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人教版八年级数学上册举一反三16.1期中测试卷(拔尖)(学生版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册举一反三16.1期中测试卷(拔尖)(学生版+解析)，共35页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
5．（3分）（2023秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图所示，已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．下面可能得不到△BEC≌△CFA的是（ ）
A． ∠BCA=90°,∠α=90°
B． 0°<∠BCA<180°,∠α+∠BCA=180°
C． ∠BCA=∠α
D． CE=CF
6．（3分）（2023秋·四川南充·八年级阆中中学统考期中）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．11B．12C．11或12D．10或11或12
7．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
8．（3分）（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）
A．36∘B．54∘C．64∘D．72∘
9．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
10．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
12．（3分）（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，交AB于点M；BC边的垂直平分线EN交BC于E，交AB于点N．DM与EN相交于点F，若∠MFN=65°，求∠MCN的度数为
13．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
15．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
16．（3分）（2023秋·甘肃定西·八年级统考期中）已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线，D、E、F…为∠BAC的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有 对全等三角形．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
18．（6分）（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：
请根据以上对话内容解答下列问题：
(1)明明求的是几边形的内角和？
(2)少加的那个内角为多少度？
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
20．（8分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
21．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
23．（8分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE．
(1)求∠BFD的度数；
(2)如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
(3)如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4，求GH的长．
期中测试卷（拔尖）
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
【答案】D
【分析】依据△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，可得3【详解】解：∵AM是边BC上的中线，
∴BM=CM，
∵△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
∴AB−AC>3
∴3解得3又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
∴AC=24−BC−32=21−BC2为整数，
∴BC边长为奇数，
∴BC=5，7，9，11，
即BC的长可能值有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
【答案】C
【分析】连接DF,EF，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到S△CDF=12S△BFC，S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，进而得到S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，推出DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC，即可得解．
【详解】解：连接DF,EF，
∵D是边BC上的中点，
∴S△CDF=12S△BFC，
∵AF=2FB，
∴S△AFC=2S△CBF，
∵CE=3AE，
∴S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，
∵S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，
∴S△FPD+S△CPDS△FPE+S△CPE=DPPE，
即：DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC=13；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
【答案】A
【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，由此不难证明结论．
【详解】解：如图，
∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【答案】D
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】解：如图，
由图可知：
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS
∴∠1=∠4，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
5．（3分）（2023秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图所示，已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．下面可能得不到△BEC≌△CFA的是（ ）
A． ∠BCA=90°,∠α=90°
B． 0°<∠BCA<180°,∠α+∠BCA=180°
C． ∠BCA=∠α
D． CE=CF
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理，等量代换得到角度相等，再根据三角形形全等的判定方法逐个判断即可．
【详解】解：A、∵∠BCA=90°,∠BEC=∠CFA=∠α=90°，
∴∠BCE+∠ACF=∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
∵∠BCE=∠CAF，∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFAAAS，
故A不符合题意；
B、∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠BCA=180°，
∴∠BCA+∠BEC=∠BCE+∠ACE+∠BEC=180°，
∵∠BCE+∠B+∠BEC=180°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠B=∠ACE，∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFAAAS，
故B不符合题意；
C、∵∠BCA=∠α，
∴∠BCA+∠BCE+∠ACF=∠α+∠BCE+∠ACF=180°，
∵∠BEC+∠BCE+∠CBE=∠α+∠BCE+∠CBE=180°，
∴∠ACF=∠CBE，
∵∠ACF=∠CBE，∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFAAAS，
故C不符合题意；
