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苏科版八年级数学上册专题7.1期中测试卷(拔尖)同步特训(学生版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册专题7.1期中测试卷(拔尖)同步特训(学生版+解析)，共32页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
5．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
6．（3分）（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，则AC的长为（ ）
A．5B．7C．7或5D．7或5
7．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
8．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
9．（3分）（2023秋·山西晋中·八年级校考期中）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AC=2，∠B=40°，E为AC中点，点D在边BC上，连接AD，点F为AD上一动点，连接CF、EF，若∠DAB=25°，则CF+EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．5−1D．5
10．（3分）（2023春·安徽·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
A．75B．32C．53D．145
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
12．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
13．（3分）（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB⊥BC．则四边形ABCD的面积为________．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
15．（3分）（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发，按A→B→C的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
16．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
18．（6分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
20．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
21．（8分）（2023秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠DCB=∠D=90°，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD'E．
(1)当D'点落在AB边上时，∠DAE= °
(2)如图2，当E点与C点重合时，D'C与AB交点F，求AF长．
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
期中测试卷（拔尖）
【苏科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
【答案】A
【分析】依据△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，可得3【详解】解：∵AM是边BC上的中线，
∴BM=CM，
∵△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
∴AB−AC>3
∴3解得3又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
∴AC=24−BC−32=21−BC2为整数，
∴BC边长为奇数，
∴BC=5，7，9，11，
即BC的长可能值有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
【答案】C
【分析】连接DF,EF，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到S△CDF=12S△BFC，S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，进而得到S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，推出DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC，即可得解．
【详解】解：连接DF,EF，
∵D是边BC上的中点，
∴S△CDF=12S△BFC，
∵AF=2FB，
∴S△AFC=2S△CBF，
∵CE=3AE，
∴S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，
∵S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，
∴S△FPD+S△CPDS△FPE+S△CPE=DPPE，
即：DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC=13；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
【答案】A
【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，由此不难证明结论．
【详解】解：如图，
∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【答案】A
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】解：如图，
由图可知：
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS
∴∠1=∠4，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
5．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
【答案】A
【分析】在BC上截取CG=CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得DG=EC，即可求解．
【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵ F是AC的中点，
∴CF=CG=12AB=12BC，
∴△FCG是等边三角形，
∴∠GFC=60°，FG=CF，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD=FE，∠DFE=60°，
∴∠DFG=∠EFC，
在△DFG与△EFC中，
FD=EF∠DFG=∠EFCFG＝CF，
∴△DFG≌△EFCSAS．
∴DG=EC，
∴CF+EC=CD，
∴12BC+EC=CD，
∴12BC+ECCD=1，
∴ k=12，a=1；
故选：A．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．
6．（3分）（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，则AC的长为（ ）
A．5B．7C．7或5D．7或5
【答案】A
【分析】分两种情况：当AB、BC为直角边，AC为斜边时；当BC为斜边，AB、AC为直角边时，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：当AB、BC为直角边，AC为斜边时，则AC=AB2+BC2=32+42=5，
当BC为斜边，AB、AC为直角边时，则AC=BC2−AB2=42−32=7，
∴AC的长为7或5，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，理解题意，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
7．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
【答案】A
【分析】作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
∵点A和点A'关于BC的对称，
∴∠APC=∠A'PC，
∵∠A'PC=∠DPE，
∴∠APC=∠DPE．
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意，确定点P的位置．
