人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.4二次函数与一元二次方程【九大题型】(学生版+解析)

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专题22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc21430" 【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】  PAGEREF _Toc21430 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc20016" 【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】  PAGEREF _Toc20016 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc4867" 【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】  PAGEREF _Toc4867 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10229" 【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】  PAGEREF _Toc10229 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32338" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】  PAGEREF _Toc32338 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc15693" 【题型6 图象法解一元二次不等式】  PAGEREF _Toc15693 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc29974" 【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】  PAGEREF _Toc29974 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc32444" 【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】  PAGEREF _Toc32444 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc24884" 【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】  PAGEREF _Toc24884 \h 11知识点1：二次函数与一元二次方程【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣c2＝﹣2x的根为 ．【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根为 ．【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．abc>0B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=−2，x2=3C．a+b=c−bD．a+4b=3c【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ．【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数y=ax2−a+1x+a−1的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+a−4x−5的顶点在第 象限．【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（    ）A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6【变式2-3】（23-24九年级·云南曲靖·期末）已知抛物线y=x2+2k+1x+k2−1的图象与坐标轴有3个交点.(1)求k的取值范围(2)若抛物线的图象经过点1，1，求k值．【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过M(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点N．  (1)点N（ ， ）；(2)若抛物线C1与抛物线C关于y轴对称，求抛物线C1的解析式；(3)若抛物线Cn的解析式为y=−(x+1)(x−2−n)(n=1，2，3，⋯)，抛物线Cn的顶点坐标为Pn，与x轴的交点坐标为A，Bn（点A在点Bn的左边）①求：AB1+AB2+AB3+⋯AB100的值；②判断抛物线的顶点P1,P2,P3，…，Pn是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由．【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线y=x2−2x+c与x轴交于Ax1,0、Bx2,0两点，若2≤AB≤5，则c的最大值是 ．【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例4】（23-24九年级·山东临沂·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、β(α<β)，而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(Mq−pC．m+n=p+q，n−mq−p知识点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】【例5】（23-24九年级·北京通州·期末）有这样一个问题：探究函数y=x2−1x−4的图象与性质．嘉瑶根据学习函数的经验，对函数y=x2−1x−4的图象与性质进行了探究．