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人教版八年级数学下册举一反三专题18.6三角形的中位线两大题型(学生版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册举一反三专题18.6三角形的中位线两大题型(学生版+解析)，共55页。
专题18.6 三角形的中位线两大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对 三角形的中位线两大题型的理解！【题型1 一条中位线的问题】1．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（ ）A．24 B．18 C．12 D．92．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的△ABC中，点D，E在边AB上，∠BAC的平分线AF⊥CE于F，∠ABC的平分线BH⊥CD于H，若AB=8，FH=2，则△ABC的周长为（ ）A．10 B．12 C．18 D．203．（2023下·黑龙江伊春·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为( )A．32 B．2 C．52 D．34．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB=9，AC=8，BC=7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.55．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD=AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．CD=2AP B．PF⊥AC C．BE=PF D．2∠BAC=∠DAC6．（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC=6，BC=14，则DF的长为 ．7．（2023上·广东河源·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．8．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，▱ABCD中，AB=3，BC=4，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，交BE于点O，点G，H分别是OF和OE的中点，则GH的长为 ．9．（2023上·山东淄博·八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 ．10．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE，S△BEC=12，则线段CE的长为 ．11．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD'，点M为BD'中点，则MN的最小值是 ． 12．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别时边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别时EC，FD的中点，这接GH，苦AB=4，BC=6，则GH的长度为 ． 13．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别为边BC、AC的中点，连接DE，点F为边AB上一动点，且CF=DE，则AF的长为 ． 14．（2023上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A，B重合），DF⊥DE交AC于点F，设BE=x，FC=y．(1)求证：DE=DF；(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)写出x为何值时，EF∥BC？15．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期末）在 △ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 D在 AB边上（不与点 A，B合），分别过 A，C作 AB，CD的垂线交于点E，连接 BE．过C作CF⊥BE交AB于点 F． (1)依题补全图形；(2)求证：CE=CD；(3)用等式表示线段AE，AC，AF间的关系，并证明．【题型2 多条中位线的问题】1．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF=3，则AB2+DC2的值是（ ） A．36 B．27 C．18 D．92．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连接EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长为( )A．22 B．1 C．2 D．23．（2023下·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，▱ABCD中，BD=12，∠AOB=60°，点F为AB中点，点E为AO边上一点，若AE=OE+OB，则EF的长为（ ） A．5 B．32 C．25 D．334．（2023下·浙江台州·八年级校联考期中）如图，线段AB=6，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边△APC、等边△BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是（ ） A．3 B．2.8 C．2.5 D．25．（2023上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2024= ．6．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第2023个正方形对角线交点M2023的坐标为 ．7．（2023下·云南文山·八年级统考期末）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，依次类推，第2023次组成的三角形的周长 ．8．（2023下·广东阳江·八年级校联考期中）如图，AD=4，在AD边上有一动点C，分别以AC、CD为边在AD边的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接BE，取BE边上的中点F，连接CF，则CF的最小值为 ． 9．（2023下·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示，△ABC是等边三角形，点D和点E分别在边AB和AC上（D，E均不在所在线段的端点上），且AD=AE，点M，P，N分别是线段DE，DC，BC上的中点，连接PM，PN． (1)请说明PM=PN．