA+∠DAE=90°+45°=135°，
∵ ∠PAD=∠PAE+∠DAE=90°+45°=135°，
∴ ∠BED=∠PAD，
在△EDB和△ADP中，
∵ ∠BDE=∠ADPDE=DA∠BED=∠PAD
∴ △EDB≌△ADP (ASA)；
（3）如图：过点D作DF⊥DA交线段AB的延长线于点F，
∴ ∠ADF=90°，
∵ ∠DAB=45°，
∴ ∠F=45°，DF=DA，
∵ ∠CAB=90°，
∴ ∠PAD=45°，
∴ ∠PAD=∠F，
∵ DP⊥DB，
∴ ∠BDA+∠ADP=90°
∵ DF⊥AD，
∴ ∠BDA+∠BDF=90°，
∴ ∠ADP=∠BDF，
在△FDB和△ADP中，
∵ ∠BDF=∠ADPDF=DA∠F=∠PAD
∴ △EDB≌△ADP (ASA)，
∴ DB=DP．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考差了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．能够准确作出辅助线并构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期中）两个一次函数y1=mx+n、y2=nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）不等式x−1<5的正整数解的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．（3分）（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
A．115°B．116°C．117°D．118°
4．（3分）（2023下·山东济宁·八年级统考期中）意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A．S2=c2 B．S2=c2+12ab C．S1=a2+b2+ab D．S1=a2+b2+2ab
5．（3分）（2023下·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P是BC边上一点，点P从B点出发沿BC向点C运动，到达C点时停止．若BP=x，图中阴影部分面积为S，则图中可以近似地刻画出S与x之间关系的是（ ）
A. B．
C．D．
6．（3分）（2023上·河南开封·八年级统考期末）若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2=6a+8b+10c−60，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
7．（3分）（2023下·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4,1，A3−3,1，A4−3,0，A5−2,0，A6−2,3，A7−1,3，A8−1,0，A9−1,−3，A100,−3，A110,0，…，按此规律，则点A2023的坐标为( )
A．2023,0B．805,0C．804,1D．805,1
8．（3分）（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2B．4C．4或65D．2或125
9．（3分）（2023上·重庆江北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
A．187B．247C．267D．4
10．（3分）（2023上·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥△PCQ是等边三角形；⑦点C在∠AOE的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级校考期末）已知点P4,2a+10：
（1）若点P在x轴上，则a= ；
（2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ．
12．（3分）（2023下·福建厦门·八年级校考期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚的计算过程是这样的：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定359319是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定359319的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，可以确定359319的十位上的数是3；
由此求得359319=39．
现已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得3103823= ．
13．（3分）（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一束光线从点O射出，照在经过A(−2,0)、B(0,2)的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴反射后的光线恰好通过点A，则光线OD所在直线的函数表达式为 ．
14．（3分）（2023上·重庆巴南·八年级统考期末）如图，点D是△ABC的边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折能与△ECD重合，若AB=4，CD=2，AE=1，则点C到直线AB的距离为 ．
15．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．
16．（3分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A，若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角线与△AOB全等，则OD的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）已知2a+3的平方根是±3，3b−2c的立方根是2，c是6的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求a+6b−c的算术平方根．
18．（6分）（2023下·云南红河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)求△ABC的面积．
19．（8分）（2023下·四川成都·八年级统考期末）已知小明家距学校1200m，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，4min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离y(m)与小明出发的时间x(min)之间的关系如图所示，请解答下列问题：
(1)小明步行的速度是_______m/min，爸爸的速度是 m/min．a的值为 ；
(2)当小明与爸爸相距120m时，求小明出发后的时间．
20．（8分）（2023下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF ∥ AC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H．
(1)试说明BF=CD+DE；
(2)若∠C=45°．试判断BD与BG相等吗？为什么？
21．（8分）（2023上·江苏扬州·八年级校考期末）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B=64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．①求∠C的度数．②若AB=3，AC=5，求BC的长．
22．（8分）（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1,0，B0,2，C−1,−2，直线AB和直线AC的图象相交于点A，连接BC．
(1)求直线AB和直线AC的函数表达式；
(2)请直接写出△ABC的面积为___________，在第一象限，直线AC上找一点D，连接BD，当△ABD的面积等于△ABC的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．
(3)点E是直线AB上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接CE，EF，FC，当△CEF是以CE为底边的等腰直角三角形时，请直接写出△CEF的面积为___________．
23．（8分）（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合
(1)若点E是图①中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
(3)如图③，在图①的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由.