下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2−1x−4的图象与y轴 交点；（填写“有”或“无”）（2）下表是y与x的几组对应值：则n的值为 ；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程x2−1x=4的根约为 ．（结果精确到0.1）【变式5-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如下表，设一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1，x2，且x10（或<0）的形式；（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2−4ac的值；（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.【题型6 图象法解一元二次不等式】【例6】（23-24九年级·内蒙古赤峰·期中）阅读理解：自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2−5x>0．解：设x2−5x=0，解得x1=0，x2=5，则抛物线y=x2−5x与x轴的交点坐标为0,0和5,0，画出二次函数y=x2−5x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>5时函数图像位于x轴上方，此时y>0，即x2−5x>0，所以，一元二次不等式x2−5x>0的解集为x<0或x>5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______．(2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，x2−5x≤0的解集为______．(3)用类似的方法解一元二次不等式：−x2−3x+4>0．【变式6-1】（23-24九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A−3,−1,B0,3两点．则关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是（   ）  A．x<−3或x>0 B．x≤−3或x≥0 C．−34时，y随x的增大而增大；③点C的纵坐标的最大值为2；④抛物线与x轴的两交点的距离的最大值为6．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式8-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2x+m，则： （1）该拋物线的对称轴为直线x= ； （2）已知该抛物线与x轴有交点，现有点P(0,2)，Q(m+1,m)，若线段PQ与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则m的取值范围为 ． 【变式8-3】（23-24·福建福州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0． (1)当a=2时， ①若该函数图像的对称轴为直线x=1，且过点0,3，求该函数的表达式； ②若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥−1； (2)若a=−b4=c3，已知点M2,a2+2，点N4,a2+2，当二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交点时，直接写出a的取值范围． 【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】 【例9】（23-24·河南新乡·二模）如图，已知抛物线y1=ax2+bx+3与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C，作直线l：BC． (1)求二次函数解析式； (2)已知点Q的坐标为0,5，将线段CQ沿直线BC向下平移得到线段C'Q'，使点C'始终在直线l上，若线段C'Q'与抛物线有交点，请求出点Q'的横坐标m的取值范围． 【变式9-1】（23-24九年级·广东东莞·期中）已知抛物线y=(x−1)2−4的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y=b与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为 ． 【变式9-2】（23-24·吉林长春·一模）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m， 当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为G1，将G沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x（x≥2）的对折函数为y=x(x≥2)−x+4(x＜2) （1）写出函数y =−2x+1（x≥ −1）的对折函数； （2）若函数y =2x−2（x≥−32）的对折函数与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，求△ABC的周长； （3）若点P(m，5)在函数y =(x−1)2−4( x≥−1)的对折函数的图象上，求m的值； （4）当函数y=(x−1)2−4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围 【变式9-3】（23-24九年级·重庆渝中·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+1交x轴于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点C．                                图⑴                                                              图⑵ (1)求这个拋物线的解析式． (2)若点P是直线AC上方抛物线上一个动点，过P作PQ∥x轴交直线AC于Q，过P作PD∥y轴交AC轴于D，以PQ、PD为邻边构造矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值及此时点P的坐标． (3)如图（2），将线段OB向上平移1个单位长度，平移后的线段记作O'B'．