并求出∠MPN的大小；(2)把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状并说明理由；(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN的最大面积．10．（2023上·辽宁辽阳·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH． (1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；11．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”． (1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ；A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形(2)性质探究：如图1，四边形ABCD是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD对角线的两条结论；(3)问题解决：如图2，△ABC为锐角三角形，以△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC，求证：四边形BCGE是“中正四边形”．12．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）【操作】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE、BE，作直线AD交BE于点F． （1）求证：△ADC≌△BEC；（2）设AF与BC交于点H，求∠AFE的度数；【探究】（3）如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE=8，求△MNP的周长．13．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD=AE，连接DE，BD，点F，P，G分别为DE，BD，BC的中点．(1)线段PF与PG的数量关系是___________，位置关系是___________；(2)把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；(3)若AD=3，AB=7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．14．（2023上·江西南昌·八年级校考期中）【综合与实践】老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．甲小组发现：PM=PN，PM⊥PN．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：【片段1】∵点P，M分别是AD，DE的中点，∴PM∥AE，PM=12AE．（理由1）【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°（理由2）．反思交流(1)①填空：理由1：______________________；理由2：______________________；②图1中，MN与AB的位置关系是 ．(2)乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置．请判断△PMN的形状并证明：(3)两小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当CD=4，CB=10时，直接写出线段MN长度的最大值．15．（2023下·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图1：平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，OA绕O点旋转至OB，过B作BC⊥OB交x轴于C点． (1)如图1，若A点坐标为0,6，∠AOB=30∘，直接写出B点坐标；(2)如图2，若B点坐标为6,23，C点坐标为8,0，以OB,BC为边构造矩形OBCD，连AD，求AD的长；(3)如图3，点M、N、Q分别为AB,OC,OB的中点，点P为MN的中点，且MP=5，PQ=3，求OC． 专题18.6 三角形的中位线两大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对 三角形的中位线两大题型的理解！【题型1 一条中位线的问题】1．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（ ）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得BC=2EF=6，然后根据菱形的性质即可求解．【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴BC=2EF=6，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=6，∴菱形ABCD的周长=4×6=24，故选：A．2．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的△ABC中，点D，E在边AB上，∠BAC的平分线AF⊥CE于F，∠ABC的平分线BH⊥CD于H，若AB=8，FH=2，则△ABC的周长为（ ）A．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明△CAF≌△EAFASA，推出AC=AE，CF=EF，同理BC=BD，CH=HD，得到FH是△CDE的中位线，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AF平分∠BAC，且AF⊥CE，∴∠CAF=∠EAF，AF=AF，∠CFA=∠EFA=90°，∴△CAF≌△EAFASA，∴AC=AE，CF=EF，同理可证BC=BD，CH=HD，∴FH是△CDE的中位线，∴DE=2FH=4，∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2AB+DE=20，故选：D．3．（2023下·黑龙江伊春·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为( )A．32 B．2 C．52 D．3【答案】C【分析】延长BC到E使BE=AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM=12DE=12AB，根据跟勾股定理得到AB的长，于是得到结论．