期末押题卷
【苏科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期中）两个一次函数y1=mx+n、y2=nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函数y=kx+bk≠0图象与k，b的关系，逐项判断即可．
【详解】A、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
B、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m<0，故正确；
C、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
D、如果过第一、二、四象限的图象是y1的图象，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n<0，m<0，两结论相矛盾，故错误，
【点睛】此题考查了一次函数的图象性质，灵活运用一次函数图象的性质是解题的关键．
2．（3分）（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）不等式x−1<5的正整数解的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】先解不等式，得x<5+1，再根据2<5<3，得3<5+1<4，从而得出不等式x−1<5的正整数解是3，2，1，即可得出答案．
【详解】解：∵x−1<5，
∴x<5+1，
∵2<5<3，
∴3<5+1<4，
∴不等式x−1<5的正整数解是3，2，1，共3个，
【点睛】本题考查求解不等式和整数解，估算无理数的大小．熟练掌握估算无理数的大小和会解不等式是解题的关键．
3．（3分）（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
A．115°B．116°C．117°D．118°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM=128°，根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA,∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠MPA=12∠BMN,∠CPN=12∠BNM，即可求出答案．
【详解】解：∵∠ABC=52°，
∴∠BMN+∠BNM=128°，
∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠MPA,∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA=12∠BMN,∠CPN=12∠BNM，
∴∠MPA+∠CPN=12(∠BMN+∠BNM)=64°，
∴∠APC=116°；
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．
4．（3分）（2023下·山东济宁·八年级统考期中）意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A．S2=c2 B．S2=c2+12ab C．S1=a2+b2+ab D．S1=a2+b2+2ab
【答案】D
【分析】根据题意和图形可知S2=S1，S2=c2+12ab×2=c2+ab=a2+b2+ab，然后即可判断哪个选项符合题意；
【详解】由图可得：S2=S1，S2=c2+12ab×2=c2+ab=a2+b2+ab
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）（2023下·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P是BC边上一点，点P从B点出发沿BC向点C运动，到达C点时停止．若BP=x，图中阴影部分面积为S，则图中可以近似地刻画出S与x之间关系的是（ ）
A. B．
C．D．
【答案】D
【分析】如图:作△ABC的高AD，则AD为定值．根据三角形的面积公式得出S=12PB⋅AD=12x⋅AD=12AD⋅x;可判断得到S是x的正比例函数，最后根据正比例函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：如图，作△ABC的高AD，则AD为定值．
△PAB(图中阴影部分)的面积S=12PB⋅AD=12x⋅AD=12AD⋅x，即S=12AD⋅x，
∵AD为定值，
∴12AD为定值，
∴S是x的正比例函数．
故答案是C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像、三角形的面积、正比例函数的定义等知识点，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
6．（3分）（2023上·河南开封·八年级统考期末）若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2=6a+8b+10c−60，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】解：a2+b2+c2=6a+8b+10c−60，
移项得，a2+b2+c2−6a−8b−10c+60=0，
a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0，
(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，
a−3=0,b−4=0,c−5=0，
a=3,b=4,c=5，
a2=9,b2=16,c2=25，
a2+b2=c2，
△ABC是直角三角形，
【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
7．（3分）（2023下·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4,1，A3−3,1，A4−3,0，A5−2,0，A6−2,3，A7−1,3，A8−1,0，A9−1,−3，A100,−3，A110,0，…，按此规律，则点A2023的坐标为( )
