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    高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第09讲拓展二:构造函数法解决导数不等式问题(高频精讲)(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第09讲拓展二:构造函数法解决导数不等式问题(高频精讲)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第09讲拓展二:构造函数法解决导数不等式问题(高频精讲)(原卷版+解析),共34页。试卷主要包含了两个基本还原,类型一,类型二等内容,欢迎下载使用。

    TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7558" 第一部分:知识点必背 PAGEREF _Tc7558 \h 2
    \l "_Tc26825" 第二部分:高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26825 \h 3
    \l "_Tc28219" 高频考点一:构造或(,且)型 PAGEREF _Tc28219 \h 3
    \l "_Tc23528" 高频考点二:构造或(,且)型 PAGEREF _Tc23528 \h 9
    \l "_Tc15811" 高频考点三:构造或型 PAGEREF _Tc15811 \h 14
    \l "_Tc26812" 高频考点四:构造或型 PAGEREF _Tc26812 \h 17
    \l "_Tc17064" 高频考点五:根据不等式(求解目标)构造具体函数 PAGEREF _Tc17064 \h 20
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    第一部分:知识点必背
    1、两个基本还原
    ① ②
    2、类型一:构造可导积函数
    ① 高频考点1:

    高频考点1: 高频考点2
    ③ 高频考点1:

    高频考点1: 高频考点2


    3、类型二:构造可商函数
    ① 高频考点1:

    高频考点1: 高频考点2:


    第二部分:高频考点一遍过
    高频考点一:构造或(,且)型
    典型例题
    例题1.(2023春·河北保定·高二校联考阶段练习)定义在上的函数的导函数为,若,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·陕西安康·统考二模)函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且满足,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末)设定义R在上的函数,满足任意,都有,且时,,则,,的大小关系是( )
    A.B.
    C.D.
    例题4.(2023秋·陕西·高二校联考期末)定义在上的函数的导函数为,且恒成立,则( )
    A.B.
    C.D.
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)函数是定义在上的偶函数,当时(其中是的导函数),若,,,则( )
    A.B.C.D.
    例题6.(2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习)已知函数是定义在上的偶函数,其导函数为,且当时,,则不等式的解集为______.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高二专题练习)设函数是定义在上的可导函数,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    2.(多选)(2022秋·江苏南通·高三期中)已知函数满足,.则当时,下列说法中正确的是( )
    A. B.只有一个零点
    C.有两个零点D.有一个极大值
    3.(2023·全国·高二专题练习)定义在上的可导函数的导函数记为,若为奇函数且,当时,,则不等式的解集是( )
    A.B.C.D.
    4.(多选)(2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试)已知定义在上的函数满足,则下列不等式一定正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    5.(2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习)设定义在上的奇函数的导函数为,已知,当时,,则不等式的解集为________.
    高频考点二:构造或(,且)型
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上可导且满足,则下列不等式一定成立的为( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023春·陕西安康·高二统考开学考试)已知是的导函数,且,,则不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)是定义在上的函数,满足,,则下列说法正确的是( )
    A.在上有极大值B.在上有极小值
    C.在上既有极大值又有极小值D.在上没有极值
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高二专题练习)已知定义在上的函数的导函数为,且满足,,则的解集为( )
    A.B.C.D.
    2.(2023秋·陕西汉中·高二统考期末)已知定义在上的函数满足,且有,则的解集为( )
    A.B.C.D.
    3.(多选)(2023秋·浙江绍兴·高三期末)定义域为的函数的导数为,若,且,则( )
    A.B. C. D.
    4.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知定义在上的函数的导函数为,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    5.(2023·全国·高二专题练习)已知函数的导函数为,且若,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    高频考点三:构造或型
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高二专题练习)已知函数及其导函数的定义域均为,,,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知奇函数的导函数为,且在上恒有成立,则下列不等式成立的( )
    A.B.
    C.D.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高二专题练习)设是定义在的奇函数,其导函数为,且当时, ,则关于的不等式的解集为_________.
    (2023·全国·高三专题练习)函数定义域为,其导函数是,当时,有,则关于的不等式的解集为__________.
    高频考点四:构造或型
    典型例题
    例题1.(2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习)已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(多选)(2023春·山东聊城·高二校考阶段练习)定义在上的函数,已知是它的导函数,且恒有成立,则有( )
    A.B.
    C.D.
    练透核心考点
    1.(多选)(2023·全国·高三专题练习)已知函数对于任意的,均满足,其中是的导函数,则下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    2.(多选)(2023·全国·高三专题练习)已知函数是偶函数,对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    高频考点五:根据不等式(求解目标)构造具体函数
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高二专题练习)设函数在R上存在导数,对任意的,有,且时,若,则实数的取值范围为( ).
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数对均满足,其中是的导数,则下列不等式恒成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)设定义在上的函数恒成立,其导函数为,若,则( )
    A.B.
    C.D.
    例题4.(2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末)已知函数是定义在上的可导函数,其导函数为,若,且对任意的恒成立,则不等式的解集为________.
    练透核心考点
    1.(2023秋·江西萍乡·高三统考期末)已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时, 且,则的解集是( )
    A. B.
    C.D.
    2.(2023·全国·高二专题练习)已知函数 的导函数为,若对任意的,都有,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    3.(2023·广东广州·统考一模)已知函数的定义域为,其导函数为,若.,则关于x的不等式的解集为__________.
    4.(2023·高二课时练习)已知是定义在上的偶函数,且,当时,,则不等式的解集为___________.序号
    条件
    构造函数
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    第09讲 拓展二:构造函数法解决导数不等式问题 (精讲)
    目录
    TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7558" 第一部分:知识点必背 PAGEREF _Tc7558 \h 2
    \l "_Tc26825" 第二部分:高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26825 \h 3
    \l "_Tc28219" 高频考点一:构造或(,且)型 PAGEREF _Tc28219 \h 3
    \l "_Tc23528" 高频考点二:构造或(,且)型 PAGEREF _Tc23528 \h 9
    \l "_Tc15811" 高频考点三:构造或型 PAGEREF _Tc15811 \h 14
    \l "_Tc26812" 高频考点四:构造或型 PAGEREF _Tc26812 \h 17
    \l "_Tc17064" 高频考点五:根据不等式(求解目标)构造具体函数 PAGEREF _Tc17064 \h 20
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    第一部分:知识点必背
    1、两个基本还原
    ① ②
    2、类型一:构造可导积函数
    ① 高频考点1:

    高频考点1: 高频考点2
    ③ 高频考点1:

    高频考点1: 高频考点2


    3、类型二:构造可商函数
    ① 高频考点1:

    高频考点1: 高频考点2:


    第二部分:高频考点一遍过
    高频考点一:构造或(,且)型
    典型例题
    例题1.(2023春·河北保定·高二校联考阶段练习)定义在上的函数的导函数为,若,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】设,则,因为,所以在上单调递减.
    因为,所以,所以当时,,当时,,故不等式的解集为.
    故选:B.
    例题2.(2023·陕西安康·统考二模)函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且满足,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】设,,
    所以函数在上为增函数.
    由的定义域为可知,得,
    将不等式整理得,即,
    可得在上恒成立,即在上恒成立;
    令,其中,所以
    ,令,得.
    当时,,所以在上单调递增;
    当时,,所以在上单调递减;
    所以,即
    故选:B.
    例题3.(2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末)设定义R在上的函数,满足任意,都有,且时,,则,,的大小关系是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】依题意,任意,都有,所以是周期为的周期函数.
    所以.
    构造函数,
    所以在区间上单调递增,所以,
    即,也即.
    故选:A
    例题4.(2023秋·陕西·高二校联考期末)定义在上的函数的导函数为,且恒成立,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】设函数,,则,
    所以在上单调递减,从而,
    即,则.
    故选:A.
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)函数是定义在上的偶函数,当时(其中是的导函数),若,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】令,又为定义在上的偶函数,则,
    故为定义在上的奇函数;
    又,由题可知,当时,,即在单调递增,
    结合是上的奇函数可知,为上的单调增函数;
    又,
    又,,,
    故.
    故选:B.
    例题6.(2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习)已知函数是定义在上的偶函数,其导函数为,且当时,,则不等式的解集为______.
    【答案】或
    【详解】令,
    则,
    由当时, ,
    所以当时,
    即在上是增函数,
    由题意是定义在上的偶函数,
    所以,
    所以,
    所以是偶函数,在递减,
    所以,