8．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
∠BAO＝∠NBE∠AOB＝∠BNEAB＝BE
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
∠FBP＝∠ENP∠FPB＝∠EPNBF＝NE
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP=12BN；而BN=AO，
∴BP=12AO=12×8=4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
9．（3分）（2023秋·山西晋中·八年级校考期中）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AC=2，∠B=40°，E为AC中点，点D在边BC上，连接AD，点F为AD上一动点，连接CF、EF，若∠DAB=25°，则CF+EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．5−1D．5
【答案】A
【分析】如图，作点E关于AD的对称点M，连接AM、CM，CM交AD于F，连接EF，根据等腰三角形的性质可求出∠BAC=70°，进而得出∠DAE=45°，根据轴对称的性质可得EF=FM，AE=AM=1，∠DAE=∠DAM=45°，得出CF+EF的最小值为CM的长，∠EAM=90°，利用勾股定理求出CM的值即可得答案．
【详解】解：如图，作点E关于AD的对称点M，连接AM、CM，CM交AD于F，连接EF，
∵BA=BC，AC=2，∠B=40°，E为AC中点，
∴∠BAC=∠BCA=70°，AE=CE=1，
∵∠DAB=25°，
∴∠DAE=∠BAC−∠DAB=45°，
∵E关于AD的对称点为M，
∴EF=FM，AE=AM=1，∠DAE=∠DAM=45°，
∴CF+EF=CF+MF≥CM，最小值为CM的长，∠EAM=90°，
∴CM=AC2+AM2=5．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线，确定CM为CF+EF的最小值是解题关键．
10．（3分）（2023春·安徽·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
A．75B．32C．53D．145
【答案】A
【分析】延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段AE，△ABE是直角三角形，求出AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．
在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=DC=12AB=5．
∵SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CF，
∴ 12×6×8=12×10×CF，
解得CF=245．
由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，
∴CH⊥AE，
∴AH=HE．
∵DC=AD，S△ADC=12AD⋅CF=12DC⋅AH，
∴HE=CF=245．
∴AE=2HE=485．
根据折叠的性质有：AD=DE，
∴AD=DE=BD，
∴∠DAE=∠DEA，∠DBE=∠DEB，
又∠DAE+∠DBE+∠AEB=180°，∠AEB=∠DEA+∠DEB，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE为直角三角形．
∴BE=AB2−AE2=102−4852=145．
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．
【详解】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7−3即4∵a为整数，
∴a的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件是解题的关键．
12．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
【答案】110或125
【分析】由三角形内角和可得∠ABC=40°，进而可得∠1=20°，∠2+∠3=160°，∠2<∠ADB=95°，再根据定义进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵∠A=65°，∠C=75°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=40°，
又∵BD平分∠ABC交AC于点D．
∴∠1=12∠ABC=20°，则∠ADB=180°−∠1−∠A=95°，
∴∠2<∠ADB=95°，∠2+∠3=160°
①当2∠1+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−2∠1=50°，∠DFB=∠3=160°−∠2=110°；
②当2∠1+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−2∠1=50°，∠2=160°−∠3=110°>95°，不符合题意；
③当2∠2+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−∠12=35°，∠DFB=∠3=160°−∠2=125°；
④当2∠2+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2+∠2+∠3=90°，∠2=−70°，不符合题意；
⑤当2∠3+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−∠12=35°，∠2=160°−∠3=125°>95°，不符合题意；
④当2∠3+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3+∠2+∠3=90°，∠3=−70°，不符合题意；
综上，∠DFB=110°或∠DFB=125°，
故答案为：110或125．
【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，三角形的内角和定理，根据”准直角三角形“的定义去解题是本题的关键．
13．（3分）（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB⊥BC．则四边形ABCD的面积为________．
【答案】94
【分析】连接AC，由已知条件结合勾股定理求得S△ABC、S△ACD的面积，从而求得四边形ABCD的面积．
【详解】解：连接AC，
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2=AB2+BC2=12+342=542，
∴AC=54，
∴S△ABC=12×AB×BC=12×1×34=38，
∵在△ACD中，AC2+AD2=542+32=1342=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD=12×AC×AD=12×54×3=158，
∴四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD=38+158=188=94，
故答案为：94．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2=c2，则三角形ABC是直角三角形，隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
【答案】5
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知.
【详解】解：如图：
与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为ΔABD，ΔBCE，ΔGHF，ΔEMN，ΔAMQ，共有5个.
故答案为：5.
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．（3分）（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发，按A→B→C的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
【答案】52秒或3秒或185秒或6秒
【分析】根据题意分四种情况①PA=PC，②AC=AP，③CA=CP，且点P在AB上，④CA=CP，且点P在CB上，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10．
① 当PA=PC时，△ACP是等腰三角形，如图1所示，
∵ PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA.