然后将抛物线y=ax2+bx+1沿射线AC进行平移，平移的距离记为t(t>0)．若平移后的抛物线与线段O'B'有交点，请直接写出t的取值范围．根的判别式二次函数的图象二次函数与x轴的交点坐标一元二次方程根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交一元二次方程 有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程 有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）x…−3−2−1−12132252… y …16312 −2−74n−2912−12 3720 …x−1.5−1−0.500.511.522.5y−0.220.130.380.530.580.530.380.13−0.22x…﹣2﹣101234…y…m﹣412 m﹣2m﹣12mm﹣12m﹣2m﹣412… 专题22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc21430" 【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】  PAGEREF _Toc21430 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc20016" 【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】  PAGEREF _Toc20016 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc4867" 【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】  PAGEREF _Toc4867 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc10229" 【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】  PAGEREF _Toc10229 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc32338" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】  PAGEREF _Toc32338 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc15693" 【题型6 图象法解一元二次不等式】  PAGEREF _Toc15693 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc29974" 【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】  PAGEREF _Toc29974 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc32444" 【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】  PAGEREF _Toc32444 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc24884" 【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】  PAGEREF _Toc24884 \h 35  知识点1：二次函数与一元二次方程 【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣c2＝﹣2x的根为 ． 【答案】x1＝1，x2＝﹣3． 【分析】根据抛物线对称性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标，即得到关于x的一元二次方程x2−c2＝−2x的根． 【详解】解：由x2﹣c2＝﹣2x得到：2x2+4x﹣c＝0， ∵二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线x＝﹣42×2＝﹣1， ∴二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣c2＝﹣2x的根为：x1＝1，x2＝﹣3． 故答案是：x1＝1，x2＝﹣3． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题的技巧性在于巧妙的运用抛物线的对称性质求得抛物线与x轴的两个交点坐标． 【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根为 ． 【答案】x1=−1，x2=3 【分析】先利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一交点，然后利用抛物线与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：根据图象知，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点是−1，0，对称轴是直线x=1． 设该抛物线与x轴的另一个交点是x，0．则x−12=1， 解得，x=3， 即该抛物线与x轴的另一个交点是3，0． 所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根为x1=−1，x2=3． 故答案是：x1=−1，x2=3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，理解掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．abc>0 B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=−2，x2=3 C．a+b=c−b D．