D、CE=CF，CA=CB，∠BEC=∠CFA，SSA不能判定三角形全等，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：SSS,SA,AAS,ASA,HL，注意SSA不能判定全等．
6．（3分）（2023秋·四川南充·八年级阆中中学统考期中）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．11B．12C．11或12D．10或11或12
【答案】D
【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
7．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
【答案】A
【分析】在BC上截取CG=CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得DG=EC，即可求解．
【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵ F是AC的中点，
∴CF=CG=12AB=12BC，
∴△FCG是等边三角形，
∴∠GFC=60°，FG=CF，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD=FE，∠DFE=60°，
∴∠DFG=∠EFC，
在△DFG与△EFC中，
FD=EF∠DFG=∠EFCFG＝CF，
∴△DFG≌△EFCSAS．
∴DG=EC，
∴CF+EC=CD，
∴12BC+EC=CD，
∴12BC+ECCD=1，
∴ k=12，a=1；
故选：A．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．
8．（3分）（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）
A．36∘B．54∘C．64∘D．72∘
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，可得∠DOF=∠A+∠B，由三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°−∠C，利用三角形外角定理得出∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO，建立方程，即可求∠C的度数．
【详解】解：延长FO交AC于点M，
∵将ΔABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，
∴∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，
∴∠DOF=∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°−∠C ，
由三角形外角定理可知：∠DOF=∠MDO+∠DMO，∠DMO=∠C+∠CFM，
∴∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO
即：∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO=180°−∠C，
∴∠C+72°=180°−∠C ，
∴∠C=54°，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，外角定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．
9．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
【答案】D
【分析】作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
∵点A和点A'关于BC的对称，
∴∠APC=∠A'PC，
∵∠A'PC=∠DPE，
∴∠APC=∠DPE．
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意，确定点P的位置．
10．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
∠BAO＝∠NBE∠AOB＝∠BNEAB＝BE
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
∠FBP＝∠ENP∠FPB＝∠EPNBF＝NE
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP=12BN；而BN=AO，
∴BP=12AO=12×8=4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．
【详解】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7−3即4∵a为整数，
∴a的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件是解题的关键．
12．（3分）（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，交AB于点M；BC边的垂直平分线EN交BC于E，交AB于点N．DM与EN相交于点F，若∠MFN=65°，求∠MCN的度数为
【答案】50度
【分析】根据四边形内角和定理求得∠ACB的度数，再利用三角形内角和求得∠A+∠B的度数，然后利用等腰三角形的性质证得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，从而利用角的和差关系计算.
【详解】∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠CDF=90°，∠CEF=90°，
∴∠ACB=360°−90°−90°−∠MFN=115°，
∴∠A+∠B=180°−115°=65°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB−∠MCA+∠NCB=∠ACB−∠A+∠B=115°−65°=50°．
故答案为：50度．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，同时涉及四边形内角和及三角形内角和定理，掌握等边对等角是关键．
13．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
【答案】110或125
【分析】由三角形内角和可得∠ABC=40°，进而可得∠1=20°，∠2+∠3=160°，∠2<∠ADB=95°，再根据定义进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵∠A=65°，∠C=75°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=40°，
又∵BD平分∠ABC交AC于点D．
∴∠1=12∠ABC=20°，则∠ADB=180°−∠1−∠A=95°，
∴∠2<∠ADB=95°，∠2+∠3=160°
①当2∠1+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−2∠1=50°，∠DFB=∠3=160°−∠2=110°；
②当2∠1+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−2∠1=50°，∠2=160°−∠3=110°>95°，不符合题意；
③当2∠2+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−∠12=35°，∠DFB=∠3=160°−∠2=125°；
④当2∠2+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2+∠2+∠3=90°，∠2=−70°，不符合题意；
⑤当2∠3+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−∠12=35°，∠2=160°−∠3=125°>95°，不符合题意；
④当2∠3+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3+∠2+∠3=90°，∠3=−70°，不符合题意；
综上，∠DFB=110°或∠DFB=125°，
故答案为：110或125．
【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，三角形的内角和定理，根据”准直角三角形“的定义去解题是本题的关键．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
【答案】5
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知.
【详解】解：如图：
与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为ΔABD，ΔBCE，ΔGHF，ΔEMN，ΔAMQ，共有5个.
故答案为：5.
