还剩52页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲集合(高频精讲)(原卷版+解析)
展开
这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲集合(高频精讲)(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了元素与集合，集合间的基本关系，集合的基本运算，集合的运算性质，高频考点结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25607" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc25607 \h 2
\l "_Tc29280" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29280 \h 2
\l "_Tc32110" 第三部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc24740" 第四部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc24740 \h 5
\l "_Tc30156" 高频考点一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc30156 \h 5
\l "_Tc22056" 高频考点二：元素与集合的关系 PAGEREF _Tc22056 \h 6
\l "_Tc266" 高频考点三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc266 \h 7
\l "_Tc23096" 高频考点四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc23096 \h 7
\l "_Tc18461" 高频考点五：集合的基本关系 PAGEREF _Tc18461 \h 9
\l "_Tc15691" 高频考点六：集合的运算 PAGEREF _Tc15691 \h 11
\l "_Tc24475" 高频考点七：图的应用 PAGEREF _Tc24475 \h 13
\l "_Tc30672" 高频考点八：集合新定义问题 PAGEREF _Tc30672 \h 14
\l "_Tc25526" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc25526 \h 15
\l "_Tc11429" ①数形结合 PAGEREF _Tc11429 \h 15
\l "_Tc28003" ②分类讨论 PAGEREF _Tc28003 \h 16
\l "_Tc21560" 第六部分：核心素养 PAGEREF _Tc21560 \h 17
\l "_Tc29052" ①数学运算 PAGEREF _Tc29052 \h 17
\l "_Tc32148" ②逻辑推理 PAGEREF _Tc32148 \h 17
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷（文））·统考高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国（甲卷（文））·统考高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国（乙卷（理））·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国（甲卷（理））·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
第四部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合与集合表示同一个集合
D．方程组的解集是
例题2．（2023·高一单元测试）下面关于集合的表示正确的是（ ）
①；②；
③；④
A．①B．②C．③D．④
练透核心考点
1．（2023·湖南永州·高一校考阶段练习）以下元素的全体不能够构成集合的是
A．中国古代四大发明B．周长为的三角形
C．方程的实数解D．地球上的小河流
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围是____________．
例题3．（2023·高一课时练习）数集满足条件：若，则.
（1）若，求集合中一定存在的元素；
（2）集合内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集是M，若且，则实数a的取值范围是______．
3．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：
(1)若，则在集合A中必有另外两个数；
(2)若，则集合A不可能是单元素集合；
(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
例题3．（2023·高三课时练习）设集合，，且，求实数、的值.
练透核心考点
1．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知集合，，且，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．0
2．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）集合，若，则__________
3．（2022秋·天津河西·高三统考期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____．
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
例题2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）下列集合与区间表示的集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值：______．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．D．
2．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
4．（2023上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）用列举法表示集合，______．
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（2023·吉林·统考二模）已知集合，，则的子集个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题2．（多选）（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
例题3．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例题4．（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知全集，集合.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
3．（2023秋·湖南张家界·高一统考期末）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
4．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知集合，，全集
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例题3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．
问题：已知集合___________，集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
例题4．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知集合，，若，则实数___________
3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知集合，集合，定义集合且
(1)若，求．
(2)若，求a的取值范围．
4．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
5．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知集合.
(1)求集合A；
(2)若，求实数a的取值范围.
高频考点七：图的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，全值，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）年春节影市火爆依旧，《无名》、《满江红》、《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______．
高频考点八：集合新定义问题
1．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）定义，集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
第五部分：数学思想方法
①数形结合
1．（2023·上海黄浦·高三校考阶段练习）设为全集，、为非空子集，，则下列关系中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·福建福州·高一统考期末）已知集合，是全集的两个子集，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海黄浦·统考一模）已知集合，，则______.
5．（2023·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围为____．
②分类讨论
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知集合，集合．
(1)求；
(2)若集合，，且．求实数的取值范围．
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为.
(1)求集合；
(2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
3．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）设集合，，．
(1)若，求实数的取值范围．
(2)若，求实数的取值范围．
4．（2023·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
第六部分：核心素养
①数学运算
1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．5
②逻辑推理
1．（2023·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（ ）.