A．2023,0B．805,0C．804,1D．805,1
【答案】A
【分析】由图可知，10个坐标的纵坐标为一循环，因此判断A2023对应的坐标是A3−3,1，那么纵坐标为1，横坐标每多一个循环则大4，可算出横坐标为805，然后直接求解即可．
【详解】解：观察图形可知，n为正整数时，An的纵坐标为0，1，3，−3，
纵坐标为0的点：A1,A4,A5,A8,A11,A14⋯⋯
纵坐标为1的点：A2,A3,A12,A13,A22,A23⋯⋯
纵坐标为3的点：A6,A7,A16,A17,A26,A27⋯⋯
纵坐标为−3的点：A9,A10,A19,A20,A29,A30⋯⋯
可以看出纵坐标为1，3，−3时，n取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2023÷10=202……3，纵坐标为1的规律A3−3,1
∴A2023的纵坐标为1，A2023正好是A3往右循环202次，
又∵每个循环横坐标加4，
∴A2023横坐标为−3+202×4=805
∴A2023805,1
故选：D
【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解．
8．（3分）（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2B．4C．4或65D．2或125
【答案】A
【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≌△BQP ②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB，AP=BQ时，
△APE≌△BQP，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≌△BQP，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=125cm/s．
故v的值为2或125．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识点，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9．（3分）（2023上·重庆江北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
A．187B．247C．267D．4
【答案】A
【分析】证明△BOE≌△BOH得出∠EOH=∠BOH=60°，证明△COD≌△COH得出CD=CH，进而即可求解．
【详解】解：如图，在BC上截取BH=BE，连接OH
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CDB,∠ACE=∠BCE，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠DBC+∠BCE=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
在△BOE和△BOH中，
BE=BH∠ABD=∠CBDBO=BO，
∴△BOE≌△BOH(SAS)，
∴∠EOB=∠BOH=60°，
∴∠COH=∠BOC−∠BOH=60°，
∴ ∠COD=∠COH=60°，
在△COD和△COH中，
∠ACE=∠BCEOC=OC∠COD=∠COH，
∴△COD≌△COH(ASA)，
∴CD=CH，
∴BE+CD=BH+CH=BC=7，
∵ △ABC周长为20，
∴AB+AC+BC=20，
∴AE+AD=6，
∵AE:AD=4:3，
∴AE=67×4=247．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
10．（3分）（2023上·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥△PCQ是等边三角形；⑦点C在∠AOE的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD=∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；由△ACD≌△BCE， 可得∠CAP=∠CBQ，可得∠AOB=∠ACB=60°, 故⑤正确，角边角证明△ACP≌△BCQ得AP=BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ=∠ACB=60°判定两线PQ∥AE，结论②正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确．
【详解】解：如图1所示：
∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE， 故结论①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
∵∠BPO=∠APC，
∴∠AOB=∠ACB=60°，故⑤正确，
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=60°，
在△ACP和△BCQ中，∠CAP=∠CBQAC=BC∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQASA，
∴AP=BQ，PC=QC， 故③正确，
∴△PCQ是等边三角形，故⑥正确
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∴PQ∥AE， 故②正确；
若DE=DP，
∵DC=DE，
∴DP=DC，
∴∠PCD=∠DPC，
又∵∠PCD=60°，
∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点， 如图2所示：
∵CM⊥AD，CN⊥BE，△ACD≌△BCE，
∴CM=CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，故结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