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
【答案】2.5
【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明△ABH≌△EAF，Rt△ACH≌Rt△EDF，由此可得S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，再结合S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE可得S△ACHS△ABH=32，由此可得CHBH=32，进而即可求得答案．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE//BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABH与△EAF中，
∠AHB=∠EFA∠B=∠EAFAB=EA
∴△ABH≌△EAF(AAS)，
∴AH=EF，S△ABH=S△EAF，
在Rt△ACH与Rt△EDF中，
AH=EFAC=DE
∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，
∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，
∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，
∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，
∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
解得：S△ABH=2S△ADE，
∴S△ACH=5S△ADE−S△ABH=3S△ADE，
∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，
∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，
即CHBH=32，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
16．（3分）（2023秋·甘肃定西·八年级统考期中）已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线，D、E、F…为∠BAC的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有 对全等三角形．
【答案】2047276
【分析】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，
图中有1+2=3对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有1+2+3=6对全等三角形；由
此得到规律即可计算出结果．
【详解】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，
图中有1+2=3对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有1+2+3=6对全等三角形；由
此得到规律，除点A外，当有2023个点时，
图中有1+2+3+…+2023=1+2023×20232=2047276对全等三角形．
故答案为：2047276．
【点睛】本题考查了图形中的规律探索，正确找到规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
【答案】(1)4或6
(2)2a+2b−2c
【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的长；
（2）根据三角形三边关系确定a+b>c，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可．
【详解】（1）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，a=4，b=6，
∴6−4即2∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴c=4或c=6；
（2）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴a+b>c，
∴a+b−c>0，c−a−b<0，
∴a+b−c+c−a−b
=a+b−c+−c−a−b
=a+b−c−c−a−b
=a+b−c−c+a+b
=2a+2b−2c．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．（6分）（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：
请根据以上对话内容解答下列问题：
(1)明明求的是几边形的内角和？
(2)少加的那个内角为多少度？
【答案】(1)明明求的是七边形的内角和；
(2)135°
【分析】（1）设少加的那个内角为x°，这个多边形的边数为n，根据题意，列方程求解即可；
（2）根据题意，列式求解即可；
【详解】（1）解：设少加的那个内角为x°，这个多边形的边数为n．
根据题意，得n−2⋅180=x+765，
则x=180n−1125．
因为0解得6.25因为n为整数，所以n=7．
所以明明求的是七边形的内角和．
（2）解：当n=7时，x=180×7−1125=135．
所以少加的那个内角为135°．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，多边形内角和，解题的关键是理解题意，正确列出方程或不等式．
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
【答案】(1)∠EDC=50°
(2)①见解析；②40°或15°
【分析】（1）证出AB∥DE，由平行线的性质可得出∠EDC=∠B，则可得出答案；
（2）①由三角形外角的性质可得出结论；
②分两种情况：若∠AED=90°或∠DAE=90°，由直角三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠BAC+∠AED=180°，
∴AB∥DE，
∴∠EDC=∠B，
∵∠B=50°，
∴∠EDC=50°；
（2）①证明：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD；
②解：若∠AED=90°，
∵∠ADE=∠B=50°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=40°，
设∠BAD=∠EDC=x，
∵∠C−∠BAD=10°，
∴∠C=x+10°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴50°+x+10°+x+40°=180°，
解得x=40°，
∴∠EDC=40°；
若∠DAE=90°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴50°+x+90°+x+10°=180°，
∴x=15°，
∴∠EDC=15°；
综上所述，∠EDC的度数为40°或15°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
20．（8分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可．
【详解】解：如下图所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】(1)6−2t
(2)是，理由见解析
(3)当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等
【分析】（1）直接根据时间和速度表示PC的长；
（2）根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