A．B．
C．D．，，则
2．（2022·福建·）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称P是一个数域．例如有理数集是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是____________．（把你认为正确的命题的序号填上）
3．（2023·北京·高一北京市第十七中学校考期中）对于给定的数集A． 若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合是否为闭集合；
(2)若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合A，B为闭集合，且，，证明：.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
第01讲 集合(精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25607" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc25607 \h 2
\l "_Tc29280" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29280 \h 2
\l "_Tc32110" 第三部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc24740" 第四部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc24740 \h 5
\l "_Tc30156" 高频考点一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc30156 \h 5
\l "_Tc22056" 高频考点二：元素与集合的关系 PAGEREF _Tc22056 \h 7
\l "_Tc266" 高频考点三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc266 \h 10
\l "_Tc23096" 高频考点四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc23096 \h 12
\l "_Tc18461" 高频考点五：集合的基本关系 PAGEREF _Tc18461 \h 15
\l "_Tc15691" 高频考点六：集合的运算 PAGEREF _Tc15691 \h 19
\l "_Tc24475" 高频考点七：图的应用 PAGEREF _Tc24475 \h 24
\l "_Tc30672" 高频考点八：集合新定义问题 PAGEREF _Tc30672 \h 26
\l "_Tc25526" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc25526 \h 27
\l "_Tc11429" ①数形结合 PAGEREF _Tc11429 \h 27
\l "_Tc28003" ②分类讨论 PAGEREF _Tc28003 \h 29
\l "_Tc21560" 第六部分：核心素养 PAGEREF _Tc21560 \h 32
\l "_Tc29052" ①数学运算 PAGEREF _Tc29052 \h 32
\l "_Tc32148" ②逻辑推理 PAGEREF _Tc32148 \h 33
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷（文））·统考高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．（2022·全国（甲卷（文））·统考高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，所以．
故选：A.
3．（2022·全国（乙卷（理））·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
4．（2022·全国（甲卷（理））·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，故，
故选：D
6．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
第四部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合与集合表示同一个集合
D．方程组的解集是
【答案】D
【详解】对于A，方程的解集是，故A错误；
对于B，方程的解集为，故B错误；
对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误；
对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.
故选：D.
例题2．（2023·高一单元测试）下面关于集合的表示正确的是（ ）
①；②；
③；④
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【详解】根据集合元素的无序性和集合的表示，可得，所以①不正确；
根据集合的表示方法，可得集合为点集，集合表示数集，
所以，所以②不正确；
根据集合的表示方法，可得集合，所以③正确；
根据集合的表示方法，可得集合，
所以，所以④是正确的.
故选：CD.
练透核心考点
1．（2023·湖南永州·高一校考阶段练习）以下元素的全体不能够构成集合的是
A．中国古代四大发明B．周长为的三角形
C．方程的实数解D．地球上的小河流
【答案】D
【详解】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误；
B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确；
C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误；
故选：B.
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】因为集合，且，则或，解得.
当时，集合中的元素不满足互异性；
当时，，集合中的元素不满足互异性；
当时，，合乎题意.
综上所述，.
故选：ACD.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，得，显然不满足题意，
当a>0时，原不等式可化为，
若，则解得或，
所以只需满足，解得；
若，则解得或，
所以只需满足，解得9当a<0时，当时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意，
综上，实数a的取值范围是．
例题3．（2023·高一课时练习）数集满足条件：若，则.
（1）若，求集合中一定存在的元素；
（2）集合内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.
【详解】（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为，理由如下：
由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为.
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.
故选：BD.
2．（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集是M，若且，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】若，则有，解得或，
若，则有或，解得，
，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
3．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：
(1)若，则在集合A中必有另外两个数；
(2)若，则集合A不可能是单元素集合；
(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由，得，即，
由，得，即，
所以，若，则集合A中必有另外两个数和；
（2）假设集合A是单元素集合，即，
所以，得，
，该方程无实数根，于是，
所以，若，则集合A不可能是单元素集合；
（3）由，得，
由，得，即，
由（2）知，同理可得，，
所以，集合A中至少有三个元素a，，.
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为集合，集合，且，
所以，
所以若，不满足元素互异性，
则或，满足互异性，
所以.
故选：C．
例题2．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
例题3．（2023·高三课时练习）设集合，，且，求实数、的值.
【答案】.
【详解】因为集合，，
所以或，
解得或或 ，
根据集合的元素的互异性可得，且，
所以.