第II卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·河北邯郸·八年级校考期末）已知点P4,2a+10：
（1）若点P在x轴上，则a= ；
（2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ．
【答案】 −5 −3或−7/−7或−3
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值；
（2）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数，进而得出a的值．
【详解】解：（1）∵点P4,2a+10在x轴上，
∴2a+10=0，
解得：a=−5；
故答案为：−5；
（2）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴2a+10=4或2a+10=−4，
解得：a=−3或a=−7，
故答案为：−3或−7．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质．
12．（3分）（2023下·福建厦门·八年级校考期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚的计算过程是这样的：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定359319是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定359319的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，可以确定359319的十位上的数是3；
由此求得359319=39．
现已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得3103823= ．
【答案】47
【分析】根据华罗庚的计算过程，按照过程，求解3103823即可．
【详解】解：∵1000<103823<1000000
∴3103823是个两位数，
∵13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729
∴3103823的个位数字是7，
如果划去103823后面的三位823得到数103
而43<103<53
∴3103823的十位数字是4
∴3103823=47
故答案为：47
【点睛】此题考查了立方根的概念，解题的关键是理解求解步骤，按照求解步骤进行求解．
13．（3分）（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一束光线从点O射出，照在经过A(−2,0)、B(0,2)的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴反射后的光线恰好通过点A，则光线OD所在直线的函数表达式为 ．
【答案】y=−2x
【分析】先作出点O关于AB的对称点及点A关于y轴的对称点，求得过两个对称点的直线与直线AB的交点D，进而即可求解．
【详解】解：如图，分别作出点O关于AB的对称点及点A关于y轴的对称点，
由题意可知点O关于AB的对称点是C−2,2，点A关于y轴的对称点是F2,0，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(−2,0),B(0,2)在直线AB上，
∴−2k+b=0b=2，
解得k=1,b=2，
∴直线AB的解析式是y=x+2，
同理可得CF的解析式是y=−x2+1，
两式联立，得y=x+2y=−x2+1，
解得x=−23,y=43．则D−23,43
设直线OD的解析式为y=k1x
D−23,43代入y=k1x，并解得：k1=−2
∴直线OD的解析式为y=−2x
故答案为：y=−2x．
【点睛】本题考查了轴对称的知识，以及一次函数的应用，求出两个对称点的解析式是解决本题的关键．
14．（3分）（2023上·重庆巴南·八年级统考期末）如图，点D是△ABC的边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折能与△ECD重合，若AB=4，CD=2，AE=1，则点C到直线AB的距离为 ．
【答案】152/1215
【分析】连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得△AEB为直角三角形，且G为BE中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可得BE的长，再根据S△ABC=2S△BDC，即12AB⋅CH=2×12CD⋅BG，从而可求得CH的长．
【详解】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，
由折叠的性质可得：BD=ED，CB=CE，
∴CG为BE的中垂线，
∴BG=12BE，
∵点D是AB的中点，AB=4，CD=2，AE=1，
∴BD=AD=12AB=2，S△CBD=S△CAD，AD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，∠DEA=∠DAE，
∵∠EDA+∠DEA+∠DAE=180°，
即2∠DEB+2∠DEA=180°，
∴∠DEB+∠DEA=90°，
即∠BEA=90°，
∴BE=AB2−AE2=42−12=15，
∴BG=12BE=152，
∵S△ABC=2S△BDC，
∴12AB⋅CH=2×12CD⋅BG，
∴4CH=2×2×152，
∴CH=152，
∴点C到直线AB的距离为152．
故答案为：152．
【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG为BE的中垂线，S△ABC=2S△BDC．
15．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．
【答案】252
【分析】如图，将AD逆时针旋转90°到AE，连接DE、CE，则AE=AD=5，∠EAD=∠ADC，CD∥AE，证明△ABD≌△ACESAS，根据S△ABD=S△ACE=12AE×AD，计算求解即可．
【详解】解：如图，将AD逆时针旋转90°到AE，连接DE、CE，
∴AE=AD=5，∠EAD=∠ADC，