（3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．
【详解】（1）解：由题意得：PB=2t，
则PC=6−2t；
故答案为：6−2t；
（2）解：△CQP≌△BPD，理由如下：
当t=1时，由题意得：a=2，PB=CQ=2，
∴PC=6−2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中点，
∴BD=12AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵PC=BD∠C=∠BCQ=PB，
∴△CQP≌△BPD(SAS)；
（3）解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t= 32，
∴32 a=4，a= 83，
∴当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
【答案】(1)90
(2)①α+β=180°；②α=β
【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°−α即可解题；
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠AEC=∠ADB，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
【详解】（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为：90．
（2）解：①∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°−α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△BAD≌△CAESAS是解题的关键．
23．（8分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE．
(1)求∠BFD的度数；
(2)如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
(3)如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4，求GH的长．
【答案】(1)）60°
(2)见解析
(3)GH=3
【分析】(1)用SAS证明△ACD≌△BAE，得到∠DAC=∠EBA，结合∠BFD=∠BAF+∠ABF，等量代换计算即可．
(2)在BF上截取BQ=AF，连接AQ用SAS证明△QBA≌△FAC，得到∠FCA=∠QAB，证明∠AQF=∠FAQ=30°，证明即可．
(3) 延长BE到点N，使得AF=FN，连接AN，连接CN，交FH于点M，证明△CMH,△MFN是等边三角形，△MCF是等腰三角形，证明△AGF≌△CGM，得到FG=MG，计算即可．
【详解】（1）∵等边△ABC，
∴AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°，
∵CD=AE∠ACD=∠BAECA=AB，
∴△ACD≌△BAESAS，
∴∠DAC=∠EBA，
∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，
∴∠BFD=∠BAF+∠CAD=∠BAC=60°．
（2）在BF上截取BQ=AF，连接AQ，
∵BQ=AF∠QBA=∠FACBA=AC，
∴△QBA≌△FACSAS，
∴∠BAQ=∠ACF，
∴∠QBA+∠BAQ=∠DAC+∠BAQ=∠DAC+∠ACF，
∵∠AQF=∠QBA+∠BAQ,∠DFC=∠DAC+∠ACF，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠DAC．
∵CF⊥BE，∠BFD=60°，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠DAC=30°，
∴∠AQF=∠DFC=∠QAF=30°，
∴AF=FQ，
∴AF=FQ=BQ，
∵BF=FQ+BQ=2FQ，
∴BF=2AF．
（3）如图，延长BE到点N，使得AF=FN，连接AN，连接CN，交FH于点M，
∵∠BFD=∠AFN=60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴AF=AN=FN，∠FAN=∠FNA=∠AFN=60°，
∴∠BAF=60°−∠FAE=∠CAN，
∵AB=AC∠BAF=∠CANAF=AN，
∴△BAF≌△CANSAS，
∴BF=CN,∠ABF=∠ACN，
∵∠DAC=∠EBA，
∴∠DAC=∠ACN，
∴CN∥AD，
∴∠AFN=∠FNM=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠FCN=30°，
∵∠DFC=30°，AD沿CF翻折交AC于点G，CF⊥CH，
∴∠DFC=∠MFC=∠MCF=30°，∠MFN=∠MCH=∠MHC=60°，
∴MF=MC，∠CMH=∠FMN=60°，
∴△MCF是等腰三角形，△CMH,ΔMFN是等边三角形，
∴AF=AN=CM=HM=MF=MN=FN，
∵BF=4，BF=2AF，
∴AF=2=AN=CM=HM=MF=MN=FN；
∵∠FGA=∠MGC∠FAG=∠MCGAF=CM，
∴△AGF≌△CGMSAS，
∴FG=MG=12FM=1，
∴GH=HM+MG=2+1=3．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质是解题的关键．
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
5．（3分）（2023秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图所示，已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．下面可能得不到△BEC≌△CFA的是（ ）
A． ∠BCA=90°,∠α=90°
B． 0°<∠BCA<180°,∠α+∠BCA=180°
C． ∠BCA=∠α
D． CE=CF
6．（3分）（2023秋·四川南充·八年级阆中中学统考期中）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．11B．12C．11或12D．10或11或12
7．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
8．（3分）（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）
A．36∘B．54∘C．64∘D．72∘
9．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
10．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
12．（3分）（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，交AB于点M；BC边的垂直平分线EN交BC于E，交AB于点N．DM与EN相交于点F，若∠MFN=65°，求∠MCN的度数为
13．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
15．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
16．（3分）（2023秋·甘肃定西·八年级统考期中）已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线，D、E、F…为∠BAC的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有 对全等三角形．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
18．（6分）（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：
请根据以上对话内容解答下列问题：
