高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第12讲拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(高频精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第12讲拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(高频精讲)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了型及型未定式等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10143" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc10143 \h 1
\l "_Tc2558" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2558 \h 3
\l "_Tc29475" 高频考点一：洛必达法则的简单计算 PAGEREF _Tc29475 \h 3
\l "_Tc7836" 高频考点二：洛必达法则在导数中的应用 PAGEREF _Tc7836 \h 5
第一部分：知识点必背
一、型及型未定式
1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）设当时， 及；
（2）在点的某个去心邻域内（点的去心 \t "" 邻域内）都有，都存在，且；
（3）；
则：.
3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么 =.
5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、型、、、型
1、型的转化：
或；
2、型的转化：
3、、型的转化：幂指函数类
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：洛必达法则的简单计算
典型例题
例题1、求
例题2、求
例题3．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
例题4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则______．
练透核心考点
1．求
2．求
3．（2023·广东韶关·校考模拟预测）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再
4．（2023·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________．
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
例题2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数.
（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.
例题3．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立，求的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.
4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)求证：存在唯一的极小值点，且；
(3)设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.
第12讲 拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10143" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc10143 \h 1
\l "_Tc2558" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2558 \h 3
\l "_Tc29475" 高频考点一：洛必达法则的简单计算 PAGEREF _Tc29475 \h 3
\l "_Tc7836" 高频考点二：洛必达法则在导数中的应用 PAGEREF _Tc7836 \h 5
第一部分：知识点必背
一、型及型未定式
1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）设当时， 及；
（2）在点的某个去心邻域内（点的去心 \t "" 邻域内）都有，都存在，且；
（3）；
则：.
3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么 =.
5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、型、、、型
1、型的转化：
或；
2、型的转化：
3、、型的转化：幂指函数类
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：洛必达法则的简单计算
典型例题
例题1、求
【答案】0
解析：不适合条件，需转化：
故答案为：0
例题2、求
【答案】
解析：
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【详解】，
故选：D
例题4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则______．
【答案】2
【详解】由题可得.
故答案为：2.
练透核心考点
1．求
【答案】1
【详解】
故答案为：1.
2．求
【答案】
【详解】
3．（2023·广东韶关·校考模拟预测）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______．
【答案】
【详解】由题意可得：．
故答案为：.
4．（2023·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________．
【答案】##0.5
【详解】
故答案为：
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
解得，
所以；
（2）由（1）可知，时，，此时，；
故时，成立时，成立，
对恒成立，
即对恒成立；
记，则，
记，则，
记 ，则 ，
∴当0时，，在上单调递增；
，
所以在上单调递增；；
∴时，0，即在上单调递增；
记，，
当时，，符合洛必达法则条件，
∴，
∴时，，
∴．
例题2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数.
（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），所以在点处的切线的斜率，
又，所以切线的方程为：，
即，由经过点可得：.
（2）易知为方程的根，
由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可.
①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，，，
令，故在单调递增，在单调递减
故在单调递减
从而，，此时方程也无解.
若，由，
记，则，
设，则有恒成立，
所以恒成立，
故令在上递增，在上递减
，可知原方程也无解
由上面的分析可知时，，方程均无解.
②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，和①中的分析同理可知此时方程也无解.
若，由，
记，则，
由①中的分析知，
故在恒成立，从而在上单调递增
，
如果，即，则，
要使方程无解，只需，即有
如果，即，此时，方程一定有解，不满足.
由上面的分析知时，，方程均无解，
综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解.
例题3．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：,
；
函数在处取得极值，
；
又曲线在点处的切线与直线垂直，
；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，
即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，
则；
令，
则；
令，
则；
得在是减函数，
故，
进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，
当时，没有意义，由洛必达法得，
．
练透核心考点
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵函数在上单调递增，
∴恒成立，∴，即，∴，
即实数的最小值为.
（2）∵，∴函数，
由（1）可得在上单调递增，故当，，即，
由对任意都成立，得恒成立.
即恒成立.
①当，恒成立；
②当，恒成立；
③当时，即：恒成立；
令，则
∴在上单调递增；
由洛必达法则：，
故，即实数的取值范围为.
初等方法解决：
∵，∴函数，∵，∴.
对于任意，令，
则
①当，即时，，
∴在上为单调递增函数，∴，符合题意，∴.
②当，即时，令，于是.
∵，∴，∴，∴在上为单调递增函数，
∴，即，∴.
①当，即时，，
∴在上为单调递增函数，于是，符合题意，∴.
②当，即时，存在，使得当时，有，
此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立，
综上所述，实数的取值范围为.
2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立，求的取值范围.
【答案】
【详解】当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，，
所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.
因此在上单调递减，且，
故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有，
即趋向于0时，趋向，即有.
故时，不等式对于恒成立.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
（1）
时，
，
令 得 或 在 时单调递增，
时单调递减， 时单调递增；
所以函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为；
（2）
注意到 ，
设 ，则在时有两不同解，
，令
， ，令 ，则有 ，
是增函数，则 时， ， 时， ，
所以 时， 单调递减， 时， 单调递增， ，
所以 时， ， 时， ，
所以在 时，单调递减， 时，单调递增，
因为 ，
当 时， ， ，
即 ，当 时， ，
并且 ， ，并且 ，
当 时， ，
函数图像如下：
所以 即 ；
综上，函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为，
.
4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)求证：存在唯一的极小值点，且；
(3)设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
(1)解：由题意，函数，可得其定义域为，
因为，且，可得，且时函数的一个极值点，
令，可得，
因为，且，可得，解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，符合题意.
所以实数的值为.
(2)
证明：由函数，
可得，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，，，
所以，使得，
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以存在唯一极小值点.
因为，所以，
又因为，所以
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，所以，
综上可得：.
(3)解：对，恒成立，即恒成立，
即不等式恒成立.
当时，不等式对任意实数b都成立；
当时，，所以，
令，
可得，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，所以，单调递减，所以，
所以，单调递减，
又由洛必达法则：所以，
所以，即实数的取值范围是.