练透核心考点
1．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知集合，，且，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．0
【答案】A
【详解】解：∵集合，，，
∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，
解得实数．
故选：A．
2．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）集合，若，则__________
【答案】
【详解】解：因为，
所以，若，则可得或2，
当时，，不满足互异性，舍去，
当时，，满足题意;
若，则，此时，不满足互异性，舍去；
综上
故答案为：
3．（2022秋·天津河西·高三统考期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____．
【答案】1
【详解】因为，
显然，故，则；
此时两集合分别是，
则，解得或.
当时，不满足互异性，故舍去；
当时，满足题意.
所以
故答案为：.
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【详解】当时，有，6个元素；
当时，有，5个元素；
当时，有，4个元素；
当时，有，3个元素；
当时，有，2个元素；
当时，有，1个元素，
综上，一共有21个元素．
故选：B．
例题2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
例题3．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）下列集合与区间表示的集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】区间表示的集合为，
A.集合表示点集，只有一个元素，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，表示数集，其中只有2个元素，故C错误；
D. ，故D错误.
故选：B
例题4．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值：______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】当时，，
此时满足题目要求，
故答案为：（答案不唯一）
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【详解】集合A满足，，，故，，，
，故，
则集合A所有元素之和为：
故选：C
2．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题知，，，
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
3．（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点､，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
4．（2023上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）用列举法表示集合，______．
【答案】
【详解】因为,所以且,即且,
又因为,所以,对应的,
其中,所以只能取,
故,
故答案为: .
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（2023·吉林·统考二模）已知集合，，则的子集个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】集合表示以为圆心，为半径的圆上的所有点，
集合表示直线上的所有点，
因为直线经过圆心，所以直线与圆相交，
所以的元素个数有2个，则的子集个数为4个，
故选：.
例题2．（多选）（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】CD
【详解】由于集合有且仅有两个子集，
所以方程只有一解，所以，所以，
由于，所以.
A，，当时等号成立，故A错误.
B，，当且仅当时等号成立，故B错误.
C，不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，故C正确.
D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，
则，所以，故D正确，
故选：CD
例题3．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
故；
（2）因为，所以，
故要想，则，解得：，
故实数的取值范围是.
例题4．（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得：，即，；
由得：，解得：，即；
.
（2）由得：，解得：；
当时，满足，此时，解得：（舍）；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
∴当时，，满足；
当时，若，则时，时，．
的取值集合是．
故选：C．
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知全集，集合.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由对数函数的单调性可知：
集合，
又因为，所以，解得：，
所以实数.
（2）由（1）可知：集合，
因为，所以当时，；
当时，所以，解得：；
所以实数的取值范围为或.
3．（2023秋·湖南张家界·高一统考期末）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则或，
又因为，因此，.
（2）解：当时，，解得，合乎题意；
当时，，即当，
因为，，，则，解得.
综上所述，.
4．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知集合，，全集
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，所以或.
由以及指数函数的单调性，可解得，所以.
所以.
（2）当时，有时，即，此时满足；
当时，由得，，解得，
综上，实数的取值范围为.
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为,所以，解得．
故选:D
例题2．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
；
（2）①当时，，解得，符合题意，
②当时，则或，
解得或，
综上所述，实数的取值范围为，，.
例题3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．
问题：已知集合___________，集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【详解】（1）若选①：因为，
当时，，
因为，所以，
又因为或，所以.
若选②：，
当时，，
因为，所以，
又因为或，所以.
若选③：，
当时，，
因为，所以，
又因为或，所以.
（2）由（1）可知，，
因为，所以，故，
所以，解得：，
故实数的取值范围为．
例题4．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以.
（2）因为，所以，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
所以m的取值范围为：.
练透核心考点
1．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意得，，
则.
故选：C
2．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知集合，，若，则实数___________
【答案】0或2
【详解】∵，∴，
显然，若，则，满足题意；
若，则或，不合题意，代入可知满足题意，
综上，或2.
故答案为：0或2.
3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知集合，集合，定义集合且
(1)若，求．
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
.
由，则，故.
（2）由得，即有或，故.
故a的取值范围为.
4．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，而，
所以，则或.
（2）选①：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选②：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选③：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为.
5．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知集合.
(1)求集合A；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由有，即，
所以，解得，
所以集合；
（2）因为，所以，
由（1）知，而，显然，
则有，解得，
即实数a的取值范围是.
高频考点七：图的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，全值，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：解不等式得，故，
解不等式得或，故或
所以，
所以阴影部分表示的集合是.