(1)明明求的是几边形的内角和？
(2)少加的那个内角为多少度？
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
20．（8分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
21．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
23．（8分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE．
(1)求∠BFD的度数；
(2)如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
(3)如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4，求GH的长．
期中测试卷（拔尖）
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为24，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大3，则BC长的可能值有（ ）个．
A．7B．5C．6D．4
【答案】D
【分析】依据△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，可得3
∴BM=CM，
∵△ABC的周长为24，△ABM的周长比△ACM的周长大3，
∴AB−AC>3
∴3
∴AC=24−BC−32=21−BC2为整数，
∴BC边长为奇数，
∴BC=5，7，9，11，
即BC的长可能值有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．（3分）（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（ ）
A．12B．25C．13D．27
【答案】C
【分析】连接DF,EF，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到S△CDF=12S△BFC，S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，进而得到S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，推出DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC，即可得解．
【详解】解：连接DF,EF，
∵D是边BC上的中点，
∴S△CDF=12S△BFC，
∵AF=2FB，
∴S△AFC=2S△CBF，
∵CE=3AE，
∴S△CEF=34S△ACF=32S△CBF，
∵S△FPDS△FPE=S△CPDS△CPE=DPPE，
∴S△FPD+S△CPDS△FPE+S△CPE=DPPE，
即：DPPE=S△FCDS△FCE=12S△BFC32S△BFC=13；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
3．（3分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．260°C．270°D．360°
【答案】A
【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，由此不难证明结论．
【详解】解：如图，
∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E，∠A+∠1+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
4．（3分）（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【答案】D
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】解：如图，
由图可知：
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS
∴∠1=∠4，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
5．（3分）（2023秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图所示，已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．下面可能得不到△BEC≌△CFA的是（ ）
A． ∠BCA=90°,∠α=90°
B． 0°<∠BCA<180°,∠α+∠BCA=180°
C． ∠BCA=∠α
D． CE=CF
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理，等量代换得到角度相等，再根据三角形形全等的判定方法逐个判断即可．
【详解】解：A、∵∠BCA=90°,∠BEC=∠CFA=∠α=90°，
∴∠BCE+∠ACF=∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
∵∠BCE=∠CAF，∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFAAAS，
故A不符合题意；
B、∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠BCA=180°，
∴∠BCA+∠BEC=∠BCE+∠ACE+∠BEC=180°，
∵∠BCE+∠B+∠BEC=180°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠B=∠ACE，∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFAAAS，
故B不符合题意；
C、∵∠BCA=∠α，
∴∠BCA+∠BCE+∠ACF=∠α+∠BCE+∠ACF=180°，
∵∠BEC+∠BCE+∠CBE=∠α+∠BCE+∠CBE=180°，
∴∠ACF=∠CBE，
∵∠ACF=∠CBE，∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFAAAS，
故C不符合题意；
D、CE=CF，CA=CB，∠BEC=∠CFA，SSA不能判定三角形全等，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：SSS,SA,AAS,ASA,HL，注意SSA不能判定全等．
6．（3分）（2023秋·四川南充·八年级阆中中学统考期中）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．11B．12C．11或12D．10或11或12
【答案】D
【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
7．（3分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（ ）
A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3
【答案】A
【分析】在BC上截取CG=CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得DG=EC，即可求解．
【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵ F是AC的中点，
∴CF=CG=12AB=12BC，
∴△FCG是等边三角形，
∴∠GFC=60°，FG=CF，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD=FE，∠DFE=60°，
∴∠DFG=∠EFC，
在△DFG与△EFC中，
FD=EF∠DFG=∠EFCFG＝CF，
∴△DFG≌△EFCSAS．
∴DG=EC，
∴CF+EC=CD，
∴12BC+EC=CD，
∴12BC+ECCD=1，
∴ k=12，a=1；