∵∠PAC+∠CBA=90°,∠PCA+∠PCB=90°，
∴∠PCB=∠PBC．
∴PC=PB．
∴PA=PB=12AB=5．
∴t=52(秒)；
②当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如图2所示，
则AB=6cm，
∴t=62=3(秒)；
③当CA=CP，且点P在AB上，图3所示，
过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵CA=CP，
∴AP=2AF=2PF．
∵S△ABC=12AB⋅CF=12AC⋅BC
∴CF=AC⋅BCAB=245．
∴AF=AC2−CF2=62−(245)2=185．
∴AP=365．
∴t=185（秒）；
④当CA=CP，且点P在CB上，图4所示
则CP=6cm,
∴AB+BP=10+(8−6)=12(cm)
∴t=122=6(秒)
故答案为：52秒或3秒或185秒或6秒．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理；解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
16．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
【答案】2.5
【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明△ABH≌△EAF，Rt△ACH≌Rt△EDF，由此可得S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，再结合S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE可得S△ACHS△ABH=32，由此可得CHBH=32，进而即可求得答案．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE//BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABH与△EAF中，
∠AHB=∠EFA∠B=∠EAFAB=EA
∴△ABH≌△EAF(AAS)，
∴AH=EF，S△ABH=S△EAF，
在Rt△ACH与Rt△EDF中，
AH=EFAC=DE
∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，
∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，
∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，
∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，
∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
解得：S△ABH=2S△ADE，
∴S△ACH=5S△ADE−S△ABH=3S△ADE，
∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，
∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，
即CHBH=32，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
【答案】(1)4或6
(2)2a+2b−2c
【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的长；
（2）根据三角形三边关系确定a+b>c，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可．
【详解】（1）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，a=4，b=6，
∴6−4即2∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴c=4或c=6；
（2）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴a+b>c，
∴a+b−c>0，c−a−b<0，
∴a+b−c+c−a−b
=a+b−c+−c−a−b
=a+b−c−c−a−b
=a+b−c−c+a+b
=2a+2b−2c．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．（6分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可．
【详解】解：如下图所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
【答案】(1)∠EDC=50°
(2)①见解析；②40°或15°
【分析】（1）证出AB∥DE，由平行线的性质可得出∠EDC=∠B，则可得出答案；
（2）①由三角形外角的性质可得出结论；
②分两种情况：若∠AED=90°或∠DAE=90°，由直角三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠BAC+∠AED=180°，
∴AB∥DE，
∴∠EDC=∠B，
∵∠B=50°，
∴∠EDC=50°；
（2）①证明：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD；
②解：若∠AED=90°，
∵∠ADE=∠B=50°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=40°，
设∠BAD=∠EDC=x，
∵∠C−∠BAD=10°，
∴∠C=x+10°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴50°+x+10°+x+40°=180°，
解得x=40°，
∴∠EDC=40°；
若∠DAE=90°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴50°+x+90°+x+10°=180°，
∴x=15°，
∴∠EDC=15°；
综上所述，∠EDC的度数为40°或15°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
20．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】(1)6−2t
(2)是，理由见解析
(3)当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等
【分析】（1）直接根据时间和速度表示PC的长；
（2）根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
（3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．
【详解】（1）解：由题意得：PB=2t，
则PC=6−2t；
故答案为：6−2t；
（2）解：△CQP≌△BPD，理由如下：
当t=1时，由题意得：a=2，PB=CQ=2，
∴PC=6−2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中点，
∴BD=12AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵PC=BD∠C=∠BCQ=PB，
∴△CQP≌△BPD(SAS)；
（3）解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t= 32，
∴32 a=4，a= 83，
∴当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
21．（8分）（2023秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠DCB=∠D=90°，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD'E．
(1)当D'点落在AB边上时，∠DAE= °
(2)如图2，当E点与C点重合时，D'C与AB交点F，求AF长．