【详解】：延长BC到E使BE=AD，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=6，AB=DE∵BC=3，AD=6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM=12DE=12AB，，∵AC⊥BC，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，∴CM=12DE=12AB=52，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB=9，AC=8，BC=7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】B【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．问题的难点在于过关键点作辅助线构造△APQ．延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半．【详解】如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，∴∠ACD=∠PCD，∠ABG=∠QBG，又∵AD⊥CF,AG⊥BE，∴∠ADC=∠PDC，∠AGB=∠QGB，∴∠CAP=∠P,∠BAG=∠Q，∴AC=PC=8,AB=QB=9，又∵BC=7，∴PQ=BQ+PC−BC=9+8−7 =10，∵AC=PC,CD平分∠ACP，∴点D是AP的中点，同理可得，点G是AQ的中点，∴DG是△APQ的中位线，∴DG=12PQ=5，故选：B．5．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD=AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．CD=2AP B．PF⊥AC C．BE=PF D．2∠BAC=∠DAC【答案】D【分析】如图，连接EF，由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质可证明四边形BEFP为平行四边形，可得CD=2EF=2BP=2AP，可判断A选项；由平行四边形的性质可得OB=BC，再结合等腰三角形的性质可判断B选项；由四边形BEFP为平行四边形，可得BE=PF，可判断C选项；只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC=∠DAC，可判断D选项．【详解】解：如图，连接EF， ∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=12CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴PB∥EF，又∵FP∥BE，∴四边形BEFP为平行四边形，∴CD=2EF=2BP=2AP，故A正确，不符合题意；在▱ABCD中，OB=OD，BC=AD，OD=AD，∴OB=BC，又∵E为OC中点，∴BE⊥AC，∴PF⊥AC，故B正确，不符合题意；∵四边形BEFP为平行四边形，∴BE=PF，故C正确，不符合题意；∵OD=AD，∴∠DAC=∠AOD=∠BOC，又∵∠BOC=∠BAC+∠ABO，当2∠BAC=∠DAC时，则∠BAC=∠ABO，∴OA=OB=OD=OC，则此时▱ABCD是矩形，即：只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC=∠DAC，故结论错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．6．（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC=6，BC=14，则DF的长为 ．【答案】4【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，角平分线的定义，等边对等角，根据三角形中位线定理和定义得到DE=12BC=7，CE=12AC=3，DE∥BC，进而证明∠EFC=∠ECF得到EF=EC−3，则DF=DE−EF=4．【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，AC=6，BC=14∴DE=12BC=7，CE=12AC=3，DE∥BC，∴∠EFC=∠BCF，∵∠ACB的角平分线交DE于点F，∴∠ECF=∠BCF，∴∠EFC=∠ECF，∴EF=EC=3，∴DF=DE−EF=4，故答案为：4．7．（2023上·广东河源·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．【答案】22【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值，当AF⊥BC时，根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=8，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×8=42，∴GH=22，即GH的最小值为22，故答案为：22．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．8．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，▱ABCD中，AB=3，BC=4，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，交BE于点O，点G，H分别是OF和OE的中点，则GH的长为 ．【答案】1【分析】本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，根据平行四边形的性质得出AB=CD=3，BC=AD=4，AD∥BC，根据平行线的性质及角平分线定义推出∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，根据等腰三角形的判定及线段的和差求出EF=2，根据三角形中位线的判定与性质求解即可．【详解】解：▱ABCD中，AB=3，BC=4，∴AB=CD=3，BC=AD=4，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，∴∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，∴AB=AE=3，DC=DF=3，∵AE+DF=AD+EF，∴EF=2，∵点G，H分别是OF和OE的中点，∴GH是△OEF的中位线，∴GH=12EF=1故答案为：1．9．（2023上·山东淄博·八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 ．【答案】1【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，首先证明△ACG是等腰三角形，则AG=AC=3，FG=CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG=AC，∵AC=3，∴AG=AC=3，∵AF为∠CAG的角平分线，∴FG=CF，即点F为CG的中点，∵AE为△ABC的中线，∴点E为CB的中点，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=12BG，∵AB=5，∴BG=AB−AG=5−3=2．