高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第11讲拓展四：导数中的隐零点问题(高频精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第11讲拓展四：导数中的隐零点问题(高频精讲)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了不含参函数的隐零点问题，含参函数的隐零点问题，函数零点的存在性等内容，欢迎下载使用。

第一部分：知识点必背
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(2)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
第二部分：高频考点一遍过
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
例题2．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．
(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；
(2)若，，方程有几个解？
例题3．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数.
(1)若，证明：存在唯一的极值点.
(2)若，求的取值范围.
例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．
(1)设，求在 上的最大值；
(2)当时，求证：．
例题5．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．
2．（2023·贵州·校联考二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数
(1)若，求的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，恒成立，求的最大整数值．
4．（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对成立，求b的取值范围．
5．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．
第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲）
第一部分：知识点必背
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(2)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
第二部分：高频考点一遍过
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)当时，函数在单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
(2).
【详解】（1）因为函数，
所以，
当时，，所以函数在单调递增，
当时，另，得，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，
综上所述，当时，函数在单调递增，
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
（2）若不等式恒成立，则有，
即，
化简得，
设函数，，
，
令得，即，
所以存在，使得成立，
所以，①，
且，即，②，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
代入①②，可得，
要使得恒成立，则即可，
所以.
例题2．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．
(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；
(2)若，，方程有几个解？
【答案】(1)
(2)两个
【详解】（1）时，，，
则方程有两实根，即有两实根．
设，，则时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以，且，时，，
所以当有两个实根时，；
（2）当，时，设，
则，，
因为在上单调递增，且，．
所以恰有一根，且，．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
且，．
所以有且仅有两个实根，即方程有且仅有两个实根．
例题3．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数.
(1)若，证明：存在唯一的极值点.
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）当时，，，
因为函数，在上单调递减，所以在上单调递减，
，，所以在上存在唯一一个零点，且当时，，时，，
所以在上单调递增，上单调递减，存在唯一的极值点.
（2），可以转化为，
，在上单调递减，
当，即或时，在上大于零，在上单调递增，所以，解得，
所以或；
当时，，时，，所以在上存在一个零点，，
所以在上单调递增，上单调递减，
，
因为，所以，，，则，所以成立；
综上可得，的取值范围为.
例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．
(1)设，求在 上的最大值；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
（1）
解：因为，则，其中，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
所以，对任意的恒成立，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
所以，当时，.
（2）
证明：因为，则，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，，
由零点存在定理可知，函数在区间上必有一个零点，且.
所以.
所以，当时，，当时，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
，.
对称轴为，所以当时，，
所以，，
综上所述，当时，.
例题5．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
，
∵，
∴切点为，
∵，
∴切线斜率，
∴切线方程为
（2），．
当时，，单调递增，
∴，．
，，
令，，
∴在上单调递增，且，，
∴，使得，即，
也即．
令，，，
显然时，，单调递增，
∴，即．
∵当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
∴．
∵，，都有，
∴，得，
故实数的取值范围为．
练透核心考点
1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
所以，
所以，
所以在处的切线的斜率为，
所以在处的切线方程为，即.
（2）因为，，
所以，
因为函数在区间上存在极值，
所以，使得，两侧的导数异号，
所以，即，，
令，，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增，
所以，即,
所以实数k的取值范围为.
2．（2023·贵州·校联考二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
【答案】(1)
(2)在上是减函数．
【详解】（1），
∴，又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即；
（2）令，
则在上递减，且，，
∴，使，即，
当时，，当时，，
∴在上递增，在上递减，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，
∴在上是减函数．
3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数
(1)若，求的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，恒成立，求的最大整数值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，的定义域为，，
所以在区间，，递减；在区间，，递增．
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，．
令，，
当时，恒成立，所以即在上递增．
当时，在区间，，即递减；
在区间，，即递增．
（3）当时，，，
由（2）知，在上递增，，，
所以存在使得，即．
在区间，，递减；在区间，，递增．
所以当时，取得极小值也即是最小值为，
∵，∴，所以．
由恒成立，得，故的最大整数值为．
4．（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对成立，求b的取值范围．
【答案】(1)2
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）的定义域为，
，
由于直线的斜率为，.
（2），，
①当时，，在R上单调递增；
②当时，令有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述：，的单调递增区间为R，
，的单调减区间为，的单调增区间为.
（3）由恒成立，
等价于，
令（），
，
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，所以在上单调递增，
当趋近于0时，趋近于，不成立，
故不满足题意.
③若时，令，，，，
，单调递减，，单调递增，
只需即可，
，，
令，，在上单调递增，
，时，，
，，所以在上单调递增，
，即，
综上：.
5．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，的定义域为，
，
在区间递减；
在区间递增．
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
．
令，
当时，恒成立，所以即在上递增．
当时，在区间即递减；
在区间即递增．
（3）当时，，
由（2）知，在上递增，，
所以存在使得，即．
在区间，递减；在区间递增．
所以当时，取得极小值也即最小值为，
由于，所以．
，
，
根据零点存在性定理可知在区间和，各有个零点，
所以有个零点．