故选：A．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．
8．（3分）（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）
A．36∘B．54∘C．64∘D．72∘
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，可得∠DOF=∠A+∠B，由三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°−∠C，利用三角形外角定理得出∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO，建立方程，即可求∠C的度数．
【详解】解：延长FO交AC于点M，
∵将ΔABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，
∴∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，
∴∠DOF=∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°−∠C ，
由三角形外角定理可知：∠DOF=∠MDO+∠DMO，∠DMO=∠C+∠CFM，
∴∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO
即：∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO=180°−∠C，
∴∠C+72°=180°−∠C ，
∴∠C=54°，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，外角定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．
9．（3分）（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）
A．PA=PCB．PA=PEC．∠APE=90°D．∠APC=∠DPE
【答案】D
【分析】作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A'，过点A'作A'E⊥AB于点E，与BC相交于点P，点P即为所求．
∵点A和点A'关于BC的对称，
∴∠APC=∠A'PC，
∵∠A'PC=∠DPE，
∴∠APC=∠DPE．
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意，确定点P的位置．
10．（3分）（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
∠BAO＝∠NBE∠AOB＝∠BNEAB＝BE
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
∠FBP＝∠ENP∠FPB＝∠EPNBF＝NE
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP=12BN；而BN=AO，
∴BP=12AO=12×8=4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·上海奉贤·八年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．
【详解】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7−3
∴a的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件是解题的关键．
12．（3分）（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，交AB于点M；BC边的垂直平分线EN交BC于E，交AB于点N．DM与EN相交于点F，若∠MFN=65°，求∠MCN的度数为
【答案】50度
【分析】根据四边形内角和定理求得∠ACB的度数，再利用三角形内角和求得∠A+∠B的度数，然后利用等腰三角形的性质证得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，从而利用角的和差关系计算.
【详解】∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠CDF=90°，∠CEF=90°，
∴∠ACB=360°−90°−90°−∠MFN=115°，
∴∠A+∠B=180°−115°=65°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB−∠MCA+∠NCB=∠ACB−∠A+∠B=115°−65°=50°．
故答案为：50度．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，同时涉及四边形内角和及三角形内角和定理，掌握等边对等角是关键．
13．（3分）（2023春·江苏连云港·八年级校考期中）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于点D．在线段AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，则∠DFB= °．
【答案】110或125
【分析】由三角形内角和可得∠ABC=40°，进而可得∠1=20°，∠2+∠3=160°，∠2<∠ADB=95°，再根据定义进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵∠A=65°，∠C=75°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=40°，
又∵BD平分∠ABC交AC于点D．
∴∠1=12∠ABC=20°，则∠ADB=180°−∠1−∠A=95°，
∴∠2<∠ADB=95°，∠2+∠3=160°
①当2∠1+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−2∠1=50°，∠DFB=∠3=160°−∠2=110°；
②当2∠1+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−2∠1=50°，∠2=160°−∠3=110°>95°，不符合题意；
③当2∠2+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2=90°−∠12=35°，∠DFB=∠3=160°−∠2=125°；
④当2∠2+∠3=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠2+∠2+∠3=90°，∠2=−70°，不符合题意；
⑤当2∠3+∠1=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3=90°−∠12=35°，∠2=160°−∠3=125°>95°，不符合题意；
④当2∠3+∠2=90°时，△BFD是“准直角三角形”，
即：∠3+∠2+∠3=90°，∠3=−70°，不符合题意；
综上，∠DFB=110°或∠DFB=125°，
故答案为：110或125．
【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，三角形的内角和定理，根据”准直角三角形“的定义去解题是本题的关键．
14．（3分）（2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ΔABC，请你找出格纸中所有与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
【答案】5
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知.
【详解】解：如图：
与ΔABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为ΔABD，ΔBCE，ΔGHF，ΔEMN，ΔAMQ，共有5个.
故答案为：5.