∴CD∥AE，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠EAD，即∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴S△ABD=S△ACE=12AE×AD=12×5×5=252，
故答案为：252．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，平行线间距离相等，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于正确的添加辅助线构造全等三角形．
16．（3分）（2023上·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A，若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角线与△AOB全等，则OD的长为 ．
【答案】3或5+1
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD=∠OBA，分别从∠ACD=90°或∠ADC=90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD=AB，或△ACD≌△BAO时，AD=OB，分别求得AD的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y=0时，即0=−2x+2，
解得：x=1．
当x=0时，y=2，
∴A(1，0)，B(0，2)．
∴OA=1，OB=2．
∴AB=OA2+OB2=5．
∵AP⊥AB，点C在射线AP上，
∴∠BAC=90°，即∠OAB+∠CAD=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA．
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD=90°或∠ADC=90°，即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD=∠AOB=90°，AD=AB，
∴OD=AD+OA=5+1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC=∠AOB=90°，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3．
综上所述，OD的长为3或5+1．
故答案为：3或5+1．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）已知2a+3的平方根是±3，3b−2c的立方根是2，c是6的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求a+6b−c的算术平方根．
【答案】(1)a=3，b=4，c=2
(2)a+6b−c的算术平方根是5
【分析】（1）根据平方根、无理数的估算、立方根分别求出a、b、c的值即可；
（2）先求出a+6b−c的值，求出平方根即可．
【详解】（1）解：∵2a+3的平方根是±3，
∴2a+3=32．
∴a=3．
∴c是6的整数部分，
∴c=2．
∵3b−2c的立方根是2，，
∴3b−2c=3b−4=23．
∴b=4．
∴a=3，b=4，c=2；
（2）∵a=3，b=4，c=2，
∴a+6b−c=3+6×4−2=25．
∴a+6b−c的算术平方根是5．
【点睛】此题考查了平方根、立方根、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．（6分）（2023下·云南红河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)图见解析，点A1的坐标为(4,5)
(2)图见解析，点A2的坐标为(−4,−1)
(3)S△ABC=4
【分析】（1）根据轴对称图形的作法作出图形，即可得出点的坐标；
（2）利用平移作出相应图形，依据坐标轴即可确定点的坐标；
（3）利用网格中长方形的面积减去周边三角形的面积即可
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(4,5)．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(−4,−1)．
（3）由图可知S△ABC=4×3−3×2×12−1×2×12−2×4×12=4．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图、轴对称作图及网格求三角形面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．（8分）（2023下·四川成都·八年级统考期末）已知小明家距学校1200m，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，4min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离y(m)与小明出发的时间x(min)之间的关系如图所示，请解答下列问题：
(1)小明步行的速度是_______m/min，爸爸的速度是 m/min．a的值为 ；
(2)当小明与爸爸相距120m时，求小明出发后的时间．
【答案】(1)90，180，12；
(2)43min或203min或769min
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值；
（2）根据题意可知：分三种情况，然后分别计算出相应的时间即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
小明的速度为：360÷4=90(m/min)，
爸爸的速度为：90×8÷(8−4)=180(m/min)，
a=8+4=12，
故答案为：90，180，12；
（2）解：当小明与爸爸相距120m时，设小明出发后的时间为mmin，
爸爸出发前：90m=120，
解得m=43；
爸爸出发后与小明相遇之前：90m−180(m−4)=120，
解得m=203；
小明与爸爸相遇之后：(90+180)(m−8)=120，
