高考数学一轮复习第6章第2课时等差数列学案

这是一份高考数学一轮复习第6章第2课时等差数列学案，共25页。
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3．能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn-12d或Sn＝na1+an2.
3．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋nn-12d＝d2n2＋a1-d2n是关于n的二次函数且常数项为0.
[常用结论]
等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d．
(4)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的12.
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan+1.
(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则anbn＝S2n-1T2n-1．
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇S偶＝n+1n.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( )
A．14 B．12
C．2 D．－12
A [∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，
又a10＝6，∴公差d＝a10-a610-6＝6-54＝14.故选A.]
2．(人教A版选择性必修第二册P21例6改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32
C．33 D．34
B [设等差数列{an}的公差为d，
法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝8a1+a82＝8a3+a62＝8×6+22＝32.
法二：由a1+5d=2， 5a1+5×42d=30，得a1=263 ，d=-43.
∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32.]
3．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A．35 B．42
C．49 D．63
B [法一：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7，14，S15－21成等差数列，
∴S15－21＋7＝28，
∴S15＝42，故选B.
法二：拓展
∵{an}为等差数列，∴Snn也为等差数列，
∴2S1010＝S55+S1515，
∴S15＝42，故选B.]
4．(人教A版选择性必修第二册P23例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1).由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a1+a202＝20×22+602＝820.]
考点一 等差数列基本量的运算
[典例1] (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是( )
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
(2)数列2an+1是等差数列，且a1＝1，a3＝－13，那么a2 023＝( )
A．1 0091 010 B．－2 0212 023
C．2 0192 020 D．－2 0192 020
(3)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________．
(1)ABC (2)B (3)4 [(1)S4＝4×a1+a42＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得d=2， a1=-3，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
Sn＝－3n＋nn-12×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.
(2)设等差数列2an+1的公差为d，且a1＝1，a3＝－13，所以2a1+1＝1，2a3+1＝3.
所以3＝1＋2d，解得d＝1.
所以2an+1＝1＋n－1＝n，所以an＝2n－1.
那么a2 023＝22 023－1＝－2 0212 023.
(3)设等差数列{an}的公差为d，又a1≠0，a2＝3a1，所以d＝2a1，则S10S5＝10a1+10×92d5a1+5×42d＝10a1+90a15a1+20a1＝4.]
【教师备选题】
我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，则二马几日相逢？( )
A．10 B．11
C．12 D．13
C [由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差为－0.5的等差数列，驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则an＝103－0.5n-1＝－0.5n＋103.5，bn＝97－0.5n-1＝－0.5n＋97.5，
则数列an与数列bn的前n项和为1 125×2＝2 250，
又∵数列an的前n项和为n2×(103－0.5n＋103.5)＝n2×(206.5－0.5n)，
数列bn的前n项和为n2×(97－0.5n＋97.5)＝n2×194.5-0.5n，
∴n2×206.5-0.5n+n2×(194.5－0.5n)＝2 250，整理得：n2－401n＋4 500＝0，
当n＝11时，112－401×11＋4 500＝210>0，
当n＝12时，122－401×12＋4 500＝－1680，则S2-S1＝4a1-a1＝d，
得a1＝d2，所以Sn＝S1＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，当n＝1时，也满足，所以an＝2d2n－d2＝d2＋(n－1)·2d2，所以数列{an}是等差数列．
【教师备选题】
(2022·湖南岳阳二模)数列an满足a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1.
(1)求a2，a3；
(2)证明12an-1是等差数列，并求an的通项公式．
[解] (1)由a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1，
可知4a2＋1＝3＋a2，a2＝23，
4a2a3＋1＝3a2＋a3，a3＝35.
(2)证明：由已知得，an＋1＝3an-14an-1.
∴12an+1-1-12an-1＝12·3an-14an-1-1-12an-1
＝4an-123an-1-4an-1-12an-1＝4an-12an-1-12an-1＝2，
又∵12a1-1＝12-1＝1，
∴12an-1是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴12an-1＝2n－1，解得an＝n2n-1.
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
[跟进训练]
2．(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2Sn+1bn＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝bnbn-1，
代入2Sn+1bn＝2可得，2bn-1bn+1bn＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝12(n≥2)．
又2S1+1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，
故{bn}是以32为首项，12为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝n+22，则2Sn+2n+2＝2，所以Sn＝n+2n+1.
当n＝1时，a1＝S1＝32，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n+2n+1-n+1n＝－1nn+1.
故an＝32，n=1， -1nn+1，n≥2.
考点三 等差数列性质的应用
等差数列项的性质
[典例3] (1)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a1＋a6等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)已知等差数列an满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则a4－3a6的值为( )
A．－6 B．6
C．－12 D．12
(1)B (2)A [(1)因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a1＋a6＝a3＋a4＝3＋4＝7.
(2)由等差中项的性质可得a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，设等差数列an的公差为d，则
a4－3a6＝a4－a6－2a6＝－2d－2a6＝－2(a6＋d)＝－2a7＝－6.故选A.]
等差数列前n项和的性质
[典例4] (1)(链接常用结论)(2023·衡水中学模拟)在等差数列{an}中，Sn是其前n项之和，若S4S8＝13，则S8S16＝( )
A．310 B．18
C．13 D．19
(2)(易错易混题)有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn，Tn.
①若anbn＝2n-13n+1，则S11T11＝________；
②若SnTn＝2n-13n+1，则a5b4＝________．
(1)A (2)①1119 ②1722 [(1)因为等差数列中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，设S4＝x，因为S4S8＝13，故S8＝3x，
所以x，2x，S12－3x，S16－S12成等差数列，所以S16＝10x，则S8S16＝310.故选A.
(2)①若anbn＝2n-13n+1，
则S11T11＝11a611b6＝2×6-13×6+1＝1119；
②若SnTn＝2n-13n+1＝2n2-n3n2+n，则可设Sn＝2n2-nk，Tn＝3n2+nk.
所以a5＝S5－S4＝45k－28k＝17k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k，所以a5b4＝1722.]
利用等差数列的性质解题的三个关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分．
(2)在Sn＝na1+an2中，Sn与a1＋an可相互转化．
(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.
[跟进训练]
3．(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am-1+am+1-am2－1＝0，S2m－1＝39，则m等于( )
A．39 B．20
C．19 D．10
(2)已知{an}和{bn}是两个等差数列，且akbk(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为( )
A．64 B．100
C．128 D．132
(3)(链接常用结论)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，S2 0202 020-S2 0142 014＝6，则S2 023＝________．
(1)B (2)C (3)8 092 [(1)数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am-1+am+1-am2－1＝0可化为2am-am2－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B.
(2){an}和{bn}是两个等差数列，且akbk(1≤k≤5)是常值，由于a1＝288，a5＝96，
故a3＝a1+a52＝192，由于a3b3＝a1b1＝288192＝32，
所以b3＝128.故选C.
(3)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列，
设其公差为d，则S2 0202 020-S2 0142 014＝6d＝6，所以d＝1，
所以S2 0232 023＝S11＋2 022d＝－2 018＋2 022＝4，
所以S2 023＝8 092.]
考点四 等差数列的前n项和及其最值
[典例5] 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[四字解题]
[解] 法一(函数法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，
所以d＝－53.
Sn＝20n＋nn-12·-53＝－56n2＋1256n
＝－56n-2522＋3 12524.
因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
法二 (邻项变号法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，
所以d＝－53.
an＝20＋(n－1)×-53＝－53n＋653.
因为a1＝20>0，d＝－530，d0 D．S7、S8均为Sn的最大值
(2)在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12>S9，a2＋a210，S100，即a11>0，
由a2＋a21