    即不等式等价为,
    所以,所以或.
    故答案为:或.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高二专题练习)设函数是定义在上的可导函数,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】由题知,函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,即,
    设,
    所以,
    所以在上单调递增,
    因为,
    所以,
    所以,解得,
    所以不等式的解集为,
    故选:B
    2.(多选)(2022秋·江苏南通·高三期中)已知函数满足,.则当时,下列说法中正确的是( )
    A. B.只有一个零点
    C.有两个零点D.有一个极大值
    【答案】BD
    【详解】令,则,
    所以,,所以,.
    又,则,解得.
    所以,.
    则,,且,A项错误.
    当时,,则在上单调递增;
    当时,,则在上单调递减.
    所以,在处有极大值为,
    且只有一个极值点,D正确.
    且时,有恒成立.
    又,所以只有一个零点,B项正确,C项错误.
    故选:BD.
    3.(2023·全国·高二专题练习)定义在上的可导函数的导函数记为,若为奇函数且,当时,,则不等式的解集是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】设,则,
    因为当时,成立,所以,为递减函数,
    又因为函数为奇函数,可得,
    则,所以函数为偶函数,
    所以函数在为单调递增函数,
    因为,所以,,,
    当时,由为奇函数可得不满足题意;
    当时,由可得,所以;
    当时,由可得,所以,此时,
    综上所述,不等式的解集是
    故选:D
    4.(多选)(2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试)已知定义在上的函数满足,则下列不等式一定正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AD
    【详解】由,得,
    设,则,
    设,则在上为增函数,且,
    则当时,,此时,此时函数为增函数;
    当时,,此时,此时函数为减函数,
    故由,即,A正确;
    由,得,即,B错误;
    与不在一个单调区间上,C中算式无法比较大小,C错误;
    由,得,即,D正确.
    故选:AD
    5.(2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习)设定义在上的奇函数的导函数为,已知,当时,,则不等式的解集为________.
    【答案】
    【详解】令,取,则函数为偶函数,
    当时,,故,即,
    由偶函数性质知,函数在是严格减函数,在是严格增函数,
    又,故等价于或,
    解得.
    故答案为:
    高频考点二:构造或(,且)型
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上可导且满足,则下列不等式一定成立的为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】构造函数,
    在时恒成立,
    所以在时单调递增,
    所以,即,所以,
    故选:C.
    例题2.(2023春·陕西安康·高二统考开学考试)已知是的导函数,且,,则不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】令,则,∴在上单调递增.
    ∵不等式可化为,即,∴,
    则不等式的解集为.
    故选:A.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)是定义在上的函数,满足,,则下列说法正确的是( )
    A.在上有极大值B.在上有极小值
    C.在上既有极大值又有极小值D.在上没有极值
    【答案】D
    【详解】解:根据题意,,故,
    又,得,故,
    令,
    则,
    即,
    记,
    所以,
    当时,,当时,,
    所以函数在上递减,在上递增,
    所以,即,即,
    所以在上单调递增,故在上没有极值.
    故选项ABC说法错误,选项D说法正确.
    故选:D
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高二专题练习)已知定义在上的函数的导函数为,且满足,,则的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】构造函数,

    所以在上递增,,
    由于,
    根据的单调性解得,
    所以的解集.
    故选:D
    2.(2023秋·陕西汉中·高二统考期末)已知定义在上的函数满足,且有,则的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】设,则,
    ∴在上单调递减.
    又,则.
    ∵等价于,即,
    ∴,即所求不等式的解集为.
    故选:B.
    3.(多选)(2023秋·浙江绍兴·高三期末)定义域为的函数的导数为,若,且,则( )
    A.B. C. D.
    【答案】AC
    【详解】由题意可知构造函数,
    则,所以在上是单调递减函数,
    于是:,于是,所以A正确;
    ,于是,所以B错误;
    ,于是,所以C正确;
    由于而,所以的范围无法确定,D不一定正确.
    故选:AC
    4.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知定义在上的函数的导函数为,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】令,函数的定义域为,
    因为
    所以,

    故在R上单调递减,
    又因为
    所以,,
    所以不等式可化为,
    所以,
    所以的解集为
    故选:B.
    5.(2023·全国·高二专题练习)已知函数的导函数为,且若,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】设,
    则,
    因为恒成立,
    所以,
    所以在单调递增,
    则,,,
    设,则,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    所以,即,
    所以,
    即.
    故选:B
    高频考点三:构造或型
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高二专题练习)已知函数及其导函数的定义域均为,,,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】已知,
    令,则

