高三数学一轮复习第二章函数第二课时函数的单调性与最值学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第二课时函数的单调性与最值学案，共16页。

考点一 确定函数单调性(单调区间)
1．(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间．
提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
[常用结论]
函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则
(1)fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在区间I上单调递增；
(2)fx1-fx2x1-x2<0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在区间I上单调递减．
2．利用导数求函数单调区间的基本步骤
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)；
(3)由f ′(x)>0(或<0)解出相应x的取值范围．当f ′(x)>0时，f (x)在相应的区间内是单调递增的；当f ′(x)<0时，f (x)在相应的区间内是单调递减的．
[典例1] (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cs x D．y＝x2+x-2
(2)函数f (x)＝2－x2－2x的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
(1)AC (2)B [(1)∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cs x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
y＝x2+x-2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
(2)f (x)＝2－x2－2x分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，
u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，
所以f (x)＝2－x2－2x在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减．]
本例(1)可以借助图象也可以利用定义法或导数法来解决；本例(2)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
跟进训练1 (1)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
(2)函数f (x)＝lg12(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
A．12，3B．-2，12
C．(－2，3)D．12，+∞
(1)B (2)A [(1)四个函数的图象如下，显然B成立．
(2)由－x2＋x＋6>0，得－2考点二 函数单调性的应用
1．比较大小问题，可借助函数的单调性求解．
2．求解含“f ”的函数不等式的解题思路：先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
3．利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
(3)注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式fx2-fx1x2-x1、乘积式(x2－x1)[f (x2)－f (x1)]．
4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max；
(2)a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min．
[典例2] (1)(2024·武汉模拟)已知函数f (x)＝1ex+1－12，若a＝f (21.3)，b＝f (40.7)，c＝f (lg38)，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b(2)已知函数f (x)满足f (x)＝f (－x)，当x≥0时，f (x)＝3x＋2x，则不等式f (x－2)<13的解集为( )
A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(0，4)
C．(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
(1)C (2)B (3)D [(1)函数f (x)＝1ex+1－12是R上的减函数，
又lg38<2<21.3<21.4＝40.7，
所以f (40.7)(2)依题意知f (x)为偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时，f (x)单调递增，且f (2)＝13，根据偶函数的对称性可知，f (x)在(－∞，0)单调递减，由f (x－2)<13得|x－2|<2，即0(3)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f (x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D．]
本例(1)明确函数f (x)＝1ex+1－12是R上的减函数是解决本题的关键；本例(2)中f (x)为偶函数，注意偶函数f (x)在关于原点对称的区间上单调性相反．
跟进训练2 (1)已知函数f (x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f -12，b＝f (2)，c＝f (3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
(2)设函数f (x)＝-x2+4x-3，x≤2，lg2x，x>2，则满足不等式f (2x－1)<2的解集是( )
A．-∞，32B．2，52
C．32，2D．-∞，52
(3)若函数f (x)＝ax-2，x≤2，3-2alnx-1，x>2在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1]B．(0，2]
C．0，32D．1，32