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．（3分）（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC=5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
【答案】2.5
【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明△ABH≌△EAF，Rt△ACH≌Rt△EDF，由此可得S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，再结合S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE可得S△ACHS△ABH=32，由此可得CHBH=32，进而即可求得答案．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE//BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABH与△EAF中，
∠AHB=∠EFA∠B=∠EAFAB=EA
∴△ABH≌△EAF(AAS)，
∴AH=EF，S△ABH=S△EAF，
在Rt△ACH与Rt△EDF中，
AH=EFAC=DE
∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，
∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，
∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，
∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，
∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
解得：S△ABH=2S△ADE，
∴S△ACH=5S△ADE−S△ABH=3S△ADE，
∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，
∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，
即CHBH=32，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
16．（3分）（2023秋·甘肃定西·八年级统考期中）已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线，D、E、F…为∠BAC的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有 对全等三角形．
【答案】2047276
【分析】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，
图中有1+2=3对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有1+2+3=6对全等三角形；由
此得到规律即可计算出结果．
【详解】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，
图中有1+2=3对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有1+2+3=6对全等三角形；由
此得到规律，除点A外，当有2023个点时，
图中有1+2+3+…+2023=1+2023×20232=2047276对全等三角形．
故答案为：2047276．
【点睛】本题考查了图形中的规律探索，正确找到规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·全国·八年级期中）已知△ABC的三边长是a，b，c.
(1)若a=4，b=6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简a+b−c+c−a−b
【答案】(1)4或6
(2)2a+2b−2c
【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的长；
（2）根据三角形三边关系确定a+b>c，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可．
【详解】（1）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，a=4，b=6，
∴6−4
∴c=4或c=6；
（2）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴a+b>c，
∴a+b−c>0，c−a−b<0，
∴a+b−c+c−a−b
=a+b−c+−c−a−b
=a+b−c−c−a−b
=a+b−c−c+a+b
=2a+2b−2c．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．（6分）（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：
请根据以上对话内容解答下列问题：
(1)明明求的是几边形的内角和？
(2)少加的那个内角为多少度？
【答案】(1)明明求的是七边形的内角和；
(2)135°
【分析】（1）设少加的那个内角为x°，这个多边形的边数为n，根据题意，列方程求解即可；
（2）根据题意，列式求解即可；
【详解】（1）解：设少加的那个内角为x°，这个多边形的边数为n．
根据题意，得n−2⋅180=x+765，
则x=180n−1125．
因为0
所以明明求的是七边形的内角和．
（2）解：当n=7时，x=180×7−1125=135．
所以少加的那个内角为135°．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，多边形内角和，解题的关键是理解题意，正确列出方程或不等式．
19．（8分）（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=50°，点D为BC边上一点，DE交边AC于点E．
(1)当∠BAC+∠AED=180°时（如图1），求∠EDC的度数．
(2)当∠ADE=∠B时，（如图2）
①试证明：∠EDC=∠BAD
②若∠C−∠BAD=10°，当△ADE是直角三角形时，求∠EDC的度数．
【答案】(1)∠EDC=50°
(2)①见解析；②40°或15°
【分析】（1）证出AB∥DE，由平行线的性质可得出∠EDC=∠B，则可得出答案；
（2）①由三角形外角的性质可得出结论；
②分两种情况：若∠AED=90°或∠DAE=90°，由直角三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠BAC+∠AED=180°，
∴AB∥DE，
∴∠EDC=∠B，
∵∠B=50°，
∴∠EDC=50°；
（2）①证明：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD；
②解：若∠AED=90°，
∵∠ADE=∠B=50°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=40°，
设∠BAD=∠EDC=x，
∵∠C−∠BAD=10°，