【答案】(1)45
(2)345
【分析】（1）由△ADE≌△AD'E知∠DAE=∠D'AE，结合D'点落在AB边上知∠DAE+∠D'AE=90°，从而得出答案；
（2）由折叠得出∠ACD=∠ACD'，再由AB∥CD得出∠ACD=∠BAC，从而得知∠ACD'=∠BAC，可得AF=FC，设AF=FC=x，则BF=10−x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2得到关于x的方程，解之可得．
【详解】（1）解：由题意知△ADE≌△AD'E，
∴∠DAE=∠D'AE，
∵D'点落在AB边上时，∠DAE+∠D'AE=90°，
∴∠DAE=∠D'AE=45°，
故答案为：45；
（2）如图2，由题意知∠ACD=∠ACD'，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴∠ACD'=∠BAC，
∴AF=FC，
设AF=FC=x，则BF=10−x，
在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2得：
(10−x)2+62=x2，
解得x=345，即AF=345．
【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键．
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
【答案】(1)90
(2)①α+β=180°；②α=β
【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°−α即可解题；
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠AEC=∠ADB，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
【详解】（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为：90．
（2）解：①∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°−α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△BAD≌△CAESAS是解题的关键．
23．（8分）（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ ，
S△EBC＝ ，
S四边形AECD＝ ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式x2+9+(15−x)2+25的最小值＝ ．
【答案】（小试牛刀）12a2+12ab，12ab−12b2，12c2，S梯形ABCD=S△BCE+S四边形AECD；（知识运用）250米；（知识迁移）17
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形AECD面积为△ADE和△CDE的面积和，求解即可；
（知识运用）作点C关于AB的对称点E，连接PC、PE，则PC=PE，由三角形三边关系可得当D、P、E三点共线时，PC+PD距离最小；
（知识迁移）如下图，AB⊥AD、BC⊥AB，AB=15，AD=3、BC=5，点P为线段AB上一点，则PD+PC=x2+9+(15−x)2+25，由上可得当D、P、C三点共线时，PC+PD距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）S梯形ABCD=12(BC+AD)×AB=12(a+b)×a=12a2+12ab
S△BCE=12BC×BE=12b×(a−b)=12ab−12b2
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
5．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
6．（3分）（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，则AC的长为（ ）
A．5B．7C．7或5D．7或5
7．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
8．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
9．（3分）（2023秋·山西晋中·八年级校考期中）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AC=2，∠B=40°，E为AC中点，点D在边BC上，连接AD，点F为AD上一动点，连接CF、EF，若∠DAB=25°，则CF+EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．5−1D．5
10．（3分）（2023春·安徽·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
A．75B．32C．53D．145
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
12．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
13．（3分）（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB⊥BC．则四边形ABCD的面积为________．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
15．（3分）（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发，按A→B→C的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
16．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
18．（6分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
20．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
21．（8分）（2023秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠DCB=∠D=90°，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD'E．
(1)当D'点落在AB边上时，∠DAE= °
(2)如图2，当E点与C点重合时，D'C与AB交点F，求AF长．
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
期中测试卷（拔尖）
【苏科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
【答案】A
【分析】依据△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，可得3
∴BM=CM，
∵△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
∴AB−AC>3
∴3
∴AC=24−BC−32=21−BC2为整数，
∴BC边长为奇数，
∴BC=5，7，9，11，
即BC的长可能值有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
【答案】C
【分析】连接DF,EF，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到S△CDF=12S△BFC，S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，进而得到S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，推出DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC，即可得解．
【详解】解：连接DF,EF，
∵D是边BC上的中点，
∴S△CDF=12S△BFC，