∴EF=12×2=1．故答案为：1．10．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE，S△BEC=12，则线段CE的长为 ．【答案】35【分析】取AO中点M，连接EM，可证明EM是ABO的中位线，得到EM=12OB，EM⊥OA，因此OF=EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG=OG=1，从而求出OA的长，得到AC的长，求出CM的长，由三角形面积公式求出OB长，得到EM的长，由勾股定理即可求出CE的长．【详解】解：取AO中点M，连接EM，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD=OB，OA=OC，∵点E为AB的中点，M为AO中点，∴EM是△ABO的中位线，∴EM=12OB，EM∥BD，∴EM⊥AC，∠MEG=∠OFG，∵DF=OF，∴OF=12OD=12OB，∴EM=OF，∵∠MEG=∠OFG，∠MGE=∠OGF，∴△EMG≌△FOGAAS，∴MG=OG=1，∴OM=2OG=2，∴OA=2OM=4，∴AC=2OA=8，∵AE=BE，∴S△BAC=2×S△BEC=2×12=24，∴12AC⋅OB=24，∴OB=6，∴EM=12OB=3，∵CM=OM+OC=2+4=6，∴CE=CM2+EM2=35．故答案为：35．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．11．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD'，点M为BD'中点，则MN的最小值是 ． 【答案】7−1【分析】根据三角形中位线定理可得MN=12AD'，可知当AD'取得最小值时，MN取得最小值，根据折叠可知D'在以点F为圆心，DF的长为半径的半圆弧上运动，当点D'运动到线段AF上时，此时AD'取得最小值，最小值为AF−D'F，过点F作FH⊥AD于点H，根据30°的直角三角形的性质可得HD的长，根据勾股定理求出FH的长，再在Rt△AFH中，根据勾股定理求出AF的长，进一步可得AD'的最小值，即可求出MN的最小值．【详解】解：连接AD'， ∵点N为AB的中点，点M为BD'的中点，∴MN为△BAD'的中位线，∴MN=12AD'，∴当AD'取得最小值时，MN取得最小值，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∵AB=4，AD=6，∠A=120°，∴CD=4，∠D=60°，∵点F为线段CD的中点，∴DF=CF=2，根据折叠可知D'F=DF=2，∴点D'在以点F为圆心，DF的长为半径的半圆弧上运动，当点D'运动到线段AF上时，此时AD'取得最小值，最小值为AF−D'F，过点F作FH⊥AD于点H，如图所示：则∠FHD=90°，∴∠HFD=30°，∴DH=12DF=1，在Rt△DHF中，根据勾股定理，得FH=22−12=3，∵AD=6，∴AH=6−1=5，在Rt△AFH中，根据勾股定理，得AF=AH2+FH2=27，∴AD'的最小值为27−2，∴MN的最小值为7−1，故答案为：7−1．【点睛】本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，找出线段AD'最小时点D'的位置是解题的关键．12．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别时边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别时EC，FD的中点，这接GH，苦AB=4，BC=6，则GH的长度为 ． 【答案】132【分析】连接CH并延长交AD于点P，连接PE，由矩形的性质得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，从而得到∠DPH=∠FCH，通过AAS证明△DPH≌△FCH可得PD=CF=3，PH=CH，由勾股定理进行计算可得EP=13，再由三角形中位线定理即可得到GH的长．【详解】解：如图，连接CH并延长交AD于点P，连接PE， ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，∴∠DPH=∠FCH，∵点E，F分别时边AB，BC的中点，AB=4，BC=6，∴AE=12AB=2，CF=12BC=3，∵点H为DF的中点，∴DH=FH，在△DPH和△FCH中，∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHCDH=FH，∴△DPH≌△FCHAAS，∴PD=CF=3，PH=CH，∴AP=AD−PD=6−3=3，∴PE=AE2+AP2=22+32=13，∵点G是CE的中点，CH=PH，∴GH是△CEP的中位线，∴GH=12PE=132，故答案为：132．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形，是解题的关键．13．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别为边BC、AC的中点，连接DE，点F为边AB上一动点，且CF=DE，则AF的长为 ． 【答案】2.5或1.1【分析】根据三角形的中位线定理，可知DE=12AB，进而可知CF=12AB，则有两种可能，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及勾股定理，即可解答．【详解】解：∵点D、E分别为边BC、AC的中点，∴DE=12AB，又∵CF=DE，∴CF=12AB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=32+42=5，即CF=12AB=52，则有以下两种情况：种：当F点运动到AB中点时，∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴CF=12AB，∵点F是AB中点，则AF=12AB=2.5， ；种：如图，作CH⊥AB，交AB于点H， ，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，∴CH=AC⋅BCAB=3×45=125，∵AF=52，在Rt△CHF中，HF=CF2−CH2=522−1252=0.7，在Rt△CHF中，AH=AC2−CH2=32−1252=1.8，∴AF=AH−HF=1.8−0.7=1.1，综上所述：AF的长为2.5或1.1，故答案为：2.5或1.1．【点睛】本题考查了三角形的中位线、勾股定理以及直角三角形斜边中线，解题的关键在于运用分类讨论思想进行求解．14．（2023上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A，B重合），DF⊥DE交AC于点F，设BE=x，FC=y．(1)求证：DE=DF；(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)写出x为何值时，EF∥BC？【答案】(1)见详解(2)y=2−x，0