a+4b=3c 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a<0，c>0， ∵对称轴为x=−b2a=1， ∴b>0， ∴abc<0，故A不符合题意； ∵抛物线与x轴交于3,0，对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为−1,0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=−1，x2=3；故B不符合题意； ∵抛物线与x轴交于3,0，−1,0，对称轴为直线x=1， ∴b=−2aa−b+c=09a+3b+c=0， 解得：b=−2ac=−3a， ∴∵a+b=a−2a=−a，c−b=−3a−−2a=−a ∴a+b=c−b，故C符合题意； ∴a+4b=a+−8a=−7a≠−9a； ∴a+4b=3c错误，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ． 【答案】14 【分析】先求出抛物线解析式，再求出抛物线与x轴另外的交点，然后在分类讨论等腰三角形的腰和底，即可求解 【详解】∵抛物线y=x2−2mx+3m与x轴交于点（2，0） ∴4−4m+3m=0 ∴m=4 ∴抛物线的解析式为：y=x2−8x+12 ∴ x2−8x+12=0 解得：x1=2，x2=6 ∴抛物线与x轴另外的交点坐标为（6，0） ∵抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边 ∴ ①当2为△ABC的腰，6为△ABC的底时，2+2<6，该情况不成立； ②当6为△ABC的腰，2为△ABC的底时，△ABC的周长为6+6+2=14 故答案为：14 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式及抛物线与坐标轴点的坐标，等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用，解题关键是分类讨论等腰三角形的底和腰，避免漏解． 【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】 【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数y=ax2−a+1x+a−1的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答． 【详解】解：∵函数y=ax2−(a+1)x+(a−1)的图象与坐标轴共有两个不同的交点， ∴当a=0时，此时y=−x−1与两坐标轴两个交点， 当a≠0时，则a−1≠0[−(a+1)]2−4a(a−1)=0或a−1=0[−(a+1)]2−4a(a−1)>0， 解得，a=3±233或a=1， 由上可得，a的值是0，3±233或1，共4个． 故选：A． 【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+a−4x−5的顶点在第 象限． 【答案】四 【分析】根据方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根得到a的取值范围，结合顶点判断即可得到答案； 【详解】解：∵方程x+4x+a=0有两个不相等的实数根， ∴△=42−4×1×a=16−4a>0， 解得：a<4， ∴x对=−a−42×1=−a−42>0，y顶=4×1×(−5)−(a−4)24×1<0， ∴抛物线y=x2+a−4x−5的顶点在第四象限， 故答案为：四； 【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的情况及抛物线的顶点，解题的关键是熟练掌握△>0方程有两个不等的实数根及抛物线顶点坐标(−b2a,4ac−b24a)． 【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（    ） A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6 【答案】C 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+3，将一元二次方程x2+bx+3−t=0的实数根看做函数y=x2−2x+3与函数y=t的交点问题，再由−2−54 (2)k=0 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式； （1）抛物线y=x2+2k+1x+k2−1的图象与坐标轴有3个交点则与y轴一个交点，与x轴两个交点，据此求解即可； （2）把1，1代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线y=x2+2k+1x+k2−1的图象与坐标轴有3个交点， ∴抛物线与y轴一个交点，与x轴两个交点， ∴方程x2+2k+1x+k2−1=0有两不等实数根， ∴Δ=2k+12−4k2−1>0， 解得k>−54 （2）把1，1代入y=x2+2k+1+k2−1得1=12+2k+1+k2−1， 解得k1=0,k2=−2， 由（1）可得k>−54， ∴k=0． 【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】 【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过M(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点N．    (1)点N（ ， ）； (2)若抛物线C1与抛物线C关于y轴对称，求抛物线C1的解析式； (3)若抛物线Cn的解析式为y=−(x+1)(x−2−n)(n=1，2，3，⋯)，抛物线Cn的顶点坐标为Pn，与x轴的交点坐标为A，Bn（点A在点Bn的左边） ①求：AB1+AB2+AB3+⋯AB100的值； ②判断抛物线的顶点P1,P2,P3，…，Pn是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由． 