解得m=769；
答：当小明与爸爸相距120m时，小明出发后的时间是43min或203min或769min．
【点睛】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键．
20．（8分）（2023下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF ∥ AC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H．
(1)试说明BF=CD+DE；
(2)若∠C=45°．试判断BD与BG相等吗？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)BG=BD；理由见解析
【分析】（1）先根据“AAS”证明△BOF≌△COA，得出BF=CA=CD+AD，最后根据AD=DE，得出BF=CD+DE；
（2）先根据“SAS”证明△BAC≌△EBF，得出∠BFE=∠C=45°，根据BF∥AC，得出∠CEG=∠BFE=45°，即可得出∠CGE=180°−∠C+∠CEC=90°，从而得出∠BGE=∠BDE，根据“AAS”证明△BEG≌△BED，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BF∥AC，
∴∠BFO=∠CAO，∠FBO=∠ACO，
又∵AO为△ABC的中线，
∴BO=CO，
∵在△BOF与△COA中，∠BFO=∠CAO∠FBO=∠ACOBO=CO，
∴△BOF≌△COA AAS，
∴BF=CA=CD+AD，
∵AD=DE，
∴BF=CD+DE．
（2）解：BG=BD，理由如下：
∵BD垂直平分AE，
∴BA=BE，∠BAC=∠BEA，
又∵BF∥AC，
∴∠BEA=∠EBF=∠BAC，
∵在△BAC与△EBF中AC=BF∠BAC=∠EBFBA=EB，
∴△BAC≌△EBF SAS，
∴∠BFE=∠C=45°，
∵BF∥AC，
∴∠CEG=∠BFE=45°，
∴∠CGE=180°−∠C+∠CEC=90°，
∴∠BGE=180°−∠CGE=90°=∠BDE，
∵在△BEG与△BED中∠BGE=∠BDE∠EBG=∠EBDBE=BE，
∴△BEG≌△BED AAS，
∴BG=BD．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，证明△BOF≌△COA是解答（1）的关键，证明△BAC≌△EBF和△BEG≌△BED是解答（2）的关键．
21．（8分）（2023上·江苏扬州·八年级校考期末）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B=64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．①求∠C的度数．②若AB=3，AC=5，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①32°；②163
【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD=12∠ADB=32°；②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，得32−x2=52−(3+x)2，解方程即可．
【详解】（1）解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图：
（2）证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
（3）①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=12∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，
Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，
∴32−x2=52−(3+x)2，
解得，x=76，
∴BC=76×2+3=163．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
22．（8分）（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1,0，B0,2，C−1,−2，直线AB和直线AC的图象相交于点A，连接BC．
(1)求直线AB和直线AC的函数表达式；
(2)请直接写出△ABC的面积为___________，在第一象限，直线AC上找一点D，连接BD，当△ABD的面积等于△ABC的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．
(3)点E是直线AB上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接CE，EF，FC，当△CEF是以CE为底边的等腰直角三角形时，请直接写出△CEF的面积为___________．
【答案】(1)直线AB的函数表达式为y1=−2x+2，直线AC的函数表达式为y2=x−1
(2)3，3,2
(3)2或269或179或5
【分析】（1）用待定系数法，即可求解直线AB和直线AC的函数表达式；
（2）先求出直线AC与y轴的交点坐标，再用割补法求△ABC的面积即可；根据△ABD的面积等于△ABC的面积可得AC=AD，过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，通过证明△ACF≌△ADGAAS，即可得出AF=AG=2,CF=DG=2，即可求出点D的面积；
（3）根据题意，进行分类讨论，当点F在x轴上，点F在y轴上，分别过点E和F作坐标轴的垂线，通过证明三角形的全等，得出点E和点F的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：设直线AB的函数表达式为y1=k1x+b1k1≠0，
把A1,0，B0,2代入得：
0=k1+b12=b1，解得： k1=−2b1=2，
∴直线AB的函数表达式为y1=−2x+2，
设直线AC的函数表达式为y2=k2x+b2k2≠0，
把A1,0，C−1,−2代入得：