故选：B
例题2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）年春节影市火爆依旧，《无名》、《满江红》、《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以集合表示调查的名在校学生看过《无名》的学生构成的集合，
集合表示调查的名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，如下图所示：
所以，调查的名在校学生看过《无名》的学生人数为，
所以，该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为，
故选：C.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，则，所以.\
由，得，则，则图中阴影部分表示的集合为.
故选:B.
2．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______．
【答案】4
【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：
由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.
故答案为：4
高频考点八：集合新定义问题
1．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）定义，集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【详解】，
由已知表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后构成的集合，
或.
故选：D.
2．（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【详解】因为且，
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
综上可知：，所以集合中元素个数为5，
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
【答案】③
【详解】对于①，，，所以错误；
对于②，因为正整数减正整数可能不为正整数，所以错误，
对于③，当时，设，
则，所以集合是闭集合，所以正确；
对于④, 设，
由③可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，所以错误．
故答案为：③.
第五部分：数学思想方法
①数形结合
1．（2023·上海黄浦·高三校考阶段练习）设为全集，、为非空子集，，则下列关系中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】如下图所示：
由图可知，，，因为，则，
，ACD选项都对，B错.
故选：B.
2．（多选）（2023·福建福州·高一统考期末）已知集合，是全集的两个子集，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由，根据子集的定义，如图，
对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B不正确；
对于C，由韦恩图知，，所以C正确；
对于D，由韦恩图知，，所以D不正确；
故选：AC.
3．（多选）（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】因为，如图：
所以，所以， 故a的可能取值为，.
故选：CD.
4．（2023·上海黄浦·统考一模）已知集合，，则______.
【答案】
【详解】
如图所示，则.
故答案为：.
5．（2023·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围为____．
【答案】
【详解】
根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.
故答案为：.
②分类讨论
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知集合，集合．
(1)求；
(2)若集合，，且．求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设得，
（2），
当时，，解得
当时，，解得
综上所述：的取值范围是
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为.
(1)求集合；
(2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，
因为函数在时取最小值，
所以“，使得不等式成立”是真命题，
需满足，解得，
即；
（2）因为不等式的解集为，
且“”是“”的充分条件，则是的子集；
①当，即时，解集，
所以,解得
综合得；
②当，即时，不满足题设条件；
③当，即时，解集，
所以,解得
综合可得，
综上所述，实数的取值范围是.
3．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）设集合，，．
(1)若，求实数的取值范围．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)，．
【详解】（1），
，
因为，，所以，
解得；
即实数的取值范围为，；
（2）因为，所以，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
①当时，；
②当时，恒成立，
而，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故；
综上所述，实数的取值范围为，.
4．（2023·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】或.
【详解】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
第六部分：核心素养
①数学运算
1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.
2．（多选）（2023江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】差集的定义，且，
，，
故选：．
3．（多选）（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．5
【答案】ABD
【详解】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
综上所述：或或.
故选：ABD
②逻辑推理
1．（2023·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（ ）.
A．B．
C．D．，，则
【答案】AD
【详解】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：，则，
，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：AD
2．（2022·福建·）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称P是一个数域．例如有理数集是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是____________．（把你认为正确的命题的序号填上）
【答案】①④
【详解】数域P有两个元素（设），则一定有，，故①正确；
因为，但是，所以整数集不是数域，故②错误；
令数集，，，但，则不是数域，故③错误；
数域含有1，则一定有1＋1＝2，1＋2＝3，…，依此推算下去，可知数域必然包含整数集，因而数域必有无限多个元素，数域必为无限集，故④正确．
故答案为：①④．
3．（2023·北京·高一北京市第十七中学校考期中）对于给定的数集A． 若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合是否为闭集合；
(2)若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合A，B为闭集合，且，，证明：.
【答案】(1)不是闭集合，是闭集合
(2)不一定，理由见解析
(3)证明详见解析
【详解】（1）对于集合，，但，所以不是闭集合.
对于集合，任取，设，
则，，所以，
，，所以，
所以是闭集合.
（2）不一定，理由如下：
令，，
同理（1）可证得是闭集合，
，但，不是闭集合.
（3）反证法：
若，
因为闭集合满足，存在，则.
同理，因为闭集合满足，存在，则.
因为，所以或.
若，则由于为闭集合，，与矛盾.
若，则由于为闭集合，，与矛盾.