【答案】(1)−3，0 (2)y=−x2+2x−3 (3)①5350；②不在一条直线上，理由见解析 【分析】（1）M、N两点关于抛物线的对称轴直线x=−1对称，利用中点坐标公式即可求解； （2）由对称可求得C1与x轴的两个交点坐标，与y轴的交点坐标，利用待定系数法即可求解； （3）①求出抛物线Cn与x轴的交点坐标，则可求得ABn=n+3，从而可求解； ②由抛物线Cn的解析式，可求得各抛物线的顶点P1，P2，P3，…，Pn的坐标；求出过P1(1,4)，P3(2,9)两点的直线的解析式，验证点P2不在直线上即可； 【详解】（1）解：∵M、N两点关于抛物线的对称轴直线x=−1对称，且M(1,0)， ∴点N的横坐标为：2×(−1)−1=−3， ∴点N的坐标为(−3,0)； 故答案为：−3，0； （2）解：∵M(1，0)，N(−3，0)，C(0，3)，且抛物线C1与抛物线C关于y轴对称， ∴抛物线C1与x轴的交点坐标分别为(−1,0)，(3,0)，抛物线C1与y轴的交点为C(0，3)； 设抛物线C1的解析式为y=a(x+1)(x−3)， 代入C(0，3)，得3=a×1×(−3)， 解得a=−1， ∴y=−(x−3)(x+1)=−x2+2x−3； （3）解：①令y=−(x+1)(x−2−n)=0，得x=−1，x=n+2， ∴ABn=n+2−(−1)=n+3，其中n=1，2，3，⋯， ∴AB1+AB2+AB3+⋯AB100=4+5+6+⋯+103=50×107=5350； ②不在一条直线上． ∵P1(1,4),P232,254,P3(2,9),⋯,Pnn+12,n+322， 设P1(1,4),P3(2,9)所在直线的解析式为：y=kx+b， ∴4=k+b9=2k+b， ∴k=5b=−1， ∴y=5x−1， 把点P232,254代入y=5x−1， ∵254≠152−1， ∴点P2不在直线P1P3上． ∴顶点P1，P2，P3，⋯，Pn不在一条直线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴交点坐标，图形的对称等知识，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m． (1)求抛物线与x轴两交点间的距离； (2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式． 【答案】(1)与x轴两交点间的距离为6 (2)y=27x2+87x−107 【分析】（1）令y＝0，解一元二次方程求得抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），即可求解； （2）根据题意求得l的解析式为y＝2，y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2，进而根据一元二次方程根与系数的关系，求得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣2m，根据x2﹣x1＝8，求得m的值，即可求解． 【详解】（1）令y＝0得： mx2+4mx﹣5m＝0， ∴m（x2+4x﹣5）＝0， ∵m为二次函数二次项系数， ∴m≠0， ∴x2+4x﹣5＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝1， ∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0）， ∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6； （2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴， ∴直线l的解析式为y＝2， ∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得： ∴2＝mx2+4mx﹣5m， ∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0， ∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣2m， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+8m， ∵x2﹣x1＝8， ∴（x1﹣x2）2＝64， ∴36+8m＝64， ∴m＝27， ∴y=27x2+87x−107． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线y=x2−2x+c与x轴交于Ax1,0、Bx2,0两点，若2≤AB≤5，则c的最大值是 ． 【答案】0 【分析】根据根与系数关系定理，结合2≤AB≤5，转化为不等式组，求解集后定最大值． 【详解】∵抛物线y=x2−2x+c与x轴交于Ax1,0、Bx2,0两点， ∴x1+x2=2,x1·x2=c，AB=x1−x2 ∴AB2=x1−x22=x1+x22−4x1x2=4−4c， ∴4−4c≥0， 解得c≤1， ∵2≤AB≤5， ∴4≤AB2≤25 ∴4−4c≥44−4c≤25， 解得−214≤c≤0， 故c的范围是−214≤c≤0， c的最大值是0． 故答案为：0 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，不等式组的解法，不等式求最值，熟练掌握定理与不等式组的解法是解题的关键． 【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长． (1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长； (2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围； (3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值． 【答案】(1)4 (2)22≤AB<25 (3)m=2，n=2或m=4，n=1 【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解； （2）根据（1）的方法求得AB=(n+1)2+4，根据n的范围，即可求解． （3）根据题意，分别求得l1,l2，根据s=l12−l22，求得出s与t之间的函数关系式，根据s≥0恒成立，可得mn=4，根据m，n为正整数，且m≠1，即可求解． 【详解】（1）解：x2−2x−3=0， x−3x+1=0， ∴x1=3，x2=−1， ∴雅礼弦长AB=4； （2）x2+(n+1)x−1=0，A(x1,0)B(x1,0)， ∴AB=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2， ∵Δ=(n+1)2+4>0，x1+x2=−(n+1)x1x2=−1， ∴AB=(n+1)2+4， ∵1≤n<3， ∴当n=1时，AB最小值为22， 当n=3时，AB最大值小于25， ∴22≤AB<25； （3）由题意，令y=x2+(4−mt)x−4mt=0， ∴x1+x2=mt−4，x1x2=−4mt， 则l12=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(mt+4)2， 同理l22=(n+t)2， s=(mt+4)2−(n+t)2=(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)， ∵m2−1≠0， ∴要不论t为何值，S≥0恒成立， 即：(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)≥0恒成立， 由题意得：m2−1>0，Δ=(8m−2n)2−4(m2−1)(16−n2)≤0， 解得：(mn−4)2≤0，mn=4 ∵m，n为正整数，且m≠1， 则m=2，n=2或m=4，n=1． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】 【例4】（23-24九年级·山东临沂·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、β(α<β)，而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(M0 ∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是α、β(α<β) 又∵x2+bx+c−2=0的两根是抛物线y=x2+bx+c与直线y=2的交点横坐标，且Mb>a>x1 【分析】根据二次函数的图象和性质即可求出答案 【详解】解：设函数y=x−ax−b， 当y=0时， x=a，或x=b， 当y=12时， 由题意可知：x−ax−b−12=0 aq−p C．m+n=p+q，n−mq−p 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键．因为抛物线y=−3x−ℎ2+5开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与x轴的两交点距离变长解答即可． 【详解】解：∵抛物线y=−3x−ℎ2+5与x轴相交于m,0，n,0两点m0（或<0）的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2−4ac的值； （3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零. 【题型6 图象法解一元二次不等式】 【例6】（23-24九年级·内蒙古赤峰·期中）阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x2−5x>0． 解：设x2−5x=0，解得x1=0，x2=5，则抛物线y=x2−5x与x轴的交点坐标为0,0和5,0，画出二次函数y=x2−5x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>5时函数图像位于x轴上方，此时y>0，即x2−5x>0，所以，一元二次不等式x2−5x>0的解集为x<0或x>5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______． (2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，x2−5x≤0的解集为______． (3)用类似的方法解一元二次不等式：−x2−3x+4>0． 【答案】(1)转化思想和数形结合 (2)0≤x≤5 (3)−40确定一元二次不等式−x2−3x+4>0的解集即可； 理解二次函数图像的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想． 故答案为：转化思想和数形结合． （2）解：由图像可知：当0≤x≤5时函数图像位于x轴及其下方，此时y≤0，即x2−5x≤0， ∴一元二次不等式x2−5x≤0的解集为：0≤x≤5． 故答案为：0≤x≤5． （3）解：设−x2−3x+4>0，解得：x1=−4，x2=1， ∴抛物线y=−x2−3x−4与x轴的交点坐标为−4，0和1，0． 如图：画出二次函数y=−x2−3x−4的图像， 有图像可知：当−40，即−x2−3x+4>0， ∴一元二次不等式−x2−3x+4>0的解集为：−40 B．x≤−3或x≥0 C．−30， 又∵对称轴为x=−b2a=2， ∴b=−4a<0， 又y=kx+b(k≠0)过点A(5,0)， ∴5k+b=0， ∴k=−15b>0， ∴点D(k,b)在第四象限， 故答案为：四； （2）又∵抛物线过A(5,0)， ∴25a+5b+c=0， 解得c=−5a， ∴抛物线的解析式为y=ax2−4ax−5a=a(x−2)2−9a， ∴M(2,−9a)，C(0,−5a)， 连接AC，则CM2+AM2=AC2，    ∴22+[−5a−(−9a)]2+(5−2)2+(9a)2=52+(5a)2， 解得a=±66（负舍）， 故答案为：66． 【变式7-2】（23-24九年级·河北张家口·期末）题目：“如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b相交于点A2,0和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．”对于其答案，甲答：xM=3，乙答：−1≤xM<2，丙答：−14时，y随x的增大而增大；③点C的纵坐标的最大值为2；④抛物线与x轴的两交点的距离的最大值为6．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①把k=0代入y=2x−32+k，由于方程2（x−3）2=0根的判别式Δ=0，所以抛物线y=2x−32与x轴有唯一公共点，即可判断①正确； ②根据二次函数的增减性即可判断②正确； ③抛物线y=2x−32+k过点A2，4时，点C的纵坐标最大，求出此时点C的纵坐标，即可判断③错误； ④抛物线y=2x−32+k过点B2，−1时，与x轴的两交点间的距离最大，求出此时的值，即可判断④正确． 