专题18.6 三角形的中位线两大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对 三角形的中位线两大题型的理解！【题型1 一条中位线的问题】1．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（ ）A．24 B．18 C．12 D．92．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的△ABC中，点D，E在边AB上，∠BAC的平分线AF⊥CE于F，∠ABC的平分线BH⊥CD于H，若AB=8，FH=2，则△ABC的周长为（ ）A．10 B．12 C．18 D．203．（2023下·黑龙江伊春·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为( )A．32 B．2 C．52 D．34．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB=9，AC=8，BC=7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.55．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD=AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．CD=2AP B．PF⊥AC C．BE=PF D．2∠BAC=∠DAC6．（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC=6，BC=14，则DF的长为 ．7．（2023上·广东河源·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．8．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，▱ABCD中，AB=3，BC=4，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，交BE于点O，点G，H分别是OF和OE的中点，则GH的长为 ．9．（2023上·山东淄博·八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 ．10．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE，S△BEC=12，则线段CE的长为 ．11．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD'，点M为BD'中点，则MN的最小值是 ． 12．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别时边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别时EC，FD的中点，这接GH，苦AB=4，BC=6，则GH的长度为 ． 13．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别为边BC、AC的中点，连接DE，点F为边AB上一动点，且CF=DE，则AF的长为 ． 14．（2023上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A，B重合），DF⊥DE交AC于点F，设BE=x，FC=y．(1)求证：DE=DF；(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)写出x为何值时，EF∥BC？15．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期末）在 △ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 D在 AB边上（不与点 A，B合），分别过 A，C作 AB，CD的垂线交于点E，连接 BE．过C作CF⊥BE交AB于点 F． (1)依题补全图形；(2)求证：CE=CD；(3)用等式表示线段AE，AC，AF间的关系，并证明．【题型2 多条中位线的问题】1．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF=3，则AB2+DC2的值是（ ） A．36 B．27 C．18 D．92．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连接EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长为( )A．22 B．1 C．2 D．23．（2023下·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，▱ABCD中，BD=12，∠AOB=60°，点F为AB中点，点E为AO边上一点，若AE=OE+OB，则EF的长为（ ） A．5 B．32 C．25 D．334．（2023下·浙江台州·八年级校联考期中）如图，线段AB=6，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边△APC、等边△BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是（ ） A．3 B．2.8 C．2.5 D．25．（2023上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2024= ．6．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第2023个正方形对角线交点M2023的坐标为 ．7．（2023下·云南文山·八年级统考期末）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，依次类推，第2023次组成的三角形的周长 ．8．（2023下·广东阳江·八年级校联考期中）如图，AD=4，在AD边上有一动点C，分别以AC、CD为边在AD边的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接BE，取BE边上的中点F，连接CF，则CF的最小值为 ． 9．（2023下·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示，△ABC是等边三角形，点D和点E分别在边AB和AC上（D，E均不在所在线段的端点上），且AD=AE，点M，P，N分别是线段DE，DC，BC上的中点，连接PM，PN． (1)请说明PM=PN．并求出∠MPN的大小；(2)把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状并说明理由；(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN的最大面积．