2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设a、b为向量，则“a⋅b>0”是“a、b的夹角是锐角”的( )条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：
①两球都不是白球；
②两球中恰有一白球；
③两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
3.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则( )
A. 直线MB与直线B1D1相交，直线MB⊂平面ABC1
B. .直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D
C. 直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1
D. 直线MB与直线A1D垂直，直线MB//平面B1D1C
4.已知f(x)是定义在R上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数ga(x)=f(x)−f(a)x−a(a∈R)，下列说法正确的是( )
A. 若f(x)在R上单调递增，则存在实数a，使得ga(x)在(a,+∞)上单调递增
B. 对于任意实数a，若ga(x)在(a,+∞)上单调递增，则f(x)在R上单调递增
C. 对于任意实数a，若存在实数M1>0，使得|f(x)|0，使得|ga(x)|D. 若函数ga(x)满足：当x∈(a,+∞)时，ga(x)≥0，当x∈(−∞,a)时，ga(x)≤0，则f(a)为f(x)的最小值
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线x+ 3y+5=0的倾斜角是______．
6.已知复数z满足z−i=3+4i(i是虚数单位)，则|z|=______
7.已知随机变量X的方差D[X]=1，则随机变量Y=3X+2的方差D[Y]= ______．
8.已知α为第二象限角，sinα+csα= 33，则cs2α=______．
9.在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2 3，则△ABC的面积是______．
10.已知向量a、b满足|a|=|b|=2，且a−b在a上的数量投影为2+ 3，则〈a,b〉= ______．
11.设f(x)=−x+a,x≤0,x+1x,x>0.若f(0)是函数y=f(x)的最小值，则实数a的取值范围为______．
12.设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)=0.若y=f(x)+a⋅2x是奇函数，y=f(x)+3x是偶函数，则a的值为______．
13.已知关于x的不等式|x−a|<|x|+|x+1|的解集为R，则a的取值范围为______．
14.已知A(−2,0)，B(2,0)，若曲线(xa+yb)(xa−yb)=0(a>0,b>0)上存在点P满足|PA|−|PB|=2，则ba的取值范围是______．
15.已知全集U={(x,y)|x，y∈R}，若集合A⊆U，且对任意(x1,y1)∈A，均存在(x2,y2)∈A，使得：x1y2+x2y1=0，则称集合A为“对称对点集”.给出如下集合：
(1)A={(x,y)|x，y∈Z}；
(2)A={(x,y)|y=1x,x∈R,x≠0}；
(3)A={(x,y)|y=2x+1，x∈R}；
(4)A={(x,y)|y=x2，x∈R，x≠0}．
其中是“对称对点集”的序号为______.(写出所有正确的序号)
16.关于x的方程2ln(ax+b2)= 4x2+1有实根，则a2+b2的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元．
(1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第n(n≤18)年后所获利润f(n)；
(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
18.(本小题14分)
已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．
(1)当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；
(2)当三棱锥M−ACO的体积最大时，求θ的值．
19.(本小题14分)
为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的2×2列联表．
(1)根据该2×2列联表，并依据显著水平α=0.05的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；
(2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量X，求X的分布及期望E[X]．
附：P(χ2≥3.841)≈0.05．
20.(本小题18分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率e= 22，点P，Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为 32．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点H(−2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程；
(3)直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点，求△OMN面积的最大值．
21.(本小题18分)
若函数f(x)满足：对任意正数s，t，都有f(s)+f(t)(1)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=ln(x+1)是否为“H函数”，并说明理由；
(2)若函数y=3x+x−3a是“H函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)为“H函数”，f(1)=1，对任意正数s、t，都有f(s)>0，f(t)>0，证明：对任意x∈(2k,2k+1)(k∈N)，都有f(x)−f(1x)>x2−2x．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.D
5.150°
6.5
7.9
8.− 53
9.2 3
10.56π
11.{a|a≤2}
12.−1615
13.{a|−114.(0, 3)
15.(1)(4)
16.e2
17.解：(1)由题意知，每年各种费用等差数列，设纯收入与年数n的关系为f(n)，
则f(n)=21n−[2n+n(n−1)2×2]−25=20n−n2−25，