【详解】解：①把k=0代入y=2x−32+k，得y=2x−32， 方程2x−32=0即为2x2−12x+18=0， ∵Δ=122−4×2×18=0， ∴方程2x−32=0有两个相等的实数根， ∴抛物线y=2x−32与x轴有唯一公共点， 即当k=0时，抛物线y=2x−32+k与x轴有唯一公共点，故①正确； ②∵y=2x−32+k中， a=2>0，开口向上，对称轴是直线x=3， ∴当x>3时，y随x的增大而增大， ∴当x>4时，y随x的增大而增大，故②正确； ③∵抛物线y=2x−32+k与线段AB有交点，且与y轴相交于点C， ∴抛物线y=2x−32+k过点A2，4时，点C的纵坐标最大， 把A2，4代入y=2x−32+k，得4=22−32+k，解得k=2， 此时抛物线是y=2x−32+2，即y=2x2−12x+20， 此时点C的坐标为0，20，即点C的纵坐标的最大值为20，故③错误； ④∵抛物线y=2x−32+k与线段AB有交点， ∴抛物线y=2x−32+k过点B2，−1时，与x轴的两交点间的距离最大， 把B2，−1代入y=2x−32+k，得−1=22−32+k，解得k=−3， 此时抛物线是y=2x−32−3， 解方程2x−32−3=0，得x1=3+62，x2=3−62， 所以抛物线与x轴的两交点间的距离的最大值为3+62−3−62=6，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【变式8-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2x+m，则： （1）该拋物线的对称轴为直线x= ； （2）已知该抛物线与x轴有交点，现有点P(0,2)，Q(m+1,m)，若线段PQ与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则m的取值范围为 ． 【答案】 1 m≤−1或m=1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想； （1）把解析式配方即可求解； （2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为m≤1；分0≤m≤1及m<0两种情况讨论，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）∵y=x2−2x+m=(x−1)2+m−1， ∴拋物线的对称轴为直线x=1； 故答案为：1； （2）∵抛物线与x轴有交点， ∴(−2)2−4m≥0， 即m≤1； 当x=0时，y=m，即抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,m)， ∵点Q的纵坐标也为m， ∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即CQ∥x轴； ①当分0≤m≤1时，如图， 则m+1≥2或m+1≤0时，线段PQ与抛物线只有一个公共点； 解得：m≥1或m≤−1； ∴m=1； 故答案为：1； ②当m<0时，如图， 则m+1≥2或m+1≤0时，线段PQ与抛物线只有一个公共点； 解得：m≥1或m≤−1； ∴m≤−1； 综上，满足条件的m取值范围为：m≤−1或m=1． 故答案为：m≤−1或m=1． 【变式8-3】（23-24·福建福州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0． (1)当a=2时， ①若该函数图像的对称轴为直线x=1，且过点0,3，求该函数的表达式； ②若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥−1； (2)若a=−b4=c3，已知点M2,a2+2，点N4,a2+2，当二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①y=2x2−4x+3 ②见解析 (2)a≤−43或a≥45 【分析】（1）①根据对称轴求得b=−4，再把0,3代入y=2x2−4x+c得，c=3，即可求解； ②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得b2=8c，再利用配方法可得2b+8c=b+12−1，根据平方的非负性可得b+12−1≥−1，即可求解； （2）由题意可得y=ax2−4a+3a=ax−22−a，从而求得抛物线的顶点为2,−a，抛物线与x轴的交点为1,0、3,0，当抛物线y=ax2−4a+3a过点M2,a2+2或N4,a2+2时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵a=2，对称轴为直线x=1， ∴−b2a=−b4=1， ∴b=−4， 把点0,3代入y=2x2−4x+c得，c=3， ∴该函数的表达式为y=2x2−4x+3； ②∵方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根， ∴△=b2−4ac=b2−8c=0， ∴b2=8c， ∴2b+8c=2b+b2=b2+2b+1−1=b+12−1， ∵b+12≥0， ∴b+12−1≥−1， ∴2b+8c≥−1； （2）解：∵a=−b4=c3， ∴b=−4a，c=3a， ∴y=ax2−4a+3a=ax−22−a， ∴抛物线的顶点为2,−a， 把y=0代入y=ax2−4a+3a得，ax2−4a+3a=0， 解得x=1或x=3， ∴抛物线与x轴的交点为1,0、3,0， 当抛物线y=ax2−4a+3a过点M2,a2+2时，4a−8a+3a=a2+2， 解得a=−43， 如图，根据a越大，抛物线的开口越小，当a≤−43时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交点， 当抛物线y=ax2−4a+3a过点N4,a2+2时，16a−16a+3a=a2+2， 解得a=45， 如图，当a≥45时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交点， 综上所述，当a≤−43或a≥45时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】 【例9】（23-24·河南新乡·二模）如图，已知抛物线y1=ax2+bx+3与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C，作直线l：BC． (1)求二次函数解析式； (2)已知点Q的坐标为0,5，将线段CQ沿直线BC向下平移得到线段C'Q'，使点C'始终在直线l上，若线段C'Q'与抛物线有交点，请求出点Q'的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)y=−x2+2x+3； (2)0≤m≤1或2≤m≤3． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再用待定系数法求出直线BC解析式，设C'Q'交抛物线于D，D点坐标为m,−m2+2m+3，则C'm,−m+3，根据CD≤2以及D应在直线BC上方，求出m的取值范围． 