10．（2023上·辽宁辽阳·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH． (1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；11．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”． (1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ；A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形(2)性质探究：如图1，四边形ABCD是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD对角线的两条结论；(3)问题解决：如图2，△ABC为锐角三角形，以△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC，求证：四边形BCGE是“中正四边形”．12．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）【操作】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE、BE，作直线AD交BE于点F． （1）求证：△ADC≌△BEC；（2）设AF与BC交于点H，求∠AFE的度数；【探究】（3）如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE=8，求△MNP的周长．13．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD=AE，连接DE，BD，点F，P，G分别为DE，BD，BC的中点．(1)线段PF与PG的数量关系是___________，位置关系是___________；(2)把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；(3)若AD=3，AB=7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．14．（2023上·江西南昌·八年级校考期中）【综合与实践】老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．甲小组发现：PM=PN，PM⊥PN．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：【片段1】∵点P，M分别是AD，DE的中点，∴PM∥AE，PM=12AE．（理由1）【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°（理由2）．反思交流(1)①填空：理由1：______________________；理由2：______________________；②图1中，MN与AB的位置关系是 ．(2)乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置．请判断△PMN的形状并证明：(3)两小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当CD=4，CB=10时，直接写出线段MN长度的最大值．15．（2023下·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图1：平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，OA绕O点旋转至OB，过B作BC⊥OB交x轴于C点． (1)如图1，若A点坐标为0,6，∠AOB=30∘，直接写出B点坐标；(2)如图2，若B点坐标为6,23，C点坐标为8,0，以OB,BC为边构造矩形OBCD，连AD，求AD的长；(3)如图3，点M、N、Q分别为AB,OC,OB的中点，点P为MN的中点，且MP=5，PQ=3，求OC． 专题18.6 三角形的中位线两大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对 三角形的中位线两大题型的理解！【题型1 一条中位线的问题】1．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（ ）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得BC=2EF=6，然后根据菱形的性质即可求解．【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴BC=2EF=6，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=6，∴菱形ABCD的周长=4×6=24，故选：A．2．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的△ABC中，点D，E在边AB上，∠BAC的平分线AF⊥CE于F，∠ABC的平分线BH⊥CD于H，若AB=8，FH=2，则△ABC的周长为（ ）A．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明△CAF≌△EAFASA，推出AC=AE，CF=EF，同理BC=BD，CH=HD，得到FH是△CDE的中位线，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AF平分∠BAC，且AF⊥CE，∴∠CAF=∠EAF，AF=AF，∠CFA=∠EFA=90°，∴△CAF≌△EAFASA，∴AC=AE，CF=EF，同理可证BC=BD，CH=HD，∴FH是△CDE的中位线，∴DE=2FH=4，∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2AB+DE=20，故选：D．3．（2023下·黑龙江伊春·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为( )A．32 B．2 C．52 D．3【答案】C【分析】延长BC到E使BE=AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM=12DE=12AB，根据跟勾股定理得到AB的长，于是得到结论．【详解】：延长BC到E使BE=AD，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=6，AB=DE∵BC=3，AD=6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM=12DE=12AB，，∵AC⊥BC，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，∴CM=12DE=12AB=52，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB=9，AC=8，BC=7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】B【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．