(1)D (2)D (3)A [(1)根据已知可得函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．
所以a＝f -12＝f 52，f (2)>f 52>f (3)，
所以b＞a＞c．故选D．
(2)函数f (x)的图象如图所示，
由图可知，函数f (x)在R上单调递增，
因为f (4)＝2，
所以f (2x－1)<2等价于f (2x－1)故2x－1<4，即x<52．故选D．
(3)因为函数f (x)＝ax-2，x≤2，3-2alnx-1，x>2在R上单调递增，则有y＝ax－2在(－∞，2]上单调递增，
y＝(3－2a)ln (x－1)在(2，＋∞)上也单调递增，
于是得a>03-2a>02a-2≤0，解得0所以实数a的取值范围是(0，1]．故选A．]
考点三 函数的值域与最值
函数最大(小)值的定义
[典例3] (1)函数f (x)＝13x－lg2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
(2)设f (x)＝x+2x-3，x≥1，x2+1，x<1．则f (f (－1))＝________，f (x)的最小值是________．
(3)已知f (x)＝5－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝gx，fx≥gx，fx，gx>fx，则F(x)( )
A．有最大值3，最小值5－25
B．有最大值5＋25，无最小值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
(1)3 (2)0 22－3 (3)C [(1)因为f (x)＝13x－lg2(x＋2)在区间[－1，1]上单调递减，
所以f (x)max＝f (－1)＝3－lg21＝3．
(2)因为f (－1)＝2，
所以f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，
当x≥1时，f (x)＝x＋2x－3在[1，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在x＝2时取得最小值，即f (x)min＝22－3；
当x＜1时，f (x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
所以f (x)在x＝0时取得最小值，即f (x)min＝1．
综上，f (x)的最小值为22－3．
(3)由f (x)＝g(x)，得5－2|x|＝x2－2x．
当x≥0时，5－2x＝x2－2x，所以x2＝5，
所以x＝5或－5(舍去)．
当x<0时，5＋2x＝x2－2x，即x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5(舍去)．
故当x≤－1时，F(x)＝f (x)＝5＋2x；当－1画出F(x)的图象，如图，由图象可知，当x＝－1时，F(x)取得最大值F(－1)＝f (－1)＝5－2＝3，无最小值．故选C．]
求函数最值常用的五种方法
跟进训练3 (1)已知函数f (x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f (x)在区间(k，2]上的最大值为28，则实数k的值可以是( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)已知f (x)＝ax+4，x≤1，lg2x，x≥2，则f (f (0))＝________；若函数f (x)的值域为[1，＋∞)，则a的最小值为________．
(1)A (2)2 －3 [(1)因为f (x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以f ′(x)＝3x2＋6x－9，
令f ′(x)＝3x2＋6x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
所以在x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)上，f ′(x)>0，在x∈(－3，1)上，f ′(x)<0，
所以函数f (x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，函数f (x)在(－3，1)上单调递减，
则f (x)在[1，2]内单调递增，所以在[1，2]内，f (2)最大；
f (x)在(－3，1)时单调递减，所以在[－3，1]内，f (－3)最大；
f (x)在(－∞，－3)时单调递增，所以在(－∞，－3]内，f (－3)最大；
因为f (2)＝3，f (－3)＝28，且f (x)在区间(k，2]上的最大值为28，
所以k<－3，即k的取值范围是(－∞，－3)，故选A．
(2)f (f (0))＝f (4)＝lg24＝2，要使得函数f (x)的值域为[1，＋∞)，则满足a≤0a+4≥1，解得－3≤a≤0，所以实数a的最小值为－3．]
课后习题(六) 函数的单调性与最值
1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f (x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f (x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增
B．f (x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f (x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时，－1[答案] C
2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
(－∞，2] [由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，
∴m≤2．]
3．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝21-x，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________．
－25 －2 [可判断函数f (x)＝21-x在区间[2，6]上单调递增，所以f (x)max＝f (6)＝－25，f (x)min＝f (2)＝－2．]
4．(湘教版必修第一册P86习题3.2T9改编)已知函数f (x)＝xx+a(x≠－a)．
(1)若a＝2，证明：f (x)在(－2，＋∞)上单调递增；
