2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数专题培优课指数对数幂的大小比较

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这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数专题培优课指数对数幂的大小比较，共10页。

关键能力·题型剖析
题型一直接法比较大小
角度一利用函数的性质
例1 [2024·广东东莞模拟]若a＝，b＝，c＝，则( )
A．cC．b[听课记录]
角度二找中间值
例2 [2024·重庆沙坪坝模拟]设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，c＝20.3，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>a>b
[听课记录]

角度三特殊值法
例3 [2024·黑龙江哈尔滨模拟]若a>b>1，0A．lgac>lgbc B．lgca>lgcb
C．accb
[听课记录]

题后师说
利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg22巩固训练1
(1)已知a＝()－0.1，b＝()－0.1，c＝，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
(2)[2024·河南洛阳模拟]已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．bC．c(3)已知a>b>1，0A．acC．algbc题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
例4 (1)[2023·江苏镇江高三统考开学考试]设a＝2lg32，b＝lg23，c＝，则a，b，c的大小顺序为( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>c>a
(2)[2024·安徽安庆模拟]已知x＝6lg643，y＝lg364，z＝lg83，则( )
A．x>y>z B．z>x>y
C．y>z>x D．y>x>z
[听课记录]

题后师说
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
巩固训练2
(1)[2023·天津卷]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
(2)[2024·吉林通化模拟]已知a＝lg32，b＝lg53，c＝lg85，则下列结论正确的是( )
A．aC．a题型三构造函数比较大小
例5 已知a＝＋ln ，b＝1＋，c＝＋ln 2，则( )
A．cC．c[听课记录]
题后师说
某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．
巩固训练3
[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．b>c>a D．a>b>c
1.已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．b2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知a＝lg52，b＝lg83，c＝，则下列判断正确的是( )
A．cC．a3．[2024·重庆模拟]已知a＝，b＝，c＝lg23，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．b4．已知实数m，n满足0A．mn2>1 B．sin m>sin
C．mn5．[2024·河北唐山模拟]已知a＝，b＝，c＝(其中e为自然对数的底数)，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．a>b>c
专题培优课指数、对数、幂的大小比较
关键能力·题型剖析
例1 解析：根据指数函数y=在R上单调递减可知，a=>=b，且a=<=1，根据对数函数y=x在(0,+∞)上单调递减可得，c=>=1，于是c>1>a>b.
答案：C
例2 解析：因为a＝lg0.20.3∈(lg0.21，lg0.20.2)＝(0，1)，b＝lg20.320＝1，所以c>a>b.
答案：D
例3 解析：取a＝4，b＝2，c＝，则lgac＝lg4＝－，lgbc＝lg2＝－1，∴lgac>lgbc.
答案：A
巩固训练1 解析：(1)0<()－0.1<()0＝1，即0()－0.1>()0＝1，即b>1；
＝－<0，即c<0.
所以有c<0(2)由 <<，则有b由＝lg35>lg33，则有c>1，
故b(3)令a＝4，b＝2，c＝，
则ac＝，bc＝，
∴ac>bc，故A错误；
abc＝＝，bac＝＝，
∴abc>bac，故B错误；
lgac＝lg4＝－1，
lgbc＝lg2＝－2，
algbc＝－8，blgac＝－2，
∴algbclgbc，故C正确，D错误．
答案：(1)B (2)A (3)C
例4 解析：(1)∵3a＝6lg32＝lg3643b＝3lg23＝lg227>lg216＝4，又3c＝4，
∴3a<3c<3b，即b>c>a.
(2)因为x＝6lg643＝lg23＝lg23，y＝lg364＝lg34＝，z＝lg83＝lg23，
由＝＝()2>1，所以y>z，
由＝＝()2，而lg23>lg22＝，则>()2>1，所以x>y，综上x>y>z.
答案：(1)D (2)A
巩固训练2 解析：(1)因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b＞a＞c.故选D.
(2)因为lg32＝lg3所以a因为ln 3ln 8<()2＝(ln )2<(ln 5)2，所以<，所以lg53答案：(1)D (2)A
例5 解析：构造函数f(x)＝＋ln x，
因为f′(x)＝－＝(x>0)，
所以当x>1时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因为1<<2所以f()＋ln 2>＋ln ，
所以a答案：D
巩固训练3 解析：令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为a＝＝＝f(4)，b＝＝f(6)，c＝＝f(7)，
所以f(4)>f(6)>f(7)，即a>b>c.
答案：D
随堂检测
1．解析：由题设a＝＝，b＝，c＝，
由y＝4x为增函数，且>，故a>b；
由y＝在(0，＋∞)上为增函数，且5>2，故c>a；
综上，b答案：B
2．解析：a＝lg52答案：C
3．解析：根据题意可知a＝>21>b＝，即可得a>b；
由对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增可知，
c＝lg23＝lg2>lg2＝＝＝b，即c>b；
且c＝lg23答案：A
4．解析：由题易知，取m＝，n＝，则mn2＝×()2＝<1，所以A错误；
0mn<1，nm>1，所以mn>2，<<1，lgmn>lgm＝－1，lgnmlgnm，D错误．
答案：C
5．解析：设f(x)＝，则f′(x)＝，
当00，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(e)＝＝，所以a，b，c中b最大．
又a－c＝＝＝>0，所以a>c，b>a>c.
答案：B

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