综上所述，存在，使得，即.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25607" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc25607 \h 2
\l "_Tc29280" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29280 \h 2
\l "_Tc32110" 第三部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc24740" 第四部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc24740 \h 5
\l "_Tc30156" 高频考点一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc30156 \h 5
\l "_Tc22056" 高频考点二：元素与集合的关系 PAGEREF _Tc22056 \h 6
\l "_Tc266" 高频考点三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc266 \h 7
\l "_Tc23096" 高频考点四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc23096 \h 7
\l "_Tc18461" 高频考点五：集合的基本关系 PAGEREF _Tc18461 \h 9
\l "_Tc15691" 高频考点六：集合的运算 PAGEREF _Tc15691 \h 11
\l "_Tc24475" 高频考点七：图的应用 PAGEREF _Tc24475 \h 13
\l "_Tc30672" 高频考点八：集合新定义问题 PAGEREF _Tc30672 \h 14
\l "_Tc25526" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc25526 \h 15
\l "_Tc11429" ①数形结合 PAGEREF _Tc11429 \h 15
\l "_Tc28003" ②分类讨论 PAGEREF _Tc28003 \h 16
\l "_Tc21560" 第六部分：核心素养 PAGEREF _Tc21560 \h 17
\l "_Tc29052" ①数学运算 PAGEREF _Tc29052 \h 17
\l "_Tc32148" ②逻辑推理 PAGEREF _Tc32148 \h 17
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷（文））·统考高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国（甲卷（文））·统考高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国（乙卷（理））·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国（甲卷（理））·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
第四部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合与集合表示同一个集合
D．方程组的解集是
例题2．（2023·高一单元测试）下面关于集合的表示正确的是（ ）
①；②；
③；④
A．①B．②C．③D．④
练透核心考点
1．（2023·湖南永州·高一校考阶段练习）以下元素的全体不能够构成集合的是
A．中国古代四大发明B．周长为的三角形
C．方程的实数解D．地球上的小河流
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围是____________．
例题3．（2023·高一课时练习）数集满足条件：若，则.
（1）若，求集合中一定存在的元素；
（2）集合内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集是M，若且，则实数a的取值范围是______．
3．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：
(1)若，则在集合A中必有另外两个数；
(2)若，则集合A不可能是单元素集合；
(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
例题3．（2023·高三课时练习）设集合，，且，求实数、的值.
练透核心考点
1．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知集合，，且，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．0
2．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）集合，若，则__________
3．（2022秋·天津河西·高三统考期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____．
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
例题2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）下列集合与区间表示的集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值：______．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．D．
2．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
4．（2023上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）用列举法表示集合，______．
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（2023·吉林·统考二模）已知集合，，则的子集个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题2．（多选）（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
例题3．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例题4．（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知全集，集合.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
3．（2023秋·湖南张家界·高一统考期末）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
4．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知集合，，全集
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例题3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．
问题：已知集合___________，集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
例题4．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知集合，，若，则实数___________
3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知集合，集合，定义集合且
(1)若，求．
(2)若，求a的取值范围．
4．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
5．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知集合.
(1)求集合A；
(2)若，求实数a的取值范围.
高频考点七：图的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，全值，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）年春节影市火爆依旧，《无名》、《满江红》、《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______．
高频考点八：集合新定义问题
1．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）定义，集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
第五部分：数学思想方法
①数形结合
1．（2023·上海黄浦·高三校考阶段练习）设为全集，、为非空子集，，则下列关系中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·福建福州·高一统考期末）已知集合，是全集的两个子集，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海黄浦·统考一模）已知集合，，则______.
5．（2023·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围为____．
②分类讨论
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知集合，集合．
(1)求；
(2)若集合，，且．求实数的取值范围．
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为.
(1)求集合；
(2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
3．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）设集合，，．
(1)若，求实数的取值范围．
(2)若，求实数的取值范围．
4．（2023·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
第六部分：核心素养
①数学运算
1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．5
②逻辑推理
1．（2023·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（ ）.