(2)若a<0且f (x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
[解] (1)证明：当a＝2时，f (x)＝xx+2，
任取x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f (x1)－f (x2)＝x1x1+2－x2x2+2
＝x1x2+2-x2x1+2x1+2x2+2
＝2x1-x2x1+2x2+2．
∵x1，x2∈(－2，＋∞)且x1∴(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴2x1-x2x1+2x2+2<0，即f (x1)－f (x2)<0，
∴f (x1)∴f (x)在(－2，＋∞)上单调递增．
(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1则f (x1)－f (x2)＝x1x1+a－x2x2+a
＝x1x2+a-x2x1+ax1+ax2+a＝ax1-x2x1+ax2+a，
∵a<0，x1－x2<0，
又由题知f (x1)－f (x2)>0，
∴(x1＋a)(x2＋a)>0恒成立，∴－a≤1，
∴a≥－1，又a<0，∴－1≤a<0，
∴a的取值范围为[－1，0)．
5．(2023·安徽黄山统考二模)已知a，b，c满足a＝sin 13，b＝e-13，c＝ln 3，则( )
A．aC．bA [∵13<π6，∴a＝sin 13又e<23，∴e13<2，1e13>12，即e-13>12，
b＝e-13＝1e13<1，c＝ln 3>ln e＝1，
∴c>b>a，故选A．]
6．函数f (x)＝－x＋1x在-2，-13上的最大值是( )
A．32 B．－83
C．－2 D．2
A [函数f (x)＝－x＋1x在(－∞，0)上单调递减，则函数f (x)在-2，-13上的最大值为f (－2)＝2－12＝32．故选A．]
7．函数f (x)＝ln (4x2－1)的单调递增区间是( )
A．12，+∞B．-∞，-12
C．-12，12D．(0，＋∞)
A [由4x2－1＞0，可得x＜－12或x＞12，
所以函数f (x)＝ln (4x2－1)的定义域为-∞，-12∪12，+∞．
又y＝4x2－1在12，+∞上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f (x)＝ln (4x2－1)的单调递增区间是12，+∞．故选A．]
8．(2023·锡林郭勒盟二模)已知函数f (x)＝lg2(－x2－mx＋16)在[－2，2]上单调递减，则m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(－6，6)
C．(－6，4] D．[4，6)
D [令g(x)＝－x2－mx＋16，
∵函数f (x)＝lg2(－x2－mx＋16)在[－2，2]上单调递减，
∴g(x)在[－2，2]上单调递减，且大于零，故有-m2≤-2，-4-2m+16>0，解得4≤m<6．故选D．]
9．(2024·河北石家庄二中模拟)已知定义在[－1，3]上的函数f (x)满足对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f (x1)－f (x2)](x1－x2)＜0，则不等式f (1－2x)≥f (x＋1)的解集为( )
A．(－∞，0] B．[0，1]
C．[－1，0] D．[0，＋∞)
B [∵对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f (x1)－f (x2)](x1－x2)＜0，
∴f (x)在[－1，3]上单调递减，
∴由f (1－2x)≥f (x＋1)得，-1≤1-2x≤3，-1≤x+1≤3，1-2x≤x+1，
解得0≤x≤1，
∴不等式f (1－2x)≥f (x＋1)的解集为[0，1]．故选B．]
10．(2024·鼓楼区校级模拟)若函数f (x)＝ax，x>1，4-a2x+2，x≤1，对于R上的任意x1≠x2都有fx1-fx2x1-x2>0，则实数a的取值范围是________．
[4，8) [∵对于R上的任意x1≠x2都有fx1-fx2x1-x2>0，则函数f (x)单调递增，
∵函数f (x)＝ax，x>1，4-a2x+2，x≤1，
∴a>14-a2>04-a2+2≤a，即a>1，a<8，a≥4，
∴4≤a<8．故答案为[4，8)．]
11．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f (x)＝x+4x，x∈12，6，则函数f (x)的值域为________．
{4，5，6，7，8} [易知y＝x＋4x，x∈12，6在12，2上单调递减，在[2，6)上单调递增．
当x＝2时，y＝x＋4x＝4；
当x＝12时，y＝x＋4x＝12＋8；
当x＝6时，y＝x＋4x＝6＋23，
所以y＝x＋4x∈4，172，则函数f (x)的值域为{4，5，6，7，8}．]
12．(2024·秦皇岛青龙实验中学期中)已知函数f (x)＝x2+2x+1ax(a＞0)．
(1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时，f (x)的单调性，并证明；
(2)若x∈(0，1]时，f (x)单调递减，x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f (x)的最小值．
[解] (1)f (x)单调递增．证明如下：
当a＝2时，f (x)＝x＋12x＋2，
f ′(x)＝1－12x2＞0(x≥1)，
∴函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)∵f (x)＝x＋1ax＋2，
∴f ′(x)＝1－1ax2．
∵x∈(0，1]时，f (x)单调递减，x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，
∴f ′(1)＝1－1a＝0，
∴a＝1．
经检验a＝1时符合题意．
∵f (x)＝x＋1x＋2在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴x＝1时，f (x)取得最小值，最小值为4．
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1当x1f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈D，都有f (x)≤M；
(2)∃x0∈D，使得f (x0)＝M
(1)∀x∈D，都有f (x)≥M；
(2)∃x0∈D，使得f (x0)＝M
结论
M为f (x)的最大值
M为f (x)的最小值