由f(n)>0得n2−20n+25<0，解得10−5 3又因为n∈N，所以n=2，3，4，，
即从第2年该公司开始获利；
(2)年平均收入为f(n)n=20−(n+25n)≤20−2×5=10，
当且仅当n=5时，等号成立，即年平均收益最大．
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．
18.(12分) 解：(1)连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．
又PO= 62−42=2 5，∴MD= 5.又OC=4，OM=3．
又MD//PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．
∵MO/​/PB，∴∠MOC=60°或120°.…(5分)
当∠MOC=60°时，∴MC= 13．
∴cs∠DMC=MDMC= 6513，∴∠DMC=arccs 6513
当∠MOC=120°时，∴MC= 37.∴cs∠DMC=MDMC= 18537，∴∠DMC=arccs 18537
综上异面直线MC与PO所成的角等于arccs 6513或arccs 18537.…(8分)
(2)∵三棱锥M−ACO的高为MD且长为 5，要使得三棱锥M−ACO的体积最大只要底面积△OCA的面积最大．而当OC⊥OA时，△OCA的面积最大．…(10分)
又OC⊥OP，此时OC⊥平面PAB，∴OC⊥PB，θ=90°.…(12分)
19.解：(1)零假设H0：学生性别与是否愿意参加健美操无关，
由题意可知，χ2=40×(6×6−18×10)224×16×16×24=5.625>3.841，
依据α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；
(2)因为愿意参加的所有学生中，男生与女生之比为1：3，
所以选取的8位学生中有2名男生，6名女生，
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=C22C82=128，P(X=1)=16C21CC82=37，P(X=2)=C62C82=1528，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×128+1×37+2×1528=2114．
20.解：(1)由题意，因为P(a,0)，Q(0,b)，△POQ为直角三角形，所以|PQ|= a2+b2= 3．
又e=ca= 22,a2=b2+c2，所以a= 2,b=1,c=1，所以椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)由(1)知，F1(−1,0)，显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k(x+2)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x22+y2=1y=k(x+2)，消去y得，(1+2k2)x2+8k2x+8k2−2=0，
所以Δ=(8k2)2−4(1+2k2)(8k2−2)=8(1−2k2)>0，即0且x1+x2=−8k21+2k2,x1x2=8k2−21+2k2，
因为AF1⊥BF1，所以AF1⋅BF1=0，
所以(−1−x1,−y1)(−1−x2,−y2)=0，即1+x1+x2+x1x2+y1y2=0，
所以1+x1+x2+x1x2+k(x1+2)⋅k(x2+2)=0，
整理得(1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0，
即(1+2k2)(−8k21+2k2)+(1+k2)(8k2−2)1+2k2+1+4k2=0，
化简得4k2−1=0，即k=±12满足条件，
所以直线AB的方程为y=12(x+2)或y=−12(x+2)，
即直线AB的方程为x−2y+2=0或x+2y+2=0．

(3)由题意，F2(1,0)，
设直线l1的方程为y=k(x+1)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，
则直线l2的方程为y=−12k(x+1)，E(x5,y5)，F(x6,y6)，
联立x22+y2=1y=k(x−1)消去y得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
所以x3+x4=4k21+2k2,x3x4=2k2−21+2k2，
所以xM=x3+x42=2k21+2k2，yM=k(xM−1)=−k1+2k2，
所以M(2k21+2k2,−k1+2k2)，
同理联立x22+y2=1y=−12k(x−1)，消去y得(1+2k2)x2−2x+1−4k2=0，
所以x5+x6=21+2k2,x5x6=1−4k21+2k2，
所以xN=x5+x62=11+2k2，yN=−12k(xN−1)=k1+2k2，
所以N(11+2k2,k1+2k2)，
即MN的中点T(12,0)．
所以S△OMN=12|OT||yM−yN|=14|2k1+2k2|=12×|k|1+2k2=12×11|k|+2|k|≤ 28，
当且仅当2|k|=1|k|，即k=± 22时取等号，
所以△OMN的面积最大值为 28．

21.解：(1)对于任意s，t∈(0,+∞)，f1(s)+f1(t)=s2+t2，f1(s+t)=(s+t)2，
所以f1(s+t)−[f1(s)+f1(t)]=(s+t)2−(s2+t2)=2st>0，
即f1(s)+f1(t)故f1(x)=x2是“H函数”；
对于f2(x)=ln(x+1)，
取s=t=1，则f2(s)+f2(t)=2ln2，f2(s+t)=ln3．
因为2ln2>ln3，故f2(x)=ln(x+1)不是“H函数”；
(2)因为函数y=3x+x−3a是“H函数”，
所以对于任意的s，t∈(0,+∞)，有3s+t+(s+t)−3a>3s+s−3a+3t+t−3a恒成立，
即3s+t−3s−3t>−3a恒成立，
所以(3s−1)(3t−1)>1−3a恒成立，
又s，t∈(0,+∞)，故3s，3t∈(1,+∞)，则(3s−1)(3t−1)∈(0,+∞)，
则1−3a≤0，即a≥13，即实数a的取值范围为[13,+∞)；
(3)证明：由函数f(x)为“H函数”，可知对于任意正数s，t，
都有f(s)>0，f(t)>0，且f(s)+f(t)令s=t，可知f(2s)>2f(s)，即f(2s)f(s)>2，
故对于自然数k与正数s，
都有f(2k+1s)f(s)=f(2k+1s)f(2ks)⋅f(2ks)f(2k−1s)⋯⋯f(2s)f(s)>2k+1，
对任意x∈(2k,2k+1)(k∈N)，可得1x∈(12k+1,12k)，又f(1)=1，
所以f(x)>f(x−2k)+f(2k)>f(2k)≥2kf(1)=2k+12>x2，
同理f(1x)故f(x)−f(1x)>x2−2x． 性别
愿意
不愿意
男生
6
10
女生
18
6
X
0
1
2
P
128
37
1528