A．B．
C．D．，，则
2．（2022·福建·）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称P是一个数域．例如有理数集是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是____________．（把你认为正确的命题的序号填上）
3．（2023·北京·高一北京市第十七中学校考期中）对于给定的数集A． 若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合是否为闭集合；
(2)若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合A，B为闭集合，且，，证明：.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
第01讲 集合(精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25607" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc25607 \h 2
\l "_Tc29280" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29280 \h 2
\l "_Tc32110" 第三部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc24740" 第四部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc24740 \h 5
\l "_Tc30156" 高频考点一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc30156 \h 5
\l "_Tc22056" 高频考点二：元素与集合的关系 PAGEREF _Tc22056 \h 7
\l "_Tc266" 高频考点三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc266 \h 10
\l "_Tc23096" 高频考点四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc23096 \h 12
\l "_Tc18461" 高频考点五：集合的基本关系 PAGEREF _Tc18461 \h 15
\l "_Tc15691" 高频考点六：集合的运算 PAGEREF _Tc15691 \h 19
\l "_Tc24475" 高频考点七：图的应用 PAGEREF _Tc24475 \h 24
\l "_Tc30672" 高频考点八：集合新定义问题 PAGEREF _Tc30672 \h 26
\l "_Tc25526" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc25526 \h 27
\l "_Tc11429" ①数形结合 PAGEREF _Tc11429 \h 27
\l "_Tc28003" ②分类讨论 PAGEREF _Tc28003 \h 29
\l "_Tc21560" 第六部分：核心素养 PAGEREF _Tc21560 \h 32
\l "_Tc29052" ①数学运算 PAGEREF _Tc29052 \h 32
\l "_Tc32148" ②逻辑推理 PAGEREF _Tc32148 \h 33
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷（文））·统考高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．（2022·全国（甲卷（文））·统考高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，所以．
故选：A.
3．（2022·全国（乙卷（理））·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
4．（2022·全国（甲卷（理））·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，故，
故选：D
6．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
第四部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合与集合表示同一个集合
D．方程组的解集是
【答案】D
【详解】对于A，方程的解集是，故A错误；
对于B，方程的解集为，故B错误；
对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误；
对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.
故选：D.
例题2．（2023·高一单元测试）下面关于集合的表示正确的是（ ）
①；②；
③；④
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【详解】根据集合元素的无序性和集合的表示，可得，所以①不正确；
根据集合的表示方法，可得集合为点集，集合表示数集，
所以，所以②不正确；
根据集合的表示方法，可得集合，所以③正确；
根据集合的表示方法，可得集合，
所以，所以④是正确的.
故选：CD.
练透核心考点
1．（2023·湖南永州·高一校考阶段练习）以下元素的全体不能够构成集合的是
A．中国古代四大发明B．周长为的三角形
C．方程的实数解D．地球上的小河流
【答案】D
【详解】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误；
B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确；
C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误；
故选：B.
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】因为集合，且，则或，解得.
当时，集合中的元素不满足互异性；
当时，，集合中的元素不满足互异性；
当时，，合乎题意.
综上所述，.
故选：ACD.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，得，显然不满足题意，
当a>0时，原不等式可化为，
若，则解得或，
所以只需满足，解得；
若，则解得或，
所以只需满足，解得9
综上，实数a的取值范围是．
例题3．（2023·高一课时练习）数集满足条件：若，则.
（1）若，求集合中一定存在的元素；
（2）集合内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.
【详解】（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为，理由如下：
由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为.
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.
故选：BD.
2．（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集是M，若且，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】若，则有，解得或，
若，则有或，解得，
，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
3．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：
(1)若，则在集合A中必有另外两个数；
(2)若，则集合A不可能是单元素集合；
(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由，得，即，
由，得，即，
所以，若，则集合A中必有另外两个数和；
（2）假设集合A是单元素集合，即，
所以，得，
，该方程无实数根，于是，
所以，若，则集合A不可能是单元素集合；
（3）由，得，
由，得，即，
由（2）知，同理可得，，
所以，集合A中至少有三个元素a，，.
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为集合，集合，且，
所以，
所以若，不满足元素互异性，
则或，满足互异性，
所以.
故选：C．
例题2．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
例题3．（2023·高三课时练习）设集合，，且，求实数、的值.
【答案】.
【详解】因为集合，，
所以或，
解得或或 ，
根据集合的元素的互异性可得，且，
所以.
练透核心考点
1．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知集合，，且，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．0
【答案】A
【详解】解：∵集合，，，
∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，
解得实数．
故选：A．
2．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）集合，若，则__________
【答案】
【详解】解：因为，
所以，若，则可得或2，
当时，，不满足互异性，舍去，
当时，，满足题意;
若，则，此时，不满足互异性，舍去；
综上
故答案为：
3．（2022秋·天津河西·高三统考期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____．
【答案】1
【详解】因为，
显然，故，则；
此时两集合分别是，
则，解得或.
当时，不满足互异性，故舍去；
当时，满足题意.
所以
故答案为：.