∴∠C=x+10°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴50°+x+10°+x+40°=180°，
解得x=40°，
∴∠EDC=40°；
若∠DAE=90°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴50°+x+90°+x+10°=180°，
∴x=15°，
∴∠EDC=15°；
综上所述，∠EDC的度数为40°或15°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
20．（8分）（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可．
【详解】解：如下图所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）（2023秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC= ．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】(1)6−2t
(2)是，理由见解析
(3)当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等
【分析】（1）直接根据时间和速度表示PC的长；
（2）根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
（3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．
【详解】（1）解：由题意得：PB=2t，
则PC=6−2t；
故答案为：6−2t；
（2）解：△CQP≌△BPD，理由如下：
当t=1时，由题意得：a=2，PB=CQ=2，
∴PC=6−2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中点，
∴BD=12AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵PC=BD∠C=∠BCQ=PB，
∴△CQP≌△BPD(SAS)；
（3）解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t= 32，
∴32 a=4，a= 83，
∴当a= 83时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
22．（8分）（2023秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
【答案】(1)90
(2)①α+β=180°；②α=β
【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°−α即可解题；
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAESAS，可得∠AEC=∠ADB，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
【详解】（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为：90．
（2）解：①∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°−α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△BAD≌△CAESAS是解题的关键．
23．（8分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE．
(1)求∠BFD的度数；
(2)如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
(3)如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4，求GH的长．
【答案】(1)）60°
(2)见解析
(3)GH=3
【分析】(1)用SAS证明△ACD≌△BAE，得到∠DAC=∠EBA，结合∠BFD=∠BAF+∠ABF，等量代换计算即可．
(2)在BF上截取BQ=AF，连接AQ用SAS证明△QBA≌△FAC，得到∠FCA=∠QAB，证明∠AQF=∠FAQ=30°，证明即可．
(3) 延长BE到点N，使得AF=FN，连接AN，连接CN，交FH于点M，证明△CMH,△MFN是等边三角形，△MCF是等腰三角形，证明△AGF≌△CGM，得到FG=MG，计算即可．
【详解】（1）∵等边△ABC，
∴AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°，
∵CD=AE∠ACD=∠BAECA=AB，
∴△ACD≌△BAESAS，
∴∠DAC=∠EBA，
∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，
∴∠BFD=∠BAF+∠CAD=∠BAC=60°．
（2）在BF上截取BQ=AF，连接AQ，
∵BQ=AF∠QBA=∠FACBA=AC，
∴△QBA≌△FACSAS，
∴∠BAQ=∠ACF，
∴∠QBA+∠BAQ=∠DAC+∠BAQ=∠DAC+∠ACF，
∵∠AQF=∠QBA+∠BAQ,∠DFC=∠DAC+∠ACF，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠DAC．
∵CF⊥BE，∠BFD=60°，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠DAC=30°，
∴∠AQF=∠DFC=∠QAF=30°，
∴AF=FQ，
∴AF=FQ=BQ，
∵BF=FQ+BQ=2FQ，
∴BF=2AF．
（3）如图，延长BE到点N，使得AF=FN，连接AN，连接CN，交FH于点M，
∵∠BFD=∠AFN=60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴AF=AN=FN，∠FAN=∠FNA=∠AFN=60°，
∴∠BAF=60°−∠FAE=∠CAN，
∵AB=AC∠BAF=∠CANAF=AN，
∴△BAF≌△CANSAS，
∴BF=CN,∠ABF=∠ACN，
∵∠DAC=∠EBA，
∴∠DAC=∠ACN，
∴CN∥AD，
∴∠AFN=∠FNM=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠FCN=30°，
∵∠DFC=30°，AD沿CF翻折交AC于点G，CF⊥CH，
∴∠DFC=∠MFC=∠MCF=30°，∠MFN=∠MCH=∠MHC=60°，
∴MF=MC，∠CMH=∠FMN=60°，
∴△MCF是等腰三角形，△CMH,ΔMFN是等边三角形，
∴AF=AN=CM=HM=MF=MN=FN，
∵BF=4，BF=2AF，
∴AF=2=AN=CM=HM=MF=MN=FN；
∵∠FGA=∠MGC∠FAG=∠MCGAF=CM，
∴△AGF≌△CGMSAS，
∴FG=MG=12FM=1，
∴GH=HM+MG=2+1=3．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质是解题的关键．
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