∵AF=2FB，
∴S△AFC=2S△CBF，
∵CE=3AE，
∴S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，
∵S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，
∴S△FPD+S△CPDS△FPE+S△CPE=DPPE，
即：DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC=13；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
【答案】A
【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，由此不难证明结论．
【详解】解：如图，
∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【答案】A
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】解：如图，
由图可知：
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS
∴∠1=∠4，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
5．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
【答案】A
【分析】在BC上截取CG=CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得DG=EC，即可求解．
【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵ F是AC的中点，
∴CF=CG=12AB=12BC，
∴△FCG是等边三角形，
∴∠GFC=60°，FG=CF，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD=FE，∠DFE=60°，
∴∠DFG=∠EFC，
在△DFG与△EFC中，
FD=EF∠DFG=∠EFCFG＝CF，
∴△DFG≌△EFCSAS．
∴DG=EC，
∴CF+EC=CD，
∴12BC+EC=CD，
∴12BC+ECCD=1，
∴ k=12，a=1；
故选：A．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．
6．（3分）（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，则AC的长为（ ）
A．5B．7C．7或5D．7或5
【答案】A
【分析】分两种情况：当AB、BC为直角边，AC为斜边时；当BC为斜边，AB、AC为直角边时，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：当AB、BC为直角边，AC为斜边时，则AC=AB2+BC2=32+42=5，
当BC为斜边，AB、AC为直角边时，则AC=BC2−AB2=42−32=7，
∴AC的长为7或5，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，理解题意，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
7．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
【答案】A
【分析】作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
∵点A和点A'关于BC的对称，
∴∠APC=∠A'PC，
∵∠A'PC=∠DPE，
∴∠APC=∠DPE．
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意，确定点P的位置．
8．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
∠BAO＝∠NBE∠AOB＝∠BNEAB＝BE
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
∠FBP＝∠ENP∠FPB＝∠EPNBF＝NE
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP=12BN；而BN=AO，
∴BP=12AO=12×8=4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
9．（3分）（2023秋·山西晋中·八年级校考期中）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AC=2，∠B=40°，E为AC中点，点D在边BC上，连接AD，点F为AD上一动点，连接CF、EF，若∠DAB=25°，则CF+EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．5−1D．5
【答案】A
【分析】如图，作点E关于AD的对称点M，连接AM、CM，CM交AD于F，连接EF，根据等腰三角形的性质可求出∠BAC=70°，进而得出∠DAE=45°，根据轴对称的性质可得EF=FM，AE=AM=1，∠DAE=∠DAM=45°，得出CF+EF的最小值为CM的长，∠EAM=90°，利用勾股定理求出CM的值即可得答案．
【详解】解：如图，作点E关于AD的对称点M，连接AM、CM，CM交AD于F，连接EF，
∵BA=BC，AC=2，∠B=40°，E为AC中点，
∴∠BAC=∠BCA=70°，AE=CE=1，
∵∠DAB=25°，
∴∠DAE=∠BAC−∠DAB=45°，
∵E关于AD的对称点为M，
∴EF=FM，AE=AM=1，∠DAE=∠DAM=45°，
∴CF+EF=CF+MF≥CM，最小值为CM的长，∠EAM=90°，
∴CM=AC2+AM2=5．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线，确定CM为CF+EF的最小值是解题关键．
10．（3分）（2023春·安徽·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
A．75B．32C．53D．145
【答案】A
【分析】延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段AE，△ABE是直角三角形，求出AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．
在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=DC=12AB=5．
∵SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CF，
∴ 12×6×8=12×10×CF，
解得CF=245．
由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，
∴CH⊥AE，
∴AH=HE．
∵DC=AD，S△ADC=12AD⋅CF=12DC⋅AH，
∴HE=CF=245．
∴AE=2HE=485．
根据折叠的性质有：AD=DE，
∴AD=DE=BD，
∴∠DAE=∠DEA，∠DBE=∠DEB，
又∠DAE+∠DBE+∠AEB=180°，∠AEB=∠DEA+∠DEB，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE为直角三角形．
∴BE=AB2−AE2=102−4852=145．
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．
【详解】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7−3
∴a的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件是解题的关键．
12．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
【答案】110或125
