2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第二章第2讲　函数的单调性与最值

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第2讲　函数的单调性与最值

1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
常见误区
1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误．
2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．

[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(4)所有的单调函数都有最值．(　　)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
[诊断自测]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x　 B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
解析：选A．对于A，y1＝在区间(0，＋∞)上是减函数，y2＝x在区间(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在区间(0，＋∞)上是减函数；B，C选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在区间(0，＋∞)上是增函数．
2．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B．设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．
解析：可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2　
4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：

确定函数的单调性(区间)(多维探究)
角度一　判断或证明函数的单调性
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】　方法一：设－1 f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
因为－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 方法二：f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

[注意]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度二　求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解】　f(x)＝＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．

【迁移探究】　(变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为[1－，1]和[1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－]和[1，1＋]．

确定函数的单调区间的方法

1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是(　　)
A．(－∞，0) B．
C．[0，＋∞) D．
解析：选B．y＝|x|(1－x)＝
＝＝
画出函数的草图，如图．

由图易知原函数在上单调递增．
2．下列函数中，不满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
解析：选D．由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在 (0，＋∞)上是增函数．对于A项，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以A项符合题意；对于B项，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以B项符合题意；对于C项，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以C项符合题意；对于D项，y＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故选D．
3．判断函数f(x)＝的单调性．
解：因为函数f(x)＝＝2x－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y＝－在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－在区间(－∞，0)上为增函数．
同理，可得f(x)＝2x－在区间(0，＋∞)上也是增函数．
故函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．

函数的最值(值域)(师生共研)
(1)函数y＝的值域是________．
(2)函数y＝x＋的最小值为________．
(3)已知函数f(x)＝若f(－1)＝f(1)，则实数a＝________；若y＝f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)(分离常数法)因为y＝＝－1＋，又因为1＋x2≥1，所以0<≤2，所以－1<－1＋≤1，所以函数y的值域为(－1，1]．
(2)方法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
方法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1.
(3)由f(－1)＝f(1)，得＝log2(1－a)，解得a＝1－.由题意知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上也单调递增，且函数f(x)在(－∞，0)上无最小值，所以要使y＝f(x)存在最小值，则解得－1≤a＜0，即a的取值范围为[－1，0)．
【答案】　(1)(－1，1]　(2)1　(3)1－　[－1，0)

求函数最值的五种常用方法

[注意]　导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养．　

1．已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是(　　)
A．y＝4x＋ B．y＝x＋
C．y＝－x2＋2x＋3 D．y＝5－
解析：选D．易知函数y＝4x＋在[1，5]上单调递增，所以4x＋≥5，A不符合题意；
因为x≥1，所以y＝x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意；
因为函数y＝5－在(0，＋∞)上单调递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5－＝4，符合题意．故选D．
2．函数y＝的最大值为________．
解析：令＝t，则t≥2，
所以x2＝t2－4，所以y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
所以h(t)min＝h(2)＝，所以y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.
答案：

函数单调性的应用(多维探究)
角度一　比较函数值的大小
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.
当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
【答案】　D

利用函数的单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．　
角度二　解函数不等式
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
【解析】　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4) 【答案】　(－，－2)∪(2，)

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．　
角度三　求参数的值(范围)
已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
【解析】　由f(x)是减函数，得
所以≤a<，所以实数a的取值范围是.
【答案】　C

利用单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[注意]分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．　

1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1) A． B．
C． D．
解析：选D．因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1) 2．函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－2]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
解析：选B．因为函数y＝|2x－a|的单调递增区间是，且函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，所以[－1，＋∞)⊆，所以≤－1，解得a≤－2.故选B．

思想方法系列2　数形结合法求函数的值域或最值
(1)若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是(　　)
A．(－∞，2)　 B．(－∞，2]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)
(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是(　　)
A．(3，7) B．(9，25)
C．(13，49) D．(9，49)
【解析】　(1)分别画出y＝2x(x<1)和y＝－log2x(x≥1)的图象，如图．由图象可知，函数的值域为(－∞，2)．

(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，

即函数y＝f(x)为奇函数，由f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0，得f(x2－6x＋21) 整理得(x－3)2＋(y－4)2<4，
当x>3时，(x－3)2＋(y－4)2<4表示以M(3，4)为圆心，2为半径的右半圆内部，x2＋y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方，可知当延长OM交半圆于点B时，x2＋y2的值最大，即(＋2)2＝49，当在点A时x2＋y2的值最小，最小值为32＋22＝13，故x2＋y2的取值范围是(13，49)．
【答案】　(1)A　(2)C

(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如两点的距离公式或直线的斜率等．
(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形式及运算确定其值域．　
　求函数y＝＋的值域．
解：y＝＋＝＋，

把函数看成坐标系内的点与点间的距离和，P(x，0)，A(－2，－2)，B(2，1)，即y＝|PA|＋|PB|.
通过观察图象，当点P在线段AB上时，y＝|PA|＋|PB|取到最小值，y＝|AB|＝5.
所以|PA|＋|PB|≥5，即函数y的值域为[5，＋∞)．