问题的难点在于过关键点作辅助线构造△APQ．延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半．【详解】如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，∴∠ACD=∠PCD，∠ABG=∠QBG，又∵AD⊥CF,AG⊥BE，∴∠ADC=∠PDC，∠AGB=∠QGB，∴∠CAP=∠P,∠BAG=∠Q，∴AC=PC=8,AB=QB=9，又∵BC=7，∴PQ=BQ+PC−BC=9+8−7 =10，∵AC=PC,CD平分∠ACP，∴点D是AP的中点，同理可得，点G是AQ的中点，∴DG是△APQ的中位线，∴DG=12PQ=5，故选：B．5．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD=AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．CD=2AP B．PF⊥AC C．BE=PF D．2∠BAC=∠DAC【答案】D【分析】如图，连接EF，由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质可证明四边形BEFP为平行四边形，可得CD=2EF=2BP=2AP，可判断A选项；由平行四边形的性质可得OB=BC，再结合等腰三角形的性质可判断B选项；由四边形BEFP为平行四边形，可得BE=PF，可判断C选项；只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC=∠DAC，可判断D选项．【详解】解：如图，连接EF， ∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=12CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴PB∥EF，又∵FP∥BE，∴四边形BEFP为平行四边形，∴CD=2EF=2BP=2AP，故A正确，不符合题意；在▱ABCD中，OB=OD，BC=AD，OD=AD，∴OB=BC，又∵E为OC中点，∴BE⊥AC，∴PF⊥AC，故B正确，不符合题意；∵四边形BEFP为平行四边形，∴BE=PF，故C正确，不符合题意；∵OD=AD，∴∠DAC=∠AOD=∠BOC，又∵∠BOC=∠BAC+∠ABO，当2∠BAC=∠DAC时，则∠BAC=∠ABO，∴OA=OB=OD=OC，则此时▱ABCD是矩形，即：只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC=∠DAC，故结论错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．6．（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC=6，BC=14，则DF的长为 ．【答案】4【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，角平分线的定义，等边对等角，根据三角形中位线定理和定义得到DE=12BC=7，CE=12AC=3，DE∥BC，进而证明∠EFC=∠ECF得到EF=EC−3，则DF=DE−EF=4．【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，AC=6，BC=14∴DE=12BC=7，CE=12AC=3，DE∥BC，∴∠EFC=∠BCF，∵∠ACB的角平分线交DE于点F，∴∠ECF=∠BCF，∴∠EFC=∠ECF，∴EF=EC=3，∴DF=DE−EF=4，故答案为：4．7．（2023上·广东河源·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．【答案】22【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值，当AF⊥BC时，根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=8，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×8=42，∴GH=22，即GH的最小值为22，故答案为：22．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．8．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，▱ABCD中，AB=3，BC=4，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，交BE于点O，点G，H分别是OF和OE的中点，则GH的长为 ．【答案】1【分析】本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，根据平行四边形的性质得出AB=CD=3，BC=AD=4，AD∥BC，根据平行线的性质及角平分线定义推出∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，根据等腰三角形的判定及线段的和差求出EF=2，根据三角形中位线的判定与性质求解即可．【详解】解：▱ABCD中，AB=3，BC=4，∴AB=CD=3，BC=AD=4，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，∴∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，∴AB=AE=3，DC=DF=3，∵AE+DF=AD+EF，∴EF=2，∵点G，H分别是OF和OE的中点，∴GH是△OEF的中位线，∴GH=12EF=1故答案为：1．9．（2023上·山东淄博·八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 ．【答案】1【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，首先证明△ACG是等腰三角形，则AG=AC=3，FG=CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG=AC，∵AC=3，∴AG=AC=3，∵AF为∠CAG的角平分线，∴FG=CF，即点F为CG的中点，∵AE为△ABC的中线，∴点E为CB的中点，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=12BG，∵AB=5，∴BG=AB−AG=5−3=2．∴EF=12×2=1．故答案为：1．10．