【分析】由三角形内角和可得∠ABC=40°，进而可得∠1=20°，∠2+∠3=160°，∠2<∠ADB=95°，再根据定义进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵∠A=65°，∠C=75°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=40°，
又∵BD平分∠ABC交AC于点D．
∴∠1=12∠ABC=20°，则∠ADB=180°−∠1−∠A=95°，
∴∠2<∠ADB=95°，∠2+∠3=160°
①当2∠1+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−2∠1=50°，∠DFB=∠3=160°−∠2=110°；
②当2∠1+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−2∠1=50°，∠2=160°−∠3=110°>95°，不符合题意；
③当2∠2+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−∠12=35°，∠DFB=∠3=160°−∠2=125°；
④当2∠2+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2+∠2+∠3=90°，∠2=−70°，不符合题意；
⑤当2∠3+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−∠12=35°，∠2=160°−∠3=125°>95°，不符合题意；
④当2∠3+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3+∠2+∠3=90°，∠3=−70°，不符合题意；
综上，∠DFB=110°或∠DFB=125°，
故答案为：110或125．
【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，三角形的内角和定理，根据”准直角三角形“的定义去解题是本题的关键．
13．（3分）（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB⊥BC．则四边形ABCD的面积为________．
【答案】94
【分析】连接AC，由已知条件结合勾股定理求得S△ABC、S△ACD的面积，从而求得四边形ABCD的面积．
【详解】解：连接AC，
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2=AB2+BC2=12+342=542，
∴AC=54，
∴S△ABC=12×AB×BC=12×1×34=38，
∵在△ACD中，AC2+AD2=542+32=1342=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD=12×AC×AD=12×54×3=158，
∴四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD=38+158=188=94，
故答案为：94．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2=c2，则三角形ABC是直角三角形，隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
【答案】5
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知.
【详解】解：如图：
与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为ΔABD，ΔBCE，ΔGHF，ΔEMN，ΔAMQ，共有5个.
故答案为：5.
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．（3分）（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发，按A→B→C的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
【答案】52秒或3秒或185秒或6秒
【分析】根据题意分四种情况①PA=PC，②AC=AP，③CA=CP，且点P在AB上，④CA=CP，且点P在CB上，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10．
① 当PA=PC时，△ACP是等腰三角形，如图1所示，
∵ PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA.
∵∠PAC+∠CBA=90°,∠PCA+∠PCB=90°，
∴∠PCB=∠PBC．
∴PC=PB．
∴PA=PB=12AB=5．
∴t=52(秒)；
②当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如图2所示，
则AB=6cm，
∴t=62=3(秒)；
③当CA=CP，且点P在AB上，图3所示，
过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵CA=CP，
∴AP=2AF=2PF．
∵S△ABC=12AB⋅CF=12AC⋅BC
∴CF=AC⋅BCAB=245．
∴AF=AC2−CF2=62−(245)2=185．
∴AP=365．
∴t=185（秒）；
④当CA=CP，且点P在CB上，图4所示
则CP=6cm,
∴AB+BP=10+(8−6)=12(cm)
∴t=122=6(秒)
故答案为：52秒或3秒或185秒或6秒．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理；解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
16．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
【答案】2.5
【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明△ABH≌△EAF，Rt△ACH≌Rt△EDF，由此可得S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，再结合S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE可得S△ACHS△ABH=32，由此可得CHBH=32，进而即可求得答案．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE//BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABH与△EAF中，
∠AHB=∠EFA∠B=∠EAFAB=EA
∴△ABH≌△EAF(AAS)，
∴AH=EF，S△ABH=S△EAF，
在Rt△ACH与Rt△EDF中，
AH=EFAC=DE
∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，
∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，
∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，
∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，
∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
解得：S△ABH=2S△ADE，
∴S△ACH=5S△ADE−S△ABH=3S△ADE，
∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，
∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，
即CHBH=32，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
【答案】(1)4或6
(2)2a+2b−2c
【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的长；