【详解】（1）∵y1=ax2+bx+3过点A−1,0，B3,0， ∴a−b+3=09a+3b+3=0， 解得a=−1b=2， ∴二次函数解析式为y1=−x2+2x+3； （2）∵y1=−x2+2x+3， ∴C0,3， 设直线l解析式为y=kx+b，将0,33,0代入解析式得： b=33k+b=0， 解得k=−1b=3， ∴直线BC解析式为y=−x+3， 设C'Q'交抛物线于D，则D点坐标为m,−m2+2m+3， ∴C'm,−m+3， ∴C'D=−m2+2m+3−−m+3=−m2+3m， ∵C'Q'=CQ=5−3=2， ∴C'D≤2， 即−m2+3m≤2， 解得m≤1或m≥2， ∵C'Q'在直线BC的上方，D应在直线BC上方， ∴0≤m≤3， 综上所述，m的取值范围为0≤m≤1或2≤m≤3． 【变式9-1】（23-24九年级·广东东莞·期中）已知抛物线y=(x−1)2−4的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y=b与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为 ． 【答案】04， 由图可知：当直线y=b与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为03时，无交点 【分析】(1)利用对折函数的定义求解对折后的函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求解即可； (2)先求解对折函数的解析式，得到C的坐标，利用勾股定理可得答案； (3)先求解对折函数的解析式，把P的坐标代入即可得到答案； (4)根据拐点的纵坐标分情况讨论，即可得到对折函数的图像，根据图像可得答案． 【详解】(1)如图1，设对折点为A，则点A(−1，3)，设对折图象与x轴的交点为A． B， 当y =−2x+1=0时，x=12时，即点B(12，0)，则点C(−52，0)， 设直线AC为：y=kx+b ∴−k+b=3−52k+b=0 解得：k=2b=5 所以：直线AC的表达式为：y=2x+5， 故y=−2x+1(x⩾−1)的对折函数为：y=−2x+1(x≥−1)2x+5(x＜−1) (2)由对折函数的定义得拐点坐标为：(−32,−5) ，B(1,0)， ∴A(−4,0) 同理可得：函数y=2x−2(x≥−32)的对折函数y=2x−2(x≥−32)−2x−8(x＜−32) ∴ 点C(0，−2)， 则AB=5，AC=25，BC=5， 则△ABC的周长为：5+55 (3)令y=(x−1)2−4=0，则x=−1或3，如下图：即点A． B的坐标为(−1，0)、(3，0)， 则对折后函数的顶点坐标为(−3，−4)，该函数表达式为：y=(x+3)2−4， 即对折函数为y=(x+3)2−4(x<−1)(x−1)2−4(x≥−1) 将点P(m，5)代入y=(x−1)2−4得： (m−1)2−4=5, 解得：m1=4,m2=−2（舍去） 将点P(m，5)代入y=(x+3)2−4， ∴(m+3)2−4=5, 解得：m1=−6,m2=0（舍去） 综上：m=4或−6 (4)①当n<−1时，如图3: 此时x=n在点A(−1，0)的左侧， 从图中可以看出：函数与x轴有4个交点(A、B． C． D)； ②当n=−1时，x=n过点A，从图2可以看出：函数与x轴有3个交点； ③如图：同理：当−13时，无交点 【点睛】本题考查的是自定义下利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，利用函数图像判断函数与x轴的交点个数，同时考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式9-3】（23-24九年级·重庆渝中·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+1交x轴于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点C．                                图⑴                                                              图⑵ (1)求这个拋物线的解析式． (2)若点P是直线AC上方抛物线上一个动点，过P作PQ∥x轴交直线AC于Q，过P作PD∥y轴交AC轴于D，以PQ、PD为邻边构造矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值及此时点P的坐标． (3)如图（2），将线段OB向上平移1个单位长度，平移后的线段记作O'B'．然后将抛物线y=ax2+bx+1沿射线AC进行平移，平移的距离记为t(t>0)．若平移后的抛物线与线段O'B'有交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)y=−13x2−23x+1 (2)矩形PQED周长的最大值是6，点P−32,54 (3)00，然后分抛物线左、右支与O'B'相交，分两种情况讨论．画出图像是帮助解决本题分类讨论的关键所在．【详解】（1）将点A−3,0、B1,0的坐标代入抛物线y=ax2+bx+1中得：9a−3b+1=0a+b+1=0，解得：a=−13b=−23∴这个抛物线的解析式是：y=−13x2−23x+1．（2）设点P的坐标为a,−13a2−23a+1，由矩形PQED的性质可知，点D的横坐标为a，点Q的纵坐标为−13a2−23a+1．在抛物线y=−13x2−23x+1中，令x=0，得y=1，所以点C0,1，又A−3,0，可设直线AC的解析式为：y=kx+b代入b=1−3k+b=0，解得：k=13b=1∴直线AC的解析式为：y=13x+1∵点D、Q均在直线AC上，将Q点纵坐标代入直线AC的解析式中得：−13a2−23a+1=13x+1，解得：x=−a2−2a∴Da,13a+1、Q−a2−2a,−13a2−23a+1、E−a2−2a,13a+1∴矩形PQED的周长：L=2−a2−2a−a+−13a2−23a+1−13a−1=−83a2−8a=−83a+322+6当a=−32时，−13a2−23a+1=54，此时L的最大值为6，此时P−32,54即矩形PQED周长的最大值是6，此时点P−32,54．（3）∵抛物线沿直线AC向右平移，直线AC的方程为y=13x+1∴每水平向右平移3mm>0个单位，则同时垂直向上平移m个单位，t=3m2+m2=10⋅mt>0故可设平移后的抛物线方程为：y'=−13x−3m2−23x−3m+1+m,m>0根据题意可知四边形OBB'O'边长为1的正方形．则B'1,1，①当抛物线右支与O'B'相交时（如图），0<3m≤1−131−3m2−231−3m+1+m≤1解得：0