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE，S△BEC=12，则线段CE的长为 ．【答案】35【分析】取AO中点M，连接EM，可证明EM是ABO的中位线，得到EM=12OB，EM⊥OA，因此OF=EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG=OG=1，从而求出OA的长，得到AC的长，求出CM的长，由三角形面积公式求出OB长，得到EM的长，由勾股定理即可求出CE的长．【详解】解：取AO中点M，连接EM，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD=OB，OA=OC，∵点E为AB的中点，M为AO中点，∴EM是△ABO的中位线，∴EM=12OB，EM∥BD，∴EM⊥AC，∠MEG=∠OFG，∵DF=OF，∴OF=12OD=12OB，∴EM=OF，∵∠MEG=∠OFG，∠MGE=∠OGF，∴△EMG≌△FOGAAS，∴MG=OG=1，∴OM=2OG=2，∴OA=2OM=4，∴AC=2OA=8，∵AE=BE，∴S△BAC=2×S△BEC=2×12=24，∴12AC⋅OB=24，∴OB=6，∴EM=12OB=3，∵CM=OM+OC=2+4=6，∴CE=CM2+EM2=35．故答案为：35．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．11．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD'，点M为BD'中点，则MN的最小值是 ． 【答案】7−1【分析】根据三角形中位线定理可得MN=12AD'，可知当AD'取得最小值时，MN取得最小值，根据折叠可知D'在以点F为圆心，DF的长为半径的半圆弧上运动，当点D'运动到线段AF上时，此时AD'取得最小值，最小值为AF−D'F，过点F作FH⊥AD于点H，根据30°的直角三角形的性质可得HD的长，根据勾股定理求出FH的长，再在Rt△AFH中，根据勾股定理求出AF的长，进一步可得AD'的最小值，即可求出MN的最小值．【详解】解：连接AD'， ∵点N为AB的中点，点M为BD'的中点，∴MN为△BAD'的中位线，∴MN=12AD'，∴当AD'取得最小值时，MN取得最小值，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∵AB=4，AD=6，∠A=120°，∴CD=4，∠D=60°，∵点F为线段CD的中点，∴DF=CF=2，根据折叠可知D'F=DF=2，∴点D'在以点F为圆心，DF的长为半径的半圆弧上运动，当点D'运动到线段AF上时，此时AD'取得最小值，最小值为AF−D'F，过点F作FH⊥AD于点H，如图所示：则∠FHD=90°，∴∠HFD=30°，∴DH=12DF=1，在Rt△DHF中，根据勾股定理，得FH=22−12=3，∵AD=6，∴AH=6−1=5，在Rt△AFH中，根据勾股定理，得AF=AH2+FH2=27，∴AD'的最小值为27−2，∴MN的最小值为7−1，故答案为：7−1．【点睛】本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，找出线段AD'最小时点D'的位置是解题的关键．12．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别时边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别时EC，FD的中点，这接GH，苦AB=4，BC=6，则GH的长度为 ． 【答案】132【分析】连接CH并延长交AD于点P，连接PE，由矩形的性质得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，从而得到∠DPH=∠FCH，通过AAS证明△DPH≌△FCH可得PD=CF=3，PH=CH，由勾股定理进行计算可得EP=13，再由三角形中位线定理即可得到GH的长．【详解】解：如图，连接CH并延长交AD于点P，连接PE， ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，∴∠DPH=∠FCH，∵点E，F分别时边AB，BC的中点，AB=4，BC=6，∴AE=12AB=2，CF=12BC=3，∵点H为DF的中点，∴DH=FH，在△DPH和△FCH中，∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHCDH=FH，∴△DPH≌△FCHAAS，∴PD=CF=3，PH=CH，∴AP=AD−PD=6−3=3，∴PE=AE2+AP2=22+32=13，∵点G是CE的中点，CH=PH，∴GH是△CEP的中位线，∴GH=12PE=132，故答案为：132．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形，是解题的关键．13．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别为边BC、AC的中点，连接DE，点F为边AB上一动点，且CF=DE，则AF的长为 ． 【答案】2.5或1.1【分析】根据三角形的中位线定理，可知DE=12AB，进而可知CF=12AB，则有两种可能，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及勾股定理，即可解答．【详解】解：∵点D、E分别为边BC、AC的中点，∴DE=12AB，又∵CF=DE，∴CF=12AB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=32+42=5，即CF=12AB=52，则有以下两种情况：种：当F点运动到AB中点时，∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴CF=12AB，∵点F是AB中点，则AF=12AB=2.5， ；种：如图，作CH⊥AB，交AB于点H， ，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，∴CH=AC⋅BCAB=3×45=125，∵AF=52，在Rt△CHF中，HF=CF2−CH2=522−1252=0.7，在Rt△CHF中，AH=AC2−CH2=32−1252=1.8，∴AF=AH−HF=1.8−0.7=1.1，综上所述：AF的长为2.5或1.1，故答案为：2.5或1.1．【点睛】本题考查了三角形的中位线、勾股定理以及直角三角形斜边中线，解题的关键在于运用分类讨论思想进行求解．14．（2023上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A，B重合），DF⊥DE交AC于点F，设BE=x，FC=y．(1)求证：DE=DF；(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)写出x为何值时，EF∥BC？【答案】(1)见详解(2)y=2−x，0
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