0=k2+b2−2=−k2+b2，解得： k2=1b2=−1，
∴直线AC的函数表达式为y2=x−1；
（2）把x=0代入y2=−x−1得：y2=−1，
∴M0,−1，
∵A1,0，B0,2，C−1,−2，
∴BM=2−−1=3，点A到y轴距离为1个单位长度，点C到y轴距离为1个单位长度，
∴S△ABC=S△ABM+S△BCM=12×3×1+12×3×1=3，
过点C作CN⊥x轴于点N，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵C−1,−2，
∴N−1,0，
∴AN=2,CN=2，
设△ABD在AD边上的高为h，
∵S△ABC=S△ABD，．
∴12AC⋅ℎ=12AD⋅ℎ，
∴AC=AD，
在△ACN和△ADG中，
∠DAG=∠CAN∠DGA=∠CNAAC=AD，
∴△ACN≌△ADGAAS，
∴AN=AG=2,CN=DG=2，
∴D3,2．
故答案为：3，3,2；
（3）①如图：当点F在x轴负半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设Ea,−2a+2,Fb,0，
∵△CEF是以CE为底的等腰直角三角形，
∴EF=CF,∠EFC=90°，
∵∠EFQ+∠CFP=90°，∠EFQ+∠FEQ=90°，
∴∠CFQ=∠FEQ，
在△CFP和△FEQ中，
∠CFQ=∠FEQ∠EQF=∠FPCEF=CF，
∴△CFP≌△FEQAAS，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P−1,0,Qa,0，
∴a−b=2−1−b=−2a+2，
解得：a=1b=−1，
∴E1,0,F−1,0，
∴EF=2,CF=2,
∴S△CEF=12×2×2=2；
②如图：当点F在x轴正半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
同理可得：∴△CFP≌△FEQAAS，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P−1,0,Qa,0，
∴b−a=2b−−1=−2a+2，
解得：a=−13b=53，
∴E−13,43,F53,0，
∴EF=CF=53+132+432=2133，
∴S△CEF=12×2133×2133=269；
③如图：当点F在y轴上时，过点C作CH⊥y轴于点H，过点E作EI⊥y轴于点I，
∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设Ea,−2a+2,F0,b，
同理可得：∴△CFH≌△FEIAAS，
∴CH=FI=1,FH=EI，
∵H0,−2,I0,−2a+2，
∴b−−2a+2=1b−−2=a，
解得：a=53b=−13，
∴E53,−43,F0,−13，
∴EF=CF=532+−43+132=343，
∴S△CEF=12×343×343=179；
或∴−2a+2−b=1−2−b=a，
解得：a=3b=−5，
∴E3,−4,F0,5，
∴EF=CF=32+1=10，
∴S△CEF=12×10×10=5；
综上：△CEF的面积为2或269或179或5．
故答案为：2或269或179或5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，具有分裂讨论的思想．
23．（8分）（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合
(1)若点E是图①中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
(3)如图③，在图①的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由
【答案】(1)DE与DA垂直，证明过程见解析；
(2)证明过程见解析；
(3)DB与DP相等，证明过程见解析．
【分析】（1）先求出∠ABC=45°，进而求出∠BAM=45°，从而判断出∠ADE=90°，即可得结论；
（2）先判断出∠ADP=∠BDE，再判断出∠BED=∠PAD，根据ASA判断两个三角形全等；
（3）过点D作DF⊥DA交线段AB的延长线于点F，判断出∠PAD=∠F，再判断出∠ADP=∠BDF，根据ASA判断两个三角形全等，然后由全等的性质即可得．
【详解】（1）解：DE⊥AD．
证明：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=45°，
∵ MN∥BC，
∴ ∠MAB=∠ABC=45°，
∵ DE=DA，
∴ ∠MAB=∠DEA=45°，
∴ ∠ADE=90°，
∴ DE⊥AD；
（2）∵ DP⊥DB，
∴ ∠BDE+∠EDP=90°，
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADE=90°，∠ADP+∠EDP=90°，
∴ ∠ADP=∠BDE，
∵ ∠BED是△ADE的外角，
∴ ∠BED=∠EDA+∠DAE=90°+45°=135°，
∵ ∠PAD=∠PAE+∠DAE=90°+45°=135°，
∴ ∠BED=∠PAD，
在△EDB和△ADP中，
∵ ∠BDE=∠ADPDE=DA∠BED=∠PAD
∴ △EDB≌△ADP (ASA)；
（3）如图：过点D作DF⊥DA交线段AB的延长线于点F，
∴ ∠ADF=90°，
∵ ∠DAB=45°，
∴ ∠F=45°，DF=DA，
∵ ∠CAB=90°，
∴ ∠PAD=45°，
∴ ∠PAD=∠F，
∵ DP⊥DB，
∴ ∠BDA+∠ADP=90°
∵ DF⊥AD，
∴ ∠BDA+∠BDF=90°，
∴ ∠ADP=∠BDF，
在△FDB和△ADP中，
∵ ∠BDF=∠ADPDF=DA∠F=∠PAD
∴ △EDB≌△ADP (ASA)，
∴ DB=DP．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考差了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．能够准确作出辅助线并构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
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