第12讲 拓展五：利用洛必达法则解决导数问题（讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：洛必达法则的简单计算
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
一、型及型未定式
1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）设当时， 及；
（2）在点的某个去心邻域内（点的去心 \t "" 邻域内）都有，都存在，且；
（3）；
则：.
3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么 =.
5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、型、、、型
1、型的转化：
或；
2、型的转化：
3、、型的转化：幂指函数类
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：洛必达法则的简单计算
1、判断下列计算是否正确
；
解：由于中分子记为，分母记为，不是未定式，不能直接使用洛必达法则.
2、求（本题属于型；）
解：原式=（属于型，继续使用洛必达法则）
=（不属于未定型，直接将代入分子分母）
=
3、求（本题属于型；可使用洛必达法则）
解：原式=（不属于未定型，直接将代入分母）
=0
4、求（本题属于型，可使用洛必达法则）
解：原式=（不属于未定型，直接将代入分子）
=0
5．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【详解】
，
故选：D
6．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________．
【答案】##0.5
【详解】
故答案为：
7．（2022·山东省临沂第一中学高二阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则______．
【答案】2
【详解】
由题可得.
故答案为：2.
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
1．（2021·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立，求的取值范围？
【答案】
【详解】
当时，原不等式等价于.记，
则.
当时，令，则，可知在上单调递增，所以，即，
所以.因此在上单调递减.
；.
所以.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
解：,
；
函数在处取得极值，
；
又曲线在点处的切线与直线垂直，
；
解得：；
(2)
不等式恒成立可化为，
即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，
则；
令，
则；
令，
则；
得在是减函数，
故，
进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，
当时，没有意义，由洛必达法得，
．
3．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（理））已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围．
【答案】（1）， （2）（-，0]
【详解】
（1）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，．
（2）当，且时，，即，
也即，记，，且
则，
记，则，
从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
由洛必达法则有 ，
即当时，，即当，且时，.因为恒成立，
所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)
解：,
；
函数在处取得极值，
；
又曲线在点处的切线与直线垂直，
；
解得：；
(2)
不等式恒成立可化为，
即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，
则；
令，
则；
令，
则；
得在是减函数，
故，
进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，
当时，没有意义，由洛必达法得，
．
5．（【区级联考】天津市北辰区2019届高考模拟考试数学（理）试题）已知函数，，
（I）求函数的单调区间；
（II）若在恒成立，求的取值范围；
（III）当，时，证明：
【答案】（I）见解析（II）（III）见解析
【详解】
（I）由题意知：
（1）当时，恒成立 在定义域上单调递增
（2）当时，令，解得：
则，，变化情况如下表：
的单调减区间为：，单调增区间为：
（II）（1）当时，原不等式化为：恒成立，可知
（2）当时，则，令
则
令，则
当时，，则
在上单调递减
即 在上单调递减

当时，
综上所述：
（III）（1）当时，，则
由（II）可得时，
则只需证明：成立
令
当时，
在上单调递增

【点睛】
本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题.解决恒成立问题的常用方法为分离变量的方式，通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果.证明不等式时，通常将所证不等式进行转化，通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题.
极小值