人教版七年级数学上册举一反三4.12几何图形初步章末八大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)

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专题4.12 几何图形初步章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10965" 【题型1 线段中的动点问题】  PAGEREF _Toc10965 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10173" 【题型2 利用线段的条数解决实际问题】  PAGEREF _Toc10173 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15899" 【题型3 直线、射线、线段的规律探究】  PAGEREF _Toc15899 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc495" 【题型4 线段的和差的实际应用】  PAGEREF _Toc495 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc22296" 【题型5 三角板中角度探究】  PAGEREF _Toc22296 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc5472" 【题型6 探究角度之间的关系】  PAGEREF _Toc5472 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc558" 【题型7 角度中的规律探究】  PAGEREF _Toc558 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc25090" 【题型8 动角旋转问题】  PAGEREF _Toc25090 \h 10【题型1 线段中的动点问题】【例1】（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知OA+OB=20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．  (1)如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持OD=3AC，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM=OA，点P是直线OB上一点，且MP−BP=OP，求OPMB的值．【变式1-1】（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm．  (1)线段AB=______cm(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．【变式1-2】（2023上·浙江衢州·七年级校考期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB=12.(1)直接写出数轴上点A表示的数.(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒32个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.①经过多少秒，点P是线段OQ的中点？②在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN=23OQ.问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点(把一条线段分成1:2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点.)？【变式1-3】（2023上·广东梅州·七年级校考阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中的三条线段AB，AC和BC．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点________这条线段的巧点；（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)【问题解决】如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．(3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动：动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A，P，Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并求出此时巧点在数轴上表示的数．（直接写出答案）．【题型2 利用线段的条数解决实际问题】【例2】（2023上·河南许昌·七年级许昌市第一中学校联考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．【变式2-1】（2023上·山东聊城·七年级统考期中）如图，点B，C，D在线段AE上．（1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路．（2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？【变式2-2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）3个篮球队进行单循环比赛,总的比赛场次是多少?4个球队呢?5个球队呢?【变式2-3】（2023上·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察图形，并回答下列问题：  (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；(2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；(3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【题型3 直线、射线、线段的规律探究】【例3】（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3,N3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+⋯+M10N10=(       )A．20−1029 B．20+1029 C．20−10210 D．20+10210【变式3-1】（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图，图①中有1条线段，图②中有3条不同线段，图③中有6条不同线段，按此规律下去，图⑦中有（    ）条不同的线段．A．21 B．22 C．24 D．28【变式3-2】（2023·河北唐山·校联考一模）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7.…(1)“17”在射线_____上.(2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律.(3)“2019”在哪条射线上？【变式3-3】观察图形找出规律，并解答问题． (1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；(2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．【题型4 线段的和差的实际应用】【例4】（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽AB与CD相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式4-1】（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）某摄制组从A市到B市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（D），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到C地），过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息（休息处E），司机说：再走从C地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：A，B两市相距多少千米．【变式4-2】（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2−AC1=50mm，则BE1= mm.【变式4-3】（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【题型5 三角板中角度探究】【例5】（2023上·福建福州·七年级统考期末）已知∠AOB．在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC,∠BOC,∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB二倍角线．    (1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；(2)如图①，若∠AOB=90°,∠BOC<∠AOC,OC为∠AOB的二倍角线，求∠AOC的度数；(3)如图②，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC是∠AOB的二倍角线，OB是∠CON的二倍角线，请直接写出∠BON的度数．【变式5-1】（2023上·福建福州·七年级校考期末）将一副三角板如图1放置于桌面，其中30°、45°角共顶点，CM平分∠BCE，CN平分∠BCD．当三角板DEC从图1中位置绕着点C逆时针旋转到图2中的位置时，∠MCN是（　　）A．变大 B．不变 C．变小 D．无法确定【变式5-2】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级克东县第三中学校考开学考试）如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角板60°角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的OD边平分∠AOB时，三角板的另一边OE也恰好平分∠BOC：  (1)求∠AOC的度数．(2)射线OB一定平分∠EOD吗？若OB平分∠EOD，求∠COB和∠AOB度数【变式5-3】（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB(其中∠OAB=30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OB恰好平分∠COE，此时，∠AOC与∠AOD之间数量关系为___________；(2)若射线OC的位置固定不变，且∠COE=130°．①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC，OD中的某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交．(i)求∠AOC−∠BOE的值．(ii)若2∠AOE+13∠BOD=∠AOD−15∠COD，求∠BOE的度数．【题型6 探究角度之间的关系】【例6】（2023上·北京海淀·七年级北理工附中校考期末）对于同一平面内的∠AOB及内部的射线OC，给出如下定义：若组成的3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“牛线”．（1）图1中，OC平分∠AOB，则射线OC_______∠AOB的一条“牛线”．（填“是”或“不是”）．（2）当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的∠AOB与∠BOC的关系．（3）已知：如图2，在平面内，∠AOB=60°，若射线OC绕点O从射线OB的位置开始，以每秒5°的速度逆时针方向旋转．同时射线OA绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA碰撞后，射线OA的速度发生变化，以每秒5°的速度继续旋转，此时的射线OC则以每秒1°的速度继续旋转，当射线OA与射线OB的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为t秒，当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的t的值．【变式6-1】（2023上·重庆·七年级校联考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB上侧任作一个∠COD，使得∠COD=90°．（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，请直接写出∠BOD与∠COE之间的倍数关系，即∠BOD= ______ ∠COE（填一个数字）；（2）如图2，过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度数．【变式6-2】（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．【变式6-3】（2023上·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠BOD=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为每秒12°，运动时间为t秒（0