高三数学一轮复习第二章函数第五课时指数与指数函数学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第五课时指数与指数函数学案，共16页。

考点一 指数与指数幂的运算
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(na)n＝a．
当n为奇数时，nan＝a；
当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a<0．
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，amn＝nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，a-mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr．
(其中a>0，b>0，r，s∈Q)．
[典例1] (1)化简π-42+3π-33＝( )
A．1 B．－1
C．7－2π D．2π－7
(2)计算下列各式：
①2350＋2-2×214-12－(0.01)0.5；
②2790.5＋0.1-2＋21027-23－3π0＋3748．
(1)A [π-42+3π-33＝|π－4|＋π－3＝4－π＋π－3＝1．故选A．]
(2)[解] ①2350+2-2×214-12－(0.01)0.5
＝1＋14×322×-12－0.12×0.5
＝1＋14×23－110
＝1615．
②2790.5＋0.1-2＋21027-23－3π0＋3748
＝532×0.5＋110-2＋433×-23－3＋3748
＝53＋100＋916－3＋3748
＝100．
本例(2)重点考查对分数指数幂及指数幂运算性质的理解及应用．
跟进训练1 (1)若10x＝3，10y＝2，求10x+2y．
(2)已知a12＋a-12＝3，求下列各式的值．
①a＋a-1；②a2＋a-2；③a32-a-32a12-a-12．
[解] (1)因为10x＝3，10y＝2，
所以10x+2y＝10x·102y＝10x·(10y)2＝3×22＝12．
(2)①将a12＋a-12＝3两边平方，得a＋a-1＋2＝9，
所以a＋a-1＝7．
②将a＋a-1＝7两边平方，得a2＋a-2＋2＝49，
所以a2＋a-2＝47．
③因为a32－a-32＝(a12)3－(a-12)3，
所以a32-a-32a12-a-12＝a12-a-12a+a-1+a12a-12a12-a-12
＝a＋a-1＋1＝8．
考点二 指数函数的图象及应用
1．指数函数
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
(2)形如y＝kax, y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
(3)指数函数的图象与性质
2．指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，-1，1a．
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[典例2] (1)若函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或3 B．－1
C．3 D．13
(2)函数y＝ax-2＋2(a>0且a≠1)的图象必经过点________．
(3)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
(1)C (2)(2，3) (3)0，12 [(1)因为函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，
所以m2-2m-2=1，m>0，m≠1，解得m＝3．
故选C．
(2)因为当x＝2时，y＝3，
所以函数y＝ax-2＋2(a>0且a≠1)的图象必经过点(2，3)．
故答案为(2，3)．
(3)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图①，两个图象只有一个交点，不合题意；当0]
本例(3)当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟进训练2 (1)(2024·福建高考模拟)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)(2023·枣庄二模)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点横坐标的取值范围是( )
A．-∞，-12B．-12，0
C．0，12D．-12，+∞
(3)设a，b为实数，a>0，a≠1．已知函数y＝ax＋b的图象如图所示，求a，b的取值范围．
(1)D (2)A [(1)由图象可知，函数f (x)为减函数，从而有0法一：由f (x)＝ax－b图象，函数与y轴的交点纵坐标y∈(0，1)，
令x＝0，得y＝a－b，
由0法二：函数f (x)图象可看作是由y＝ax(0则－b>0，即b<0．
故选D．
(2)由图象知函数为减函数，则0＜a＜1，
二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－12a，
∵0＜a＜1，∴12a＞12，－12a＜－12，
即横坐标的取值范围是-∞，-12．故选A．]
(3)[解] 由题图可知函数y＝ax＋b单调递增，即a>1，所以a的取值范围为(1，＋∞)；
由题图可知当x＝0时，有y＝a0＋b＝1＋b<0，解得b<－1，
所以b的取值范围为(－∞，－1)．
考点三 指数函数的性质及应用
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1，0等中间量进行比较．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
[典例3] (1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(3)(2024·重庆一中高三月考)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数，如果在前5 h消除了10%的污染物，那么：
①10 h后还剩百分之几的污染物？
②污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)?