（2）根据三角形三边关系确定a+b>c，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可．
【详解】（1）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，a=4，b=6，
∴6−4
∴c=4或c=6；
（2）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴a+b>c，
∴a+b−c>0，c−a−b<0，
∴a+b−c+c−a−b
=a+b−c+−c−a−b
=a+b−c−c−a−b
=a+b−c−c+a+b
=2a+2b−2c．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．（6分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可．
【详解】解：如下图所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
【答案】(1)∠EDC=50°
(2)①见解析；②40°或15°
【分析】（1）证出AB∥DE，由平行线的性质可得出∠EDC=∠B，则可得出答案；
（2）①由三角形外角的性质可得出结论；
②分两种情况：若∠AED=90°或∠DAE=90°，由直角三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠BAC+∠AED=180°，
∴AB∥DE，
∴∠EDC=∠B，
∵∠B=50°，
∴∠EDC=50°；
（2）①证明：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD；
②解：若∠AED=90°，
∵∠ADE=∠B=50°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=40°，
设∠BAD=∠EDC=x，
∵∠C−∠BAD=10°，
∴∠C=x+10°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴50°+x+10°+x+40°=180°，
解得x=40°，
∴∠EDC=40°；
若∠DAE=90°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴50°+x+90°+x+10°=180°，
∴x=15°，
∴∠EDC=15°；
综上所述，∠EDC的度数为40°或15°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
20．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】(1)6−2t
(2)是，理由见解析
(3)当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等
【分析】（1）直接根据时间和速度表示PC的长；
（2）根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
（3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．
【详解】（1）解：由题意得：PB=2t，
则PC=6−2t；
故答案为：6−2t；
（2）解：△CQP≌△BPD，理由如下：
当t=1时，由题意得：a=2，PB=CQ=2，
∴PC=6−2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中点，
∴BD=12AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵PC=BD∠C=∠BCQ=PB，
∴△CQP≌△BPD(SAS)；
（3）解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t= 32，
∴32 a=4，a= 83，
∴当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
21．（8分）（2023秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠DCB=∠D=90°，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD'E．
(1)当D'点落在AB边上时，∠DAE= °
(2)如图2，当E点与C点重合时，D'C与AB交点F，求AF长．
【答案】(1)45
(2)345
【分析】（1）由△ADE≌△AD'E知∠DAE=∠D'AE，结合D'点落在AB边上知∠DAE+∠D'AE=90°，从而得出答案；
（2）由折叠得出∠ACD=∠ACD'，再由AB∥CD得出∠ACD=∠BAC，从而得知∠ACD'=∠BAC，可得AF=FC，设AF=FC=x，则BF=10−x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2得到关于x的方程，解之可得．
【详解】（1）解：由题意知△ADE≌△AD'E，
∴∠DAE=∠D'AE，
∵D'点落在AB边上时，∠DAE+∠D'AE=90°，
∴∠DAE=∠D'AE=45°，
故答案为：45；
（2）如图2，由题意知∠ACD=∠ACD'，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴∠ACD'=∠BAC，
∴AF=FC，
设AF=FC=x，则BF=10−x，
在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2得：
(10−x)2+62=x2，
解得x=345，即AF=345．
【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键．
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
【答案】(1)90
(2)①α+β=180°；②α=β
【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°−α即可解题；
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠AEC=∠ADB，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
【详解】（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为：90．
（2）解：①∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°−α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△BAD≌△CAESAS是解题的关键．
23．（8分）（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ ，
S△EBC＝ ，
S四边形AECD＝ ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式x2+9+(15−x)2+25的最小值＝ ．
【答案】（小试牛刀）12a2+12ab，12ab−12b2，12c2，S梯形ABCD=S△BCE+S四边形AECD；（知识运用）250米；（知识迁移）17
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形AECD面积为△ADE和△CDE的面积和，求解即可；
（知识运用）作点C关于AB的对称点E，连接PC、PE，则PC=PE，由三角形三边关系可得当D、P、E三点共线时，PC+PD距离最小；
（知识迁移）如下图，AB⊥AD、BC⊥AB，AB=15，AD=3、BC=5，点P为线段AB上一点，则PD+PC=x2+9+(15−x)2+25，由上可得当D、P、C三点共线时，PC+PD距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）S梯形ABCD=12(BC+AD)×AB=12(a+b)×a=12a2+12ab
S△BCE=12BC×BE=12b×(a−b)=12ab−12b2
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