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【详解】当时，有，6个元素；
当时，有，5个元素；
当时，有，4个元素；
当时，有，3个元素；
当时，有，2个元素；
当时，有，1个元素，
综上，一共有21个元素．
故选：B．
例题2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
例题3．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）下列集合与区间表示的集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】区间表示的集合为，
A.集合表示点集，只有一个元素，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，表示数集，其中只有2个元素，故C错误；
D. ，故D错误.
故选：B
例题4．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值：______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】当时，，
此时满足题目要求，
故答案为：（答案不唯一）
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【详解】集合A满足，，，故，，，
，故，
则集合A所有元素之和为：
故选：C
2．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题知，，，
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
3．（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点､，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
4．（2023上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）用列举法表示集合，______．
【答案】
【详解】因为,所以且,即且,
又因为,所以,对应的,
其中,所以只能取,
故,
故答案为: .
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（2023·吉林·统考二模）已知集合，，则的子集个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】集合表示以为圆心，为半径的圆上的所有点，
集合表示直线上的所有点，
因为直线经过圆心，所以直线与圆相交，
所以的元素个数有2个，则的子集个数为4个，
故选：.
例题2．（多选）（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】CD
【详解】由于集合有且仅有两个子集，
所以方程只有一解，所以，所以，
由于，所以.
A，，当时等号成立，故A错误.
B，，当且仅当时等号成立，故B错误.
C，不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，故C正确.
D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，
则，所以，故D正确，
故选：CD
例题3．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
故；
（2）因为，所以，
故要想，则，解得：，
故实数的取值范围是.
例题4．（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得：，即，；
由得：，解得：，即；
.
（2）由得：，解得：；
当时，满足，此时，解得：（舍）；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
∴当时，，满足；
当时，若，则时，时，．
的取值集合是．
故选：C．
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知全集，集合.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由对数函数的单调性可知：
集合，
又因为，所以，解得：，
所以实数.
（2）由（1）可知：集合，
因为，所以当时，；
当时，所以，解得：；
所以实数的取值范围为或.
3．（2023秋·湖南张家界·高一统考期末）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则或，
又因为，因此，.
（2）解：当时，，解得，合乎题意；
当时，，即当，
因为，，，则，解得.
综上所述，.
4．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知集合，，全集
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，所以或.
由以及指数函数的单调性，可解得，所以.
所以.
（2）当时，有时，即，此时满足；
当时，由得，，解得，
综上，实数的取值范围为.
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为,所以，解得．
故选:D
例题2．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
；
（2）①当时，，解得，符合题意，
②当时，则或，
解得或，
综上所述，实数的取值范围为，，.
例题3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．
问题：已知集合___________，集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【详解】（1）若选①：因为，
当时，，
因为，所以，
又因为或，所以.
若选②：，
当时，，
因为，所以，
又因为或，所以.
若选③：，
当时，，
因为，所以，
又因为或，所以.
（2）由（1）可知，，
因为，所以，故，
所以，解得：，
故实数的取值范围为．
例题4．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以.
（2）因为，所以，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
所以m的取值范围为：.
练透核心考点
1．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意得，，
则.
故选：C
2．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知集合，，若，则实数___________
【答案】0或2
【详解】∵，∴，
显然，若，则，满足题意；
若，则或，不合题意，代入可知满足题意，
综上，或2.
故答案为：0或2.
3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知集合，集合，定义集合且
(1)若，求．
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
.
由，则，故.
（2）由得，即有或，故.
故a的取值范围为.
4．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，而，
所以，则或.
（2）选①：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选②：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选③：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为.
5．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知集合.
(1)求集合A；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由有，即，
所以，解得，
所以集合；
（2）因为，所以，
由（1）知，而，显然，
则有，解得，
即实数a的取值范围是.
高频考点七：图的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，全值，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：解不等式得，故，
解不等式得或，故或
所以，
所以阴影部分表示的集合是.
故选：B
例题2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）年春节影市火爆依旧，《无名》、《满江红》、《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以集合表示调查的名在校学生看过《无名》的学生构成的集合，
集合表示调查的名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，如下图所示：
所以，调查的名在校学生看过《无名》的学生人数为，
所以，该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为，
故选：C.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，则，所以.\
由，得，则，则图中阴影部分表示的集合为.
故选:B.
2．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______．
【答案】4
【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：
由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.
故答案为：4
高频考点八：集合新定义问题
1．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）定义，集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【详解】，
由已知表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后构成的集合，
或.