③画出P关于t变化的函数图象．
(ln 2≈0.693 1；ln 3≈1.098 6；ln 10≈2.302 6．)
(1)D (2)D [(1)由y＝1.01x在R上递增，则1由y＝0.6x在R上递减，则0.60.5<1．所以b>a>c．故选D．
(2)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以对称轴x＝a2≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝x-322－94在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．]
(3)[解] ①当t＝0时，P＝P0·e－k·0＝P0，当t＝5时，P0·e-5kP0＝90%，即e-5k＝0.9．
∴k＝－15ln 0.9，当t＝10时，P0·e-10kP0＝e-10k＝(e-5k)2＝0.92＝0.81，
即10 h后，还剩81%的污染物．
②设污染物减少50%需要花t h，则有e－kt＝0.5，两边取以e为底的对数，得－kt＝ln 0.5，
∴t＝－ln0.5k＝－ln0.5-15ln0.9＝-5ln2ln9-ln10＝5ln2ln10-2ln3≈5×0.693 12.302 6-2×1.098 6＝3.465 50.105 4≈32.879 5≈33(h)，
即污染物减少50%大约需要花33 h．
③图象大致如图所示．
本例(1)先借助指数函数的单调性证明a跟进训练3 (1)(2024·辽宁大连期末)若函数y＝xexex+1+b为偶函数，则b的值为( )
A．－1 B．－12
C．0 D．12
(2)已知实数a≠1，函数f (x)＝4x，x≥0，2a-x，x<0，若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．
(3)设函数f (x)＝12x-7，x<0，x，x≥0，若f (a)<1，则实数a的取值范围是________．
(4)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
(1)B (2)12 (3)(－3，1) (4)24 [(1)由题设(－x)·e-xe-x+1+b＝(－x)·11+ex+b
＝x-1ex+1-b＝xexex+1+b，
所以－1ex+1－b＝exex+1＋b恒成立，则2b＝－1，
所以b＝－12．故选B．
(2)当a<1时，41-a＝21，解得a＝12；
当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解．故a的值为12．
(3)当a<0时，原不等式化为12a－7<1，
则2－a<8，解得a>－3，所以－3当a≥0时，则a<1，0≤a<1．
综上，实数a的取值范围是(－3，1)．
(4)由题意得eb=192，e22k+b=48，
所以e22k＝48192＝14，e11k＝12，
所以x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝18×192＝24．]
课后习题(九) 指数与指数函数
1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简[3-52]34的结果为( )
A．5 B．5 C．－5 D．－5
B [原式＝35234＝52334＝523×34＝512＝5．]
2．(人教A版必修第一册P117例3改编)设a＝2313，b＝1.5-0.2，c＝0.80.2，则( )
A．aC．bD [0因为y＝23x在R上单调递减，
又0.2<13，所以230.2>2313，所以b>a，
因为y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，由0.8>23，可得0.80.2>230.2，
所以c>b，故a3．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f x＝a12|x|＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f -2＝________．
34 [因为f x的图象过原点，所以f 0＝a120＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f x的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f x＝－12x＋1，
所以f -2＝－122＋1＝34．]
4．(北师大版必修第一册P92习题3－3A组T8改编)若函数f (x)＝13-x2＋4ax在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为________．
-∞，12 [因为函数y＝13x在R上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，函数y＝－x2＋4ax在区间(1，2)上单调递减．函数y＝－x2＋4ax的图象的对称轴为直线x＝2a，且开口向下，所以2a≤1，解得a≤12，所以a的取值范围为-∞，12．]
5．(2023·天津三模)函数f (x)＝x+12·sin22x-2-x的大致图象为( )
A B
C D
A [由f (x)＝x+12·sin22x-2-x知，f (－1)＝0，排除C选项；
x＝0函数没有定义，排除B；
x>0时，x>－x，根据指数函数的单调性可知，2x>2－x，
又2弧度是第二象限角，故sin 2>0，于是x>0时，f (x)>0，排除D．
故选A．]
6．(多选)(2024·临沂市一模)已知f (x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为( )
A．g(x)＝lg 1+x1-x B．g(x)＝3x－3－x
C．g(x)＝12＋12x+1 D．g(x)＝ln (x2+1＋x)
BD [因为f (x)＝x3g(x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，
即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．
对于A，定义域为(－1，1)，所以不满足题意；
对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；
对于C，定义域为R，g(－x)＝12＋12-x+1＝12＋2x1+2x＝32－11+2x≠－g(x)，不符合题意；
对于D，定义域为R，g(－x)＝ln (x2+1－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln (x2+1－x)＋ln (x2+1＋x)＝0，符合题意．故选BD．]
7．(2023·青岛市二模)已知函数f (x)＝x，g(x)＝2x＋2－x，则大致图象如图的函数可能是( )
A．f (x)＋g(x) B．f (x)－g(x)
C．f (x)g(x) D．fxgx
D [f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (－x)＝－x＝－f (x)，g(－x)＝2－x＋2x＝g(x)，
所以f (x)为奇函数，g(x)为偶函数．
由图易知其为奇函数，而f (x)＋g(x)与f (x)－g(x)为非奇非偶函数，故排除AB．
当x→＋∞时，f (x)g(x)→＋∞，排除C．故选D．]
8．(2023·潍坊市二模)已知函数f (x)＝13x－3x，则f (x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
C [函数的定义域为R，
因为f (－x)＝3x－13x＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，
又因为函数y＝13x，y＝－3x在R上都是减函数，
所以函数f (x)＝13x－3x在R上是减函数．故选C．]
9．(2023·日照市二模)已知a>0，b>0，则“12a<12b”是“ln a>ln b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [因为y＝12x在定义域上单调递减，故由12a<12b得a>b>0，而y＝ln x在定义域上单调递增，故12a<12b⇒ln a>ln b，满足充分性；
又ln a>ln b⇒12a<12b，满足必要性，故选C．]
10．(2023·全国甲卷)已知函数f (x)＝e-x-12．记a＝f 22，b＝f 32，c＝f 62，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
A [函数f (x)＝e-x-12是由函数y＝eu和u＝-x-12复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f 62＝f 2-62，又22<2－62<32<1，所以f 22c>a．故选A．]
11．(2023·济宁市二模)已知a∈R，函数f (x)＝lg2x2-3，x>23x+a，x≤2，f (f (5))＝2，则a＝______．
－1 [因为5>2，所以f (5)＝lg2(5－3)＝1≤2，
所以f (f (5))＝f (1)＝3＋a＝2，解得a＝－1．故答案为－1．]
12．(2024·济宁一模)已知函数y＝ax-1(a>0且a≠1)的图象过定点A，且点A在直线mx＋2ny＝8(m>0，n>0)上，则8mn－32m的最小值是________．
916 [函数y＝ax-1(a>0且a≠1)的图象过定点A(1，1)，则m＋2n＝8，所以2n＝8－m，
由m>02n=8-m>0，得0则8mn－32m＝16m8-m－32m＝32-38-m2m8-m＝3m+8-2m2+16m，
令t＝3m＋8，t∈(8，32)，则m＝t-83，
则8mn－32m＝t-2t-832+16t-83
＝9t-2t2+80t-512＝980-2t+512t≥980-22t·512t＝916，
当且仅当2t＝512t，即t＝16，
m＝83，n＝83时，取等号，
所以8mn－32m的最小值是916．
故答案为916．]
项目
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数