    所以在上单调递减,
    又因为,所以,
    所以不等式等价于,则,
    所以不等式的解集为
    故选:A.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知奇函数的导函数为,且在上恒有成立,则下列不等式成立的( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】构造函数,由在上恒有成立,即在上为增函数,又由为偶函数,,故A错误.
    偶函数在上为增函数,在上为减函数,
    ,故B正确;
    ,,故C错误;
    ,,故D错误.
    故选:B
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高二专题练习)设是定义在的奇函数,其导函数为,且当时, ,则关于的不等式的解集为_________.
    【答案】
    【详解】令,
    则,
    由条件得当时,,
    ∴函数在上单调递减.
    因为,是奇函数,∴函数为偶函数,
    ∴函数在上单调递增.
    ①当时,,不等式可化为,
    ∴;
    ②当时,,不等式可化为,
    ∴.
    综上可得不等式的解集为.
    故答案为:
    2.(2023·全国·高三专题练习)函数定义域为,其导函数是,当时,有,则关于的不等式的解集为__________.
    【答案】
    【详解】令,则,
    因为,所以,
    因为,
    所以,
    所以在上为减函数,
    由,得,
    所以,
    因为在上为减函数,
    所以,
    所以不等式的解集为,
    故答案为:
    高频考点四:构造或型
    典型例题
    例题1.(2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习)已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】构造函数,,则,所以在上单调递增,
    则,所以,即,故A不正确;
    则,所以,即,故B不正确;
    则,所以,即,故C正确;
    则,所以,即,故D不正确.
    故选:C.
    例题2.(多选)(2023春·山东聊城·高二校考阶段练习)定义在上的函数,已知是它的导函数,且恒有成立,则有( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】CD
    【详解】令,则,
    由已知可得,即在上单调递减.
    所以,
    故,,即C、D选项正确.
    故选:CD
    练透核心考点
    1.(多选)(2023·全国·高三专题练习)已知函数对于任意的,均满足,其中是的导函数,则下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ABC
    【详解】令,其中,则,
    当时,,则,
    当时,,则,
    所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为,
    对于A选项,因为,则,即,
    所以,,A对;
    对于B选项,,
    因为,则,即,
    所以,,即,B对;
    对于CD选项,,
    因为,则,即,
    所以,,即,C对D错.
    故选:ABC.
    2.(多选)(2023·全国·高三专题练习)已知函数是偶函数,对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ABD
    【详解】构造函数,其中,则,
    ∵对于任意的满足,
    ∴ 当时,,则函数在上单调递增,
    又函数是偶函数,,∴,
    ∴在上为偶函数,
    ∴函数在上单调递减.
    ∵,则,即,即,化简得,A正确;
    同理可知,即,即,化简得,B正确;
    ,且即,即,化简得,C错误;
    ,且,即,即,化简得,D正确.
    故选:ABD.
    高频考点五:根据不等式(求解目标)构造具体函数
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高二专题练习)设函数在R上存在导数,对任意的,有,且时,若,则实数的取值范围为( ).
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】设,则,
    当时,,
    即在上单调递减,而,
    所以,
    故是偶函数,所以在上单调递增,
    因为,
    所以,
    即.
    故选:A
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数对均满足,其中是的导数,则下列不等式恒成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】令,,
    ∴当时,∴单调递增,当时,,∴单调递减.
    对于A:,即.故A错误;
    对于B:,又,
    ∴,故B正确;
    对于C:,又,
    ∴,故C错误;
    对于D:,又,∴,故D错误.
    故选:B.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)设定义在上的函数恒成立,其导函数为,若,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】由题意,在上的函数恒成立,
    构造函数,则,
    ∵上,即,
    ∴在上单调递减,而,故
    ∴,可得.
    故选:B
    例题4.(2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末)已知函数是定义在上的可导函数,其导函数为,若,且对任意的恒成立,则不等式的解集为________.
    【答案】
    【详解】令,则在上恒成立,
    所以在上单调递减.
    又,即,
    又,即,
    所以,解得,
    所以不等式的解集为.
    故答案为:.
    练透核心考点
    1.(2023秋·江西萍乡·高三统考期末)已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时, 且,则的解集是( )
    A. B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】设,
    可得
    因为当x≥0时, ,
    所以在上递增,
    又因为是定义在R上的奇函数,
    所以的图像关于对称,如图,
    所以在R上递增,
    又因为,所以,
    则等价于,
    所以,即的解集是,
    故选:C.
    2.(2023·全国·高二专题练习)已知函数 的导函数为,若对任意的,都有,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】令,
    则,
    所以在上单调递增,
    ,
    等价于,
    即,
    即,
    所以不等式的解集为.
    故选:A.
    3.(2023·广东广州·统考一模)已知函数的定义域为,其导函数为,若.,则关于x的不等式的解集为__________.
    【答案】
    【详解】令函数,则,因此函数在上单调递减,
    ,因此,即,解得,
    所以不等式的解集为.
    故答案为:
    4.(2023·高二课时练习)已知是定义在上的偶函数,且,当时,,则不等式的解集为___________.
    【答案】
    【详解】解:令,
    因为是定义在上的偶函数,则,
    所以,
    所以为奇函数,
    因为当时,,
    则,
    所以在上单调递增,
    由奇函数的性质可得在上单调递增,
    又,所以,所以,
    不等式等价于,即,
    所以不等式的解集为.
    故答案为:.
    序号
    条件
    构造函数
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
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