故选：D.
2．（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【详解】因为且，
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
综上可知：，所以集合中元素个数为5，
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
【答案】③
【详解】对于①，，，所以错误；
对于②，因为正整数减正整数可能不为正整数，所以错误，
对于③，当时，设，
则，所以集合是闭集合，所以正确；
对于④, 设，
由③可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，所以错误．
故答案为：③.
第五部分：数学思想方法
①数形结合
1．（2023·上海黄浦·高三校考阶段练习）设为全集，、为非空子集，，则下列关系中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】如下图所示：
由图可知，，，因为，则，
，ACD选项都对，B错.
故选：B.
2．（多选）（2023·福建福州·高一统考期末）已知集合，是全集的两个子集，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由，根据子集的定义，如图，
对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B不正确；
对于C，由韦恩图知，，所以C正确；
对于D，由韦恩图知，，所以D不正确；
故选：AC.
3．（多选）（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】因为，如图：
所以，所以， 故a的可能取值为，.
故选：CD.
4．（2023·上海黄浦·统考一模）已知集合，，则______.
【答案】
【详解】
如图所示，则.
故答案为：.
5．（2023·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围为____．
【答案】
【详解】
根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.
故答案为：.
②分类讨论
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知集合，集合．
(1)求；
(2)若集合，，且．求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设得，
（2），
当时，，解得
当时，，解得
综上所述：的取值范围是
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为.
(1)求集合；
(2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，
因为函数在时取最小值，
所以“，使得不等式成立”是真命题，
需满足，解得，
即；
（2）因为不等式的解集为，
且“”是“”的充分条件，则是的子集；
①当，即时，解集，
所以,解得
综合得；
②当，即时，不满足题设条件；
③当，即时，解集，
所以,解得
综合可得，
综上所述，实数的取值范围是.
3．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）设集合，，．
(1)若，求实数的取值范围．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)，．
【详解】（1），
，
因为，，所以，
解得；
即实数的取值范围为，；
（2）因为，所以，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
①当时，；
②当时，恒成立，
而，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故；
综上所述，实数的取值范围为，.
4．（2023·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】或.
【详解】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
第六部分：核心素养
①数学运算
1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.
2．（多选）（2023江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】差集的定义，且，
，，
故选：．
3．（多选）（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．5
【答案】ABD
【详解】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
综上所述：或或.
故选：ABD
②逻辑推理
1．（2023·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（ ）.
A．B．
C．D．，，则
【答案】AD
【详解】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：，则，
，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：AD
2．（2022·福建·）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称P是一个数域．例如有理数集是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是____________．（把你认为正确的命题的序号填上）
【答案】①④
【详解】数域P有两个元素（设），则一定有，，故①正确；
因为，但是，所以整数集不是数域，故②错误；
令数集，，，但，则不是数域，故③错误；
数域含有1，则一定有1＋1＝2，1＋2＝3，…，依此推算下去，可知数域必然包含整数集，因而数域必有无限多个元素，数域必为无限集，故④正确．
故答案为：①④．
3．（2023·北京·高一北京市第十七中学校考期中）对于给定的数集A． 若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合是否为闭集合；
(2)若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合A，B为闭集合，且，，证明：.
【答案】(1)不是闭集合，是闭集合
(2)不一定，理由见解析
(3)证明详见解析
【详解】（1）对于集合，，但，所以不是闭集合.
对于集合，任取，设，
则，，所以，
，，所以，
所以是闭集合.
（2）不一定，理由如下：
令，，
同理（1）可证得是闭集合，
，但，不是闭集合.
（3）反证法：
若，
因为闭集合满足，存在，则.
同理，因为闭集合满足，存在，则.
因为，所以或.
若，则由于为闭集合，，与矛盾.
若，则由于为闭集合，，与矛盾.
综上所述，存在，使得，即.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
相关试卷
高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第04讲正弦定理和余弦定理(高频精讲)(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第04讲正弦定理和余弦定理(高频精讲)(原卷版+解析)，共89页。试卷主要包含了正弦定理，余弦定理，三角形常用面积公式，常用结论等内容，欢迎下载使用。
高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第02讲常用逻辑用语(高频精讲)(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第02讲常用逻辑用语(高频精讲)(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了充分条件，全称量词与存在量词等内容，欢迎下载使用。
高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲集合(分层精练)(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲集合(分层精练)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
